四边简支弯曲振动方形薄板辐射阻抗的研究
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动
均匀热环境下四边固支矩形PCB薄板的自由振动高军;黄再兴【摘要】表面贴装形式中PCB板可简化为四边固支矩形薄板.基于刚性板的小挠度理论,推导了热载下四边固支矩形PCB薄板的自由振动微分方程.从微分方程中得出,热载下的PCB薄板等效于面内受均布张力的薄板,进而通过结构力学方法将热载下四边固支薄板振动问题转换为受面内均布张力固支薄板振动问题.利用虚位移理论,得出了温度沿厚度均匀线性变化的热载下四边固支矩形PCB薄板固有频率和自由振动的挠度值的计算方法.讨论了热载下温度、薄板的几何尺寸对矩形PCB薄板自由振动固有频率的影响.结论可为矩形PCB薄板在热载下的振动分析以及固有频率计算提供方法上的参考.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(033)012【总页数】5页(P75-79)【关键词】PCB矩形薄板;热环境;四边固支;微分方程;固有频率【作者】高军;黄再兴【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016【正文语种】中文【中图分类】O343表面贴装技术(SMT)以其成本低、集成度高、电子组件重量轻、易于自动化等优点广泛应用于微电子电路[1-2]。
影响表面贴装电子产品可靠性的主要环境因素是热和振动冲击,特别是在环境振动和热载荷的复杂环境下，两类载荷共同影响贴装形式元器件的内力情况，导致振动产生的动态应力和热疲劳应力相互叠加引起封装的失效，从而影响整个封装形式可靠性与寿命。
同时，这两种载荷相互间产生耦合，并非仅仅只表现为两种载荷作用的简单叠加。
目前，已发现大型的工作站随工作温度升高到一定程度会产生共振，从而会影响其正常工作。
明显地，这是由热环境温度的变化导致封装结构固有频率改变带来的问题。
该问题涉及封装结构固有频率与环境温度的相互耦合，但目前还缺乏定量的研究。
已有学者分别对振动和热环境下表面贴装形式电子元器件的结构和可靠性进行了一些研究[3-6]。
薄板结构振动声辐射特性分析及优化
第１８卷第４期２０２０年８月福建工程学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｊｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ.１８Ｎｏ.４Ａｕｇ.２０２０ｄｏｉ:１０.３９６９/ｊ.ｉｓｓｎ.１６７２－４３４８.２０２０.０４.０１３薄板结构振动声辐射特性分析及优化刘成武ꎬ郭小斌(福建工程学院机械与汽车工程学院ꎬ福建福州３５０１１８)摘要:利用有限元法与边界元法结合对薄板进行振动声辐射特性分析ꎬ研究了薄板结构在简谐力作用下表面声压分布状况ꎬ分析了不同边界条件㊁材料以及加筋形式等因素对薄板结构振动声辐射特性的影响ꎬ并对简支矩形薄板厚度进行了优化ꎮ研究表明ꎬ边界约束的增加会导致薄板刚度变大ꎬ进而导致薄板辐射声功率与辐射效率随之改变ꎻ不同材料对结构的辐射声功率均有影响ꎬ而对辐射效率影响很小ꎻ加筋对薄板声辐射特性影响显著ꎬ十字型加筋形式减震降噪效果最好ꎻ对薄板厚度进行优化ꎬ优化后薄板辐射声功率级下降了４.２９ｄＢꎮ关键词:薄板ꎻ振动声辐射ꎻ辐射声功率ꎻ辐射效率中图分类号:ＴＢ５３２文献标志码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１６７２－４３４８(２０２０)０４－０３７５－０６ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｖｉｂｒａｔｉｏｎａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅＬＩＵＣｈｅｎｇｗｕꎬＧＵＯＸｉａｏｂｉｎ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇꎬＦｕｊｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙꎬＦｕｚｈｏｕ３５０１１８ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｗａｓｅｍｐｌｏｙｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｖｉ￣ｂｒａｔｉｏｎａｎｄａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｔｈｉｎｐｌａｔｅ.Ｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆａｃｏｕｓｔｉｃｐｒｅｓｓｕｒｅｏｎｔｈｅｓｕｒ￣ｆａｃｅｏｆａｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｕｂｊｅｃｔｅｄｔｏｈａｒｍｏｎｉｃｆｏｒｃｅｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ.Ｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｓｕｃｈｆａｃｔｏｒｓａｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓꎬｍａｔｅｒｉａｌｓａｎｄｓｔｉｆｆｅｎｅｄｔｙｐｅｓｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗａｓａｎａｌｙｚｅｄꎬａｎｄｔｈｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｏｆｔｈｅｓｉｍｐｌｙ￣ｓｕｐｐｏｒｔｅｄｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｐｌａｔｅｗａｓｏｐｔｉｍｉｚｅｄ.Ｒｅ￣ｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｓｔｉｆｆｎｅｓｓｏｆｔｈｅｔｈｉｎｐｌａｔｅｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｉｔｈａｎｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｓｔｒａｉｎｔꎬｗｈｉｃｈｆｕｒｔｈｅｒａｆ￣ｆｅｃｔｓｔｈｅｒａｄｉａｔｉｏｎｐｏｗｅｒａｎｄｒａｄｉａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙａｃｃｏｒｄｉｎｇｌｙ.Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍａｔｅｒｉａｌｓｃａｎａｆｆｅｃｔｔｈｅｒａｄｉａｔｉｏｎｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｏｆｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅꎻｈｏｗｅｖｅｒꎬｔｈｅｙｈａｖｅｌｉｔｔｌｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｎｔｈｅｒａｄｉａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ.Ｔｈｅｓｔｉｆｆｅｎｉｎｇｈａｓａｓｉｇ￣ｎｉｆｉｃａｎｔｅｆｆｅｃｔｏｎｔｈｅａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｔｈｅｔｈｉｎｐｌａｔｅꎬａｎｄｔｈｅｃｒｏｓｓ￣ｓｔｉｆｆｅｎｅｄｐｌａｔｅｓｈａｖｅｂｅｅｎｐｒｏｖｅｎｔｏｂｅｔｈｅｂｅｓｔｓｈｏｃｋａｎｄｎｏｉｓｅａｂｓｏｒｂｅｒｓ.Ａｆｔｅｒｔｈｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｌａｔｅꎬｔｈｅｌｅｖｅｌｏｆｔｈｅｒａｄｉａｔｅｄｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｉｓｄｅｃｒｅａｓｅｄｂｙ４.２９ｄＢ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｔｈｉｎｐｌａｔｅｓꎻｖｉｂｒａｔｉｏｎａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎꎻａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｐｏｗｅｒꎻｒａｄｉａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ㊀㊀在实际工程应用中ꎬ板类件由于其结构简单㊁适用性强被广泛使用ꎮ因此ꎬ研究板类件的振动声辐射特性对于结构的减振降噪有着重要意义ꎮ文献[１－３]对薄板声辐射理论进行了研究ꎬ为进一步对声辐射特性分析奠定了理论基础ꎮ张媛媛等[４－６]根据理论公式利用ＭＡＴＬＡＢ编程研究了作用力位置㊁尺寸参数等因素对薄板声辐射特性的影响ꎮ刘宝等[７]以混合势计算结构表面振速与声压ꎬ并以简支矩形板为例分析了板厚对声辐射参数的影响ꎬ但对其他边界条件情况没有分析ꎮ收稿日期:２０２０－０３－０４基金项目:福建省自然科学基金项目(２０１８Ｊ０１６２８)第一作者简介:刘成武(１９７５ )ꎬ男ꎬ安徽枞阳人ꎬ教授ꎬ博士ꎬ研究方向:车辆ＮＶＨ技术㊁结构多学科设计优化ꎮ福建工程学院学报第１８卷范鑫等[８]利用声学软件Ｖｉｒｔｕｒａｌ.ＬａｂＡｃｏｕｓｔｉｃａｌ对蜂窝层板进行声辐射特性仿真分析ꎬ并对面板厚度㊁壁长等设计变量对传声性能的影响进行了研究ꎮ上述文献完善了薄板振动声辐射的理论ꎬ并对声辐射特性进行了研究ꎬ但还不够全面充分ꎬ如:不同材料㊁边界条件㊁使用加强筋等情况未考虑ꎮ本文在上述文献的基础上ꎬ利用有限元法计算薄板的振动响应ꎬ结合边界元方法计算薄板声辐射特性ꎬ主要研究了不同边界条件㊁材料属性和薄板加筋㊁不同加筋形式情况下结构声辐射特性的变化规律并对矩形简支薄板在某一厚度进行了优化ꎬ为实际工程应用提供方法与理论指导ꎮ１㊀薄板振动有限元理论设薄板长为ａ㊁宽为ｂꎬ厚度为ｌꎬ横向振动位移为ωꎮ薄板横向振动平衡方程为:∂４ω∂ｘ４＋２∂４ω∂ｘ２∂ｙ２＋∂４ω∂ｙ４＝ｐ(ｘꎬｙ)Ｄ(１)式中Ｄ＝Ｅｈ３１２(１－μ２)为弯曲刚度矩阵ꎬＥ为材料的弹性模量ꎬμ为材料的泊松比ꎬｐ(ｘꎬｙ)为薄板自由振动时的惯性载荷ꎮｐ(ｘꎬｙ)可表示为:ｐ(ｘꎬｙ)＝－ρｔ∂２ω∂２ｔ(２)把式(２)带入式(１)使用分离变量法ꎬ可得薄板自由振动方程为ＤÑ４ω＋ρｈ∂２ω∂２ｔ＝０(３)式中ρ为材料的密度ꎬÑ４为微分算子ꎮÑ４＝∂２∂２ｘ＋∂２∂２ｙæèçöø÷２(４)对于四边简支矩形薄板由于其结构简单固有频率精确解析解为ω＝π２Ｄρｈｍ２ａ２＋ｎ２ｂ２æèçöø÷(５)２㊀薄板声辐射理论假设薄板位于刚性障板上ꎬ薄板障板尺寸远大于薄板ꎬ设薄板的表面积为Ｓꎬ传播介质为空气ꎬ当薄板在圆频率ω下振动ꎬ该板薄板表面声压为:Ｐ(Ｌꎬω)＝ｊｋρ０ｃ２π∬Ｖ(Ｑꎬω)ｅ－ｉｋｒｒｄＳ(Ｑ)(６)式中ꎬｊ为虚数单位ꎬρ０为空气密度ꎬｃ为空气声速ꎬｋ＝ω/ｃ为波数ꎬＶ(Ｑꎬω)为薄板表面法向振速ꎬＬ为场点ꎬＱ为源点ꎬｒ为两点距离ꎮ假设薄板表面是由无限多个面单元组成ꎬ经单元离散后ꎬ结构表面辐射阻抗Ｒ可以表示为Ｒｍｎ＝ｋ２(ΔＳ)２ρｃ４π(７)已知薄板表面辐射阻抗ꎬ薄板总的辐射声功率为[９]:Ｗ＝ＮＨＲＮ(８)式中Ｒ为辐射阻抗矩阵ꎬＮ为薄板各小面积单元上法向振速组成的Ｍ阶列向量ꎮ根据辐射效率公式ꎬ可知薄板声辐射效率为σｍｎ＝Ｗｍｎρｃａｂ‹ｖ２›(９)式中<ｖ２>为均方根振速ꎮ３㊀数值仿真设一矩形薄板长㊁宽分别为１.０ｍ和０.８ｍꎬ材料为钢材ꎬ弹性模量为Ｅ＝２１１ＧＰａꎬ泊松比为０.３ꎬ密度为７８３０ｋｇ/ｍ３ꎮ３.１㊀薄板的自由振动计算薄板边界条件设为四边简支ꎬ薄板厚度设为０.００３ｍꎬ运用ＭＡＴＬＡＢ对其精确解析式进行编程求其结果ꎬ与ＡＢＡＱＵＳ数值仿真结果进行对比ꎬ验证有限元仿真计算的准确性ꎮ计算结果如表１所示ꎮ表１㊀四边简支矩形薄板前８阶固有频率Ｔａｂ.１㊀Ｔｈｅｆｉｒｓｔｅｉｇｈｔｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｓｉｍｐｌｙ￣ｓｕｐｐｏｒｔｅｄｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｗｉｔｈｆｏｕｒｅｄｇｅｓ阶数频率/ＨｚＭＡＴＬＡＢＡＢＡＱＵＳ１１８.９３１８.９８２４１.１５４１.２４３５３.７４５３.８６４７５.９２７６.０６５７８.４２７８.５９６１１２.３２１１２.５６７１１３.１４１１３.２０８１３１.１０１３１.３５从表１可以看出ꎬ用ＭＡＴＬＡＢ编程与ＡＢＡＱＵＳ仿真计算所得固有频率结果基本一致ꎮ通过结果对比ꎬ证明使用ＡＢＡＱＵＳ进行薄板结构振动分析６７３第４期刘成武ꎬ等:薄板结构振动声辐射特性分析及优化完全可靠㊁准确ꎮ３.２㊀薄板的声辐射特性分析假设薄板的传播介质为空气ꎬ密度为１.２２５ｋｇ/ｍ３ꎬ声音传播速度为３４０ｍ/ｓꎬ板厚为６ｍｍꎬ约束条件为四边简支ꎮ采用基于模态的稳态动态分析计算薄板在简谐作用力下的薄板表面振动速度ꎬ再联合Ｖｉｒｔｕｒａｌ.Ｌａｂ计算薄板辐射声功率㊁辐射声效率以及表面声压分布等薄板声学特性指标ꎬ前４阶薄板结构表面声压如图１所示ꎮ图１㊀矩形薄板前４阶表面声压分布Ｆｉｇ.１㊀Ｓｕｒｆａｃｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｏｕｎｄｐｒｅｓｓｕｒｅｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｆｏｕｒｏｒｄｅｒｓｏｆｔｈｅｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｔｈｉｎｐｌａｔｅ从图１可以看出ꎬ四边简支矩形薄板表面声压分布与结构振型图形状相似ꎬ这也说明了薄板在振动幅值峰值处声辐射最大ꎬ两者具有一致性ꎬ在考虑薄板减振降噪时也应考虑薄板的声辐射特点ꎬ在振动峰值处应特别注意ꎮ３.３㊀边界条件对薄板声辐射特性影响在实际工程中ꎬ不同边界条件会被应用在各种结构ꎮ四边简支㊁四边固支两种边界条件薄板前四阶固有频率如表２ꎮ结构辐射的声功率级和声辐射效率分别如图２㊁图３所示ꎮ表２㊀不同边界条件前４阶固有频率对比Ｔａｂ.２㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｆｏｕｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ阶数频率/Ｈｚ四边固支四边简支１７０３８２１２３８２３１６１１０８４２１０１５２图２㊀不同边界条件下薄板辐射声功率级Ｆｉｇ.