立体图形问题的解题方法探索
高一立体几何题型及解题方法
高一立体几何题型及解题方法
高一立体几何是数学中的一个重要部分，也是高中数学中难度较大的内容之一。
下面介绍一些高一立体几何的题型及解题方法。
1. 空间向量题型
空间向量题型是高一立体几何中比较基础的题型，需要掌握空间向量的基本概念和运算规律。
解题时需要根据向量的定义和性质，运用向量加法、数乘等基本运算法则，求解向量的模长、方向余弦等相关量。
2. 空间几何体积题型
空间几何体积题型是高一立体几何中比较常见的题型，需要掌握各种几何体的面积和体积公式，并能够灵活运用这些公式进行计算。
解题时需要注意几何体的立体图形，确定所求的体积或面积，再根据公式进行计算。
3. 立体图形的相似题型
立体图形的相似题型需要掌握几何体的相似性质和基本比例关系，能够根据相似性质推导出几何体的相关量。
解题时需要注意几何体的相似条件，确定所求的比例关系，再根据比例关系求解相关量。
4. 空间几何位置关系题型
空间几何位置关系题型需要掌握空间中点、线、面的位置关系及相关性质。
解题时需要注意点、线、面的位置关系，确定所求的相关量，再根据相关性质进行计算。
总之，高一立体几何的题型比较多，需要学生具备扎实的基础知
识和灵活的解题思路，加强对几何图形和空间位置关系的理解和掌握，才能顺利解决高一立体几何的各种题型。
数学立体几何解题技巧必看
数学立体几何解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学答题技巧：立体几何解答立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。
(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。
立体图形推理题解题技巧
立体图形推理题解题技巧
1、相对面不相邻
学会判断相对面：
1）隔一个
同行同列间隔一个面为相对面。
2）Z/N字形两端
图形的展开面一般是呈Z或N字形的，那处于Z或N的两端的两个面就为相对面。
2、相邻面相对位置不改变
无论六面体如何转动，两个挨在一起的相邻面的相对位置是不会发生改变的。
相邻两个面上图案的位置不发生变化，确认好原图中的图案的相对位置即可进行排除。
3、侧面“滚动法”
滚动相邻面，确定相对位置与方向。
在滚动的过程中要注意只有相邻面才能滚动，在滚动的过程中要抓住一个公共点，每次滚动只能滚动90度，并且在滚动时，滚动的面上面的图案也要跟着滚动变化。
4、一字型平移
六面体标准的展开图是“1-4-1”的形式，即四个面展开成一行，行的上下各一个面，这时成为一行的四个面即是可以进行平移的。
如：最左边的面可平移到最右边，只要保证相邻的面不变即可，
平移的目的是将本来距离比较远的面放在一起，进而观察其对应的立体图形选项。
立体几何题型与解题方法
1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ， 推出点在面内）， 这样可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的 公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证 明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没 有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点 和直线等）
组成一个直角三角形.
c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：
①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.
分线上。
4. 平面平行与平面垂直.
（1）. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.
（2）. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
（“线面平行 面面平行”）
推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.
[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.
立体拼合解题方法
立体拼合解题方法
在解决立体拼合问题时，存在一种有效的解题方法，可以帮助我们更好地理解
和解决这类问题。
立体拼合解题方法旨在找到一个合理的方式来组合各个立体体块，以构建所需的形状或结构。
首先，我们需要仔细观察给定的立体体块和题目要求，理解每个立体体块的形状、尺寸和特征。
我们需要了解每个立体体块的组成部分以及它们如何相互连接。
其次，我们可以通过手工实践或将问题转化为二维图形来更好地理解和解决立
体拼合问题。
将立体体块在平面上绘制出来，可以帮助我们更好地分析它们的相对位置和相互关系。
在解决立体拼合问题时，我们可以通过尝试不同的组合方式来逐步接近正确答案。
可以先找到一些相对容易拼合的部分，再逐步将其他体块拼接到这些部分上。
这种逐步拼接的方法可以帮助我们更好地控制整个拼合过程，并最大程度地减少错误。
此外，可以尝试使用一些辅助工具或技巧来解决立体拼合问题。
例如，使用图纸、剪纸或数学模型等工具可以帮助我们更好地可视化问题，并找到一种更直观的解决方案。
最后，我们需要不断练习和尝试。
通过反复练习解决立体拼合问题，我们可以
提高我们的空间想象力和逻辑推理能力。
这些技巧和经验将有助于我们更快地解决类似的问题，提高我们的问题解决能力。
总的来说，立体拼合解题方法包括仔细观察、转化为二维图形、逐步拼接、使
用辅助工具和不断练习。
通过运用这些方法，我们可以更好地解决立体拼合问题，并提高我们的解题能力。
省考行测立体图形之折纸盒问题最佳五种解法
省考行测立体图形之折纸盒问题最佳五种解法在公务员行测考试中，图形推理均是判断推理部分的必考版块之一，而其中的立体图形的折叠问题(折纸盒问题)是常考考点。
