证明两个平面垂直的方法
证明两个平面垂直的方法
线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行于或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2。平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2。通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的。
面面垂直判定定理
定理
如果一个平面与另一个平面的垂线相交，则这两个平面相互垂直。
推论1
如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。
推论2
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可以理解为法向量垂直的平面互相垂直)
面面垂直性质定理
定理1
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面上垂直于它们的交点的直线就垂直于另一个平面。
定理2
如果两个平面互相垂直，那么垂直于第二个平面并通过第一个平面中的一点的直线在第一个平面中。
定理3
如果两个相交的平面垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个成对垂直平面的相交是成对垂直的。
定理4
如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线平行于另一个平面。(判定定理的推论1的逆定理)
推论:如果两个平面互相垂直，那么垂直于这两个平面的两条垂线互相垂直。(判定定理的推论2的逆定理)
证明两个平面垂直的条件
证明两个平面垂直的条件证明两个平面垂直的条件 在空间几何中，平面是一个基本的概念。平面由无数个点组成，可以用向量、点、法线等多种方式表示。平面可以相互平行、相互垂直，这些关系都有着重要的意义。本文将探讨一下如何证明两个平面垂直的条件。 一、两个平面垂直的定义 在空间几何中，两个平面垂直可以解释为：两个平面的法线互相垂直。即两个平面所包含的直线互相垂直，则可称之为两个平面垂直。这是飞利浦公理中的基本假设之一。 需要注意的是，两个不平行的平面可能会形成一条直线，这条直线称为二者的交线。如果两个平面的交线和两个平面的法线之一垂直，我们认为这两个平面垂直。 二、垂直平面的性质 1.相互平行的平面垂直于同一直线 如果两个平面相互平行，则垂直于其中一面的法线同时也会垂直于第二个平面，因此这两个平面垂直于同一条直线。 2.连接两个平面交线上任意一点的直线垂直于两个平面
当两个不平行的平面相交时，它们会在一条直线上相遇。我们可以通过连接这个交线上的任意一个点，然后确定一个垂直于两个平面的向量，这个向量同时也是这个点的法线。如果这个向量垂直于直线，则两个平面垂直。 三、证明两个平面垂直的条件 1.使用向量去证明 两个平面垂直，则它们的法线也垂直。我们可以通过向量的点积计算它们的法线是否垂直。设两个平面的法线分别为 a 和 b ，则两个平面垂直的条件为： a·b=0 其中，·表示向量的点积。 例如，已知平面 P ：ax+by+cz=d 和平面 Q ： lx+my+nz=p ，它们的法线向量分别为 a =(a,b,c) 和 b =(l,m,n)。这两个向量垂直当且仅当： a·b=0 即 a·b=al+bm+cn=0 这是一个简单的线性方程组，可以运用高中代数的方法解出。如果解出的结果为 0 ，那么两个平面垂直。 2.使用距离公式去证明 另一种证明两个平面垂直的方法是采用距离公式。首先，我们可以定义两个平面分别为 P ：ax+by+cz=d 和
(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?
立体几何中平行、垂直的证明
三角形的中位线平行且相等于底边的一半。（三b β?=? 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交，那? =???=? a b γγ垂直于同一个平面 的两条直线平行。（线面 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 线中的一条平行于这个平面，则另一条也与这个平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 ////b P a b αα? ?=?? ? ??