２㊀Ｒａｄｉａｔｉｏｎｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｏｆｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ㊀㊀根据图２可以看出ꎬ在外部条件一定情况下ꎬ四边简支薄板辐射的声功率级低于四边固支边界条件下声辐射功率级ꎮ主要原因是四边固支薄板约束的增加对薄板刚度的增大效果明显ꎬ即改变边界条件ꎬ相当于改变了结构的刚度ꎬ结构的辐射声功率随之受到影响ꎮ从图３可以看出ꎬ边界条件的不同ꎬ薄板辐射效率也明显不一样:在相同激励力条件下ꎬ由于四边固支薄板刚度增加ꎬ固有频率相应增加ꎬ四边固７７３福建工程学院学报第１８卷支辐射效率相比四边简支向右偏移ꎬ但整体趋势是四边固支薄板辐射效率高于四边简支辐射效率ꎮ图３㊀不同边界条件薄板声辐射效率Ｆｉｇ.３㊀Ａｃｏｕｓｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｉｎｐｌａｔｅｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ３.４㊀不同材料对薄板振动声辐射的影响在实际工程应用中ꎬ钢与铝是应用最广泛的两种材料ꎬ对这两种材料探究在相同尺寸㊁外部激励相同条件下振动与声辐射特性具有重要实际意义ꎮ两种材料的基本参数如表３所示ꎮ表３㊀铝板与钢板基本参数Ｔａｂ.３㊀Ｂａｓｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆａｌｕｍｉｎｕｍｐｌａｔｅｓａｎｄｓｔｅｅｌｐｌａｔｅｓ材料长/ｍ宽/ｍ高/ｍｍ弹性模量/ＧＰａ密度/(ｋｇ ｍ－３)泊松比钢板１.００.８６.０２１１７８３００.３０铝板１.００.８６.０７０２７０００.３３为了保证结果的可参考性ꎬ两种材料薄板均采用四边简支边界条件ꎬ外部激励力幅值均为５００Ｎꎬ频率范围设为２０~６００Ｈｚꎬ力作用点坐标为(０.２２ｍꎬ０.２８ｍ)ꎮ利用ＬＭＳＶｉｒｔｕｒａｌ.Ｌａｂ对两种材料薄板进行声学分析ꎬ获得的两种不同材料的辐射声功率级和辐射效率如图４㊁图５所示ꎮ由图４可以看出ꎬ针对铝和钢两种材料ꎬ在结构尺寸参数㊁边界条件㊁激励位置和大小相同情况下ꎬ在２０~６００Ｈｚ频率范围内铝板辐射声功率大于钢板辐射声功率ꎮ同时ꎬ在薄板固有频率处会出现一个辐射声功率的峰值ꎮ由此得出ꎬ不同材料所辐射的声功率差别很大ꎬ在实际工程应用中要考虑材料对设备声学性能的影响ꎮ图４㊀钢板和铝板的辐射声功率级Ｆｉｇ.４㊀Ｒａｄｉａｔｉｏｎｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｓｏｆｓｔｅｅｌｐｌａｔｅｓａｎｄａｌｕｍｉｎｕｍｐｌａｔｅｓ图５㊀铝板和钢板辐射效率Ｆｉｇ.５㊀Ｒａｄｉａｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆａｌｕｍｉｎｕｍｐｌａｔｅｓａｎｄｓｔｅｅｌｐｌａｔｅｓ图５表明ꎬ在一定条件下ꎬ钢板㊁铝板两种材料效率在２０~６００Ｈｚ频率段声辐射效率曲线几乎完全重合ꎮ说明矩形薄板结构的声辐射效率与结构材料没有关系ꎬ即结构噪声的辐射效率与材料本身属性无关ꎬ而对结构辐射的声功率有明显影响ꎮ４㊀加筋对薄板声辐射特性的影响以基板为参考对象ꎬ探讨加筋对薄板声学特性的影响ꎮ边界条件相同均为四边简支ꎬ激励力为１００Ｎꎬ作用在部件中心位置ꎮ利用ＡＢＡＱＵＳ对基板与单道加筋板进行谐响应分析ꎬ分别提取两者表面振动速度ꎬ导入ＬＭＳＶｉｒｔｕｒａｌ.Ｌａｂ中进行声学分析ꎬ声学求解范围为１０~６００Ｈｚꎬ步长为窄频５Ｈｚꎮ得到两者辐射声功率级与辐射效率的对比结果如图６所示ꎮ由图６可以看出ꎬ加筋对减低薄板声功率有８７３第４期刘成武ꎬ等:薄板结构振动声辐射特性分析及优化图６㊀基板与加筋板辐射声功率级与声辐射效率Ｆｉｇ.６㊀Ｒａｄｉａｎｔｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｓａｎｄｒａｄｉａｎｔｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｂａｓｅｐｌａｔｅａｎｄｓｔｉｆｆｅｎｅｄｐｌａｔｅ显著效果ꎬ从２００Ｈｚ以后加筋板辐射声功率就低于基板ꎬ且在同一频率处最大相差１０ｄＢꎮ随着频率的升高ꎬ加筋板的峰值随之向右移动ꎮ在声辐射效率方面ꎬ加筋板辐射效率高于基板ꎬ且相应峰值相差很大ꎮ５㊀不同加筋形式对薄板声辐射特性的影响㊀㊀为了探讨筋条布置形式对板结构声辐射的影响ꎬ拟通过对板结构分别添加沿长度方向的 二字型 加筋板ꎬ 十字型 加筋板ꎬ Ｘ字型 加筋板来对板结构的声辐射特性进行研究ꎮ不同加筋形式对薄板结构表面辐射声功率和辐射效率的影响如图７所示ꎮ由图可知ꎬ不同加筋形式筋板的声功率级的变化趋势基本一致ꎮ但从整个频率范围来看十字型加筋板辐射声功率级较低ꎬ相比其他两种加筋形式声功率级比较稳定ꎮ从辐射声效率图中可以发现在第一个峰值处十字型加筋板最高ꎬＸ字型次之ꎬ二字型最低ꎮ且Ｘ字型加筋形式有两个显著波峰ꎬ随着频率增加三种加筋形式声辐射效率均有上升趋势ꎮ图７㊀不同加筋形式辐射声功率级与辐射声效率Ｆｉｇ.７㊀Ｒａｄｉａｔｉｎｇｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｓａｎｄｒａｄｉａｔｉｎｇｓｏｕｎｄｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｔｉｆｆｅｎｅｄｆｏｒｍｓ６㊀薄板声辐射特性优化矩形薄板为例ꎬ薄板长㊁宽分别为１.０ｍ和０.８ｍꎬ厚度为０.００６ｍꎬ约束条件为四边简支ꎬ材料的弹性模量Ｅ＝２１１ＧＰａꎬ泊松比为０.３ꎬ密度为７８３０ｋｇ/ｍ３ꎮ以薄板厚度为设计参数ꎬ薄板第一阶固有频率为约束条件ꎬ声功率级最小为优化目标ꎮ薄板厚度在５~７ｍｍ内以间隔０.２ｍｍ分别对其进行声辐射分析ꎬ各种板厚声功率级如图８所示ꎮ由３.３节可知ꎬ四边简支薄板第一阶固有频率为３８Ｈｚꎮ在３８Ｈｚ处薄板辐射声功率级如表４所示ꎮ９７３福建工程学院学报第１８卷图８㊀不同板厚声功率级Ｆｉｇ.８㊀Ｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｌａｔｅｔｈｉｃｋｎｅｓｓｅｓ表４㊀一阶固有频率处薄板辐射声功率级Ｔａｂ.４㊀Ｒａｄｉａｔｉｎｇｓｏｕｎｄｐｏｗｅｒｌｅｖｅｌｓｏｆｔｈｅｔｈｉｎｐｌａｔｅａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙ板厚/ｍｍ声功率级/ｄＢ５.２１３８.６２５.４１３８.６５５.６１３２.７８５.８１４２.６８６.０１３２.１０６.２１３６.７４６.４１２７.８１６.６１３３.２３６.８１３６.５７㊀㊀由图８可以看出ꎬ随着薄板厚度的增加ꎬ薄板辐射声功率级曲线逐渐向右移动ꎬ但曲线趋势基本相同ꎮ由表４可以看出ꎬ当板的厚度选取为６.４ｍｍ时ꎬ在一阶固有频率处薄板辐射声功率级最小ꎬ相比初始薄板厚度６.０ｍｍꎬ辐射声功率级下降了４.