第三讲因式分解的应用(含答案)-

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第三讲因式分解

第三讲因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是过程，即：多项式整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．a （x-y ）=ax-ayB ．x 2+2x+1=x （x+2）+1C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3-x=x （x+1）（x-1）考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x 2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x ，然后提取公因式法因式分解即可．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（）A ．x 2-xy+x=x （x-y ）B ．a 3-2a 2b+ab 2=a （a-b ）2C ．x 2-2x+4=（x-1）2+3D ．ax 2-9=a （x+3）（x-3）点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．（）（）例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）22222例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+92．（2013•佛山）分解因式a3-a的结果是（）A．a（a2-1）B．a（a-1）2C．a（a+1）（a-1）D．（a2+a）（a-1）3．（2013•恩施州）把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是（）A．y（x2-2xy+y2）B．x2y-y2（2x-y）C．y（x-y）2D．y（x+y）2二、填空题A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）10．（2014•漳州模拟）下列因式分解中，结果正确的是（）A．x2y﹣y3=y（x2﹣y2）B．x4﹣4=（x2+2）（x﹣）（x+）C．x2﹣x﹣1=x（x﹣1﹣）D．1﹣（a﹣2）2=（a﹣1）（a﹣3）三．解答题（共8小题）（2）通过计算，验证等式a⊕b=b⊕a成立．29．（2014•萧山区模拟）已知三条线段a，b，c，其长度分别为a=mn，b=（m2+n2），c=（m﹣n）2（其中m，n为不相等的正数），试问a，b，c三条线段能否构成三角形？请说明理由．。

八年级数学(竞赛)因式分解

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

因式分解综合应用(添项拆项) (人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1:因式分解的四种基本方法有哪些?问题2:添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的问题3:换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为因式分解综合应用(添项拆项)(人教版)一、单选题(共10道，每道10分)1.把4x4+1因式分解，正确结果是()A.4(x+1)*8.(2x²+2x+1X2x²-2x+1)c.(x²+2x+2)(x²-2x+2)p.(2x²+1)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法2.把x⁴+2°因式分解，正确结果是()A.(x²+8)²8.(x²-4x+8)(x²+4x+8)c.(x-2)²(x+2)²D,(x²-8)²答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法3.把x³-1因式分解，正确结果是()A.(X+1Xx-1)8.(x-1)<2-x+1)c.(x-1(2+x+1。

.(x+1)<²-x+1)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法4.把4x⁴+y⁴+3x²y²因式分解，正确结果是()A.(2x²+y³)²8.(2x²-xy+y²)(2x²+xy+y³)c.(2x+y)²(2x-y)²D.(2x+y+xy)(2x+y-xy)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法5.把α³+11a+12因式分解，正确结果是()A.(a+1)(a-1)(a-12)g.(α+1)(a+3)(a-4)c.(a- 1)a²+a- 12)D.(a+1)(a²-α+12)答案：D解题思路：法( 一):原式=a³-a+12a+12=a(a+1)(a-1)+12(a+1)=(a+1)(a²-a+12)法(二):原式=a+a²-a²+11a+12=a²(a+1)- (a²-1la-12)=a²(a+1)- (a-12)(a+1)=(a+1)(a²-a+12)故选D .试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法6.把m³-2m-1因式分解，正确结果是()A.m(m-1)²8(m+1)(m²-p2-1)c.(m+1)(m-1)²D.(m-1)(m²+m-1)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法Z .把x²-y²+2x-4y-3因式分解，正确结果是() A.(x-y- 1)²B.(x+y+1(x-y- 1)c.(x+y- 1)(x-y+3)o.(x+y+3)(x-y- 1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧--添项拆项法8.把2x³+4x²-x-3因式分解，正确结果是()A.(X- 1)(x- 1)2x+3)8.(x+1)2(2x-3)c.(x+1)(2x²+2x-3)。

第三讲因式分解法与韦达定理

第三讲因式分解法与韦达定理知识点一、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21，a b x x =21 ，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例题:1.用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ； (5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．3.已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．4.若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5.解方程组6.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =7.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．提升练习:1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－82.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝56.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．47.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．118.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且 10．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 11．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或12．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b a c ∆=-和完全平方式2(2)M a t b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 13．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或 14.方程t (t ＋3)＝28的解为_______．15.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．16.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．17.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．18.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．19.．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______20.．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．21．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．22．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．23．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．24．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．25．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．26．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．27．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．28．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．29．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．30．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．31．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．32．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x 。

因式分解综合应用(讲义及答案)

