学业分层测评第1章 §3 柱坐标系和球坐标系-word文档

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高中数学第1章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修4-4(2021年整理)

1。

3 柱坐标系和球坐标系1。

了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。

(重点）2.理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(重点)3.体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别.(易错易混点）教材整理1 柱坐标系和球坐标系1。

柱坐标系如图1。

3.1,建立空间直角坐标系O。

xyz.设M(x，y，z）为空间一点，并设点M在xOy 平面上的投影点P的极坐标为(r，θ),则这样的三个数r,θ，z构成的有序数组(r，θ,z)就叫作点M的柱坐标，这里规定r,θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞,0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.图1.3。

1特别地,r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面；z＝常数，表示的是与xOy平面平行的平面。

2.球坐标系设M(x，y，z）为空间一点,点M可用这样三个有次序的数r,φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段错误!与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段错误!的角，这里P为点M在xOy平面上的投影（如图1。

3。

2).这样的三个数r,φ，θ构成的有序数组(r，φ,θ)叫作点M的球坐标，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r<＋∞，0≤φ≤π,0≤θ＜2π.图1.3。

2特别地，r＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面。

判断（正确的打“√”，错误的打“×")（1)柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同。

（）（2)在柱坐标系M(r，θ,z）中，θ表示OM与y轴所成的角。

( )(3）球坐标中,r表示OM的长度.( ）【解析】(1)√柱坐标和球坐标都是有序数组，但意义不同.(2)×θ表示OM与x轴所成的角.（3)√球坐标中r表示OM的长度.【答案】(1)√（2)×(3)√教材整理2 空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M的直角坐标为(x，y,z)，柱坐标为(r,θ，z），球坐标为（r，φ，θ),则填空:（1)柱坐标错误!的直角坐标是________。

2016-2017学年高中数学人教B版选修4-4学业分层测评第

学业分层测评(四)一、选择题(每小题5分，共20分)1.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.(1，π2，2) B.(2，π3，0)C.(3，π4，π6) D.(3，π6，π2)【解析】由P(ρ，θ，z)，当θ＝π2时，点P在平面yOz内.【答案】 A2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为()A.(2,0,2)B.(2，π，2)C.(2，0,2)D.(2，π，2)【解析】设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝x2＋y2＝2，tan θ＝yx＝0，∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2,0,2).【答案】 A3.在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤θ＜2π，0≤φ≤π2)表示()A.圆B.半圆C.球面D.半球面【解析】设动点M的球坐标为(r，θ，φ)，由于r＝2,0≤θ＜2π，0≤φ≤π2.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面.【答案】 D4.已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(1，π，0)【解析】设M的球坐标为(r，θ，φ)，则r＝x2＋y2＋z2＝1，θ＝0，又cos φ＝z r ＝1，∴φ＝0.故点M 的球坐标为(1,0,0).【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知点M 的球坐标为(4，3π4，π4)，则点M 到Oz 轴的距离为________.【解析】设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，θ，φ)＝(4，3π4，π4)，知x ＝4sin π4cos 34π＝－2，y ＝4sin π4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2,2,22).故点M 到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.【答案】 2 26.若点M 的柱坐标为(2，2π3，－2)，则点M 的直角坐标为________.【解析】设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，∵(ρ，θ，z )＝(2，23π，－2)，∴x ＝ρcos θ＝－1，y ＝ρsin θ＝3，z ＝－2.故点M 的直角坐标为(－1，3，－2).【答案】 (－1，3，－2)三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，π3，2π3)，求|MN |.【解】 ∵|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3.∴△MON 为等边三角形.∴|MN |＝6.8.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积. 【导学号：62790007】【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱.圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.9.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零度子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755,80°，15°).。