２９ｄＢꎮ７㊀结论１)四边固支薄板与四边简支薄板相比ꎬ增加边界条件约束ꎬ相当于增大了结构刚度ꎬ造成结构辐射声功率级变大ꎬ辐射能量升高ꎮ材料属性的改变对结构辐射声功率级有很大影响ꎬ对辐射效率影响可以忽略不计ꎮ２)加筋对薄板声辐射功率及声辐射效率有显著影响ꎬ加筋能降低薄板辐射声功率ꎬ而声辐射效率高于未加筋薄板ꎮ通过对比３种不同加筋形式薄板ꎬ十字加筋板的减震降噪效果优于Ｘ字型和二字型加筋板ꎮ３)通过对薄板厚度进行优化ꎬ薄板辐射声功率级从１３２.１ｄＢ下降到１２７.８１ｄＢꎬ下降了４.２９ｄＢꎬ优化效果显著ꎮ参考文献:[１]任惠娟ꎬ盛美萍.矩形薄板的模态声辐射效率[Ｊ].机械科学与技术ꎬ２０１０ꎬ２９(１０):１３９７－１４００.[２]刘宝ꎬ王德石ꎬ朱拥勇.障板对于平板声辐射特性的影响分析[Ｊ].噪声与振动控制ꎬ２０１８ꎬ３８(３):２６－３０ꎬ４１. [３]高宏林ꎬ黎胜ꎬ孟春霞.改进的半空间频率均方声压法计算结构频带振动声辐射[Ｊ].声学学报ꎬ２０１９ꎬ４４(１):１０６－１１５. [４]张媛媛ꎬ沈火明.基于Ｍａｔｌａｂ板的振动响应与声辐射研究[Ｊ].重庆理工大学学报(自然科学版)ꎬ２０１４ꎬ２８(８):３４－３８. [５]王宇星ꎬ沈火明.薄板声辐射特性的数值模拟与分析[Ｊ].应用数学和力学ꎬ２０１４ꎬ３５(Ｓ１):２３６－２４０. [６]赵峰.矩形板声振特性研究[Ｄ].大连:大连理工大学ꎬ２０１８.[７]刘宝ꎬ王德石ꎬ周奇郑.板厚对无障薄板声辐射特性影响的分析[Ｊ].声学学报ꎬ２０１７ꎬ４２(５):５９３－６００. [８]范鑫ꎬ崔洪宇ꎬ洪明.基于Ｖｉｒｔｕａｌ.ＬａｂＡｃｏｕｓｔｉｃｓ的蜂窝夹层板结构传声特性分析[Ｊ].噪声与振动控制ꎬ２０１７ꎬ３７(４):３４－３９ꎬ６８.[９]李双ꎬ陈克安.基于振动模态和声辐射模态的结构声辐射分析[Ｃ]ʊ中国声学学会２００６年全国声学学术会议论文集.厦门ꎬ２００６:３０５－３０６.(责任编辑:方素华)０８３。
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》范文
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》篇一一、引言随着现代科技和工程应用的快速发展，对材料力学性能的研究显得尤为重要。
在各种工程结构中，弹性地基上四边自由的矩形薄板是一种常见的结构形式。
本文将针对这种结构在正交各向异性条件下的弯曲问题，采用辛叠加解法进行求解。
二、问题描述考虑一个四边自由的正交各向异性矩形薄板，其放置在弹性地基上。
该板受到外力作用，产生弯曲变形。
我们需要求解在给定外力作用下，板的弯曲响应及变形情况。
三、基本理论辛叠加解法是一种基于辛几何的求解方法，适用于解决弹性力学中的问题。
该方法通过将问题的辛结构进行分离，然后分别求解各个部分的贡献，最后进行叠加得到总解。
四、模型建立1. 假设板的材料为正交各向异性材料，其弹性常数和密度等参数已知。
2. 建立板的弯曲方程，包括地基对板的支持力、板自身的应力分布等因素。
3. 考虑板的四边自由条件，即板的边界不受到外力的约束。
五、辛叠加解法应用1. 将弯曲方程的辛结构进行分离，分别得到各部分对板的贡献。
2. 对每一部分采用辛叠加解法进行求解，得到每一部分的解。
3. 将各部分的解进行叠加，得到总解。
六、结果分析1. 分析板的弯曲响应和变形情况，包括最大挠度、最大应力等参数。
2. 分析不同外力对板的影响程度及规律，包括力的方向、大小等因素对板的影响。
3. 对比不同材料的板在相同条件下的弯曲响应和变形情况，分析材料的力学性能差异。
七、结论本文采用辛叠加解法对弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题进行了求解。
通过分析结果，我们可以得到以下结论：1. 辛叠加解法可以有效地求解弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题，具有较高的精度和效率。
2. 板的弯曲响应和变形情况受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、地基的支持力、材料的力学性能等。
3. 通过对比不同材料的板在相同条件下的弯曲响应和变形情况，可以分析材料的力学性能差异，为工程应用提供参考依据。
有面内张力和剪力作用的简支各向异性平行四边形板自由振动、屈曲和弯曲的精确解
其 中各 系数 的 表 达式 由于 篇 幅 关 系 略 去 。如 有 需 要 ，
请发 Ｅ ａ 。 ｍ ｉ ｌ 考虑 ａ×ｂ的 四边 简支 平 行 四边 形板 ， 其解 可分 解 为中心对称和中心反对称两个问题 所谓中心对称就 是 ， ｕ Ｗ（ ，）＝Ｗ（ ａ—ｕ ｂ一 ， 谓 中心 反 对称 就 是 Ｗ ， ） 所 （， ｕ ）＝一Ｗ ａ—ｕｂ一 。考 虑 中心对 称 问题 ， Ｗ＝ （ ， ） 取
对于 Ｗ ， 仅对 的偏导数和包 含 ｕ的一阶或二阶的偏 导数可由（ ） ６ 式逐项微分求得 ， 包含 ｕ的三阶或 四阶的 偏导数可由（ ｂ 式逐项微分求得。对于 Ｗ 仅对 的 ９） ， 偏 导数和包含 ｕ一阶偏导数可由（ ） ６ 式逐项微分求得 ， 对 ｕ的二阶或 三 阶的偏导数 可 由， ａ 式 逐项微分求 （ ） ９ 得。把 Ｗ ， “Ｗ 的导数代人 （ ） ， ４ 式 比较 富立叶级数 的系 数得
Ｗ ＋Ｗ 。微 分方程 为
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振 动 与 冲 击
２０ ０ ６年 第 ２ ５卷
（
卜
＝ａ ｑ ａ
（） ４
等 ＝∑ ∑ （ ２ ｄ ａ ・ 一 ＋ ４ａ ＋ ）
ｃ ｓ ｕ ｏ ３Ｖ ｏ ｃｓ ／ （ ｃ ９）
Ｗ “ （ｕ ） ａ ＋２ 一 ａ Ｎ
ｄ“ ｆ『 ０ ，上 ｆ ，
９ ＿４ １ ０ｗ＋ Ｄ６ ￣
Ｏｘ
＋（ ２
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Ｏｘ ｆｙ ，
＋ Ｄ６ ４２
四边支承矩形薄板自振频率计算
ａ 四边 简支 ） ｂ 边简支， 边固支 ｃ相邻边 简支， ） 三 — ） 另相邻边 固支
在此基础上 ， 若假 定板 的挠 度不从 平 面位 置算起 ， 而从 平衡 位置算起 ， 对板 内平 行六面体进行微元 分析 ， 由平衡 条件 、 变形协
调条件和物理方程得板 的弯 曲平衡 方程式 ， 然后分 析板在 振动过
时仍然不是很方 便 。由于最低 自振频 率对应 的振 型比较易 于假
３ 能量 法
能量法是 由 Ｄ Ｃ Ｌ Ｒｙ ｉ ． ．． ａｌｇ 出的一个 计算 薄板最低 自振 ｅｈ提
我们取 Ｗ＝（ ｃｓｔ ｓ ｔ ） （ ） 代 入 方 程 （ ） 除 因子 Ａ ｏｏ 十Ｂｉｏ ， ） ｔ ｎｔ ， １消
医院 、 实验 室等 建筑 ， 特殊 过大 的楼 盖振 动可能 会导致 部 分精 密 仪器设备无法正 常工作 。因此 ， 于大跨 度楼 盖设 计 ， 对 在满 足 强 度、 变形要求 的同时 ， 还应 充分 考虑 振动舒 适度 问题 。而楼 板 自
振频率是评价楼板舒适 度的重 要指标之一 。
程 中的动力平衡 ， 可得板 的 自由振动微分方程 … ：
Ｄｏ ＋ ＋ Ｄ三 ＋ ｗ Ｄ － ２
Ｏ ｘ
Ｌ ３
： ０
ａ‘ ｔ
（） １
ｄ 一对边简支。 ） 一对边 固支
暖 田 嗫
ｅ 三边 固支， ） 一边简支 ｆ四边回支 ）
ａ ｆ
ａ‘ ｘ广
图 １ 不 同边界条件的支承板
一
其中 ， Ｄ＝
ｌ
， 分 别 为板 的弹 性模 量 和泊 松 比， Ｅ， ｈ
ｌ— ，
般而言 ， 假定 合适 的位移 函数 ， 利用 边界条 件可 以求 解上
