浙教版七年级数学下册平行线讲义

基础巩固篇

第一讲平行线及其判定思维导图

重难点分析

重点分析：

1. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.

2. “三线八角” ：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角” ，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对.

3. 平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

难点分析：

1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.

2. 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性” ，要注意“直线外一点”这一条件.

3. 平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.

例题精析

例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有

一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.

解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；

综上所述，正确的有①③④共 3 个. 故选 C.

方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.

易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.

例2、如图，标有角号的7 个角中共有对内错角，对同位角，对同旁内角.

思路点拨：根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题. 解题过程：共有 4 对内错角：分别是∠ 1和∠4，∠2 和∠5，∠6 和∠1，∠5和∠7；

2 对同位角：分别是∠ 7 和∠ 1 ，∠ 5 和∠ 6 ；4对同旁内角：分别是∠ 1和∠5，∠

3 和∠ 4，∠ 3和∠ 2，∠ 4和∠ 2. 方法归纳：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形中的相对位置决定. 在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.

易错误区：同位角的边构成“ F”形，内错角的边构成“ Z”形，同旁内角的边构成“ U”形. 图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形.

例3、（1）如图1，AB，CD，EF 是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，在（1）的条件下，若小路OM平分∠ EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠ CO′ F，试判断OM与O′N 的位置关系.

思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥ CD；（2）可通过构建直线OM与O′N 的同位角来得出OM∥O′ N的结论.

解题过程：

（1）∵ AB⊥EF，CD⊥ EF，

∴ AB∥ CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）.

（2）如图，延长NO′与AB交于点P.

∵OM平分∠ EOB，O′ N平分∠ CO′F，

∴∠ EOM=∠FO′N=45° .

∵∠ FO′ N=∠ EO′ P，

∴∠ EOM=∠EO′P=45° .

∴ OM∥ O′N（同位角相等，两直线平行）.

方法归纳：本题主要考查了平行线的判定方法. 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.

易错误区：第（2）题中虽然有∠ EOM与∠ FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.

例4、如图，∠ ABD和∠ BDC的平分线交

E，BE的延长线交CD于点F，∠ 1+∠2=90°.

于点

（1）求证：AB∥ CD；

（2）试探究∠ 2 与∠3 的数量关系.

思路点拨：（1）根据BE，DE分别平分∠ ABD，∠BDC，且∠ 1+∠2=90°，可得∠ ABD+∠ BDC=180°，

根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据∠ 1+∠ 2=90°，可得∠ BED=90°，从而可得∠

3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠ 3与∠2 的数量关系

解题过（1）证明：∵ BE，DE分别平分∠ ABD，∠ BDC，

11 ∴∠1= ∠ ABD，∠ 2= ∠BDC.

22 ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ ABD+∠ BDC=180° . ∴ AB∥ CD（同旁内角互补，两直线平行）. （2）∵ DE平分∠ BDC，∴∠ 2=∠ FDE. ∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ BED=∠ DEF=90°. ∴∠ 3+∠ FDE=90°. ∴∠ 2+∠3=90°. 方法归纳：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，注意题中各角之间的数量关系要理清楚.

易错误区：第（2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠2=∠3.

例5、如图1，已知∠ EAC=90°，∠ 1+∠2=90°，∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4. 求证：

（1）DE∥BC；

2）若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，1）中的结论是否成立？若成立，请选择一

个图形予以证明；若不成立，

思路点拨：（1）首先证明∠ 1+∠3+∠ 2+∠4=180°，进而证明∠ D+∠B=180°，即可解决问题；（2）在图 2 中，连结CE，证明∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°，即可解决问题. 解题过程：（1）如图1，∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，

∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠ 4=2（∠ 1+∠2）.

∵∠ 1+∠ 2=90°，

∴∠ 1+∠ 3+∠ 2+∠4=180°.

∵∠ D+∠ B+∠ 1+∠3+∠2+∠4=360°，

∴∠ D+∠ B=180° .

∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

（2）成立. 如图，连结EC.

∵∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠4，且∠ 1+∠2=90°，

∴∠ 3+∠ 4=∠ 1+∠2=90°.

∵∠ EAC=90°，

∴∠ AEC+∠ACE=180° -90 °=90°.

∴∠ AEC+∠ACE+∠3+∠ 4=180°. ∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）∴（1）中的结论仍成立.

图 3 用类似方法可得DE∥ BC.

方法归纳：本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三

角形三个内角和等于180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答

易错误图 2 通过连结EC将∠3 和∠ 4的关系用三角形联系起来是本题

探究提升

例、三条直线两两相交于三点（如图1），共有几对对顶角？几

对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线两

两相交呢（如图2）？你能发现n 条直线两两相