2020江苏高考数学一轮复习学案：第40课__直线的方程 含解析.docx

___第40课__直线的方程____1. 了解确定直线位置的几何要求(两个点或一点和方向)．2. 掌握直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围，能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程．3. 熟悉直线方程各形式的特征，理解各形式之间的关系，会由已知直线方程求相关的特征量.1. 阅读：必修2第80～86页，温习直线方程的五种形式．2. 解悟：①直线方程的各种形式需要怎样的条件？各有怎样的适用范围？②直线方程各种形式之间有怎样的区别与联系？③教材第82页的探究内容所蕴含的意义是什么？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第83页练习第3题；第85页练习第2、4题；第87页练习第4、5题.基础诊断1. 已知点A(－4，6)，B(－2，4)，则直线AB 的一般式方程为__＋y －2＝0__．解析：易知直线斜率存在．设直线AB ：y ＝＋b ，将点A(－4，6)，B(－2，4)代入，得⎩⎨⎧6＝－4k ＋b ，4＝－2k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝2，所以直线AB ：y ＝－＋2，即＋y －2＝0.2. 过点(1，2)且倾斜角的正弦值为45的直线方程是__y ＝43＋23或y ＝－43＋10__．解析：由题意知sin α＝45，因为α∈[0，π)，所以tan α＝43或－43，即直线的斜率为43或－43.当斜率为43时，直线方程为y ＝43＋23；当斜率为－43时，直线方程为y ＝－43＋103.3. 过点(3，－4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__y ＝－43或＋y ＋1＝0__．解析：当直线过原点(0，0)时，因为直线过点(3，－4)，所以直线方程为y ＝－43；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，将点(3，－4)代入，得a ＝－1，所以直线方程为＋y ＋1＝0.4. 给出下列命题：①经过定点P 0(0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝(－0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝＋b ；③不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示；④经过任意两个不同的点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(2－1)＝(－1)(y 2－y 1)表示，其中正确命题的个数为__1__．解析：①过点P 0(0，y 0)且垂直于轴的直线不能用方程y －y 0＝(－0)表示，故①错；②经过点A(0，b)且垂直于轴的直线不能用方程y ＝＋b 表示，故②错；③垂直于两坐标轴的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示，故③错；④经过任意两个不同的点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(2－1)＝(－1)(y 2－y 1)表示，故④正确．范例导航考向❶ 求直线方程例1 已知直线l 过点A(5，2)．(1) 若直线l 的斜率为2，求直线l 的方程； (2) 若直线l 经过点B(3，－2)，求直线l 的方程．解析：(1) 因为直线l 过点A(5，2)，斜率为2，由点斜式方程得y －2＝2(－5)，故所求直线l 的方程为2－y －8＝0.(2) 因为直线l 过点A(5，2)，点B(3，－2)，由两点式方程得y －2－2－2＝x －53－5，故所求直线l 的方程为2－y －8＝0.若直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线的方程为__4－y ＋16＝0或＋3y －9＝0__．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1.又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9，故所求直线方程为4－y ＋16＝0或＋3y －9＝0. 考向❷ 含有参数的直线方程例2 已知直线l ：－y ＋1＋2＝0 (∈R)． (1) 求证：直线l 过定点；(2) 若直线l 不经过第四象限，求实数的取值范围． 解析：(1) 直线l 的方程化简为(＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，所以无论取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2) 当≠0时，直线在轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2kk ≤0，1＋2k ≥0，k >0，解得>0；当＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故≥0.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，若直线l 在轴上的截距是－3，则m ＝__－53__；若直线l 的斜率是－1，则m ＝__－2__． 