全等三角形 尺规作图
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
八年级数学上册全等三角形. 尺规作图 经过一已知点作已知直线的垂线
13．4 尺规作图
第3课时 经过(jīngguò)一已知点作已知直线的垂线
第一页，共九页。
第二页，共九页。
知识点❶ 经过已知直线上一点作已知直线的垂线(chuí xiàn) 1．(例题1变式)如图，求作已知锐角∠α的余角．
解：作法：(1)作∠AOB＝∠α；(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在 直线BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角
Image
12/13/2021
第九页，共九页。
解：如图，AH即为所求
第七页，共九页。
5．(青岛中考)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段(xiànduàn)c，直线l及l外一点A. 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
解：如图，△ABC即为所求
第八页，共九页。
内容 总结 (nèiróng)
第四页，共九页。
3．(练习题1变式)如图，已知点P和直线l，求作点P关于(guānyú)直线l的对称点P′. 解：作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则 点P′就是所要求作的点
第五页，共九页。
第六页，共九页。
4．(练习题2变式)如图，在△ABC中，作出BC边上(biān shànɡ)的高AH.(不写作法，保留作 图痕迹)
No 第13章 全等三角形。(2)延长BO至点C，作平角∠BOC的平分线OD，使OD，OA在直线
(zhíxiàn)BC的同侧，则∠AOD就是所要求作的角。2．(习题4变式)如图，已知线段a和b(a＜b)，求作 一个直角三角形，使它的一条直角边长等于线段a，斜边长等于线段b.。(3)以点B为圆心，线段b为 半径作弧，交AD于点C，连结BC，则△ABC就是所要求作的直角三角形
八年级上册数学 13全等三角形 尺规作图 第一课时 尺规作图(1)线段、角2
弧，两弧相交于x点。
思考题
▪ 、已知：角∠α，线段m。 ▪ 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
《课课练》P51-P52 第1课时尺规作图 全做
1、作一条线段等于已知线段
已知：线段MN。求作线段AC ，使AC＝MN。
作法： 1、画射线AB； 2、用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取AC＝ MN。
线段AC就是所要画的线段。
2、作一个角等于已知角
▪ 已知： ∠AOB
▪ 求作： ∠A`O`B`,使 ∠A`O`B`=∠AOB
B
O
A
B D
B` D`
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
▪ 在几何里,把限定用直尺和圆规来画
图,称为尺规作图.最基本,最常用的 尺规作图,通常称基本作图.
▪ 其中,直尺是没有刻度的;
▪ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
▪ 下面再介绍几种基本作图:
A
B
C
D
3、已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
a c
α
作法:1)作一条线段BC=a 2)以B为顶点,BC为一边,作,∠DBC=∠ α
3)在射线BD上截取线段BA=c 4)连接AC, ΔABC就是所求作的三角形
练习： 1、分别画出满足下列条件的三角形ABC （1）已知两边及夹角 （2）已知两角及夹边
a
·· ·b ·
a
·a ·
a
β
（3）已知三边
第15讲 全等三角形与尺规作图
第15讲 全等三角形与尺规作图
总纲目录
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基础知识过关
知识点一 全等三角形的性质与判定 知识点二 角平分线的性质 知识点三 线段垂直平分线的性质 知识点四 三角形中位线定理 知识点五 尺规作图
图 知角
于点P、Q;2.作射线O'A;3.以O'为圆心,OP长为半径作
弧,交O'A于点M;4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,两
弧交于点N;5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的
角
作已知角的平分 线
作线段的垂直平 分线
1.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于
1
点N、M;2.分别以点M、N为圆心,大于2 MN长为半径
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例3 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心, 以大于 1BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB
2
于点D,连接CD.若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为 105° .
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解析 ∵MN为BC的垂直平分线, ∴△BCD为等腰三角形,∵∠B=25°, ∴∠BCD=25°,∴∠CDA=∠B+∠BCD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠ CDA=50°, ∴在△ACD中,∠ACD=80°, ∴∠ACB=105°.
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拓 已知一直角边长m 1.画两条互相垂直的直线,垂足为C,在其中一边上截
展 和斜边
取CA=m;
类 长n作直角三角形 2.以点A为圆心,n为半径画弧,与另一边交于点B;
专题三 与全等三角形相关的尺规作图
1
2
3
4
3.