阶梯圆盘
任慧娟：1、不同比率的矩形活塞声源辐射阻抗的研究在李锦的矩形活塞声源辐射声场的研究及任慧娟的方形活塞声源辐射阻抗的数值计算俩篇论文的基础上，从辐射阻抗的定义出发，推导了矩形活塞辐射阻抗的四重积分表达式，借助5个节点的高斯积分方法编程，计算了r（长宽比）不同时矩形活塞声源辐射阻抗的数值解，并绘制出辐射阻、辐射抗随及r的变化关系曲线。
结论：（1）对于比率r一定的矩形活塞，振动频率越高，活塞面积越大，其辐射组越大，因此其辐射声功率也越大。
（2）当振动频率和活塞面积均一定时，比率r越小，即活塞形状越接近正方形，其辐射阻越大，故辐射功率也越大。
（3）随着频率及活塞面积的增大，r 越小，即形状越接近正方形，辐射阻抗有峰值下降越快，因此其同振质量有峰值下降越迅速。
注意: 为了计算作用力，对ds’进行积分时θ的积分上下线。
2、四边简支弯曲振动方形薄板辐射阻抗及辐射声功率的研究论文从振速分布不均匀振动面辐射阻抗的定义出发，通过四重积分推导出了不同模态的四边简支方形薄板以中心点为振速为参考的辐射阻抗表达式，研究了弯振方形板辐射阻抗对辐射功率的影响。
结论：对于四边简支方形薄板，当中心点振速一定时在中低频段，模态越低，对应的辐射阻越大，因而辐射声功率也越大。
因此四边简支的弯振方形板的辐射声功率主要由其低模态的声功率决定。
Gallego的研究表明，由纵向振动夹心换能器与弯曲振动薄圆盘组成的复合式换能器，可与空气良好匹配，具有纵向振动换能器的高效大功率和弯曲振动圆盘的低辐射阻抗、大辐射面积等特点，但是由于弯曲振动圆盘做若干个阶圆振动时相位相反，声场产生相消干涉，一部分辐射超声被抵消，导致声效率降低。
为了提高效率本论文提出了一种改进的弯曲振动板。
在弯曲振动相位相反部分加上消声遮挡层，以阻止其向外辐射的声波而只使振动相位相同区域辐射声波，从而避免了相位相反的声波之间产生的相消干涉。
郑柯：3、改进的弯曲振动板辐射声场研究（遮挡层）从薄原板振动特性出发，提出了一种改进的弯曲振动板。
弯曲振动薄圆板的辐射效率
弯曲振动薄圆板的辐射效率任惠娟;盛美萍【摘要】通过对激励点进行面平均，研究了点简谐力激励下圆板在固定及简支边界条件下弯曲振动时的模态辐射效率及平均辐射效率，分析了圆板的厚度、阻尼损耗因子、半径及边界条件对其平均辐射效率的影响规律。
研究表明：圆板在点简谐力的激励下，其模态辐射效率及平均辐射效率在中、低频段随频率的增高而增大，而在高频段二者则均趋近于1；圆板的平均辐射效率与激励力的大小及位置无关，而由圆板的厚度、阻尼损耗因子、边界条件及半径所决定；当频率一定时，圆板的平均辐射效率在中频段随着其厚度、阻尼损耗因子的增大及半径的减小而增大，而在低频段，则随着半径的增大而增大；固定及简支边界条件下圆板在全频段的平均声辐射效率基本相同。
【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2012(000)020【总页数】5页(P121-125)【关键词】平均辐射效率;模态辐射效率;圆板【作者】任惠娟;盛美萍【作者单位】西北工业大学航海学院,西安 710072;西北工业大学航海学院,西安710072【正文语种】中文【中图分类】O42辐射效率是描述结构声辐射性能的重要参数，分为“模态辐射效率”和“平均辐射效率”两种，其中“平均辐射效率”反映了结构整体的声辐射情况，又被称为“加权辐射效率”[1]。
结构的辐射效率在声辐射研究中具有重要作用，多年来一直为众多学者所关注。
矩形板与圆板是板的两种常见的典型结构形式，矩形板的声辐射效率研究[1－4]相对比较成熟。
与矩形板相比，圆板的声辐射效率研究相对滞后并很不完善，其中圆板的模态辐射效率研究主要集中在固定边界、低阶模态及部分频段范围内，如Hansen[5]研究了边界钳定圆板的前几个低阶模态的声辐射效率;Levine[6]研究了高频段内边界钳定轴对称弯曲振动圆板的模态辐射效率;Honda[7]使用典型的薄板理论及改进的薄板理论(Mindlin板理论)研究了边界钳定并嵌在无限大障板上的圆板的模态辐射效率。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
ｔ ｈ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｕｃ ｒ ｔ ｕ ｒ ｅ ｉ ｎ ｒ ｅ ｌ ａ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ｅ ，ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｃ ｏ ｎ ｄ ｅ ｎ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ ｆ ｒ ｅ ｅ ｄ ｏ ｍ ｏ ｆ ｍａ ｓ ｓ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｉ ｆ ｆ ｎ ｅ ｓ ｓ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｇ ｒ ｅ ｅ ｓ ｏ ｆ ｆ ｒ ｅ ｅ ｄ ｏ ｍ ，Ｓ Ｏ ａ ｓ
ｔ ａ ｎｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｐｌ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕｃ ｔ ｕ ｒ ｅ，ｉ ｔ ｓ ｎ ａ ｔ ｕｒ ａ ｌ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎｃ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ， ｉ ｔ ｓ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｏ ｄｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａｓ ｅｓ ｔ ａ ｂ—
结 构振 动 的横 向 位 移 幅值 ， 利 用静 力 凝 聚 法 将 质 量 矩 阵和 刚度 矩 阵 中转 动 自由度 上 的 质 量 和 刚 度 凝 聚 到 横 向 振 动 自 由度 上 ， 以达 到 降低 模 型 阶 目的 ， 为板 结构 振 动 主动 控 制 奠 定基 础 。 ｓ ｈ ｅ ｄ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｗ ｏ—ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｂ ｅ ａ ｍ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｉｓ ｒ ｔ ｉ ｃ ｓ ｗ ｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｄ ｉ ｓ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｉｎ ｒ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ．Ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ，ｔ ｈ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ａ ｓ ｅ ｍｐ ｌ ｏ ｙ ｅ ｄ ｔ ｏ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ｅ ｍａ ｓ ｓ ｍａ —