所谓折纸盒问题即题干左面给大家一个正方体的平面展开图形，右面给大家四个选项，让大家从中找出一个可以由左面的平面图形折成的立体图形。
对于这种题型，很多空间想象能力不高的同学经常感觉一头雾水、无从下手。
鉴于此，中公教育专家给大家提供几种解题思路，保证大家在考场上看到这类题目便喜笑颜开。
方法一：根据相对面法则排除法相对面法则即在立体图形中，比如正方体、长方体等都有六个面，而这六个面中有三组相对面。
而在平面中表现立体图形时往往只能表现三个相邻面。
因此，三组相对的两个面在选项中的立体图形中必须出现而且只能出现一个面。
相对面如何判断?以下给大家列举几种常见的情况。
下图中的两个阴影面均属于相对面，折成立体图形后，相对的两个面不能相邻。
例：根据相对面排除法可知，两个阴影面是相对关系，所以可以排除A、C、D，选B。
方法二：时针法对于立方体纸盒，折成后只能看到图形的三个面。
所谓时针法就是比较这三个面在立体图形与平面图形中的旋转方向来判断选项的正确与否。
然而并非任意三个面都可以画时针，时针法应用的前提有两点：1、画时针的三个面必须不存在平行面;2、画时针的时候必须保证这三个面至少两对面两两有交点。
如在下面两个图中，两个平面图中的1、2、3三个面都不平行，满足了时针法的第一个前提。
此外，第一个图形中1、2两个面有两个交点(红点)，2、3两个面有一个交点(蓝点);第二个图形中1、2两个面的交点为a、b，1、3两个面的交点为b、c，2、3两个面的交点为b。
第一个图形中两对面两两有交点，第二个图形中三对面都两两有交点，所以满足时针法的第二个前提。
因此，这两个图都可以用时针法解决的。
方法三：公共顶点法在平面中相交于同一个公共顶点下的三个面，其面上的图形与公共顶点的位置关系保持不变。
巧建系，妙解立体几何题
解题宝典立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.在解答立体几何问题时，我们一般只有借助立体几何图形来进行分析，才能快速明确题目中点、线、面的位置关系，找到解题的突破口.建系法是解答立体几何问题的一种重要方法，而运用建系法解答立体几何问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，通过空间直角坐标运算求得问题的答案.那么如何选取坐标轴和原点，建立合适的直角坐标系呢？主要有以下两种方法.一、根据几何体的性质和特点建系我们知道，空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，并相交于一点.因此，在解答立体几何问题时，可以根据简单几何体的特点和性质，尤其是长方体、直棱柱、直棱锥、圆柱的性质和特点来寻找垂直关系.当图形中出现三条直线两两互相垂直且交于一点时，可以将这三条直线看作坐标轴，将该交点视为坐标原点来建系.例1.（2019年全国卷Ⅱ理科·第17题）如图1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.图1图2分析:本题主要考查了二面角的求法.我们根据长方体的特点和性质可知长方体的所有侧棱都与底面垂直，且底面上由顶点出发的两条棱相互垂直，于是可将底面的其中一个顶点视为原点，以由顶点出发的三条棱为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.然后根据题目给出的条件，找出相关点的坐标，求出两个平面、BEC 、ECC 1的法向量，再根据公式求出两个平面法向量的夹角余弦值，便可得出夹角的正弦值.解：以点D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D -xyz .设正方形ABCD 的边长为1，||AA 1=2a ，则||A 1E =||AE =a ，所以||EB 1=||EB =a 2+1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，且BE 在平面ABB 1A 1内，因此C 1B 1⊥BE .由题知BE ⊥EC 1,所以BE ⊥平面EB 1C １.且EB 1在平面EB 1C 1内，则BE ⊥EB 1.在RtΔB 1EB 中，EB 12+EB 2=B 1B 2，即a 2+1+a 2+1=4a 2，所以a =1，所以B (1,1,0)，C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，所以 CE =(1,-1,1)， CB =(1,0,0)， CC 1=(0,0,2)设平面BCE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíî n 1·CE =x 1-y 1+z 1=0, n 1·CB =x 1=0,，解得{x 1=0,z 1=y 1,取 n 1=(0,1,1)，设平面CEC 1的法向量为 n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíî n 2·CE =x 2-y 2+z 2=0, n 2·CC 1=2z 2=0,解得{z 2=0,y 2=x 2,取 n 2=(1,1,0)，所以cos n 1, n 2=n 1·n 2|| n 1·|| n 2=12.于是sin n 1, n 2=,故二面角B -EC -C 1的正弦值为.例2.如图3，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1=AC =CB .求二傅灵欣廖小莲44解题宝典面角D -A 1C -E 的正弦值.图3图4分析：该几何体为直三棱柱，我们可以根据直三棱柱图形的特点和性质来建立空间直角坐标系.直棱柱的侧棱垂直于底面，只要根据题目的条件在直三棱柱的底面找到两条互相垂直且与侧棱有交点的直线，这样三条直线两两便会互相垂直，为建立空间直角坐标系创造了条件.求出相关点的坐标以及二面角所包含的两个平面的法向量，再根据公式便可求出二面角的余弦值，求得夹角的正弦值.