过程性学习 (2024重庆北碚区期末)如图，矩形 ABCD 中， AC 为其对角
线，过点 B 作 BE ⊥ AC 于点 E .
(1)用直尺和圆规，作∠ CDF ，使∠ CDF ＝∠ ABE ， DF 交 AC 于点 F ，交 BC 于点 G； (2)小明思考此时的 DF 是否会垂直 AC ，为了探究这个问题，小明尝试利用证明三 角形全等来推导 DF ⊥ AC . 根据小明的思路，完成以下填空：
第十二章 全等三角形
专题三 与全等三角形相关的尺规作图
建议用时：20分钟 1. 用尺规作图. 已知：如图，线段 a 及锐角∠α. 求作：△ ABC ，使∠ B ＝∠α， AB ＝ BC ＝ a .
`
1
2
3
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2. 如图，利用尺规，在△ ABC 的边 AC 上方作∠ CAE ＝∠ ACB ，在射线 AE 上截取
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AB ∥ CD
∠ AEB ＝∠ CFD ∠ AEB ＝90°
1
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4
4. 在学习了全等三角形的判定方法“SAS”后，小明想：“SSA(即两边及其中一边 的对角对应相等)能否判定两个三角形全等呢？”带着这个问题，请同学们作如下 探索： (1)如图1，2，已知线段 a ， b 及∠α，画△ ABC ，使∠ B ＝∠α， BC ＝ a ， AC ＝ b ；(尺规作图，保留作图痕迹)
1
2
34Biblioteka (2)观察(1)中你所画的图形，你认为“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等(SSA)”是真命题还是假命题？ 解：(2)假命题.
全等三角形尺规作图
全等三角形尺规作图xx年xx月xx日CATALOGUE目录•全等三角形基本概念•全等三角形尺规作图基本法则•尺规作图的技巧和方法•尺规作图的实例分析•尺规作图的应用和意义01全等三角形基本概念两个三角形全等是指它们能够完全重合，即三个内角相等且三条边相等。
全等三角形的记号是“≌”，读作“全等形ABCD”或“三角形ABC全等于三角形DEF”。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角平分线相等。
SSS（Side-Side-Side）：如果三角形的三条边相等，则它们全等。
AAS（Angle-Angle-Side）：如果三角形的两个角相等且这两个角的夹边相等，则它们全等。
ASA（Angle-Side-Angle）：如果三角形的两个角相等且其中一个角的对边相等，则它们全等。
SAS（Side-Angle-Side）：如果三角形的两条边相等且这两条边的夹角相等，则它们全等。
全等三角形的判定方法02全等三角形尺规作图基本法则无刻度直尺只限制长度测量，无法进行面积、角度等测量。
圆规可以用来画圆和圆弧，也可以用来复制图形。
尺规作图的基本概念直接法通过圆规和无刻度直尺，直接画出全等三角形。
间接法通过画出一个三角形，再使用圆规和无刻度直尺，间接画出全等三角形。
全等三角形的尺规作图方法画出三角形使用圆规，以点A为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点C；再以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，得到点D；连接CD得到三角形ABC。
确定两个已知点确定两个已知点A和B，并连接两点得到线段AB。
判断全等通过比较AC和BC的长度，可以判断三角形ABC和三角形DEF是否全等。
作图步骤03尺规作图的技巧和方法1作图技巧23明确要画的图形，了解所需条件和限制条件。
确定作图目标根据已知条件逐步推导，按照顺序将图形画出来。
画图步骤检查画出的图形是否符合题目要求，确保准确性。
检验作图结果根据等边三角形的性质，通过平分已知角度或边长即可得到三个等边三角形。
7全等三角形的尺规作图
第7讲三角形的尺规作图一、教学目标理解尺规作图的含义，掌握尺规作图的步骤。
二、知识点梳理1、尺规作图定义：只用直尺（没有刻度）和圆规也可以画出一些图形，这种画图的方法被称为尺规作图。
注意：尺规作图中的直尺没有刻度。
2、已知三边作三角形已知三边求作三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，c求作：△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b作法与示范：（1）作线段AB=c（2）以点A为圆心，b为半径画弧（3）以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C（4）连接AC，BC，△ABC即为所求3、已知两边及其夹角作三角形已知两边及其夹角作三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：线段a，b，∠α求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=b作法与示范：（1）作∠MBN=∠α（2）在射线BM，BN上分别截取线段BC=a，BA=b（3）连接AC，则△ABC为所求作的三角形4、已知两角及其夹边作三角形已知两角及其夹边求作三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤、图形如下：已知：∠α，∠β，线段a求作：△ABC，使∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，AB=a作法与示范：（1）作线段AB=a（2）在AB同侧，作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE相交于点C，则△ABC为所求作的三角形三、典型例题例1 