第1章 3 柱坐标系和球坐标系

§3 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2.球坐标系(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【思维导图】【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系.3.空间点的坐标的确定.题型一柱坐标系柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例1】柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？解在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面.【反思感悟】柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系中满足x ＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y ＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑.1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3 解直接代入互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3).题型二球坐标系球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P 到O 的距离r 以及两个角θ，φ来刻画点P 的位置.【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz (垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755，15°，80°).【反思感悟】写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别.2.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解由题意可知面AOO 1，面BOO 1都垂直于两圆平面， ∴∠AO 1B 是两平面AOO 1和BOO 1的夹角，又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AO 1B ＝2π3－π6＝π2， ∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4， ∠AO 1O ＝∠BO 1O ，∴小圆O1的半径r＝22R，∴AB＝R，∴∠AOB＝π3，则经过A、B两地的球面距离为π3R.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.题型三空间点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).(2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标，球坐标，柱坐标.分析如图所示，此题是考查空间直角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(258，arctan 37，10)，C 1点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫283，arccos 58383，arctan37. 【反思感悟】注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它们都能刻画点的位置，可以进行互化.3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)所示，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标，柱坐标.解把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0；上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，arctan 2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arctan 22，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1，0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，1. 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 12，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2，它们的柱坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2，121.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，求出点A 的坐标.解以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为503 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.所以点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫503，17π16，2.8. 2.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.解取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3，由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12，于是r ＝2z ＝2v t ，所以t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v t ，π3，ωt ， t ∈[0，＋∞).3.摊开世界地图，问初次降临地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据：.想一想，它们的位置有什么关联？解两地经度差180°，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.球坐标的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.(1)经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°，西经60°等.(2)纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈)，其中的大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°，南纬23.5°.与球坐标比较，点P (r ，φ，θ)中的r 是到球心的距离，φ与纬度是互余的；θ与经度是相关的，若建立适当的坐标系，θ就是经度. 【规律方法总结】1.根据图形的特征，可以选择不同的坐标系来确定点的位置.2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化.3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的比较方便.一、选择题1.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B2.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝（－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π. ∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，56π则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4).答案 A5.点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 到原点的距离为( ) A.17 B.217 C.417D.817解析 x ＝8cos π4＝42，y ＝8sin π4＝42， ∴柱坐标化为直角坐标为(42，42，2)， |OP |＝32＋32＋4＝68＝217.答案 B 二、填空题6.在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________.解析把A 、B 两点的球坐标化为直角坐标为A ()1，1，2， B ()－1，1，－2. |AB |＝（1＋1）2＋（1－1）2＋（2＋2）2＝12＝2 3.答案 2 37.在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________. 解析在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆.在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面. 答案以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面8.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π4，34π，则M 、N 两点间的距离为________.解析 x ＝4sin π4cos 3π4＝4·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2， y ＝4sin π4sin 3π4＝4·22·22＝2，z ＝4cos π4＝4·22＝22，∴点M 的直角坐标为(－2，2，22).同理点N 的直角坐标为(2，－2，22)，∴|MN |＝16＋16＝4 2.答案 4 29.在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________.解析 r ＝1表示球心在原点半径为1的球面，φ＝π4表示顶点在原点，母线与z 轴夹角为π4的圆锥面.答案球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面夹角为π2的圆锥面三、解答题10.如图所示，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标.解 C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，所以∠BOA ＝arctan 53.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝342，∠AOE ＝∠AOB .∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫342，arctan 53，3.11.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，34π，θB ，求出这两个截面间的距离. 解在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π4，|OA |＝8，∴|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×22＝42，同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π4，∴OO 2＝42，∴O 1O 2＝82， ∴两个截面间的距离为8 2.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积.解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位).习题1－3 (第22页)1.解点A 的柱坐标为(3，0，3)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，0；点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2；点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π2，π4. 图略2.解点A 的直角坐标为(－22，22，2)；点B 的直角坐标为(3，33，－5). 图略.3.解点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3；点N 的直角坐标为(6，23，4).。

高中数学人教a版高二选修4-4_第一章_坐标系_学业分层测评3_word版有答案

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示( ) A ．直线 B ．射线 C ．圆D ．椭圆【解析】由ρ＝1，得ρ2＝1，即x 2＋y 2＝1，故选C. 【答案】 C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( ) A ．θ＝π3 B ．θ＝π3，ρ≥0 C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线． ∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π， ∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．【答案】 D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)【解析】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.【答案】 B4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )【导学号：91060008】A ．ρcos θ＝12 B ．ρcos θ＝2 C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3【解析】极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．【答案】 B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．【解析】 ∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心， ∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 【答案】 1∶17．(2016·惠州模拟)若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.【答案】 32＋18．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．【解析】极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0，∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.【答案】 3三、解答题9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．【解】 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，又⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0，由l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎨⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx ，得⎩⎨⎧ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.[能力提升]1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称 C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3对称 D ．极点对称【解析】由方程ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x ，配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．【答案】 B2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2. 【答案】 C3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．【解析】由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．【解】 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

高中数学第一章坐标系 1.3 柱坐标系和球坐标系练习(含解析)北师大版选修4-4-北师大版高二选

3 柱坐标系和球坐标系1.点P的柱坐标为,则其直角坐标为( )A.(5,8,8)B.(8,8,5)C.(8,8,5)D.(4,8,5)解析:∵ρ=16,θ=,z=5,∴x=ρcosθ=8,y=ρsinθ=8,z=5.∴点P的直角坐标是(8,8,5).答案:B2.点M的直角坐标为(,1,-2),则它的球坐标为( )A. B.C. D.解析:设M的球坐标为(r,φ,θ),则解得答案:A3.设点M的直角坐标为(-1,-,2),则它的柱坐标是( )A. B.C. D.解析:设点M的柱坐标为(r,θ,z),则tanθ=.∵0≤θ<2π,x<0,∴θ=π,r==2,z=2.∴点M的柱坐标为.答案:B4.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A.P(5,1,1),BB.P(1,1,5),BC.P,B(1,1,5)D.P(1,1,5),B解析:设点P的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设点B的直角坐标为(x',y',z'),则x'=sin cos,y'=sin sin,z'=cos.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为.答案:B5.空间点P的柱坐标为,则点P关于z轴的对称点为.答案:6.设点M的球坐标为,O为原点,则M到原点的距离为,OM与xOy平面所成的角为.答案:27.在柱坐标系中,已知A,B及O(0,0,0)三点,则△ABO的面积为.解析:∵A,B,O(0,0,0),∴△OAB为直角三角形.∴S△OAB=|OA||AB|=×1×2=1.答案:18.已知点P1的球坐标是,点P2的柱坐标为,则|P1P2|2=.解析:设P1的直角坐标为(x,y,z),则x=r sinφcosθ=2sin cos=2,y=r sinφsinθ=2sin sin,z=r cosφ=2cos.∴P1.同理,点P2的直角坐标为.∴|P1P2|2===18--2.答案:18--29.在直三棱柱ABC - A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的空间直角坐标和柱坐标.解:建立如图所示的坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.∵ABC - A1B1C1是直三棱柱,∴N点在线段AB上.由点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,∴|NE|=|NF|=.故点M的空间直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,||=,∠E=,故点M的柱坐标为.10.如图,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,θA,4),B1(3,,0),其中θA-=60°,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.解:如图,作OB∥O1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,∠AOB=60°,则△OAB为等边三角形.∵BB1∥OO1,∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.又BB1⊥圆O所在的平面,∴BB1⊥AB.在Rt△ABB1中,tan∠AB1B=,∴∠AB1B=37°,|AB1|==5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角为37°,AB1的长为5.。