解：由AC =CB =得ΔACB 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，又因为是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以棱CC 1⊥底面ACB .故以点C 为原点、CA 的方向为x 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.设AB =2，则AA 1=AC =CB =AA 1=2，则A (2,0,0)，B （0，2,0），D 0），A 1（2,0，2），C （0,0,0），又因为AA 1=BB 1=2，所以E(0,2，于是 CA 1=（2,0，2）， CD =0），CE =（0，2，，设平面DA 1C 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíîïï n 1·CA 121+2=0,CD · n 1=2121=0,解得{x 1+z 1=0,x 1+y 1=0,取n 1=(1,-1,-1)，设平面A 1CE 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíîïï n 2·AC 1=2x 222=0, CE · n 2=2y 222=0,解得ìíîïïx 2+z 2=0,y 2+12z 2=0,取n 2=（2,1,-2），所以cos n 1， n 2=n 1·n 2|| n 1·||n 2=，则sin n 1, n 2=故二面角D -A 1C -E 的正弦值为.在用建系法解答与长方体、直棱锥有关的立体几何问题时，可以根据长方体、直棱锥本身的性质和特点来建系，若无法根据几何体的性质和特点建系，可以根据题意创造条件来建系.二、利用线面垂直关系建立直角坐标系在建系时，z 轴往往是比较容易选取的，而坐标原点即为z 轴与底面的交点，那么我们只需要确定与z 轴垂直的坐标平面xOy ，且使x 轴、y 轴相互垂直即可.可以根据线面垂直关系来寻找与z 轴垂直的平面.首先要充分利用好底面中的垂直条件，然后根据线面垂直的判断定理得到相应的z 轴以及与z 轴垂直的平面，这样便可建立符合要求的空间直角坐标系.例3（2020年全国Ⅰ卷，第20题）如图5，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.图5分析：我们可以先根据线面垂直的关系，即PD ⊥底面ABCD 来建立空间直角坐标系.而四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，所以正方形的四条邻边相互垂直，于是可以以D 为坐标原点、DA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，设45方法集锦。
立体几何七大解题技巧
立体几何七大解题技巧
一、把问题转化成数学问题
三维几何的问题可以转化为数学问题，如求解三角形的面积、求解两个空间向量的点积、求解空间曲线的长度等，都可以用数学方法来解决。
二、利用空间几何公式
三维几何中有许多空间几何公式，如三角形面积公式、平面夹角公式等，利用这些公式可以解决许多三维几何问题。
三、利用空间图形构建
可以利用空间图形构建的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
四、利用空间投影
可以利用空间投影的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
五、利用空间变换
可以利用空间变换的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
六、利用空间对称
可以利用空间对称的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
七、利用空间分析
可以利用空间分析的方法，把三维几何问题转换成二维几何问题，这样就可以利用二维几何的知识来解决三维几何问题。
立体图形上的最短路径问题
【答案】13cm 【解析】 试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从 B 点到 A 点
的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析：
解：展开图如图所示， AB 52 122 13cm
所以，蚂蚁爬行的最短路线是 13cm
类型二 通过旋转来转化 【例题 2】如下图，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底 面上的 A 点沿棱柱侧面到点 C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？
A． 13
【答案】B 【解析】 试题分析：
B． 17
C．1 D． 2 5
根据已知得出蚂蚁从盒外的 B 点沿正方形的表面爬到盒内的 M 点，蚂蚁爬行的最短距离是
如图 BM 的长度，进而利用勾股定理求出 试题解析：
解：∵蚂蚁从盒外的 B 点沿正方体的表面爬到盒内的 M 点 ∴ 蚂蚁爬行的最短距离是如图 BM 的长度 ∵无盖的正方体盒子的棱长为 2， BC 的中点为 M ∴ A1B 2 2 4 A1M 1 ∴ BM 42 12 17
【难度】较易 类型二 通过旋转来转化 2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处开 始绕油罐一周造梯子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？
【答案】13m
【解析】
试题分析：把圆柱沿 AB 侧面展开，连接 AB ，再根据勾股定理得出结论
【答案】 34cm
【解析】 试题分析：
展开后连接 SF ，求出 SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点 S 作 SE CD 于 E ，求出 SE 、 EF ，根据勾股定理求出 SF 即可.