下列作图属于尺规作图的是（）A、用量角器画出∠AOB的平分线B、用圆规和直尺作∠AOB等于已知的∠αC、用刻度尺画线段AB=3 cmD、用三角板作直线AB的平分线例2 如图13-4-1，已知：线段a、b。
求作：△ABC，使AB=2a，AC=b，BC=a。
例3 如图13-4-3，已知：线段m，n，∠α。
求作：△ABC，使AB=2m，AC=2n，∠A=∠α。
例4 如图13-4-5，已知：线段a和∠α。
尺规作图等腰三角形全等三角形及直角坐标
尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学课题尺规作图、等腰三角形、全等三角形及直角坐标教学目标1、 掌握尺规作图的方法，学会用几何语言描述作图过程2、 巩固全等三角形和等腰（等边）三角形的判定证明，加强用几何语言描述的能力3、 掌握平面直角坐标系及相关概念，类比（由数轴到平面直角坐标系）的方法、数形结合的思想． 教学重、难点灵活运用四种全等三角形判定定理；构建平面直角坐标系，掌握平面内点与坐标的对应．◆ 诊查检测：1、 选择题(1)一个正方形在平面直角坐标系中三个点的坐标为（-2，-3）,（-2，-1）,（2，1）,则第四个顶点的坐标为（ ）A ．（2，2） B.（3，2） C.（2，-3） D.（2，3）(2)右图中是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A 点，(0，4)表示B 点，那么C 点的位置可以表示为( )A.(0，3)B.(2，3)C.(3，2)D.(3，0)(3)已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限(4) 过两点A （3，4）,B （-2，4）作直线AB ，则直线AB( )A.经过原点B.平行于y 轴C.平行于x 轴D.以上说法都不对(5)在平面直角坐标系中，以点P(-1,2)为圆心，1为半径的圆与x 轴有（ ）个公共点A ．0B ．1C ．2D ．3(6) 如图，把图①中△ABC 经过一定的变换得到图②中的△A 'B 'C '，如果图①的△ABC 上点P 的坐标是),(b a ，那么这个点在图②中的对应点P '的坐标是A ．)3,2(--b aB ．)3,2(--b aC ．)2,3(++b aD ．)3,2(++b a2、填空题(1) 在平面直角坐标系中，点P)1,1(2+-m 一定在第 象限． (2)一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（-1，-1）、（-1，2）、（3，-1），则第四个顶点的坐标为 ． (3)点A （2，0），B （-3，0），C （0，2），则△ABC 的面积为 ．(4)将点P(-3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x,-1)，则xy=_________．A B C3、在所给的图中按所给的语句画图:①连结线段BD; A②过A、C画直线AC；③延长线段AB；④反向延长线段AD． C DE4、如图，使用圆规和直尺分别画出∠AOB和∠BOC的角平分线OM和ON，并说明作图过程．如果∠MON=68º，那么∠AOC应为多少度？5、如图为风筝的图案．（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．6、如图，在△ABC中三个顶点的坐标分别为A(-5，0)，B(4，0)，C(2，5)，将△ABC沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴沿负方向平移1个单位长度得到△EFG。
2024年冀教版八年级上册第十三章 全等三角形三角形的尺规作图
课时目标1.会利用尺规,按要求作三角形.2.会根据要求写出作三角形的已知、求作.3.知道作图的依据,会运用两个三角形全等的条件解释作图的合理性.学习重点能依据作图语言作出相应的图形.学习难点用规范的作图语言描述作法,并能依据要求作出相应的图形.课时活动设计复习回顾1.如图,已知线段a,b.求作:线段c,使线段c的长度为线段a,b长度的和.解:如图所示.2.如图所示,已知∠α,求作∠AOB,使∠AOB=∠α.解:如图所示.归纳:只用直尺(没有刻度)和圆规也可以画出一些图形,这种画图的方法被称为尺规作图.这种作图方法不必用具体数值,只按给定图形进行再作图.这也是它与画图的区别所在.设计意图:回顾基本的尺规作图,为接下来尺规作三角形做好准备.探究新知由三角形全等的判定可以知道,每一种判定两个三角形全等的条件(SSS,SAS,ASA,AAS),都只能作出唯一的三角形.