四边简支双曲率蜂窝夹层薄壳自由振动分析
关键词 ：蜂窝夹层薄壳 ； 自由振动 ； Ｒ ｅ ｄ ｄ ｙ三阶剪 切理论 ； 固有频率
中图 分 类 号 ：Ｔ Ｂ ３ ３ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
Ｆｒ ｅ ｅ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ａ ｄｏ ｕｂ ｌ ｅ — ｃ ｕｒ ｖ ａ ｔ ｕｒ ｅ ｈｏ ｎ ｅ ｙ ｃ ｏ ｍｂ
ｓ ａ ｎｄ ｗｉ ｃ ｈ ｔ ｈ ｉ ｎ ｓ ｈｅ ｌ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ｉ ｍ ｐｌ ｙ ｓ ｕ ｐｐｏ ｒ ｔ ｅ ｄ ｂ ｏ ｕｎ ｄａ ｒ ｉ ｅ ｓ
Ｚ Ｈ Ａ Ｎ Ｇ Ｙ ｉ ｎ ｇ － ｊ ｉ ｅ ， Ｙ Ａ Ｎ Ｙ ｕ ｎ — ｈ ｕ ｉ ， Ｌ Ｉ Ｙ ｏ ｎ ｇ — ｑ ｉ ａ ｎ ｇ ， Ｊ ｉ ｅ
ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｒ ｆ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｉ ｅ ｓ ｗｅ ｒ ｅ ａ ｌ ｓ ｏ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ． Ｈｅ ｒ ｅ，ｔ ｈ ｅ ｈ ｏ ｎ ｅ ｙ ｃ ｏ ｍｂ ｃ ｏ ｒ ｅ ｏ ｆ ｈ ｅ ｘ ａ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ ｃ ｅ ｌ ｌ ｓ ｗ ａ ｓ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｅ ｄ ａ ｓ ａ ｌ ａ ｙ ｅ ｒ ｏ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｏ ｔ ｒ ｏ ｐ ｉ ｃ ｍａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ｄ ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｄ ｅ ｔ ｅ ｒ ｍｉ ｎ ｅ ｄ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ Ｇ ｉ ｂ ｓ ｏ ｎ ’ ８ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ Ｔ ｈ ｅ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｅ ｙ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｗａ ｓ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ Ｒｅ ｄ ｄ ｙ ’ ｓ ｔ ｈｉ ｒ ｄ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｉ ｎ ｆ ｌ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ｉ ｔ ｓ
简支Mindlin板的振动与声辐射研究
V ol 38No.Z1Apr.2018噪声与振动控制NOISE AND VIBRATION CONTROL 第38卷第Z1期2018年4月文章编号：1006-1355(2018)Z1-0219-05简支Mindlin 板的振动与声辐射研究张凯1，林天然1，顾元通2（1.青岛理工大学机械与汽车工程学院，山东青岛266520；2.School of Chemistry ，Physics and Mechanical Engineering ，Queensland University of Technology ，Brisbane 4001Australia ）摘要：建立基于Mindlin 厚板理论的简支矩形板振动及声辐射数学计算模型。
通过Rayleigh 积分公式计算出板结构与声场交界面的声压，进而获得求解结构表面振速的方程。
利用振动模态正交性获得结构振动与声辐射的特性参数以及声辐射阻抗与模态声辐射系数。
由于Mindlin 厚板模型考虑了板的横向剪切变形和转动惯量，其动力学计算结果比经典薄板理论更精确，在高频时更可靠。
但由于声辐射只跟板的横向振动相关，两种模型计算出来的平均辐射效率没有明显区别。
关键词：振动与波；Mindlin 板；Rayleigh 积分；模态辐射系数；声辐射特性中图分类号：TB132文献标志码：ADOI 编码：10.3969/j.issn.1006-1355.2018.Z1.046Vibration and Sound Radiation of Mindlin PlatesKAI Zhang 1,TIAN Ranlin 1,GU Yuantong 2(1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Qingdao University of Technology,Qingdao 266520,Shandong China;2.School of Chemistry,Physics and Mechanical Engineering,Queensland University of Technology,Brisbane 4001Australia )Abstract :An analytical solution for the prediction of vibration response and sound radiation of a simply supported rectangular plate based on Mindlin thick plate theory is presented in this paper.The study made use of Rayleigh integral formula to link the sound pressure at the interface with the out-of-plane vibration velocity of the plate.The vibration response and sound radiation of the plate subject to a point force excitation are then obtained using a modal expansion solution.The solution further leads to modal sound radiation impedance and radiation coefficient.It is shown that the vibration response calculated using Mindlin thick plate