北师大版高中数学选修4-4第一章3柱坐标系和球坐标系.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3 柱坐标系和球坐标系1．了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法． 2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题．1．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的______，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的______； θ＝常数，表示的是过z 轴的______；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的____．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝，z ＝z .【做一做1－1】点A 的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标是__________．【做一做1－2】点B 的直角坐标为(1，3，4)，则它的柱坐标是__________． 2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的______，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，特别地，r ＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos θ＝，y ＝|OP |sin θ＝，z ＝ .【做一做2－1】设点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，34π，则它的直角坐标是__________．【做一做2－2】将点M (1，－1，6)化成球坐标为__________．1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x ，y ，z ；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r ，θ，z .空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．这个组数(x ，y ，z )就叫做点M 的坐标，并依次称x 、y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 平面上的点，y ＝0；xOy 平面上的点，z ＝0.如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果点M 在y 轴上，则x ＝z ＝0；如果点M 在z 轴上，则x ＝y ＝0.如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．答案：1．柱坐标圆柱面半平面平面 r cos θ r sin θ【做一做1－1】(3，1,7) x ＝r cos θ＝2·cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝7，∴点A 的直角坐标为(3，1,7)．【做一做1－2】⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，4 x ＝1＝r cos θ，y ＝3＝r sin θ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝2，z ＝4，∴点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，4.2．球坐标以原点为球心的球面 r sin φcos θ r sin φsin θ r cos φ 【做一做2－1】(－1,1，－2) 由公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝1，z ＝2cos 34π＝－2，∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【做一做2－2】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，3π4 设点M 的球坐标为(γ，φ，θ)，则r ＝12＋－12＋62＝22，tan φ＝x 2＋y 2z ＝12＋126＝33，由0≤φ≤π，知φ＝π6，又tan θ＝y x ＝－11＝－1,0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝3π4.∴M (1，－1，6)的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，3π4.题型一柱坐标与直角坐标的互化【例1】将点M 的直角坐标化为柱坐标，将点P 的柱坐标化为直角坐标．(1)M (－1，3，2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z求r ，也可以利用r 2＝x 2＋y 2求r ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r ，θ，z 的值代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z即可．题型二球坐标与直角坐标的互化【例2】将点M 的直角坐标化为球坐标，点P 的球坐标化为直角坐标．(1)M (1，3，2)；(2)P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：由点M 的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，c O s φ＝zr.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M 的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x ，y ，z 的值即可．题型三柱坐标、球坐标的实际应用【例3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四易错题型【例4】将直角坐标系中的点M (－3，3，3)转化成柱坐标．错解：设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，得⎩⎨⎧－3＝r cos θ，3＝r sin θ，z ＝3.∴tan θ＝－33. ∵0≤θ＜2π，∴θ＝56π或θ＝116π.当θ＝56π时，r ＝23；当θ＝116π时，r ＝－2 3.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56π，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，116π，3. 错因分析：在求解θ时，没有注意还有一个条件即x ＝－3＜0，∴θ＝56π.另r ∈[0，＋∞)，故r ＝－23＜0错误．答案：【例1】解：(1)设M 点的柱坐标为(r ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z⇒⎝ ⎛－1＝r cos θ，3＝r sin θ，z ＝2，⇒tan θ＝－ 3.又∵0≤θ＜2π，x ＜0，∴θ＝2π3，r ＝2.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2.(2)设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝2，y ＝r sin θ＝2sin π4＝2，z ＝z ＝1，∴点P 的直角坐标为(2，2，1)．【例2】解：(1)设M 点的球坐标为(r ，φ，θ)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ⇒⎩⎨⎧1＝r sin φcos θ，3＝r sin φsin θ，2＝r cos φ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋32＋22＝2 2.∴2＝22cos φ.∴cos φ＝22.∵0≤φ≤π，∴φ＝π4.∴M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3. (2)设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝ 3.∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3.【例3】解：以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫203，17π16，2.8. 【例4】正解：设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧tan θ＝y x ＝－33，z ＝3.∵0≤θ＜2π且x ＜0，∴θ＝56π，r ＝2 3.∴M 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56π，3.1设点M 的直角坐标为(1，3-，9)，则它的柱坐标是( )．A ．π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2π2,,93⎛⎫⎪⎝⎭ C ．4π2,,93⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．5π2,,93⎛⎫⎪⎝⎭2在球坐标系中，M ππ4,,46⎛⎫ ⎪⎝⎭与N π24,,π43⎛⎫⎪⎝⎭两点间的距离是__________．3设点A 的柱坐标为π2,,64⎛⎫⎪⎝⎭，则它的球坐标为__________．4用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A π8,,4A θ⎛⎫⎪⎝⎭、B3π8,,4Bθ⎛⎫⎪⎝⎭，求出这两个截面间的距离．答案：1．D ∵r ＝12＋－32＝2，θ＝5π3，z＝9，∴点M的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3，9.2．4 设点M⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标为(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧x＝r sin φcos θ＝4sinπ4cosπ6＝4×22×32＝6，y＝r sin φsin θ＝4sinπ4sinπ6＝4×22×12＝2，z＝r cos φ＝4cosπ4＝2 2.∴M 点的直角坐标为(6，2，22)，同理，N点的直角坐标为(－2，6，22)．∴|MN|＝6＋22＋2－62＋22－222＝4.3．⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，π4设A的直角坐标为(x，y，z)，则x＝r cos θ＝2cosπ4＝1，y＝r sin θ＝2cosπ4＝1，z＝6，∴点A的直角坐标为(1,1，6)．设点A的球坐标为(r，φ，θ)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x＝r sin φcos θ，y＝r sin φsin θ，z＝r cos φ⇒⎩⎨⎧1＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，6＝r cos φ.∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0，∴θ＝π4，r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋62＝2 2.∴cos φ＝622＝32.又∵0≤φ≤π，∴φ＝π6.∴点A的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π6，π4.4．解：如图，由题意可知，O1O2即为两个截面间的距离．∵|OA |＝|OB |＝8，∠AOO 1＝π4，∠BOO 1＝3π4， ∴在△AOO 1中，|OO 1|＝|OA |cos π4＝4 2.在△BOO 2中，|OO 2|＝|OB |cos π4＝4 2.则|O 1O 2|＝|OO 1|＋|OO 2|＝42＋42＝82，即两个截面间的距离为8 2.。