探究1已知三角形的三边,利用尺规作三角形例已知三边,用尺规作三角形.如图,已知线段a,b,c.求作:∠ABC,使AB=c,BC=a,AC=b.分析:如图,由作一条线段等于已知线段,能够作出边AB,即A,B两点确定,而BC=a,AC=b,故以点A为圆心,b为半径画弧,以点B为圆心,a为半径画弧,两弧的交点就是点C.作法:问题:例题中尺规作三角形的依据是什么?解:利用SSS判定三角形全等.探究2已知三角形的两边及其夹角,利用尺规作三角形如图,已知线段a,b,∠α.求作:∠ABC,使得BC=a,AC=b,∠ACB=∠α.学生独立完成,对有困难的学生,教师可一旁给予指导.分析:作出符合要求的三角形,关键是根据条件确定三角形的三个顶点的位置.解题时要根据实际情况判断是否存在多个符合题设条件的∠ABC.解:如图所示.作法:(1)作∠C,使∠C=∠α;(2)在∠C的一边上截取CB,使CB=a;(3)在∠C的另一边上截取AC,使AC=b,连接AB,∠ABC即为所求.探究3已知三角形的两角及其夹边,利用尺规作三角形尺规作图:已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.如图,已知∠α,∠β,线段a.求作:∠ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=a.(不要求写作法,保留作图痕迹即可)学生独立完成后,教师点评.分析:如图,作射线AM,在射线AM上截取AB=a,作∠EAB=α,∠FBA=β,射线AE 交射线BF于点C,∠ABC即为所求.解:如图,∠ABC即为所求.设计意图:让学生从另一个角度感知“全等三角形判定的基本事实”是三角形定形、定大小的决定条件.使学生认识“用尺规可作出的三角形的条件”与三角形全等判定方法的内在联系,培养学生的动手操作能力、发展想象力和空间的推理能力.典例精讲例已知:线段a,直角α和锐角β.求作:直角三角形ABC,使∠C=∠α,∠A=∠β,BC=a.解:如图所示.作法:第一步:作∠MCN,使∠MCN=∠α=90°.第二步:以点C为圆心,a为半径作弧,交CN于点B.第三步:过B点作BD垂直于BC.第四步:在BD左侧作∠DBE,使∠DBE=∠β.第五步:延长BE,交CM于点A,∠ABC即为所求.设计意图:熟练尺规作图,化未知为已知,体会转化思想,运用本节知识,作出满足要求的三角形.巩固训练1.利用尺规不能唯一作出的三角形是(D)A.已知三边B.已知两边及夹角C.已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角2.如图所示,已知线段a,用尺规作出∠ABC,使AB=a,BC=AC=2a.作法:(1)作一条线段AB=a;(2)分别以点A、B为圆心,以2a为半径画弧,两弧交于C点;(3)连接AC、BC,则∠ABC即为所求.3.如图,利用尺规,在∠ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并说明:CD∠AB.(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)解:如图所示,因为AD=BC,∠DAC=∠ACB,AC=CA,所以∠ACD∠∠CAB(SAS).所以∠ACD=∠CAB.所以AB∠CD.设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化.课堂小结1.尺规作三角形的方法:作一个三角形与已知三角形全等,根据的就是三角形全等的条件.因此,作三角形时,所给的条件可以是三条边或两条边及夹角或两角及夹边或两角及一角的对边.2.尺规作三角形的步骤:在寻找作法的时候,一定要根据已知画出草图,确定作图步骤.3.尺规作图的基本要求:(1)画图形;(2)写作法;(3)保留痕迹.设计意图:通过课堂小结总结知识和数学方法,帮助学生自行建构知识体系,提高学习能力.课堂8分钟.1.教材第54页习题A组第1,2题,习题B组第2题.2.七彩作业.13.4三角形的尺规作图1.已知三角形的三边,利用尺规作三角形.(SSS)2.已知三角形的两边及其夹角,利用尺规作三角形.(SAS)3.已知三角形的两角及其夹边,利用尺规作三角形.(ASA)教学反思。
第十三章 全等三角形 7.13.4 三角形的尺规作图
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13.4 三角形的尺规作图
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核
12. 创新作图题 推理能力 已知一个三角形的两条边长分别是 1 cm 和 2 cm
心
素 ，一个内角为 40°．
养
（1）请你借助图 1 画出一个满足题设条件的三角形；
中
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的
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13.4 三角形的尺规作图
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易错归纳
考
点 ■易错点 弄错线段的长度
集
训
5. 如图，已知线段 a 和线段 b，用尺规作△ABC，使 AC=a，AB=b，BC=2b夯
实 a.