model is more accurate than that calculated using the classical Kirchhoff-Love thin plate model,particularly at higher frequencies.However,both plate models yield a similar sound radiation efficiency across the frequency range since only plate bending vibration is responsible for the plate sound radiation.Keywords :vibration and wave;Mindlin thick plate;Rayleigh integral;modal sound radiation coefficient;radiation impedance板壳结构广泛应用于航空航天、轨道交通、船舶与海洋工程等领域，其振动声学特性及传播直接影收稿日期：2018-03-05基金项目：国家自然科学基金海外合作基金资助项目（51628501）作者简介：张凯（1990-），男，山东省滕州市人，博士生，主要研究方向为结构声学。
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1.基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的:1)板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2)板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3)板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起.而从平衡位置算起.对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程⑴：D —— + D —— + 2Z) ——— + in ——— 0 (1)a? a/ar〉厂drEh' —等式中D = ----------- ,式中：加为板的单位面积的质董；D为板的弯曲刚度分别为板的弹性12(1")模量和泊松比，h为板的厚度。
微分方程⑴的解答形式为薄板上毎一点(x, V)的挠度W =工｛A in CQSCD m t + B m sin co m t)W m(x, y)o被表示成无数多个简谐扳动下的挠度相査加，而每一个简谐振动的圆频率是另一方面，薄板在每一瞬时/的挠度, 则表示成为无数多种扳形下的挠度相叠加，而毎一种振形下的挠度是由振形函数W IH(x,y)表示的，为求出各•种振形下的振形函数叱以及与之相应的圆频率，我们取w = (4cos6X + 3sinef)W(x,y)代入方程(1)消2.边界条件扳形函数需要满足冬边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例,其相应的边界条件为：ow固定边：沿固定边的位移和转角为0,即(W)一0=0, (―)vU) = 0 :简支边：沿简支边的位移和弯矩为0, 即叫“，(話)y自由边：沿自由边的弯矩和剪■力为0,对于四边支承板有如下6中不同边界条件:一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
一般边界条件下矩形薄板振动声辐射特性分析
一般边界条件下矩形薄板振动声辐射特性分析朱理;范鑫;庞福振;缪旭弘【摘要】Based on the theory of plates, a new method called Improved Fourier Series Method (IFSM) is presented to study the vibration and acoustic characteristics of rectangular plates with arbitrary boundary conditions. The plate admissible functions is presented, which is invariantly sought as an improved Fourier cosine series, and a sine series is introduced to overcome the discontinuities of the structure. And then the Lagrange equation is established according to the principle of the minimum potential energy. Finally, by us-ing the Rayleigh-Ritz technique the vibration characteristics can be easily acquired. Under these circum-stances, with the help of Rayleigh integral formula, the expressions of sound pressure and acoustic power are derived. The effects of structural parameters and boundary conditions that have great impact on the acous-tic radiation are also studied. The comparisons among numerical simulation results, which obtained with FEM and reposed in literatures, validate the correctness of the method.%基于改进傅立叶级数方法，将矩形板振型函数表示为包含正弦三角级数的改进傅立叶级数，从而有效地克服结构在边界处存在的不连续性，建立了一般边界条件下矩形薄板结构振动声辐射的分析方法，并对薄板结构的振动声辐射特性进行了研究。
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》范文
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》篇一一、引言在工程和力学领域，弹性地基上四边自由的矩形薄板弯曲问题是一个重要的研究课题。
该问题涉及到正交各向异性的材料特性，需要求解在外部载荷作用下板的弯曲响应。
传统的解析方法往往难以处理此类复杂问题，因此，本文将采用辛叠加解法来求解这一问题。
辛叠加解法是一种有效的数值方法，能够处理复杂的边界条件和材料特性。
二、问题描述考虑一个四边自由的矩形薄板，其材料具有正交各向异性的特性，放置在弹性地基上。
当受到外部载荷作用时，板会发生弯曲变形。
我们的目标是求解这一弯曲问题的位移场和应力场。
三、辛叠加解法原理辛叠加解法是一种基于辛几何的数值方法，能够处理复杂的边界条件和材料特性。
该方法通过将板的弯曲问题转化为一个辛空间中的问题，然后利用辛空间的性质来求解。
在辛空间中，板的位移场和应力场可以表示为一系列基本解的叠加。