因式分解综合应用（讲义）课前预习1.因式分解的基本方法有______________________________．因式分解是有顺序的，需记住口诀：“___________________”．其中“查”指的是“检查”，特别需要检查的是分解是否彻底．2.把下列各式因式分解．（1）224x y x -；（2）221216a a -+-；（3）222221x xy y x y -+-++；（4）42627x x --．知识点睛1._____________、__________、___________、__________是因式分解的四种基本方法，换元、添项拆项是复杂多项式进行因式分解的常用技巧，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为___________________．①换元：当多项式中的某一部分________________时，我们会___________将其替换，从而简化式子的形式．②添项拆项：其目的是使多项式能够用__________________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________________．精讲精练1.把下列各式因式分解．（1）222(2)7(2)8x x x x +-+-；（2）22(42)(46)4x x x x -+-++；（3）(1)(3)(5)(7)15a a a a +++++；（4）(1)(2)(3)(4)24x x x x -----；（5）22423a b a b -+++；（6）326116x x x +++；（7）44x +；（8）31x +；（9）398x x -+；（10）376m m -+．2.基本事实：若ab =0，则0a =或0b =．对于方程220x x --=，可通过因式分解，化为(2)(1)0x x -+=，由基本事实得，20x -=或10x +=，即方程的解为2x =或1x =-．利用上述基本事实，可求得方程220x x -=的解为______________．3.若2222()(1)20x y x y ++--=，则22x y +=_____________．4.已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，且满足222166100a b c ab bc --++=，则2b a c --=____________．5.阅读下面的学习材料：已知多项式322x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值．解法：设3222(21)()x x m x x ax b -+=+++，则323222(21)(2)x x m x a x a b x b -+=+++++，比较系数得21120a a b b m +=-⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得11212a b m ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴12m =．根据以上学习材料，解答下面的问题．已知多项式3245x x mx +++有因式1x +，求m 的值．6.对于多项式32510x x x -++，如果我们把2x =代入此多项式，发现多项式325100x x x -++=，这时可以断定多项式中有因式2x -（注：把x a =代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x a -），于是我们可以把多项式写成：322510(2)()x x x x x mx n -++=-++．（1）式子中m =_______，n =_______；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法将多项式3221310x x x ---因式分解．7.将下图中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，并观察这4个图形的面积与拼成的大长方形的面积有什么关系．你能据此将2()x p q x pq +++因式分解吗？8.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用这样的硬纸片拼成一个新的矩形，如图2．图1图2①用两种不同的方法，计算图2中矩形的面积；②由此，你可以得到一个等式为______________________．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示，图3①请用拼图的方法推出一个完全平方式，并画出你的拼图；②请用拼图的方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，并画出你的拼图．【参考答案】课前预习1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法一提二套三分四查2.（1）2()()x y x y x +-（2）2(2)(4)a a ---（3）2(1)x y --（4）2(3)(3)(3)x x x +-+ 知识点睛1.提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法；基本方法1重复出现，设元2分组分解法，式子结构精讲精练1.（1）2(1)(4)(2)x x x ++-（2）4(2)x -（3）2(2)(6)(810)a a a a ++++（4）2(5)(510)x x x x --+（5）(1)(3)a b a b ++-+（6）(1)(2)(3)x x x +++（7）22(22)(22)x x x x ++-+（8）2(1)(1)x x x +-+（9）2(1)(8)x x x -+-（10）(1)(2)(3)m m m --+2.x =0或12x =3.24.05.m =86.（1）-3，-5（2）3221310(1)(2)(5)x x x x x x ---=++-7.2()()()x p q x pq x p x q +++=++，画图略8.（1）①2121s a a =++，22(1)s a =+；②22(1)21a a a +=++（2）①222()2ab a ab b +=++，拼图略；②22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++，拼图略。

第3讲_因式分解(竞赛班)答案[1]

第三讲因式分解因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．【例1】将x4+8分解因式正确的是（）A、（x4﹣16）B、（x2+4）（x2﹣4）C、（x2+4）（x+2）（x﹣2）D、（x2+2）（x2﹣2）2考点：因式分解-运用公式法。

分析：先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．解答：解：x4+8，=（x4﹣16），=（x2﹣4）（x2+4），=（x﹣2）（x+2）（x2+4）．故选C．点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例2】20、分解因式：（x﹣3）（x﹣1）+1．考点：因式分解-运用公式法。