基
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13.4 三角形的尺规作图
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考
点
集
训
夯
实
基
础
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解：作法：（1）作 BC=2b-a；
B. 作∠AOB，使∠AOB=2
C. 画线段 AB=3 cm
D. 用三角板过点 P 作 AB 的垂线
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13.4 三角形的尺规作图
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7. 已知线段 a，b，c，求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理
全等三角形尺规作图ppt
已知三边作全等三角形
确定三条相等的边 使用直尺和圆规，根据SSS定理，作出两个全等三角形
04
全等三角形尺规作图的应用
证明定理“等腰三角形两腰上的中线相等”
总结词
全等三角形尺规作图可以用于证明等腰三角形两腰上的中线相等。
详细描述
首先，使用尺规作图方法作出等腰三角形ABC，其中AB=AC。然后，分别作出 AB和AC的中点D和E。通过全等三角形的性质，我们可以证明三角形DBE与三角 形DCF全等，因此可以得出DB=DC。
全等三角形的对应 边相等，对应角相 等。
02
尺规作图的基本知识
尺规作图的概念与规则
尺规作图定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行图形绘制的方法。
规则与限制
在尺规作图中，只能使用圆规和直尺，且只限于绘制直线、线段、射线以及它们 所确定的图形，不能使用其他刻度或辅助工具。
圆规和直尺的使用方法
圆规的使用方法
证明定理“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 ，那么这个三角形是直角三角形”
总结词
详细描述
全等三角形尺规作图可以用于证明如果一个三角形一 边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角 三角形。
首先，使用尺规作图方法作出一个三角形ABC，其中 AD是BC的中线，且AD等于BC的一半。然后，作出 AB的中点E和AC的中点F。通过全等三角形的性质， 我们可以证明三角形ADE与三角形ADF全等、三角形 ADB与三角形ADC全等，因此可以得出角B和角C都是 直角。因此，三角形ABC是一个直角三角形。
边边边定理
三边分别相等的两个三角形全等。
边角边定理
两边和它们的夹角分别相等的两个 三角形全等。
全等三角形——尺规作图(4)
第11章(八) 全等三角形——尺规作图（4）
第 周星期 班别 姓名 学号
一、学习目标：
熟练掌握五种基本尺规作图，能用尺规作出符合已知条件的三角形图形。
二、教学过程
探索1：角平分线的性质 如图，OC 平分AOB ∠
角平分线的性质：角平分线上任何一点到两边的 相等。
几何语言表示：
如图，∵ OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点， P M ⊥OA ，PN ⊥OB
∴
角平分线的逆定理：
到角的两边的距离 的点，在角平分线上。
几何语言表示： 如图，∵ PM PN ,PM OA PN OB ⊥⊥
∴点P 在OC 上。
C
2、利用直尺和圆规，根据画法，画出满足条件的三角形，（1）已知两边及夹角；。
全等三角形尺规作图
利用辅助线提高作图效率
中线、高线、角平分线
在作全等三角形时，可以利用中线、高线、角平分线等辅助线来帮助定位和构造三角形。这些辅助线能够提供更 多的几何信息，使得作图过程更为精准和高效。
平行线、垂线
在复杂情况下，可以通过构造平行线、垂线等辅助线，将问题分解为更简单的部分进行解决。这种方法能够大大 降低作图的难度，并提高作图的效率。
04
该方法基于全等三角形的对 应角相等性质，通过确保角 度和边长的一致，实现全等 三角形的作图。
05 全等三角形尺规作图的注 意事项与技巧
作图精度控制
使用精确的测量工具
在进行全等三角形尺规作图时，应使用精确的测量工具，如精确 的直尺和圆规，以确保测量的准确性。
细心操作
在作图过程中，要保持细心，避免因为粗心大意导致测量或绘制的 误差。
06 全等三角形尺规作图的应 用与拓展
在几何题中的应用
解题思路简化
全等三角形尺规作图可以用于证 明和求解几何题目，通过构建全 等三角形，可以将复杂的几何问 题转化为简单易解的等式关系。
图形性质研究
利用全等三角形尺规作图，可以 深入探究三角形的各种性质，如 角度、边长等，进一步理解几何
学的基本原理。
步骤一：已知一个三角形及 其各边长度。
步骤二：在作图区域选择一 点作为全等三角形的一个顶 点，并从该点出发绘制已知 三角形的一条边，使其长度 与已知三角形的对应边相等 。
步骤三：按照已知三角形的 边长和角度关系，依次绘制 全等三角形的其他两条边。
该方法利用了全等三角形的 对应边相等性质，通过确保 各边长度一致，从而达到作 图的目的。
实例3：利用对应角法作全等三角形
01
步骤一：已知一个三角形及 其各角度大小。
非学科数学学培训-全等三角形及尺规作图
自学资料一、三角形全等及其性质【知识探索】1．能够重合的两个图形叫做全等形（congruent figures）．【说明】（1）全等形的形状、大小相同．（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变．即平移、翻折、旋转前后的图形全等．2．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形（congruent triangles）．3．全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．4．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．5．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等．【错题精练】例1．如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）第1页共14页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°例2．