学业分层测评3 球坐标系与柱坐标系-word文档

学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3.【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523， z ＝5cos 2π3＝－52，点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin 3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－92 2.∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3.【解】 (1)x ＝0，y ＝5，故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)．4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴．5．在球坐标系中，求两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324，y ＝3sin π6·sin π4＝324，z ＝3cos π6＝332，∴P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫324，324，332. Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324，y ＝3sin π6·sin 3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－324，324，332. ∴|PQ |＝ [342－(－324)]2＋(324－324)2＋(332－332)2＝322，即PQ 的距离为322.6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．[能力提升]8．如图4-1-10建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4-1-10【解】 ∵O 是△BCD 的中心，∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63.∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)，B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。

学业分层测评1 直角坐标系-word

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点．【解】设点P 的坐标为(x ，y )，由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)． 2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积．【解】如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点．【解】设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得 ⎩⎨⎧ 3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6， ∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，①又∵AM ∶MB ＝1∶2，∴x ＝x A 1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎨⎧ x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.【证明】如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则P A 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，试求爆炸点所在的曲线．【解】由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1 360米．即PB－P A＝1 360＜1 400，PB＞P A.故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支．以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x2462 400－y227 600＝1(x＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B处，沿东西方向向O岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x轴，南北方向为y轴，岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．我船直行到点C与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.∵两船速度相同，∴AC＝BC＝80－x.在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30.∴点C的坐标为(30,0)．[能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4-1-2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x2100＋y225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图4-1-2(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。

2017年高中数学第一章坐标系第3节柱坐标系与球坐标系检测北师大版选修4_420171023314 (2)