专题：常规题型。

分析：先根据多项式的乘法整理成多项式的一般形式，然后再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（x﹣3）（x﹣1）+1=x2﹣4x+3+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了利用完全平方公式分解因式，先利用多项式的乘法整理成多项式的一般形式是解题的关键．【例3】分解因式x4﹣2x2+1.解：x4﹣2x2+1=（x2﹣1）2=[（x﹣1）（x+1）]2=（x﹣1）2（x+1）2.【例4】多项式x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz因式分解后的结果是（）A、（y﹣z）（x+y）（x﹣z）B、（y﹣z）（x﹣y）（x+z）C、（y+z）（x一y）（x+z）D、（y十z）（x+y）（x一z）考点：因式分解-分组分解法。

分析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z，再运用提取公因式法和十字相乘法分解因式．解答：解：x2y﹣y2z+z2x﹣x2z+y2x+z2y﹣2xyz=（y﹣z）x2+（z2+y2﹣2yz）x+z2y﹣y2z=（y﹣z）x2+（y﹣z）2x﹣yz（y﹣z）=（y﹣z）[x2+（y﹣z）x﹣yz]=（y﹣z）（x+y）（x﹣z）．故选A．点评：本题考查了用分组分解法进行因式分解，难点是将原式重新整理成关于x的二次三项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例5】分解因式：（x2+3x）2﹣2（x2+3x）﹣8=（x+1）（x+2）（x﹣1）（x+4）．考点：因式分解-十字相乘法等。

中考数学：第3讲《因式分解》同步练习(含答案)

课后练习3因式分解A组1. 把x2y—2y2x+ y3分解因式正确的是（）A . y（x2—2xy+ y2）2 2B . x y—y （2x—y）2C. y（x—y）D . y（x+ y）22. （2015宜宾）把代数式3x3—12x2+ 12x分解因式，结果正确的是（）2 2 2A . 3x（x —4x+ 4）B. 3x（x—4） C . 3x（x+ 2）（x—2） D . 3x（x—2）3 . （2016台湾）多项式77x2—13x—30可因式分解成（7x+ a）（bx+ c），其中a、b、c均为整数，求a+ b + c之值为何？（）A. 0B. 10C. 12D. 224. 若A = 101 X 9996X 10005, B= 10004 X 9997X 101,则A—B 之值为（）A. 101B. —101C. 808D. —80825 . （1）（2017 丽水）分解因式：m+ 2m = ________________ .⑵（2017湖州）把多项式x2—3x因式分解，正确的结果是 ______________________ .2（3）________________________________________ （2016舟山）因式分解：a —9 = .2（4）___________________________________________ （2016 台州）因式分解：x —6x+ 9 = .2 26 . （2016杭州）若整式x + ky （k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 _________________ （写出一个即可）.7.分解因式：3 2（1）（2015 黄冈）x —2x + x;(2)(2015 深圳)3a2—3b2;2 2⑶ am —4an ;o凶（2015绵阳）xy—3y（实数范围内因式分解）.& 已知：a+ b= 3, ab= 2，求下列各式的值:2 2⑴ a b+ ab ；(2) a2+ b2.B组9. 已知(19x—31)(13x—17)—(13x—17)(11x—23)可因式分解成(ax+ b)(8x+ c),其中a、b、c均为整数，则a+ b+ c=( )A . —12B . —32 C. 38 D. 7210. 已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a3+ ab2+ bc2= b3+ a2b+ ac2,则厶ABC的形状是()A •等腰三角形B •直角三角形C •等腰三角形或直角三角形D •等腰直角三角形11. (3x + 2)( - x6+ 3x5)+(3x + 2)( - 2x6+ x5) +(x+ 1)(3x6- 4x5)与下列哪一个式子相同( )6 5A . (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5B . (3x - 4X)(2X+ 3)6C. - (3x - 4x )(2x+ 1)6 ,5D . - (3x -4x )(2x+ 3)12.(2016 •湾)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数. 若甲与乙相乘为x2-4，乙与丙相乘为x2+ 15x- 34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？()A . 2x+ 19 B. 2x- 19 C . 2x+ 15 D . 2x - 1513 .分解因式：(a+ 2)(a—2) + 3a= _____________________ .14 .多项式ax2—a与多项式x2—2x+ 1的公因式是___________________ .15 . (2017 •城模拟)如图，边长为(m + 3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是第15题图C组16 . (2015 杭州市下城区模拟)若z= 3x(3y- x) - (4x- 3y)(x+ 3y).(1)若x, y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；⑵若y = x+ 1,求z的最小值.参考答案课后练习3因式分解A组1. C2.D3.C4.D25. (1)m(m+ 2) (2)x(x—3) (3)(a + 3)(a—3) (4)(x—3)6. —17. (1)x(x—1)2. (2)3(a + b)(a —b). (3)a(m+ 2n)(m—2n). (4)y(x + . 3)(x —3).8. (1)6 (2)5B组9. A 10.C 11.C 12.A 13.(a—1)(a + 4)14. x—1 15.2m+ 3C组16. (1)z= 3x(3y—x)—(4x—3y)(x+ 3y) = 9xy—3x2—(4^+ 9xy—9y2)= 9xy—3x2—4x2—9xy + 9y2=—7x2+ 9y2,v x 是3 的倍数，二z 能被9 整除. (2)当y = x+ 1 时，贝U z= —7x2+ 9(x + 1)2= 2x2+ 18x+ 9 = 2 x+ 2 —63，：2 x+ 号》0,「・z 的最小值是一穿.。