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ．例3．已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC与△A′B′C′全等，则△A′B′C′的腰长等于（）A. 8cm；B. 2cm或8cm；C. 5cm；D. 8cm或5cm．例4．如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（）A. 68°；B. 62°；C. 60°；D. 50°．【举一反三】1．如图，△ABC≌△EBD，∠E=50°，∠D=62°，则∠ABC的度数是（）第2页共14页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 68°；B. 62°；C. 60°；D. 50°．2．如图，△ABD≌△ACE，AD=8cm，AB=3cm，则BE=cm．3．如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上，若∠1=26°，则∠C=°，∠BED=°．4．已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是．二、三角形全等的判定【知识探索】1．三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”，或“”）．2．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”，或“”）．3．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”，或“”）．4．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”，或“”）．5．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”，或“”）．第3页共14页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【错题精练】例1．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠D；B. AB=DC；C. ∠ACB=∠DBC；D. AC=BD．例2．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（）A. SSS；B. SAS；C. ASA；D. HL．例3．如图，∠C=∠D=90∘，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．例4．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．第4页共14页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F；B. AC=DF，BC=EF，∠A=∠D；C. AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E；D. AB=DE，BC=EF，AC=DF．2．如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（）A. BC=BE；B. AC=DE；C. ∠A=∠D；D. ∠ACB=∠DEB．3．如图AB，CD相交于点O，AO=BO，要使△AOC≌△BOD，利用“SAS”可加条件．4．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD求证：（1）△ABC≌△DCB．（2）∠ABO=∠DCO．三、三角形全等的性质及判定综合【错题精练】例1．如图，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，求证：△ACD≌△CBE．第5页共14页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训例2．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由．例3．如图，在△CBD中，CD=BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A．求证：（1）BF=AC；（2）BE是AC的中垂线；（3）若AD=2，求AB的长．例4．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ= 90∘，AQ:AB=3:4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=或cm．第6页共14页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【举一反三】1．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）AD=6cm,DE=4cm，求BE的长度2．如图，∠A=∠B=90∘，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．3．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60∘”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．第7页共14页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训四、尺规作图【知识探索】1．（1）基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线（2）利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；【错题精练】例1．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A.B.C.D.例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D,若M,N，再分别以点M,N为圆心，大于12CD=4,AB=15，则△ABD的面积是（）第8页共14页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. 