第一讲第三节柱坐标系与球坐标系一、选择题(每小题5分，共20分)π1．在空间球坐标系中，方程r＝2(0 ≤φ≤，0 ≤θ< 2π)表示()2A．圆B．半圆C．球面D．半球面解析：当r＝2,0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于r＝π2,0≤φ≤，0≤θ<2π故此方程表示半径为1的半球面．2答案： D2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是()A．(1,0,0) B．(0,1,0)C．(0,0,1) D．(1，π，0)解析：利用公式Error!进行公式转化：r＝x2＋y2＋z2＝1ycos φ＝1，φ＝0；tan θ＝＝0，x故θ＝0所以球坐标的(1,0,0)．答案： Aπ3．某点的柱坐标为(2，，3)，则其直角坐标为()6A．(1，3，3) B．( 3，1,3)C．(1，－3，3) D．(－3，1,3)解析：由Error!得Error!即直角坐标为( 3，1,3)．答案： Bπππ4．已知点P的柱坐标为( 2，，5)，点B的球坐标为( 6，，)，则这两个点在空间直4 3 6角坐标系中的点的坐标为()3 6 3 2A．P点(5,1,1)，B点(，，4 462)3 6 3 2B．P点(1,1,5)，B点(，，4 462)3 6 3 2 3 6( 2 )，B点(1,1,5)C．P点，，4 41D．P点(1,1,5)，B点( 6 3 6 3 24 )，，2 4解析：球坐标与直角坐标的互化公式为Error!柱坐标与直角坐标的互化公式为Error!设P点的直角坐标为(x，y，z)，π 2则x＝2cos ＝2×＝1，4 2πy＝2sin ＝1，z＝5.4设B点的直角坐标为(x，y，z)，ππ 3 3 3 6则x＝6sin cos ＝6××＝，3 6 2 2 4ππ 3 1 3 2y＝6sin sin ＝6××＝，3 6 2 2 4π 1 6z＝6cos ＝6×＝.3 2 2所以点P的直角坐标为(1,1,5)，3 6 3 2 6点B的直角坐标为(2).，，4 4答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)π3π5．已知点M的球坐标为(4，，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是，4)4________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．3π答案：(－2,2,2 2)(2 2，，2 2)4ππππ6．已知球坐标中，M(4，，N，则|MN|＝________.，3)(4，6)，6 3解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，由Error!得Error!∴M的直角坐标为(1，3，2 3)．同理N的直角坐标为(3，3，2)，∴|MN|＝1－32＋3－32＋ 2 3－22＝2 5－2 3答案： 2 5－2 3三、解答题(每小题10分，共20分)27．在柱坐标系中，求满足Error!，的动点 M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积．解析：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足 ρ＝ 1,0≤θ<2π，0≤z ≤2 的动点 M (ρ，θ，z )的轨迹如上图所示，是以直线 Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径 r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.8．设地球的半径为 R ，在球坐标系中，点 A 的坐标为(R,45°，70°)，点 B 的坐标为 (R,45°，160°)，求 A 、B 两点的球面距离．解析：要求 A 、B 两点间球面距离，要把它放到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的底数，就可求球面距离．如图，由点 A 、B 的球坐标可知，这两个点都在北纬 90°－45°＝ 45°圈上，设纬度圈的圆心为O ′，地球中心为O ，则∠xOQ ＝70°，∠xOH ＝160°，∴∠AO ′B ＝160°－70°＝90°.2 连接 AO 、AB ，∵OB ＝R ，O ′B ＝O ′A ＝ R ，2 ∴AB ＝R .则 AO ＝BO ＝AB ＝R . 1 1 ∴∠AOB ＝60°，AB ＝ ·2πR ＝ πR . 63 1 故 A 、B 两点间的球面距离为 πR .3 尖子生题库☆☆☆π9．(10分)一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上，从顶点出发盘旋着向上爬行，3 已知它上升的速度为 v (v >0)，盘旋的角速度为 ω(ω>0)，求 t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．解析：如右图所示，取圆锥的顶点 O 为坐标原点，建立球坐标系，设 t 时刻蚂蚁在点 M (r ，φ，θ)，π 由题意，得 θ＝ωt ，z ＝vt ，φ＝， 3z π 1 由于＝cos φ＝cos ＝， r 3 2 于是 r ＝2z ＝2vt ，π所以 t 时刻蚂蚁在球坐标系中位置为 M(2vt ，，ωt )，t ∈[0，＋∞)．33。

高中数学北师大版选修4-4学业分层测评第1章 1 平面直角坐标系 Word版含答案

学业分层测评(一)(建议用时：分钟)一、选择题.▱中三个顶点，，的坐标分别是(－)，()，()，则顶点的坐标是( ).(－).(，－).().()【解析】设点坐标为(，)，则(\\(＝，＝.))即－－)＝(－－)，))∴(\\(＝，＝.))故点坐标为().故应选.【答案】.方程(－)＋(－)＝表示的图形是( ).四条直线.两条直线.四个点.两个点【解析】由方程得(\\(－＝，－＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－))或(\\(＝－，＝))或(\\(＝，＝－，))故选.【答案】.在同一平面直角坐标系中，将曲线＝按伸缩变换(\\(′＝，′＝))后为( )＝＝＝＝【解析】由(\\(′＝，′＝，))得(\\(＝(′)，＝(′).))代入＝，得＝′.∴′＝′，即曲线＝ .【答案】.将圆＋－－＋＝平分的直线是()＋＋＝＋－＝－＋＝－＋＝【解析】因为圆心是()，所以将圆心坐标代入各选项验证知选.【答案】.平面内有一条固定线段，＝，动点满足－＝，为的中点，则的最小值是( )【导学号：】【解析】以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则点的轨迹是以，为焦点的双曲线的一部分＝，＝＝，∴＝，∴＝－＝－＝.∴点的轨迹方程为－＝.由图可知，点为双曲线与轴的右交点时，最小，的最小值是.【答案】二、填空题轴上的单位长度为轴上单位长度的倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，为半径的圆的图形变为.【解析】如果轴上的单位长度不变，轴上的单位长度缩小为原来的，圆＋＝的图形变为中心在原点，焦点在轴上的一个椭圆.【答案】椭圆.已知点(－)，(－)，动点(，)满足·＝＋，则点的轨迹方程是.【解析】由题意得＝(－－，－)，＝(－－，－)，∴·＝(－－)(－－)＋(－)＝＋，即＋＋＝.【答案】＋＋＝.如图所示，正方体的棱长为，点在上，且＝，点在平面上，且动点到直线的距离的平方与到点的距离的平方差为，在平面直角坐标系中，动点的轨迹方程是.图【解析】过作⊥于，再过作⊥于，连结，，可证⊥，设(，)，由－＝，得＋－＝，化简得＝－.【答案】＝－三、解答题.台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市在地正东处，求城市处于危险区内的时间.【解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为()，以点为。