7年级因式分解第三讲

第三讲因式定理和试根法
知识点 1. 长除法处理多项式除以多项式，需要用长除法进行竖式计算。举例 (2x3 3x 4) ( x 3) （页面左边留白写板书，右边打出步骤）长除法的运算步骤： 1.将被除式和除式按同一字母降幂排列，如有缺项用 0 补齐 2.列竖式计算 3．当余式的次数低于除式次数时，计算停止。得到商式和余式
由题意， f (1) 0 ，1 3 8 11 m 0 ，解得 m 17
【例4】
一个关于 x 的二次多项式 f ( x) ，它被 ( x 1) 除余 2，它被 ( x 3) 除余 28，它还可以被 ( x 1) 整除，求 f ( x)
【解析】设 f ( x) ax2 bx c 由题意得， f (1) a b c 2
1 3
7 9
26 2 x ) 9 9
【练习 2】已知 x2 2x 1 0 ，求 x5 8x3 8x2 5x 1 的值。
【解析】长除法得 x5 8x3 8x2 5x 1 ( x2 2x 1)( x3 2x2 3x 4) 5 故当 x2 2x 1 0 时，原式=5
【例2】
用综合除法计算下列各式的商式和余式。
(3x3 5x2 2) ( x 3) (8x2 2x x4 14) ( x 1)
【解析】商式 3x2 4x 12 ，余式-38 商式 x3 x 9x 11 ，余式-3 奥巴马老师语录：综合除法虽然简单方便，但仅适用于除式为一次因式时。若除式是二次或更高次，则只能使用长除法。
3 2 2 3 【例 7】因式分解 3x 5x y xy y
因式分解 6x3 5x2 y 3xy 2 2 y3 【解析】原式= ( x y)(3x2 2xy y 2 ) = ( x y)2 (3x y) 原式= ( x y)(6x2 xy 2 y 2 ) = ( x y)(2x y)(3x 2 y)

因式分解的应用(含答案)