解析：因为直线l 在轴上的截距为－3，令y ＝0，得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.若直线l 的斜率为－1，则⎩⎨⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.考向❸ 直线方程的简单运用例3 已知直线l 过点P(2，1)，分别与轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，若O 为坐标原点，求△OAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：方法一：因为直线l 过点P(2，1)，若斜率不存在，则直线与y 轴无交点，所以直线的斜率存在. 若＝0，则直线与轴无交点，所以≠0.又直线与，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，所以<0.设直线方程为y －1＝(－2)，分别令y ＝0，＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B(0，1－2)，则S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2)＝－2－12k＋2≥2＋2（－2k ）·1－2k＝4，当且仅当－2＝1－2k ，即＝－12时，等号成立，即△OAB 面积的最小值为4.此时，直线l 的方程为＋2y －4＝0.方法二：设 A ，B 两点的坐标分别为A(a ，0)，B(0，b)，a>0，b>0，由直线的截距式方程得直线l 的方程为x a ＋yb＝1.因为直线l 过点P(2，1)，所以2a ＋1b ＝1.因为22a ·1b≤1，所以ab ≥8， 当且仅当2a ＝1b ，即a ＝4，b ＝2时取等号，所以S △OAB ＝12ab ≥4.此时，直线l 的方程为＋2y －4＝0.如图，互相垂直的两条道路l 1，l 2相交于点O ，点P 与l 1，l 2的距离分别为2千米、3千米，过点P 建一条直线道路AB ，与l 1，l 2分别交于A ，B 两点．(1) 当∠BAO ＝45°时，试求OA 的长；(2) 若使△AOB 的面积最小，试求OA ，OB 的长．解析：以l 1为轴，l 2为y 轴，建立平面直角坐标系，则O(0，0)，P(3，2)． (1) 由∠BAO ＝45°知，OA ＝OB ，可设A(c ，0)， B(0，c)(c ＞0)， 直线l 的方程为x c ＋yc ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3c ＋2c＝1，则c ＝5，即OA ＝5千米．(2) 设A(a ，0)，B(0，b)(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为直线l 过点P(3，2)，所以3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3>0，则a ＞3，从而S △ABO ＝12ab ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.令a －3＝t ，t ＞0，则a 2＝(t ＋3)2＝t 2＋6t ＋9， 故有S △ABO ＝t 2＋6t ＋9t ＝t ＋9t＋6≥29t·t ＋6＝12，当且仅当t ＝3时，等号成立， 此时a ＝6，b ＝4，所以OA ＝6千米，OB ＝4千米．自测反馈1. 若两点A(1，y 1)，B(2，y 2)的坐标分别满足31－5y 1＋6＝0和32－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线的方程为__3－5y ＋6＝0__．解析：因为两点A(1，y 1)，B(2，y 2)的坐标分别满足31－5y 1＋6＝0和32－5y 2＋6＝0，两点确定一条直线，所以经过这两点的直线方程为3－5y ＋6＝0.2. 直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5，直线方程为__＝5或3－4y ＋25＝0__．解析：当直线的斜率不存在时，直线的方程为＝5，满足原点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －10＝(－5)，即－y －5＋10＝0.由点到直线的距离公式可得|－5k ＋10|k 2＋1＝5，解得＝34，所以直线的方程为3－4y ＋25＝0.综上，直线方程为－5＝0或3－4y ＋25＝0. 3. 若直线(m ＋2)＋(m 2－2m －3)y －2m ＝0在轴上的截距是3，则实数m 的值是__－6__． 解析：令y ＝0，所以(m ＋2)＝2m ，将＝3代入，得m ＝－6.4. 已知直线l 过点(3，4)，且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，则直线l 的截距式方程是__x 6＋y8＝1__．解析：由题意，可设直线l 的截距式方程为x a ＋yb ＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＝1，12ab ＝24，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝8，所以直线l 的截距式方程为1. 确定一条直线需要两个独立的条件，一是方向(斜率或倾斜角)；二是位置(一个定点)．2. 求直线的方程主要有两种方法：①直接法，根据已知条件，选择适当的形式，直接写出直线的方程；②待定系数法，先设出直线方程，根据已知条件求出待定的系数，再代入，求出直线方程．3. 你还有哪些体悟，写下;：。