15B. 30C. 45D. 60例3．尺规作图：求做一个三角形，使他的两边分别为a，1a，其夹角为∠α（保留作图痕迹，不写做法）2例4．如图，△ABC中，AB=AC，（1）利用直尺和圆规完成了如下操作：作∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P，（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接PB，若∠ABC=65∘，求∠ABP的度数．例5．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．【举一反三】1．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明∠D′O′C′=∠DOC的依据是（）第9页共14页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训A. SSS；B. SAS；C. ASA；D. AAS．2．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A.B.C.D.AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，做3．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以12直线MN，交BC于点D，连结AD，若△ADC周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A. 27B. 14C. 17D. 204．尺规作图，已知线段a、线段c和∠α，用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法）．第10页共14页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训5．在ABC中，∠C=90∘．（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E；（不写作法图，保留作图痕迹）；（2）若AC=2，∠B=15∘，求BD的长．6．请你用直尺和圆规作图（要求：不必写作法，但要保留作图痕迹）．已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM=PN．1．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠D；B. AB=DC；C. ∠ACB=∠DBC；D. AC=BD．2．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A.B.C.D.3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．如图，在△ACD和△BCE中，AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为．5．请你用直尺和圆规作图（要求：不必写作法，但要保留作图痕迹）．已知：∠AOB，点M、N．求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM=PN．6．如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD，BF=CE．（1）求证：△ABE≌△DCF1；（2）判断AE，DF之间的数量关系和位置关系，并说明理由．7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AE=AF．（2）若AB+AC=16，SΔABC=24，∠EDF=120∘，求AD的长．8．如图，△AED的顶点D在△ABC的BC边上，∠E=∠B，AE=AB，∠EAB=∠DAC．（1）求证：△AED≌△ABC；（2）若∠E=40∘，∠DAC=30∘，求∠BAD的度数．9．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘,AB=AC,AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．。
八年级数学上册全等三角形 . 尺规作图作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角导学
【答案(dáàn)】略
第九页，共十八页。
13.4 尺规作图 【归纳总结】由已知线段作特定长度线段的步骤：
注意：画射线用直尺，截取线段用圆规，作图时要正确使用作图工 具，尽量减小误差，用铅笔作图，保留作图痕迹．
第十页，共十八页。
13.4 尺规作图
目标四 能对作一个角等于已知角进行(jìnxíng)应用
用圆规作图时的规范语言主要有：
(1)以点×为圆心，××为半径作圆； (2)以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×； (3)在××上取一点×，使××＝××.
第八页，共十八页。
13.4 尺规作图
目标三 会由已知线段作特定(tèdìng)长度的线段
例 3 教材补充例题 如图 13－4－1 所示，已知线段 AB 和 CD， 求作一条线段，使它的长度等于 AB＋2CD.
图 13－4－3 解：如图 13－4－4，△ABC 就是所要求作的图形．
(1)错因分析： (2)纠错：
图 13－4－4
第十六页，共十八页。
13.4 尺规作图
【答案】 (1)已知三角形的两边及其一边的对角，作出的三角形一般不是唯一的． (2)如图，△ABC 和△ABC′就是所要求作的图形．
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【解析】 A项，射线无限长，不需延长，故错误；B项，若A，B，C三点不共 线，则无法作出一条直线，错误；D项，只知道(zhī dào)圆心不知道(zhī dào)半径无法作
弧，错误．故选C.
第七页，共十八页。
13.4 尺规作图
【归纳总结】 用直尺作图时的规范(guīfàn)语言： (1)过点×作直线××，作线段××，以点×为端点作射线××； (2)连结××，以点×为端点作线段××，延长线段××到点×；延长 线段××到点×，使××＝××.