1.5 因式分解的应用◆赛点归纳因式分解在初中数学竞赛中，用途很广泛，具体来说用得较多的有如下几个方面：（1）利用因式分解简化计算；（2）利用因式分解求较复杂的代数式的值；（3）利用因式分解确定多项式中的某些相关的待定系数；（4）利用因式分解解决某些数的整除问题；（5）利用因式分解解某些特殊的方程或方程组等问题．◆解题指导例1化简：222 2000199819971997 19982000199820014+--⨯-．【思路探究】本题直接计算比较复杂，由于分子和分母都有平方与差的关系，由此可联想到运用因式分解方法简化计算．例2 （2001，“五羊杯”，初二）若（x－1）（y+1）=3，xy（x－y）=4，则x7－y7=_______．【思路探究】由（x－1）（y+1）=3，知xy+（x－y）=4，经观察可知，两个条件等式都含有xy和x－y的关系式．若设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，于是有u（4－u）=4，经过变形知它符合完全平方公式，即（u－2）2=0，故可知u=2，v=2，即xy=2，x－y=2．至此，将x7－y7分解成和xy和x－y相关的因式就不难求值．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？解：∵（x－1）（y+1）=3，∴xy+（x－y）=4．设xy=u，x－y=v，则u+v=4．①uv=4．②由①、②，得u2－4u+4=0．∴（u－2）2=0．∴u=2．∴v=2．∴x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）=56×20=1120．例3 （2004，“TRULY○R信利杯”）已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=•2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为________．【思路探究】求待求式的值，由条件等式可知，需将待求式进行合理变形，使它含有因式ax+by．这里用多项式分解因式的方法是可以达到的．例4 （2001，北京市竞赛）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．【思路探究】若能证明a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）2的值为零，则可说明左右相等．•由观察可知，这个“差式”具有平方差公式的特征．因此，可先设法利用平方差公式分解因式，然后证明其中某个因式为零．例5 （2002，太原市竞赛）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab－ac－bc=0，b2+bc－ba－ca=0，则△ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三B．角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形【思路探究】要判断这个三角形的形状，由条件等式要么证明三边的平方关系，要么证明三边有两边或三边相等关系．这由条件等式分解因式就可判断．例6 （2000，“五羊杯”，初二）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2•位数字后，•剩下的数还是完全平方数．•则N•的最大值是_______．【思路探究】由N是完全平方数和去掉它的末两位数仍是完全平方数，可知这个数是一个特殊数．若设N=x2，去掉的末两位数为y，去后所得的整数M=m2，•则可得它们之间的关系式x 2=100m 2+y ，故y=x 2－100m 2．利用平方差公式可得两个关于x 的一次式．再根据题设不难探求N 的最大值．【拓展题】已知多项式x 3+bx 2+cx+d 的系数都是整数，bd+cd 是奇数，求证这个多项式不能分解为两个整系数多项式的积．◆探索研讨因式分解是初中数学的常用解题方法，加之解法比较多，因此，对于它在不同的方面的应用应选择不同的思维方式，有时要整体分解因式，有时要部分分解因式．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知四个代数式：①m+n ；②m －n ；③2m+n ；④2m －n ，当用2m 2n 乘以上述四个式中的两个的积时，便得到多项式4m 4n －2m 3n 2－2m 2n 3，那么这两个式子的编号是（）．A ．①与②B ．①与③C ．②与③D ．③与④2．（2005，全国竞赛）已知A=48×（22211134441004+++---）．则与A 最接近的正整数是（）．A ．18B ．20C ．24D ．253．*若3x 3－x=1，则9x 4+12x 3－3x 2－7x+2002的值等于（）．A ．2002B ．2004C ．2005D ．20064．已知三个整数a 、b 、c 的和为奇数，那么，a 2+b 2－c 2+2ab （）．A ．一定是非零偶数B ．等于零C ．一定是奇数D ．可能是奇数，也可能是偶数5．关于x 、y 的方程x 2y=180的正整数解有（）．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．方程2x 2－3xy －2y 2=98的正整数解有（）．A ．3组B ．2组C ．1组D ．0组7．（2001，全国竞赛）若x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，则x+y 的值为______．8．*设m 2+m －1=0，则m 3+2m 2+2005=________．9．若x3+3x2－3x+k有一个因式是x+1，则k=______．10．（2000，“五羊杯”，初二）若x－y=1，x3－y3=4，则x13－y13=______．11．（2003，四川省竞赛）对一切大于2的正整数n，•数n5－5n3+4n的最大公约数是________．12．设x3+3x2－2xy－kx－4y可分解为一次与二次因式之积，则k=________．13．*若a=20052+20062+20052·20062，求证：a是一个完全平方数．14．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11•个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，•已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数．15．已知A=a+2b+3c+4d=3，B=a－2b+4c+5d=2，试求a+10b+c+2d的值．16．（2000，武汉市竞赛）如果一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，试求最小的“千禧数”．答案:解题指导例1 设1998=x，则原式=2222(54)(32)(1)(4)(1)(2) (2)(34)(1)(2)(1)(4)x x x x x x x xx x x x x x x x++-+++--=--+-+--+=1．例2 1136．[提示：设xy=u，x－y=v，则u+v=4，uv=4，从而可得（u－2）2=0，即u=2．∴v=2．于是x2+y2=（x－y）2+2xy=22+2×2=8，x3－y3=（x－y）（x2+xy+y2）=2（8+2）=20，x4+y4=（x2+y2）2－2x2y2=82－2×22=56．∴x7－y7=（x4+y4）（x3－y3）+x3y3（x－y）=56·20+23·2=1136．]例3 －5．[提示：由a+b=x+y=2，得（a+b）（x+y）=ax+by+ay+bx=4．①∵ax+by=5，将它代入①式，得ay+bx=－1．∴（a2+b2）xy+ab（x2+y2）=（a2xy+aby2）+（b2xy+abx2）=ay（ax+by）+bx（by+ax）=（ax+by）（ay+bx）=5×（－1）=－5．]