高考满分数学压轴题16 立体几何中探索性问题(可编辑可打印)
一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。
考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。
现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二．解题策略类型一 空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，立体几何中探索性问题且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点， 则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==， 根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形， 则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。
高考数学中的立体几何问题及解题方法
高考数学中的立体几何问题及解题方法高考数学中，立体几何是一项重要的考试题型。
相比于平面几何、代数和概率统计等内容，立体几何更为抽象，对学生的空间想象力和逻辑能力要求更高。
本文旨在探讨高考数学中的立体几何问题及其解题方法。
一、立体几何常考题型常见的立体几何问题包括立体几何图形的性质、体积、表面积等问题。
下面列举一些高考中经常出现的立体几何考点。
1. 立体图形的名字和性质高考中经常出现的立体图形包括正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
学生需要掌握这些图形的属性，比如正方体的六个面都是正方形、长方体的所有面都是矩形等等，只要掌握了它们的基本属性，在解决题目时就能做到心中有数。
2. 体积求立体图形的体积是立体几何中比较基础和常见的题型。
学生需要清楚掌握各种常见图形的体积公式，例如：①正方体的体积公式：V=a³②长方体的体积公式：V=lxwxh③棱柱的体积公式：V=Ah④圆柱的体积公式：V=πr²h⑤球的体积公式：V=4/3πr³⑥棱锥的体积公式：V=1/3Ah注意，这些公式必须要掌握，不要在考试中还在纠结于公式的推导方法。
3. 表面积求立体图形的表面积也是数学中的一大题型。
常见的几何图形表面积的计算方式有如下几种公式：①正方体的表面积公式：S=6a²②长方体的表面积公式：S=2(lw+lh+wh)③棱柱的表面积公式：S=2B+Ph④圆柱的表面积公式：S=2πr²+2πrh⑤球的表面积公式：S=4πr²⑥棱锥的表面积公式：S=B+1/2Pl其中B表示底面积，P表示底面外接多边形的周长，l表示斜几何。
上面列举的是一些常见的立体几何题目，还有一些特殊题目需要学生掌握，例如“平行四边形体积定理”、“曲面半径定理”等等。
二、举例分析解题方法1. 体积题例题：某学校花坛为正方形，长和宽之和为25米，现在将花坛增加5个方块，每个方块边长为2米，求增加的花坛的体积。
立体几何探究性试题的求解策略
立体几何探究性试题的求解策略探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就各类问题来探讨一下求解的策略。
一、探究两条异面直线所成的角例 1 （2004浙江）如图1已知正方行ABCD 和矩行ACEF所在平面互相垂直，1AB AF =，试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60，并加以证明。
分析：设(02)AP x x =≤≤，利用PF 与BC 所成的角是60来构建 以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置。
解法1：如图2，ABCD2AC ∴=设(02)AP x x =≤≤作PQ AB ⊥交AB 与Q ，则PQ //BC ，相交直线PF PQ 与所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角。
平面ABCD ⊥平面ACEF,ACEF 矩行，,AF AC AFABCD ∴⊥⊥平面AF PQ ⊥，AB AF A ⋂=，,PQ ABF PQ FQ ∴⊥⊥平面要使PF BC 与所成角是60，只需使60FPQ ∠=，只需使2PF PQ =，222PQ AP x ==，∴只需使PF =，又在Rt APF 中，PF =，，1x ==，所以当P 点是线段AC 的中点时PF BC 与所成的角为60。
二、 探究直线与平面所成的角例2：（2006年江西）如图4，在三棱锥A BCD -中，侧面,ABD ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且1,AD BD CD ===另一个侧面是正三角形，在线段AC 上是否存在一点E ，使ED BCD 与面成30角，若存在，确定E 的位置，若不存在，请说明理由。
分析：如图5把在三棱锥A BCD -补成以BD 为棱的 正方体HCDB---AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解 找到ED 与面BCD 所成的角。
初中立体几何解题技巧与空间想象能力培养
初中立体几何解题技巧与空间想象能力培养立体几何作为初中数学的重点内容之一，是一门需要具备一定空间想象能力的学科。
对于许多学生来说，立体几何问题往往是令人感到头痛的难题。
本文将介绍一些初中立体几何解题的技巧，并提供一些培养空间想象能力的方法。
一、立体几何解题技巧1. 掌握基本图形的性质在解立体几何问题时，首先需要对常见的基本图形的性质有一定的了解。
