高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2

a2−y2

a2−1

=1(a>1)上，直线l交C于P，Q

两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．

【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4

a2−1

a2−1

=1，化简得a4−4a2+4=0

得：

a2=2，故双曲线方程为x2

2

−y2=1;

由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：

(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，

故x1+x2=−4km

2k2−1，x1x2=2m2+2

2k2−1

，

k AP+k AQ=y1−1

x1−2+y2−1

x2−2

=kx1+m−1

x1−2

+kx2+m−1

x2−2

=0，

化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，

故2k(2m2+2)

2k2−1+(m−1−2k)(−4km

2k2−1

)−4(m−1)=0，

即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．

(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ

2=√2

2

，

由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1

x1−2

=√2，

联立y 1−1

x

1−2=√2，及x 12

2

−y 12=1得x 1=10−4√23

，y 1=4√2−53

， 同理，x 2=10+4√2

3，y 2=

−4√2−5

3

， 故x 1+x 2=

20

3

，x 1x 2=689

而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =

2√2

3

， 故S △PAQ =1

2|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=

16√2

9

． 【母题来源】2022年新高考II 卷

【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y

2

b

2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方

程为y =±√3x. (1)求C 的方程;

(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．

【答案】解：(1)由题意可得b

a =√3，√a 2+

b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2

−

y 23

=1．

(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km

3−k 2，x 1x 2=−m 2+3

3−k 2

，

x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)

3−k 2

．

不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{

y M −y 1=−√3(x M −x 1)

y M −y 2=√3(x M −x 2)

．

两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，

故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k

√m 2+3−k 2+km

3−k 2

．

两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =

3√m 2+3−k 2+3m

3−k 2

=3

k x M ⋅

因此，点M 的轨迹为直线y =3

k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:

设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{

y A =k(x A −2)y A =√3x A

，解得x A =k−√3，y A =√3k

k−√3．

同理可得x B =k+√3，y B =√3k

k+√

3

．

此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12k

k 2−3．

而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)

y M =3

k x M ， 解得x M =2k 2

k 2−3

=

x A +x B

2

，y M =6k

k 2−3=

y A +y B

2

，

故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:

当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3

k x 上，矛盾．