例4 ∵a4+b4+（a+b）4－2（a2+ab+b2）=（a2+b2）2－2a2b2+（a2+2ab+b2）2－2（a2+ab+b2）2=[（a2+b2）2－（a2+ab+b2）2]+[（a2+2ab+b2）2]－（a2+ab+b2）2]－2a2b2=（2a2+2b2+ab）（－ab）+（2a2+3ab+2b2）·ab－2a2b2=ab（－2a2－2b2－ab+2a2+3ab+2b2－2ab）=0，∴a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2．你还能给出别的证法吗？不妨试一试．例5 C [提示：由a2+ab－ac－bc=0，得a（a+b）－c（a+b）=0，∴（a+b）（a－c）=0，∴a=c，a=－b （舍去）．由b2+bc－ba－ca=0，得b（b+c）－a（b+c）=0，∴（b+c）（b－a）=0，∴b=a，b=－c（舍去）．∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．]例6 1681．[提示：设N=x2，x为自然数，N的末2位数字组成整数y，去掉此2•位数字后得到整数M，M=m2，m为自然数，则1≤y≤99．∴x2=100m2+y．∴y=x2－100m2=（x+10m）（x－10m）．令x+10m=a，x－10m=b，则b≥1，m≥1．x=10m+b≥11，a=x+10m≥21．若m≥4，则x=10m+b≥41，a=x+10m≥81，唯有b=1，m=4，x=41，a=81，y=81，M=16，N=1681．显然当m≤3时，x≤40，故N=1681为所求的最大值．]【拓展题】假设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r），其中p、q、r均为整数．令x=0，得pr=d，由bd+cd=（b+c）d为奇数知，b+c与d•均为奇数，从而p、r也都是奇数，再取x=1．由假设有1+（b+c）+d=（1+p）·（1+q+r）．左边是3个奇数之和，必为奇数；右边的因式（1+p）为偶数，从而（1+p）（1+q+r）必为偶数，显然奇数不等于偶数，所以假设不成立，故原式不能分解成两个整系数多项式的积．能力训练1．C [提示：对多项式做因式分解：原式=2m2n（2m2－mn－n2）=2m2n（2m+n）（m－n）．]2．D [提示：对于正整数n（n≥3），有21111(),442211111148[(1)()]429856102111111112(1)2349910010110211112512().9910010110211114112()12,99100101102992n n n A =---+=⨯+++-+++=+++----=-++++++<⨯<则 ∴与A 最接近的正整数为25．]3．D [提示：由3x 3－x=1，得3x 3=x+1，∴3x 4=x （3x 3）=x （x+1）=x 2+x ．∴原式=3·3x 4+4·3x 3－3x 2－7x+2002=3（x 2+x ）+4（x+1）－3x 2－7x+2002=3x 2+3x+4x+4－3x 2－7x+2002=4+2002=2006．]4．C [提示：a 2+b 2－c 2+2ab=（a+b ）2－c 2=（a+b+c ）（a+b －c ）．∵a+b+c 为奇数，∴a 、b 、c 三数中可能有一个奇数、两个偶数，或者三个都是奇数．当a 、b 、c 中有一个奇数、两个偶数时，则a+b －c 为奇数；当a 、b 、c 中三个都是奇数时，也有a+b －c 为奇数．∴（a+b+c ）（a+b －c ）是奇数．]5．D [提示：∵180=1×22×32×5，又x 2y=180．∴x 2y=1×22×32×5，且x 、y 为正整数/∴12,3,6,1804520 5.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或故共有四组正整数解．]6．C [提示：∵（x －2y ）（2x+y ）=98，x 、y 是正整数，∴x>2y ，且2x+y>x －2y ．∴方程可能的解只有以下情形：21,22,27,298;249;214.x y x y x y x y x y x y -=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+=+=+=⎩⎩⎩ 其中只有第二种情形有解x=20，y=9．]7．6或－7． [提示：把两个已知等式相加，得（x+y ）2+（x+y ）=42，即（x+y ）2+（x+y ）－42=0．∴（x+y －6）（x+y+y ）=0．∴x+y=6或x+y=－7．]8．2006． [提示：原式=m 3+m 2－m+m 2+m －1+2006=m （m 2+m －1）+（m 2+m －1）+2006=（m 2+m －1）（m+1）+2006．∵m 2+m －1=0，∴原式=2006．]9．－5． [提示：∵x 3+3x 2－3x+k 有一个因式是x+1，∴x 3+3x 2－3x+k=x 3+x 2+2x 2+2x －5x －5+5+k=x 2（x+1）+2x （x+1）－5（x+1）+（k+5）=（x+1）（x 2+2x －5）+（k+5）．∴当k+5=0，即k=－5时，原多项式有一个因式是x+1．]10．521． [提示：由x 3－y 3=（x －y ）（x 2+xy+y 2）=4和x －y=1，可得x 2+xy+y 2=4；由（x －y ）2=x 2－2xy+y 2=1，可得xy=1．又x 6+y 6=（x 3－y 3）2+2x 3y 3）=42+2×13=18，x 4+y 4=（x 2+y 2）2－2x 2y 2=（1+2×1）2－2×12=7，x 7－y 7=（x 4+y 4）（x 3－y 3）+x 3y 3（x －y ）=7×4+1×1=29．从而x 13－y 13=（x 7－y 7）（x 6+y 6）－x 6y 6（x －y ）=29×18－16×1=522－1=521．] 11．120． [提示：n 5－5n 3+4n=（n －2）（n －1）n （n+1）（n+2）．对于大于2的任何正整数n，数n5－5n3+4n都含有公约数1×2×3×4×5=120．故这些数的最大公约数是120．]12．－2．[提示：x3+3x2－2xy－kx－4y=（x3+3x2－kx）－（2xy+4y）=x（x2+3x－k）－2y（x+2）．欲使此式可分解，则x2+3x－k应含因式x+2．将x=－2代入得（－2）+3（－2）－k=0，即－2－k=0，故k=－2．]13．∵a=20052+20062+20052·20062=（2005·2006）2+20052－1+20062+1=（2005·2006）2+（2005+1）（2005－1）+20062+1=（2005·2006）2+2006·2004+20062+1=（2005·2006）2+2006（2004+2006）+1=（2005·2006）2+2×2005·2006+1=（2005·2006+1）2．∴a是一个完全平方数．14．mn+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，由已知m+11│（mn+9m+11n+145），（n+9）│（mn+9m+11n+145），m+11=n+9，得（m+11）│46，（n+9）│46．∵46=46×1=23×2，∴m+11=n+9=46，或m+11=n+9=23．由此可得，每人捐款数为47元或25元．15．设a+10b+c+2d=mA+mB=（m+n）a+（2m－2n）b+（3m+4n）c+（4m+5n）d．则m+n=1，2m－2n=10，3m+4n=1，4m+5n=2．解得m=3，n=－2．故a+10b+c+2d=3A－2B=3×3－2×2=5．16．设“千禧数”为x，则x3=1000k+999（k为自然数）．∴x3+1=1000（k+1），即（x+1）（x2－x+1）=1000（k+1）．∵x2－x+1=x（x－1）+1为奇数，可设x+1=8m（m为自然数），∴m（x2－x+1）=125（k+1）．下面证明5（x2－x+1）．若5│x，显然5（x2－x+1），若5トx，设x=5n+p（1≤p≤4）．当p=1时，x2－x+1=5n1+1；当p=2时，x2－x+1=5n2+3；当p=3时，x2－x+1=5n3+2；当p=4时，x2－x+1=5n4+3．综上所述5 ト（x2－x+1）．∴x+1=1000t，为使x最小，应取t=1，∴x=999．经验证得999是“千禧数”．故最小的“千禧数”是999．。