一、证明线线垂直 说明：证明线线垂直的方法有很多，要善于抓住题意中的“垂直信息”. 常用的垂直信息有： ①若两条直线所成的角为90?，则这两条直线垂直。（线线垂直的定义，包括相交垂直和异面垂直） ②一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任一直线。（线面垂直的性质） 符号： ⊥? ?⊥ ? ?? l l a a α α ③若题意中出现线段的长度，则验证三角形的三边是否满足勾股定理，若满足，则两短边互相垂直。 ④若题意中出现类似“AB是圆O的直径，点C是圆周上不同于A、B的任意一点”的情况，则必有AC BC ⊥。 ⑤若题意中出现“直棱柱”、“正方体”、“长方体”，则其侧棱垂直于底面，再结合②。 ⑥若题意中出现“等腰三角形”、“等边三角形”、“正三角形”，则底边的中线垂直于底边。 ⑦若题意中出现“菱形”、“正方形”，则其对角线互相垂直。 二、证明线面垂直 ①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（线面垂直的判定定理） 符号： m n a m n P a m a n α α α?? ? ?? ? ?⊥ =? ? ⊥ ? ⊥?? ②两条直线平行，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。 符号： // a b b a αα ? ?⊥ ? ⊥? ③两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直的性质定理）符号： ⊥? ? =? ?⊥ ? ?? ? ⊥? l a a a l αβ αβ α β ④一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也与另一个平面垂直。 三、证明面面垂直 ①一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（面面垂直的判定定理） 符号： a a α αβ β ⊥? ?⊥ ? ?? ②两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。（面面垂直的定义）
平面与平面垂直的判定定理
2023年度：平面与平面垂直的判定定理 一、定义 在三维空间中，如果两个平面之间的夹角为90度，则称这两个平面是垂直的。 二、定理 两个平面垂直的充分必要条件是：它们的法向量互相垂直。 证明： 设两个平面分别为平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2，夹角为α。则有： cosα = n1·n2 / |n1||n2| 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量n1和n2的模。 当两个平面垂直时，α=90°，则有：
cos90°=0 即： n1·n2 = 0 即两个平面的法向量互相垂直。 反之，若两个平面的法向量互相垂直，则有：n1·n2 = 0 即： cosα = n1·n2 / |n1||n2| = 0 / (|n1||n2|) = 0 即两个平面的夹角为90度，证毕。 三、应用 该定理可以用来解决以下问题：
1. 判断两个平面是否垂直。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，判断它们是否垂直即可。 2. 求两个平面的交线。 对于两个不相交的平面，它们的交线可以通过它们的法向量和一个公共点求解得到。 3. 求一个平面在另一个平面上的投影。 将需要投影的平面的法向量沿着另一个平面的法向量分解，得到该平面在另一个平面上的投影向量。 4. 计算两个平面的夹角。 给定两个平面的法向量，在计算它们的点积和模的前提下，计算它们的夹角即可。 总结
1. 本文档所涉及简要注释如下： - 平面：指在三维空间中，由无数个相互平行的直线组成的集合。 - 夹角：指两条直线或两个平面之间的夹角。 - 法向量：指垂直于平面的向量，其长度等于平面到原点的距离。 2. 本文档所涉及的法律名词及注释： - 三维空间：指以任意三个互不共线的点为基准点所构成的空间。 - 点积：指向量的数量积，是指两个向量对应分量的乘积之和。 - 模：指向量的长度，是指向量末尾点到原点的距离。 - 公共点：指两个平面的交线上的任意一个点。 3. 本文档执行过程中可能出现的纠纷问题及解决方案： 1. 如何处理平面法向量计算错误的问题？ 解决方案：应当检查计算步骤是否正确，如有必要可以请数学专业人员协助。 2. 如何处理平面的法向量不唯一的问题？ 解决方案：应当通过平面上的一些确定点来求解法向量，确保法向量的唯一性。 3. 如何处理平面交线不存在的问题？ 解决方案：如果两个平面不相交，则它们没有交线。 4. 如何处理平面交线无限延长的问题？
证明平面与平面垂直(空间向量)
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． .用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：B 面面垂直. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE → ＝(0,1，12 )，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则x ＋y ＋z ＝0且y ＋1 2z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)， 由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 图3－2－12 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ? ? ???0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝ ? ? ???0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝ 1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