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全等三角形的判定（SSS）1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．4、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.全等三角形的判定方法SAS 专题练习1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。
5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵∴△ABD ≌△ACD （ ）7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵∴△AOB ≌△COD( )38.已知：如图，AB=CB ，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？9.已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1 =∠2 。
试说明：△ABD ≌△ACE 。
10.已知：如图，△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AD=BD ， DC=DE ， ∠C=50°。
求∠ EBD 的度数。
三角形全等的条件（ASA ）一、选择题1．已知AB=A ′B ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′的根据是（ ） A ．SAS B ．SSA C ．ASA D ．AAS2．△ABC 和△DEF 中，AB=DE ，∠B=∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ） A ．AC=DF B ．BC=EF C ．∠A=∠D D ．∠C=∠F 3．如图1，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5EDCBAOD CBAEDCB A12(1) (2) (3)二、填空题4．如图2，已知AB ∥CD ，欲证明△AOB ≌△COD ，••可补充条件________．（填写一个适合的条件即可）5．如图3，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，∠1=∠2，欲得到BE=CE ，•可先利用_______，证明△ABC ≌△DCB ，得到______=______，再根据___________•证明________•≌________，即可得到BE=CE ．6．如图4，AC 平分∠DAB 和∠DCB ，欲证明∠AEB=∠AED ，•可先利用___________，证明△ABC ≌△ADC ，得到______=_______，再根据________•证明______≌________，即可得到∠AEB=∠AED ．ED CBA21E DBA(4) (5) 三、解题题7．如图5，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2，求证△ABC ≌△ADE ．8．已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′分别是BC 和B ′C ′边上的高，AD •和A ′D ′相等吗？为什么？9．如图，已知BD=CE ，∠1=∠2，那么AB=AC ，你知道这是为什么吗？21E DCA510．已知如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， （1）图中有多少对全等的三角形？请你一一列举出来（不要求说明理由）（2）小明说：欲证BE=CD ，可先证明△AOE ≌△AOD 得到AE=AD ，再证明△ADB •≌△AEC 得到AB=AC ，然后利用等式的性质即可得到BE=CD ，请问他的说法正确吗？•如果不正确，请说明理由；如果正确，请按他的思路写出推导过程．（3）要得到BE=CD ，你还有其他的思路吗？若有，请仿照小明的说法具体说一说你的想法．OEDASSS 答案1.C ；2.C. 3、AC=A 1C 1 4、CE ，△ABF ≌△CDE. 5、证明△ABE ≌△ACE.6、连接BC ，证明△ABC ≌△DCB.7、⑴证明△ADE ≌△CBF ；⑵证明∠AEF=∠CFE.8、⑴可添加AE=CF 或添加AF=CE ，证明△DEC ≌△BFA ；⑵由⑴得∠BFA=∠DEC ，∴DE ∥BF. SAS1. A2. D3. ∠COB SAS CB4. ∠CDA=∠BDA5. ∠DAB=∠CBA 6 ∠BAD=∠CAD AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD SAS 7.OA=OC ∠AOB=∠COD OB=OD SAS 8.AB=CB ∠1=∠2 BD=BD∴ △ABD ≌△CBD (SAS)9 ∵ ∠1=∠2 ∴∠BAD=∠CAE ∴ AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴ △ABD ≌△ACE (SAS) 10. ∵ AD=BD ∠ADC=∠BDE DC=DE ∴△ADC ≌△EBD (SAS)∴ ∠CAD=∠EBD又 ∠C=50° ∴ ∠EBD=40° ASA 答案:1．C 2．A 3．B 4．AB=CD 或OA=0C 或OB=OD 5．AAS ；AB DC ；AAS ；△ABE ；△DCE 6．ASA ；AB ；AD ；SAS ；△ABE ；△ADE7．∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE ，又∵AC=AE ，∠C=∠E ，∴△ABC ≌△ADE 8．相等，证△ABD ≌△A ′B ′D ′9．由∠1=∠2得∠ADB=∠AEC ，再用AAS 证△ABD ≌△ACE10．①△AOE ≌△AOD ，△BOE ≌△COD ，△AOB ≌△AOC ，△ABD ≌△ACE ；②正确；③比如：可先证明△AOE ≌△AOD 得到OE=OD ，再证明△BOE ≌△COD 得到BE=CD尺规作图知识要点一．尺规作图、基本作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺现作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角：已知：∠AOB（图3-42）．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.图3-42作法：1．作射线O'A'.2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'．4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．证明:连结CD、C'D'．由作法可知△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)，即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线．三．平分已知角：已知：∠AOB（图3-43）．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．3．作射线OC．OC就是所求的射线．证明：连结CD、CE，由作法可知△ODC≌△OEC（SSS），∴∠COD=∠COE（全等三角形的对应角相等），即∠AOC＝∠BOC．四．经过一点作已知直线的垂线：（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线．图3-44 图3-45 证明：由作法可知，∠ACF=∠BCF= ．∵∠ACB=180°（平角的定义）∴∠ACF=90°，即 CF是AB的垂线．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB外一点C（图3-45）．求作：AB的垂线，使它经过点C．7作法：1．任意取一点K，使K和C在AB的两旁．2．以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．3．分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．4．作直线CF．直线CF就是所求的垂线．五．作线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．已知：线段AB（图3-46）．求作：线段AB的垂直平分线．图3-46作法：1．分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．2．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．。