第3讲因式分解(定)

第三讲分解因式【基础知识】1．分解因式的概念：，叫做把这个多项式分解因式。

2．分解因式的方法：（法则：分解到不可再分）（1）提公因式法：(1) 对于系数；（2）对于字母，（3）首项是负数，则公因式符号取“－”拓展：()222222a b c ab ac ac a b c ++±±±=±±③公式的拓展：立方和（差）公式：()()3322a b a b a ab b +=+-+ ； ()()3322a b a b a a b b-=-++ ④三平方，三一倍公式：222222()()()2a b b c a c a b c ab bc ac ±+±+±++±±±=（3）分组分解法：原则：分组后有公因式可提或能用公式分解，且每组之间又有公因式可提或能使用公式。

（4）十字相乘法：()2()()a b x ab x a x b +++=++方法是：拆两边，凑中间【课前热身】1、下列从左到右的变形是因式分解的是（）A ．9)3)(3(2-=-+a a aB ．6)2(10422++=++x x xC ．22)3(96-=+-x x x D ．)12(122xx x x x --=--2、若2249b kab a +-是一个完全平方式，则k 的值为（）A ．6B ．±6C ．12D ．±12【典型例题】例1：把下列各式分解因式提公因式法：（1）323129x x x -+- （2）3222)2(12)2(24)2(18m n m m n mn n m m -----（3）231(1)(1)(1)x x x x x x x +++++++平方差公式：（1）22(23)36(2)a b a b +-- （2）4481a b -（3）（2010成外半期）22221111(1)(1)(1)(1)234n ----，n 为正整数，且2n ≥完全平方公式：（1）224a b - （2）221222m mn n ++ （3）42167281x x -+分组分解法：（1）3223x x y xy y+--（2）2221x y y --- （3）2222a ab ab a b b -+-+-（4）224963a a b b ---+ （5）2269103025x xy y x y -+-++（6）（2010实外半期）a a b b a b ab ++--422433222十字相乘法：（1）892++x x ；（2）3x 2－11xy －14y 2 ；（3）6(x+y)2 －7(x+y)－3．（4）10x 4－23x 2y 2－5y 4（在实数范围内分解）双十字相乘：（1）()(2)453x y x y x y +++++ （2）（2010实外半期）x x y y --+-229643（3）22276x xy y x y -----例2．（换元法）分解因式()()2232712120x x xx ++++－．（abcd e +型）变式练习： (2010成外半期)分解因式：(2)(3)(1)8x x x x -+++=例3．（添项法）分解因式（1）444x y + （2）42951x x ++例4.（三平方、三一倍公式）已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++222的值.例5．待定系数法：已知2x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n .变式:1．（08福建）若二次多项式2232k kx x -+能被1x -整除，试求k 的值为2．若二次三项式kx 2+32x –35（k ≠0）有一个因式是2x+7，求k 及另一个因式.例6.主元法：（2010实外半期）()()ab bc ca a b c abc ++++-变式练习：已知一个三角形的三边,,a b c 满足()()()2220a b c b c a c a b -+-+-=，试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。