比如，熟悉长方体的六个面，正方体的八个顶点以及棱长相等的特点等等。
通过掌握这些基本图形的性质，能够更好地理解和分析立体几何问题。
2. 注意立体图形的投影立体图形的投影是解题时不可忽视的因素。
在解题过程中，应该注意观察图形在不同视角下的投影，特别是在平面图和立体图之间进行转换时。
3. 利用剖面图解题对于一些复杂的立体几何问题，可以通过绘制剖面图来进行解题。
绘制剖面图可以有助于我们更好地理解和分析问题，从而找到解题的关键。
4. 运用三视图解题在解题过程中，三视图是较为常用的方法之一。
通过观察图形的前视图、俯视图以及侧视图，可以更加全面地了解立体图形的形状和特点，从而解决问题。
5. 合理利用等量关系立体几何问题中，等量关系是解题的重要依据之一。
通过寻找不同部分之间的等量关系，可以进一步推导问题的解答。
二、培养空间想象能力的方法1. 绘制立体几何图形为了增强空间想象能力，学生可以尝试自己绘制一些立体几何图形。
通过动手操作，学生可以更好地理解图形的形状和特点，从而提高空间想象能力。
2. 进行模型拼装模型拼装是培养空间想象能力的有效方法之一。
学生可以购买一些简单的立体拼图或搭建积木，通过拼装和搭建的过程，锻炼空间构思和想象能力。
3. 进行触摸实验触摸实验可以加深对立体几何图形的理解。
学生可以亲自触摸一些实际的物体，感受不同形状和表面特性对触感的影响，从而提高对空间的认知。
4. 利用计算机软件辅助学习现代技术的发展，为学生提供了更多培养空间想象能力的机会。
一些立体几何软件可以模拟和展示不同的几何图形，通过使用这些软件，学生可以更直观地感受和理解立体几何的概念和性质。
公务员行测立体图形解题技巧(图文解析版)
有点关于立体图形解题的看法，发表如下：
我称之为公共棱法。
立体图公共棱是两个面的公共部分，它本身是条线，也是对2个图形内容相对位置和方向进行“翻译”的媒介。
下面介绍这种不用折纸法和橡皮就能搞定立体图形的简单原理图：
公共棱法口诀：首先找参考面
其次找参考面上的公共棱
最后根据公共棱与两相邻面内容的相对位置和方向，解决问题。
为了节省解题时间，应尽量使用排除法，之后采取本法。
公共棱法中，快速寻取公共棱是应用的关键。
前段时间提了一种立体解法，公共棱法，原理连接：http://bbs.qzzn.co
m/read-htm-tid-10702937.html
今天有Q友很疑惑，我再讲解几道题如下所示：
此外，我想提醒某些“人”一句，没有人有义务向你提供解法和资料（包括我在内），这不是理所当然的。
请尊重Q友提供学习资源和解法的辛勤劳动，行测版不欢迎恶语相向的“人”，请走开！。
数学立体几何解题技巧
数学立体几何解题技巧数学立体几何解题技巧我们把不同于一般解法的巧妙解题方法称为解题技巧,它来源于对数学问题中矛盾特殊性的认识。
下面是店铺精心整理的数学立体几何解题技巧，欢迎阅读与收藏。
数学立体几何解题技巧篇11平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
立体几何题型及解题方法总结
立体几何题型及解题方法总结1. 立体几何题型啊，那可是个神奇的领域！有求各种立体图形体积的题型，就像求一个装满水的古怪形状瓶子能装多少水一样。
比如说正方体，正方体的体积公式就是边长的立方。
要是有个正方体边长是3厘米，那它的体积就是3×3×3 = 27立方厘米，简单吧！这类型的题就像是数糖果，一个一个数清楚就行。
2. 还有求立体图形表面积的题型呢。
这就好比给一个形状奇怪的礼物包装纸，得算出需要多少纸才能把它包起来。
像长方体，表面积就是六个面的面积之和。
假如一个长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米，那表面积就是2×(4×3 + 4×2 + 3×2) = 52平方厘米。
哎呀，可别小瞧这表面积，有时候算错一点就像给礼物包了个破纸一样难看。
3. 立体几何里关于线面关系的题型也不少。
这就像在一个迷宫里找路，线和面的关系复杂得很。
比如说直线和平面平行的判定，就像在一个方方正正的房间里，一根直直的杆子和地面平行，只要杆子和地面内的一条直线平行就行。
像有个三棱柱，一条棱和底面的一条棱平行，那这条棱就和底面平行啦，是不是很有趣呢？4. 线面垂直的题型也很重要哦。
这就像是建房子时的柱子和地面的关系，必须垂直才稳当。
判断一条直线和一个平面垂直，就看这条直线是不是和平面内两条相交直线都垂直。
就像搭帐篷，中间那根杆子要和地面上交叉的两根绳子都垂直，帐篷才能稳稳地立起来。
比如一个正四棱锥，它的高就和底面垂直，因为高和底面两条相交的对角线都垂直呢。
5. 面面平行的题型有点像照镜子。
两个平面就像两面镜子，要想平行，得看一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行。
就像有两个一样的盒子，一个盒子里面两条交叉的边和另一个盒子里面对应的两条交叉边平行，那这两个盒子的面就是平行的关系。
想象一下，如果两个平行的黑板，是不是很有画面感？6. 面面垂直的题型就像是打开的书页。
关于小学数学立体图形问题解题方法的思考
关于小学数学立体图形问题解题方法的思考摘要：在小学数学中，立体图形具有复杂多样性，要求小学生具备较高的解题能力，数学教师在课堂上要着重引导学生运用思维转化、空间想象，学会举一三反，掌握数学规律，有助于学生养成数学思维，有效解决立体图形问题。
关键词:立体图形问题；解题方法；小学数学立体图形在小学数学内容中充当着重要位置，因为立体图形的多变性，往往让学生很难做出正确答案。
鉴于此，数学教师在教学过程中要引导学生了解立体图形的变化规律，掌握解题方法，开拓学生的数学思维，培养学生的解题能力。
一、转化思维立体图形常常会在平面图形和立体图形之间进行转化，因此，学生要转变解题思维，从不同角度，变换解题方法，才能在做题时事半功倍。