两平面垂直证明方法(一)
两平面垂直证明方法(一) 两平面垂直证明方法 介绍 在几何学中，我们经常需要证明两个平面是否垂直。本文将详细说明几种常见的证明方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。 方法一：垂直线段证明法 1.过平面A和平面B分别做一条垂直线段AB和CD。 2.假设在AB上任取一点E，在CD上任取一点F。 3.利用平面A垂直于线段AE和平面B垂直于线段CF的性质，得到 线段AE与线段CF平行。 4.根据平行线性质，得到平面A与平面B垂直。 方法二：法线证明法 1.过平面A和平面B分别作一条法线。 2.根据垂直的定义，法线与平面上的任意一条线段垂直。 3.因此，平面A和平面B的法线垂直，即平面A与平面B垂直。方法三：向量证明法 1.找出平面A和平面B的法方程。
2.根据向量的定义，垂直向量的数量积为零。 3.将平面A和平面B的法方程转化为向量形式，求出向量的数量积。 4.若向量的数量积为零，则平面A与平面B垂直。 方法四：斜率证明法 1.分别找出平面A和平面B上两条直线的斜率。 2.如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两个平面是垂直的。 3.根据两条直线的斜率乘积是否为-1，判断平面A与平面B是否垂 直。 方法五：三点共线证明法 1.在平面A上选择三个不共线的点，分别记为A、B、C。 2.若平面B上有一条直线通过点A、B、C，则平面A与平面B垂直。 3.通过判断点A、B、C是否共线，确定平面B上是否有一条直线通 过这三点，从而证明平面A与平面B垂直。 方法六：平行线夹角证明法 1.找出平面A和平面B上两条平行线。 2.通过利用平行线夹角定理，求出两条平行线的夹角。 3.若两条平行线的夹角为90度，则平面A与平面B垂直。 4.根据夹角是否为90度，判断平面A与平面B是否垂直。
立体几何证垂直的方法
立体几何证垂直的方法 垂直是立体几何中一个非常重要的概念，常常用于判断两个直线、两个平面或者一个直线和一个平面之间的关系。本文将介绍几种常见的方法来证明两个线段、两个直线、两个平面或者一个线段和一个平面之间的垂直关系。 1. 定义证明法： 垂直可以通过定义来证明。垂直的定义是：两条直线相交，互相垂直。这个定义可以用来判断两条直线之间是否垂直。如果已知两条直线相交，并且相交角度为90度，则可以得出两条直线垂直的结论。 2. 重叠线证明法： 当两个线段的一个端点重合，并且两个线段的另一个端点也重合时，可以得出这两个线段垂直的结论。这是因为，当两个线段垂直时，它们的端点将构成一个直角，而直角的两条边重合时，会得到一个重叠的线段，从而可以推出两个线段垂直。 3. 垂直性质证明法： 根据垂直性质来证明两个直线或者平面之间的垂直关系。例如，两个直线垂直的性质之一是：直线的斜率相乘为-1。如果已知两个直线的斜率，且斜率的乘积等于-1，则可以得出这两条直线垂直的结论。类似地，两个平面之间垂直的性质之一是：平面上两个垂直的直线在平面上的投影线也垂直。如果已知两个平面上的直线的投影线垂直，则可以得出这两个平面垂直的结论。
4. 垂直线性等式证明法： 当两个线段、直线或平面上的点坐标可以满足垂直线性等式时，可以证明它们之间的垂直关系。例如，对于两个直线L1:y = a1x + b1和L2:y = a2x + b2，如果它们的斜率满足a1 * a2 = -1，则可以得出这两条直线垂直的结论。 5. 三角形几何证明法： 在三角形中，垂直性质也可以用来证明两个线段或直线之间的垂直关系。例如，如果一条线段平分了一个角，并且与另一条线段垂直相交，那么可以得出这两个线段垂直的结论。同样地，如果一个直角三角形中的两条边互相垂直，那么可以得出这两条边垂直的结论。 总结起来，证明垂直关系的方法有很多种，包括基于定义、重叠线、垂直性质、线性等式和三角形几何的方法。通过应用这些方法，我们可以在立体几何中准确地判断出对象之间是否垂直。
证明两个平面垂直的判定定理
证明两个平面垂直的判定定理 一、引言 在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。两个平面垂直是指它们的法向量垂直。本文将证明两个平面垂直的判定定理。 二、定义和符号说明 1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。 2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。 3. 垂直：两个向量夹角为90度。 三、定理陈述 若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。 四、证明 设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。
首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。 假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neq d(B,P_2)$。则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。由于 $\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。又由于向量 $\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。但是，向量 $(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。 接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。 假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neq d(B,P_2)$。则连接$A,B,C$三点所构成的三角形ABC必定不是一个等腰三角形。不失一般性，假设$AC>BC$。连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点D，连接$A,B,C$三点所构成的平面与平面