高中数学第一章坐标系第3节柱坐标系与球坐标系检测北师大版选修4-4(2021学年)

２0１7年高中数学第一章坐标系第3节柱坐标系与球坐标系检测北师大版选修４-4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２017年高中数学第一章坐标系第3节柱坐标系与球坐标系检测北师大版选修4-４）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一讲第三节柱坐标系与球坐标系一、选择题(每小题５分,共20分)1．在空间球坐标系中，方程r=２错误!表示( )A.圆ﻩB.半圆C.球面ﻩＤ.半球面解析: 当ｒ＝２,0≤φ≤π，０≤θ〈2π时表示半径为1的球面，但由于r＝2,0≤φ≤＼f(π,2），０≤θ〈２π故此方程表示半径为1的半球面．答案：D2．已知点M的直角坐标为(0,0,1）,则点M的球坐标可以是( )A.(1,０,0) ﻩB.(0,1,0)C．（0,0,1) ﻩＤ.(1,π,０)解析: 利用公式错误!进行公式转化:r＝＼ｒ（x2+ｙ2＋z2）＝1coｓφ＝１，φ＝0；taｎθ=错误!=0,故θ＝0所以球坐标的(1，0,0).答案： A3．某点的柱坐标为错误!，则其直角坐标为（ )A．(1，错误!，3) B．（错误!，１,３）C．(1,－错误!,3) D.（－错误!,1，３)解析: 由错误!得错误!即直角坐标为(错误!，1,3).答案: Ｂ4.已知点Ｐ的柱坐标为(错误!,错误!，５)，点Ｂ的球坐标为(错误!，错误!，错误!)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为（ )A．Ｐ点（5,1,１）,B点错误!B.P点(１,1,5),Ｂ点错误!C．P点错误!,B点(1，1,5)Ｄ．P点（1,1,5),B点错误!解析: 球坐标与直角坐标的互化公式为错误!柱坐标与直角坐标的互化公式为错误!设Ｐ点的直角坐标为(x,y，z)，则x=＼ｒ(2)cos错误!＝错误!×错误!=1，y=＼r(2)ｓiｎπ４＝１，z＝5。

2018-2019学年高三数学选修4-4学业分层测评：第一章坐标系 2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标．【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)． 4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)． 6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】求两点间的距离可用如下公式： AB ＝4＋16－2×2×4×cos (5π6－π3)＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6， ∴∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，∴sin ∠OPO ′＝sin π62·23＝32， ∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3. ∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)． (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为(4，π2)．能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形， AB ＝5，BC ＝ 52＋(43)2－2×5×43×cos (4π3－π2)＝133， AC ＝52＋(43)2－2×5×43cos (2π3＋π6)＝133，∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.。