比如，六年级数学教材中，有一道立体图形题，用铁丝做一个长、宽、高分别为9厘米、4厘米、3厘米的长方形框架，最少要用多长的铁丝？在长方形框架外贴一层纸，最少要用多少纸张？解决这个立体图形问题，就要求学生转变解题思维，将立体长方形转变成长度和面积的计算，进而去解决立体空间数学问题。
但是，立体图形解题思维的转化，不仅仅局限在数学平面量的转化，在立体图形的计算过程中也充当着重要作用。
学生掌握思维转化后，在日后的学习中解决立体图形体积问题也有很大帮助，还能启发学生的发散思维和空间想象力。
二、空间想象立体图形在小学数学学习阶段只是起到了启蒙教育作用。
所以，教师在教导学生解决立体图形问题时，要培养学生的空间想象能力，通过一些叙述类题目，让学生在脑海中想象与题目相关的实物，增强对学生的空间想象训练，有助于学生掌握立体图形解题方法。
比如，一道关于圆柱和圆锥的一些习题，修建一个圆柱形的水池，高2米，底部直径为3米，将水池的四周与底部都抹上水泥，求抹水泥的面积为多少平方米？若想解答这道题，就要求学生发挥数学空间想象思维能力。
空间想象可以将文字叙述更加具体化，减少题目对学生的迷惑，让学生迅速解答出来。
教师要重视培养学生的空间想象力，在日后更有难度的立体图形问题解决上有所帮助。
立体图形常用解答方法
立体图形常用解答方法【空间想象】【1】【分析】求剩下的小正太的个数，通常有两种方法①求取掉的小正方体的的个数，然后用得数去减原来是小正方体的个数. 本题中，取掉的小正方体在不同方向上互有穿插.②直接求剩下的小正方体数目，但剩下的几何体非常复杂，需要有合适的方法将它分割为多块后分析.【解】解法1：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5×5＝25个，由侧面图形抽出的小正方体有5×5＝25个，由底面图形抽出的小正方体有4×5＝20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1×2＋2×1＋2×2＝8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1×2＋1×1＋2×2＝7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个.根据容斥原理，25＋25＋20－8－7－7＋4＝52，所以共抽出了52个小正方体.所以上图中剩下的小正方体有125一52＝73 个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法2 : （用“切片法”来解）从上到下切五层，得五片如下图所示．或者从右到左切五层，得五片如下图所示．这里我们以从上到下的切法为例，分析第二层的挖空方法：第（1）步，把中间这些位置的4 块挖走．第（2）步，把从右向左的2 块成线地挖走．（请注意挖通的效果就是成线挖去）第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只有一块！）成线挖去！所得图形则第二层挖完后的图形．其他层同理所得．【评析】“切片法”的思想方法是化整为零块，有序思考！全面打洞，挖块成线．【2】【解析】把空间图形表面的线条画在平而展开图上，只要抓住四边形APQC 四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．考虑到展开图上有6 个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，立体图上的A、C点在展开图上有3 个，B、D 点在展开图上有2个，我们用加“′”和“〞”来表示见左下图．( 2 ）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面． 顶点：A, C 在AC 上，P 在EF 边上，Q 在GF 边上，边AC 在ABCD 面上，AP 在A 〞B ′FE 面上，QC 在 BCGF 面上，PQ 在EFGH 面上．( 3 ）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．连好线的图形如右上图．【评析】 对照立体图形展开图上，线的位置，取点确定．【3】【分析】 整体观察，发挥想象．【解】 本题还原的技巧在于反用“切片法”.首先根据俯视图，底层必有这么11个，这是不能再少的．第二步，不妨先根据正视图，再在一侧加上7 块．第三步，再根据侧视图，说明另一侧至少要加上l 块．最后，注意“最少”，把“躲”在后面的去掉，即成如图所示．以俯视图为标准，三行当中中间行至少有2块，上行至少6块，下行至少10块，此时才能满足正视 图和侧视图．即所堆的立体的体集至少应用18 块正方体的体集．当然，这里的形状不唯一【评析】 此题考点是“切片法”.【4】【分析】 用阳光照面的方法展开图形．画法可先横后竖．表面积可根据上、下、左、右、前、后分别求，最后再求和．立体图形的形状如下图所示．（此题十分经典）从上面和下面看到的形状面积都为9 2cm ，共18 2cm ；从两个侧面看到的形状面积都为7 2cm ，共14 2cm ；从前面和后面看到的形状面积都为6 2cm ，共12 2cm ；隐藏着的面积有2 2cm .一共有18＋16＋12＋2＝48 (2cm ）.【评析】 本题考点是不规则立体图形表面积和空间想象力．【5】 【分析】 大正方形体积减去右边图形体积就是我们要求的体积．【解】 ① 外侧表面积为6×10×10一4×4×4一π×22×2＝536一8π.内侧表面积＝16×4×3＋2×（4×4 一π×22)＋2×2π×2×3＝192＋32一8π＋24π＝224＋16π． 总表面积为224＋16π＋536一8π＝760＋8π＝785. 12（平方厘米）.