面面垂直的判定方法
面面垂直的判定方法 面面垂直判定方法 什么是面面垂直判定？ 面面垂直判定是指在二维平面上判断两条直线是否垂直的方法。垂直是指两条直线的斜率乘积为-1。在图形学、几何学和物理学等领域中，面面垂直判定是一个基础且重要的概念。 基本原理 判断两条直线是否垂直，可以通过比较它们的斜率来进行。如果两条直线的斜率乘积为-1，则它们是垂直的。具体来说，斜率可以通过两点之间的纵坐标差除以横坐标差来计算。 面面垂直判定方法汇总 以下是常见的面面垂直判定方法： 1.斜率法 –计算两条直线的斜率，若斜率乘积为-1，则它们垂直。 –注意处理斜率为无穷大的情况，即直线与坐标轴垂直。2.向量法 –求出两条直线的向量方向，若两向量的点积为0，则它们垂直。
–向量法可以应用于三维空间中的垂直判定。 3.公式法 –利用两条直线的一般式或截距式方程进行比较，若方程中所含的系数乘积为-1，则它们垂直。 –常用的一般式方程是 Ax + By + C = 0，而截距式方程是y = mx + c。 4.几何法 –判断两条直线的几何关系，如：直角相交、棱形相交等，可以判断它们是否垂直。 –几何法适用于直观的图形判断。 结论 通过上述不同的面面垂直判定方法，我们可以准确地判断两条直 线是否垂直。在实际应用中，根据具体问题的需求和数据的提供形式，选择合适的判定方法，可以提高判断的准确性和效率。 面面垂直判定不仅仅是学术研究领域中的问题，也广泛应用于工程、建筑、制图等行业中。了解不同的判定方法，可以帮助我们更好 地理解直线的关系，并在实际问题中应用垂直性的概念。 面面垂直判定涉及到各种数学知识和几何概念，在学习和应用过 程中需要多加练习和实践，以提高对垂直关系的理解和运用能力。
证明面面垂直的方法及定理
证明面面垂直的方法及定理 证明面面垂直的方法及定理 面面垂直可不好证明，这是要合适的证明方法的，不然证明就会出错。下面就是店铺给大家整理的证明面面垂直的方法内容，希望大家喜欢。 证明面面垂直的方法 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA. 对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 面面垂直学生如何证明 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一
边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
c c ∥∥b a b a ∥⇒本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =⋂⊂βαβ α∥b a ∥⇒ b a b a ////⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫ ==γβγαβα β α ⊥⊥b a b a ∥⇒α a b
7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥⊂a β ∥a ⇒α αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α β//⇒α β b a P b ∥a b a αα⊂⊄α ∥a ⇒
高中数学总结归纳 点击面面垂直的判定与性质
点击面面垂直的判定与性质 一、面面垂直的判定与性质 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 二、证明面面垂直的基本方法有： （1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明； （2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 三、典例选析 例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角. 证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO= 2 2 a.又AO=22BO AB -=2221a a -=
平面垂直的判定及其性质
立体几何综合复习 一、直线与平面垂直 1．定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α. 2．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直 数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P =⇒l⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行 数学描述：a b α α ⊥⎫ ⎬ ⊥⎭ ⇒a b ∥ 4．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面 上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 ．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角 ．．．．．．．．．α．的范围是 ．．．．π [0,] 2 .
5．常用结论（熟记） （1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 二、平面与平面垂直 1．定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ ⊥. 2．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面 垂直 图形语言 符号语言l⊥α，lβ ⊂⇒α⊥β 作用判断两平面垂直 3．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简记为：面面垂直⇒线线平行 图形语言 =l a a a l αβ αβ βα ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎬ ⊂⎪ ⎪ ⊥⎭ ⊥ ⊥