2019-2020年高中数学第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修

2019-2020年高中数学第一章坐标系3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r <＋∞，0≤θ<2π，－∞<z <＋∞.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(r ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz ，设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ<2π.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ..[合作探究]1．空间中点的直角坐标、柱坐标和球坐标各有何特点？提示：设空间中点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同，直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在极坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不为0常数)，θ＝θ0(θ0为常数)表示的图形分别是圆和直线，那么在柱坐标系中，方程ρ＝1，z ＝－1分别表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1，φ＝π4分别表示空间中的什么曲面？提示：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；方程z ＝－1表示与xOy 坐标面平行的平面，此平面与xOy 面的距离为1且在此坐标面的下方；在球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程φ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的上半个圆锥面，中心轴为z 轴．对应学生用书P16]将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标[例1] 1111坐标系，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．[思路点拨] 本题考查直角坐标系，柱坐标系及球坐标系下点的坐标的确定及其关系的转化；解答此题需用法一：结合图形分别求三种坐标，法二：先求出点C 1的直角坐标，再分别化为柱坐标、球坐标即可．[精解详析] 设点C 1的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0.法一：结合图形及三种坐标系的概念知C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4(其中tan φ＝2，0≤φ≤π)．法二：由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x 及⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r (x ≠0)．又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1，所以⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4(其中tan φ＝2，0≤φ≤π)．1．在三种坐标系中确定点的坐标，一般数形结合确定距离和角大小． 2．转化点M 的直角坐标(x ，y ，z )(1)为柱坐标(r ，θ，z )时，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z进行变换得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x，z ＝z ，且求θ时要特别注意角θ所在象限，从而确定θ的取值．(2)为球坐标(r ，φ，θ)时，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ进行变换得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，tan θ＝yx(x ≠0)．若本例中条件不变，求点C ，D 的柱坐标与球坐标．解：结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.同样点D 的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，π2.[例2](1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5.[思路点拨] 本题考查关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z 的直接应用，设点的直角坐标为(x ，y ，z )，利用上述关系式求出x ，y ，z 即可．[精解详析] (1)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos5π6＝－3，y ＝2sin 5π6＝1，z ＝3.∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5.∴(1,1,5)为所求．将点的柱坐标(r ，θ，z )化为直角坐标，只需运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z转化成三角函数的求值与运算即可．1．设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，求它的直角坐标．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π6，y ＝2sin π6，z ＝7，∴⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，z ＝7.所以点M 的直角坐标为(3，1,7).[例3] 设点P 的球坐标为(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，4，4.求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ的直接应用，解答此题需要将r ，φ，θ代入求得x ，y ，z 即可．[精解详析] ∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 3π4＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝1，z ＝2cos 3π4＝－2，∴点P 的直角坐标为(－1,1，－2)．利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，把点的球坐标化为直角坐标时，应注意坐标r ，φ，θ的几何意义及坐标(r，φ，θ)的先后顺序，不要出现前后颠倒的现象．2．已知M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，7π6，求它的直角坐标．解：由变换公式得：x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 7π6＝－62. y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 7π6＝－22. z ＝r cos φ＝2cos3π4＝－ 2. ∴它的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22，－2. 对应学生用书P17]一、选择题1．设点M 的直角坐标为(－1，－3，2)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，2 解析：选B 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z )，则tan θ＝yx＝ 3. ∵0≤θ<2π，x <0，∴θ＝4π3，r ＝x cos θ＝－1cos4π3＝2，z ＝2.∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，2.2.如图所示，点M 的球坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π4 解析：选A 由球坐标的定义知，|OM |＝2＝r ，∠MOz ＝π4，∠xON ＝π3，又M (r ，φ，θ)，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π3.3．已知点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则其直角坐标为( ) A ．(－2,2,22) B ．(2，－2,22) C ．(－2，－2,22)D ．(－2,2，－22)解析：选A 设点N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos3π4＝4×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝4×22×22＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点N 的直角坐标为(－2,2,22)．4.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π2，5，则此长方体的体积为( )A ．100B ．120C ．160D ．240解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)， C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，5，可知|OA |＝4，|OC |＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120. 二、填空题5．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,22) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 6．设点M 的直角坐标为(1，－3，4)，则点M 的柱坐标为________．解析：ρ＝x 2＋y 2＝12＋－32＝2.tan θ＝－31＝－3，又x ＞0，y ＜0，∴θ＝5π3，∴柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，47．在球坐标系中，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，π6与N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，2π3两点间的距离是________．解析：设点M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，π6的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos π6＝4×22×32＝6，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin π6＝4×22×12＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴M 点的直角坐标为(6，2，22)，同理，N 点的直角坐标为(－2，6，22)． ∴|MN |＝6＋22＋2－62＋2－222＝4.答案：48．在柱坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2及O (0,0,0)三点，则△ABO 的面积为________．解析：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2，O (0,0,0)，∴△OAB 为直角三角形．∴S △OAB ＝12|OA ||AB |＝12×1×2＝1.答案：1 三、解答题9．如图建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．解：∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C ⎝⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0.10．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求点M 的空间直角坐标、柱坐标．解：建立如图所示坐标系，过点M 作底面xCy 的垂线，垂足为N ，则N 为AB 中点．∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∴M 点的空间直角坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2. 又CN ＝22，∠ACN ＝π4. ∴M 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，2. 11．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，求M 关于原点O 对称的点的柱坐标．解：M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝1，∴M 关于原点O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐标为： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2， ∴ρ＝ 2.tan θ＝－1－1＝1，又x ＜0，y ＜0.∴θ＝5π4.∴其柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1. ∴M 关于原点O 对称点的柱坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4，－1.2019-2020年高中数学第一章坐标系一平面直角坐标系教学案新人教A 版选修4-4[对应学生用书P1] 1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞y ′＝μy μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称为φ－平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[对应学生用书P1][例1] 已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD 、CE 分别为两腰上的高．求证：BD ＝CE . [思路点拨] 由于△ABC 为等腰三角形，故可以BC 为x 轴，以BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明] 如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．设B (－a,0)，C (a,0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－hax ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0. 直线AB 的方程为y ＝h ax ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：得|BD |＝|2ah |a 2＋h 2，|CE |＝|2ah |a 2＋h 2.∴|BD |＝|CE |，即BD ＝CE .建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设A (－a ，h )，B (－b,0)，则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝b ＋a 2＋h 2，|BD |＝a ＋b2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，AC ＝BD . 2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0,0)．设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c2)，所以AD 2＋BD 2＝a ＋b24＋c 24＋a －b24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(AD 2＋BD 2).[例2] 如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．[思路点拨] 由题意可知，点P 所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC 的垂直平分线上；(2)在以A ，B 为焦点的双曲线上．[解] 设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上．因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．①又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1千米处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m ，但A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改．[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线29＋y ′24＝1.[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．[解] 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0y ′＝μy μ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.4．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4·(12x ′)2－9·(13y ′)2＝1.整理得：x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.5．在同一直角坐标系下经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 后，曲线C 变为x ′2－9y ′2＝9，求曲线C 的方程．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y代入x ′2－9y ′2＝9，得9x 2－9y 2＝9，即x 2－y 2＝1.6．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 24＋y 29＝1变成曲线x ′216＋y ′29＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，代入方程x ′216＋y ′29＝1，得λ2x 216＋μ2y 29＝1，与x 24＋y29＝1比较系数，得λ216＝14，μ29＝19，得λ＝2，μ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y，即将椭圆x 24＋y 29＝1上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得椭圆x ′216＋y ′29＝1.[对应学生用书P3] 一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：由伸缩变换的意义可得．答案：D2．点(1,2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 解析：把(1,2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.答案：D3．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝0，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝0 B ．9x 2＋100y 2＝0 C ．10x ＋24y ＝0D.225x 2＋89y 2＝0 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝0，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝0，即：25x 2＋36y 2＝0. 答案：A4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞，y ′＝μy μ＞，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y .答案：B 二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos 12x ′. 答案：y ′＝3cosx ′26．已知平面内有一固定线段AB 且|AB |＝4.动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|PO |的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P 是以AB 为实轴的双曲线的右支．其中a ＝32.故|PO |的最小值为32.答案：327．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为________．解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6＞4.∴A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′. ①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为 (b,0)，(0，c )．则M 点的坐标为(b 2，c2)．由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2，故|AM |＝12|BC |.10．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，D (0,2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝＋32＋12－－32＋12＝22＜|AB |＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线．设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2,2a ＝22， ∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. ∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.。