②计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如上右图，只要求出这个几何体的体积即可．挖出的几何体体积为4×4×4×3＋4×4×4＋2×π×22×3＝192＋64＋24π＝256＋24π．所求几何体体积为10×10×l0一（256＋24π）＝668. 64（立方厘米）.【评析】打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面．【立体染色】【1】【分析】芯是本题的关键，从芯人手．“芯”是没有暴露在最外一层的正方体.12被3个整数整拆只有4种情况：1×1×12, 1×2×6, 1×3×4, 2×2×3 .两面涂红的有28块，因为正方体长，宽，高都有4条，所以长宽高之和为 28÷4＝7 符合条件．只有2＋2＋3＝7 , 所以芯为2×2×3的长方体．一面涂红的为（2×2＋2×3＋2×3) ×2＝32（个）, 原体积（2＋2)×(3＋2)×(2＋2) ＝80（立方分米）.【2】【分析】一个正整数×52％＝另一个正整数，那么这个正整数必须能被25 整除大正方体的边长必须是5的倍数，才能保证切割后的小正方体的个数是25的倍数，所以，N可以取5, 10, 15，…当N＝5 时，正方体有5×5×5＝125 个小正方体，涂色的小正方体有5×5×5×52％＝65（个），不可能被涂色的小正方体3×3×3＝27 （个, 27＋65 小于125 成立．当有大正方形包含一组对面的任意3个面被涂色，即可成立．当N＝2×5＝10 时，正方体有10×10×10＝1000个小正方体，涂色的小正方体10×10×l0×52％＝520（个），不可能被涂色的小正方体8×8×8＝512（个）, 512＋520大于1000 ，所以N＝10 的情况不成立．同理N 大于10 都不成立．所以N＝5 .【等积变化原理的应用】【1】【分析】观察前后酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．【解】酒的体积15π×(10/2)× (10/2) ＝375π瓶中剩余空间的体积（30 一25 ）π×(10/2）×（10/2）＝125π.酒瓶容积375π＋125π＝500π＝1500 (ml)【评析】当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．本题考点是立体图形的等积变形.【2】【解】由题意，这个长方体只能锯成长为1厘米的小正方形，而这个长方形一共可锯成25×10×4=1000（个）这样的小正方体可拼成棱长为10厘米的大正方体，其表面积是10×10×6=600平方厘米答：这个大正方体的表面积是600平方厘米【3】【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：22251521817.725πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．底面积为225221πππ-=，水的体积保持不变为2515315ππ⨯=． 所以有水深为315617217ππ=(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出.于是6177厘米即为所求的水深． 【4】【解析】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。
立体几何的基本概念与计算的探索与学习
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空间几何体的表面积与体积
定义：表面积是指立体几何图形表面的总面积，体积是指立体几何图形所占空间的大小。
计算方法：根据几何体的形状和尺寸，采用相应的公式计算表面积和体积。 常见几何体的表面积与体积公式：如球体、圆柱体、圆锥体等。 应用：在工程、建筑、物理等领域中，表面积与体积的计算具有广泛的应用。
推理过程。
灵活运用公式和定理： 熟练掌握立体几何的基 本公式和定理，能够快
速解题。
画图分析：通过画图将 抽象的几何问题具体化， 有助于理解题意和寻找
解题思路。
感谢观看
汇报人：XX
计算方法：利用勾股 定理或三角函数求解
实际应用：建筑设计、 工程测量等领域
注意事项：考虑几何 形状的特殊性，选择
合适的计算方法
04
立体几何的应用实例
建筑中的立体几何应用
建筑设计中的立体几何概念 建筑结构中的立体几何原理 建筑外观中的立体几何美学 建筑空间中的立体几何布局
机械中的立体几何应用
机械零件的形 状和尺寸设计
机械运动轨迹 的计算
机械制造中的 空间位置关系
机械工程中的 立体几何建模
010203来自04艺术中的立体几何应用
建筑设计：利用立体几何原理设计建 筑物的外观和结构，如巴塞罗那的米 拉之家。
雕塑艺术：通过立体几何的形态和 线条，创造出具有空间感的雕塑作 品，如法国雕塑家罗丹的作品。
绘画艺术：在绘画中运用立体几何 原理，可以增强画面的空间感和立 体感，如荷兰画家蒙德里安的作品。
服装设计：立体几何在服装设计中 也有广泛应用，如利用几何图案和 线条设计出时尚、独特的服装款式。
科学实验中的立体几何应用
光学实验：利用立体几何原理研究光的折射、反射和干涉等现象。
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立体图形问题的解题方法探索
作者：戴安定
来源：《小学教学参考(数学)》2017年第07期
[摘要]立体图形问题复杂多变，对学生的解题能力要求较高，教师在教学中应注重引导学生掌握正确的解题方法。
通过思维转化、空间想象、举一反三和利用规律这些方法，可帮助学生轻松解决立体图形问题，锻炼学生的数学思维。
[关键词]立体图形问题；解题方法；小学数学
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）20-0038-02