四、基本解的推导为了求解四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题，我们需要推导出一系列基本解。
这些基本解包括在各种边界条件下的位移场和应力场。
推导过程需要利用弹性力学和辛几何的相关知识，通过求解偏微分方程和边界条件来得到基本解。
五、辛叠加解的构建得到基本解后，我们可以利用辛叠加解法来构建四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题的解。
根据板的实际边界条件和外部载荷，我们可以将基本解进行叠加，得到板的位移场和应力场。
这一过程需要考虑到板的正交各向异性特性以及弹性地基的影响。
六、数值计算与结果分析利用辛叠加解法，我们可以对四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题进行数值计算。
通过改变板的尺寸、材料特性、边界条件和外部载荷等因素，我们可以得到一系列的结果。
对这些结果进行分析，可以了解板在各种情况下的弯曲特性和应力分布。
七、结论本文利用辛叠加解法求解了弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题。
通过推导基本解和构建辛叠加解，我们得到了板的位移场和应力场。
第十五章 薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
kn
D kn
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
kx W Yk sin a
x
其中 Y k 是待定的 y的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4W 4W 0
y
得出常微分方程
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
k 1 k 1
在这里，薄板上每一点 ( x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时 t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wk(x，y)表示 的。
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
当k＝n＝1时，得到薄板的最低自然频率
简支任意四边形板的弯曲,稳定和振动的Navier解法
简支任意四边形板的弯曲,稳定和振动的Navier解法
王磊;蔡松柏
【期刊名称】《湖南大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1989(016)001
【摘要】本文将Navier提出的矩形板弯曲问题的双三角级数解法推广到变厚度的任意四边形板的弯曲,稳定和振动问题,文中采用的坐称变换,方程降阶以及使用特殊函数等技巧使得问题的求解变得简浩,同时也成功克服了常规的位移方法满足简支边力边界条件的困难,对梯形和平行四边形板的算例表明本文方法可靠,级数收敛快,精度较高,计算量小,程序易编制等优点。
【总页数】11页(P104-114)
【作者】王磊;蔡松柏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O343.1
【相关文献】
1.有面内张力和剪力作用的简支各向异性平行四边形板自由振动、屈曲和弯曲的精确解 [J], 王克林;刘俊卿
2.一对边简支、一对边自由的平行四边形板弯曲问题的摄动变分解 [J], 周倜;周志红;
3.周边简支平行四边形板弯曲问题的渐近分析 [J], 周倜;王洪元;
4.板内附着任意个弹性质量的两对边简支矩形板的横向振动 [J], 周叮
5.广义康托洛维奇法解任意四边形板的弯曲问题 [J], 陈军;李兰芬;龙述尧
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四边任意支承条件下弹性矩形薄板弯曲问题的解析解
四边任意支承条件下弹性矩形薄板弯曲问题的解析解
钟阳;张永山
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2005(22)2
【摘要】利用辛几何法推导出了四边为任意支承条件下矩形薄板弯曲的解析解。
在分析过程中首先把矩形薄板弯曲问题表示成Hamilton正则方程,然后利用辛几何方法对全状态相变量进行分离变量,求出其本征值后,再按本征函数展开的方法求出四边为任意支承条件下矩形薄板弯曲的解析解。
由于在求解过程中并不需要人为的事先选取挠度函数,而是从弹性矩形薄板弯曲的基本方程出发,直接利用数学的方法求出问题的解析解,使得这类问题的求解更加理论化和合理化。
文中的最后还给出了计算实例来验证本文方法的正确性。
【总页数】6页(P293-297)
【关键词】弹性薄板;四边任意支承;辛几何法;Hamilton正则方程
【作者】钟阳;张永山
【作者单位】大连理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TU412.64
【相关文献】
1.弹性地基上的正交异性矩形薄板弯曲问题的一般解析解 [J], 杨端生;黄炎;潘军
2.四边任意支承条件下弹性矩形厚板辛几何法解析解 [J], 钟阳;陈静云;王松岩
3.四角点支承四边自由矩形薄板屈曲问题的新解析解 [J], 杨雨诗;安东琦;倪卓凡;李锐
4.阶梯式变厚度两对边简支的矩形弹性薄板弯曲问题的解析解 [J], 王燮山
5.支座位移作用下四边支承矩形弹性薄板弯曲统一求解方法 [J], 姬鸿恩;许琪楼因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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四边简支弯曲振动方形薄板辐射阻抗的研究
任惠娟;姚展
【期刊名称】《喀什师范学院学报》
【年(卷),期】2009(030)003
【摘要】从振速分布不均匀振动面辐射阻抗的定义出发,分别推导了四边简支方形薄板不同模态的以面平均振速为参考和以中心点振速为参考的两种辐射阻抗表达式,研究了两种辐射阻抗与辐射声功率的关系.结果表明,对于振速分布不均匀的辐射面,选取不同的参考振速,辐射阻抗的绝对大小不相等,但二者在计算辐射声功率时被统一了起来,并且方形弯振薄板的辐射声功率的表达式与圆形活塞的辐射声功率表达式有着相似的形式.
【总页数】4页(P38-41)
【作者】任惠娟;姚展
【作者单位】咸阳师范学院,物理系,陕西,咸阳,712000;咸阳师范学院,物理系,陕西,咸阳,712000
【正文语种】中文
【中图分类】O422.6
【相关文献】
1.四边简支弯曲振动方形薄板辐射阻抗及辐射声功率的研究 [J], 任惠娟;姚展;贺西平;张频
2.四边简支条件下对称蜂窝夹层板的弯曲振动分析 [J], 黄须强;吕朝阳;蔡明晖;李
永强
3.带吸振器的四边简支矩形薄板受迫振动研究 [J], 仇君;王树勇;高军永;胡映宁
4.自由边界弯曲振动圆形薄板辐射阻抗研究 [J], 张频;贺西平;汪彦军
5.四边简支新型类方形蜂窝夹层结构振动特性研究 [J], 李响;王阳;童冠;陈波文;何彬
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