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学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在空间球坐标系中，方程r ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
0≤φ≤π2，0≤θ＜2π表示( )
A.圆
B.半圆
C.球面
D.半球面
【解析】由球坐标系的定义知，
r ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
0≤φ≤π2，0≤θ＜2π表示半球面，故选D.
【答案】 D
2.如图1-3-4所示，点M 的球坐标为( )
图1-3-4
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，π3 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，π4 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π4，π6 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6，π4 【解析】根据球坐标的定义知，M 点的球坐标是⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，π3.
【答案】 A
3.若点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫8，π3，56π，则它的直角坐标为( ) 【导学号：12990016】
A.(－6,23，4)
B.(6,23，4)
C.(－6，－23，4)
D.(－6,23，－4)
【解析】由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π
3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4).
【答案】 A
4.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，5π3，3 【解析】 ∵r ＝
(－1)2＋(－3)2＝2，θ＝4π
3，z ＝3，
∴M 的柱坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，4π3，3，故选C.
【答案】 C
5.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，5π4，π4 D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，3π4，π4 【解析】由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝2
2，∴φ＝
π4.
∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝5
4π，
∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π，故选B. 【答案】 B 二、填空题
6.设点M 的柱坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π6，7，则它的直角坐标为________.
【解析】 x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π
6＝1，z ＝7， ∴点M 的直角坐标为(3，1,7). 【答案】 (3，1,7)
7.若点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，5π6，5π3，则点M 的直角坐标为________.
【解析】设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝3
4，
y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，
z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，
∴点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
34，－334，－
332. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫34
，－334，－
332 8.在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，23π，5，则|OM |＝________.
【解析】设点M 的直角坐标为(x ，y ，z ). 由(r ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，23π，5知 x ＝r cos θ＝2cos 2
3π＝－1， y ＝2sin 2
3π＝ 3. 因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2
＝
(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3.
【答案】 3 三、解答题
9.已知在球坐标系O -xyz 中，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3，N ⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，2π3，π3，求|MN |.
【解】法一：由题意知， |OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π
3， ∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二：设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6sin π3cos π3＝33
2，
y ＝6sin π3sin π3＝92，
z ＝6cos π3＝3.
故点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
332，92，3，同理得点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
332，92，－3， ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
23－3232＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫92－922＋(3＋3)2 ＝
0＋0＋62＝6.
10.经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的球坐标.
【解】在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝4
9π.
由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π
12，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫8 755，π12，4π9.
[能力提升]
1.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π4，3π4，则点M 到Oz 轴的距离为( )
【导学号：12990017】
A.2 2
B. 2
C.2
D.4
【解析】设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， ∵(r ，φ，θ)＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4，π4，3π4，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos 3π
4＝－2，
y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π
4＝2，
z ＝r cos φ＝4cos π4＝22，
∴M (－2,2,22)，到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.故选A.
【答案】 A
2.如图1-3-5，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)，C 1⎝ ⎛
⎭
⎪⎫6，π2，5，则此长方体的体积为( ) 图1-3-5
A.100
B.120
C.160
D.240
【解析】由长方体的两个顶点分别为A 1(4,0,5)， C 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫6，π2，5，可知|OA |＝4，|OC |＝6，|OO 1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120. 【答案】 B
3.点P 的柱坐标为
⎝ ⎛
⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________. 【解析】 x ＝ρcos θ＝4cos π
6＝23， y ＝ρsin θ＝4sin π
6＝2. 即点
P
的直角坐标为(2
3，2,3)，其到原点距离为
(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5. 【答案】 5
4.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧
r ＝1，
0≤θ＜2π
0≤z ≤2
，的动点M (r ，θ，
z )围成的几何体的体积.
【解】根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r
＝1,0≤θ＜2π，0≤z ≤2的动点M (r ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱.
圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2. 所以V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.。