立体图形是小学数学学习的重要内容。
由于立体图形问题复杂多变，对学生的能力要求较高，学生通常难以正确解答。
对此，教师在教学中应引导学生掌握解决立体图形问题的方法，拓宽学生的解题思路，培养学生的思维能力。
一、转化思维
立体图形问题常常会涉及立体图形与平面图形或立体图形之间的转化，对此，学生只有学会转化思维，才能变换解题的角度与方法，使解题事半功倍。
例如，人教版六年级中的立体图形题目：用铁丝做一个长10厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要多长的铁丝？在这个长方体框架外面糊一层纸，至少需要多少平方厘米的纸？解决这一道题需要学生转化思维，将立体的长方体转化为长度与面积的计算，从而运用简单的知识解决这类需要空间想象的问题。
当然，思维转化技巧也不单单局限于立体图形与面积和长度这些平面量的转化，它在立体图形的计算中也有很重要的作用。
例如，人教版六年级下册中对圆柱体积计算就运用了思维转化的方法：将圆柱底面进行平均拆分后拼组成无限接近长方体的立体图形，从而直观地推算出圆柱的体积公式。
这种思维转化，对学生今后解决立体图形体积问题有很好的帮助，也能锻炼学生的发散思维与空间想象力。
二、空间想象
小学阶段是学生了解立体图形的启蒙阶段。
因此，在引导学生解答立体图形问题时，教师应给学生提供一些简单的文字叙述题，让学生想象题目涉及的相关情境，加强学生的空间想象训练，从而提高学生的空间想象力，帮助学生有效解决立体图形问题。
例如，人教版六年级下册“圆柱与圆锥”的练习题：修建一个圆柱形的沼气池，底面直径是3m，深2m。
在池的四壁与下底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？解决这类语言叙述题就需要学生发挥空间想象力。
空间想象能在一定程度上将抽象的语言描述具象化，减轻学生对题目产生的恐惧感，提高学生的解题效率。
空间想象的锻炼对学生今后解决更深层次的立体图形问题大有裨益，应予以重视。
在进行了简单的叙述性数学题锻炼后，教师可结合生活实际问题对学生进行解题技巧锻炼，以达到将空间想象的数学思维与现实生活的应用结合起来的目的。
例如，人教版六年级下册“圆柱与圆锥”的练习题：一种电热水炉的水龙头的内直径是
1.2cm，打开水龙头后水的流速是20厘米/秒。
一个容积为1L的保温壶，50秒能装满水吗？这个问题将死板的圆柱体积计算转化成生活中的小问题，这种与实际结合的问题更能发展学生的数学思维，提升学生的空间想象力。
空间想象不仅在解立体图形问题上有直观的帮助，而且对学生空间几何思维的发展也有促进作用。
三、举一反三
举一反三是解决立体图形问题的关键思维。
在立体图形解题训练中，教师应注重培养学生举一反三的能力。
例如，在人教版六年级下册“圆柱与圆锥”这一章节中，对于圆柱的理解，教材运用了将长方形旋转成圆柱的方法，让学生了解圆柱的同时也加强了对圆柱体积计算公式的推导。
在本章节还采用了利用直角三角形旋转从而得出立体圆锥的方法，这一方法也是教师引导学生进行的，为了让学生了解圆锥体积计算公式的推导过程，熟悉并掌握“举一反三”的思维方式。
在本章练习中，给出了让学生独立解决的问题，例如：
这类循序渐进的立体图形问题有利于学生举一反三思维的培养，对今后学生数学能力的提高有重要促进作用。
除了这类基本的立体图形问题外，还可为学生安排一些较为复杂的拔高题，以训练学生举一反三的思维。
例如，人教版五年级“长方体与正方体”这一章节中的课后习题：花园小区为居民新安装了50个休息的凳子，凳面（视其为长方形）的长、宽、高分别是100cm、45cm、4.5cm，凳腿的长、宽、高分别是45cm、5cm、35cm。
这些凳子共用混凝土多少方？该问题与后面的题目“六一儿童节前，全市的小学生代表用棱长为3cm的塑料正方体在广场中央搭起了一面长6m、高2.7m、厚6cm的奥运心愿墙。
这面墙一共用了多少块积木？”有着很好的呼应作用。
这两个题目同为冗杂的叙述类题型，但是仔细分析题目不难发现，它们都属于长方体与正方体体积公式的套用。
这样的题目安排顺序及题型组合训练，对学生举一反三思维的锻炼有着极大的帮助，有利于提高学生的数学解题能力。
四、利用规律
在立体图形问题的解决过程中，如何提高解题速度是一个难点。
在对教材的分析探索中不难发现，通过对规律的记忆与运用，有助于学生轻松解决立体图形问题。
例如，人教版五年级“正方体与长方体”这一章节中，课后讨论了一个问题：如何测量两个不规则橡皮泥的体积？书中采用了“排水法测不规则物体体积”这一实用的数学方法。
随后，在练习中提出了一个不规则物体体积测量问题：爸爸在一个底面积为51dm2的长方体鱼缸里放了一个假山，水面上升了3cm。
这个假山的体积有多大？学生初见这个问题时会手足无措，但是在学了测量不规则物体体积的方法和规律后，就能轻松解决。
又如，人教版六年级关于圆柱与圆锥的讨论之中，给出了一个问题：一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？若一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26cm2，那么圆柱的底面积是多少？这两个问题放在一起是一种规律解题的体现，学生熟知第一道题的解决方法后，对于第二道题也就能够熟练地运用规律轻松解决。
“利用规律”这种解题方法适合于简单立体图形问题的解题速度训练，对于高难度的立体图形问题则不适合，需要综合运用空间想象、举一反三、转化思维等解题方法。
总之，立体图形是小学数学学习的重要组成部分，对于立体图形解题方法的探索对数学教学的开展具有极其重要的作用。
用转化思维、空间想象、举一反三、利用规律等方法拓展学生的解题思路，促进学生有效解决问题，提升思维能力，应是立体图形问题教学的着力点。
（责编黄春香）。