七年级数学之因式分解

第三讲因式分解（一）例1．（1）分解因式：322618m m m -+-；（2）分解因式：23229632x y x y xy ++；（3）分解因式：2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，（其中n 是正整数）；解：（1）原式=−2m (m 2−3m +9)；（2）原式=xy (6x +3x 2y +92y )；（3）原式=(x −y )2n (x −y −x +z +2y −2z )= (x −y )2n (y −z )。

例2．（1）分解因式：a 4−b 4；（2）分解因式：49(m +n )2−16(m −n )2；（3）分解因式：(a +b +c +d )2−(a −b +c −d )2；（4）分解因式：xy 3−4xy 。

解：（1）原式=(a 2+b 2)(a 2−b 2)=(a 2+b 2)(a +b )(a −b )；（2）原式=[7(m +n )+4(m −n )][7(m +n )−4(m −n )]=(11m +3n )(3m +11n )；（3）原式=[(a +b +c +d )+(a −b +c −d )][(a +b +c +d )−(a −b +c −d )]=(2a +2c )(2b +2d )=4(a +c )(b +d )；（4）原式=xy (y 2−4)=xy (y +2)(y −2)。

例3．（1）分解因式：(p +q )3−3(p +q )2(p −q )+ 3(p +q )(p −q )2−(p −q )3；（2）分解因式：4a 2+9b 2+9c 2−18bc −12ca +12ab 。

解：（1）原式=[(p +q )−(p −q )]3=(2q )3=8q 3；（2）原式=(2a +3b −3c )2。

例4．（1）分解因式：(a 2+9b 2−1)2−36a 2b 2；（2）分解因式：a 2−2ab +b 2−c 2；（3）分解因式：−2x +y 2−x 2−1；（4）分解因式：a 6−b 6。

因式分解简单应用及答案

因式分解简单应用一、填空题1．已知m+n=5，mn=3，则m2n+mn2=_________．2．已知x+y=6，xy=﹣3，则x2y+xy2=_________．3．当a=3，a﹣b=1时，代数式a2﹣ab的值是_________．4．若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为_________．5．若x+y=1003，x﹣y=2，则代数式x2﹣y2的值是_________．6．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_________．二、解答题7．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．8．分解因式：a2﹣2ab+b2﹣c2．9．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 10．分解因式：m2﹣n2+2m﹣2n11．（1）给出三个多项式2a2+3ab+b2，3a2+3ab，a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式；（2）解方程组．12．给出三个整式a2，b2和2ab．（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．13．在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．14．现有三个多项式：a2+a﹣4，a2+5a+4，a2﹣a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．15．给出三个多项式X=2a2+3ab+b2，Y=3a2+3ab，Z=a2+ab，请你任选两个进行加（或减）法运算，再将结果分解因式．16．对于任意的正整数n，所有形如n3+3n2+2n的数的最大公约数是什么？17．上数学课时，老师提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”．请你解答这个问题．18．已知A=a+2，B=a2﹣a+5，C=a2+5a﹣19，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．19．已知2x﹣3=0，求代数式x（x2﹣x）+x2（5﹣x）﹣9的值．20．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．因式分解的简单应用答案一、填空题1．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可；提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算。

数学第三讲《多项式的因式分解》

3.1 多项式的因式分解【学习目标】1．能概括出因式分解的定义，认识因式分解与整式乘法的互逆变形关系. 2．能正确判断因式分解及其正确性，明白因式分解的意义. 3．通过观察、分析、判断，深化逆向思维能力和综合运用能力. 【体验学习】一、新知探究阅读教材第55—57页，独立思考，回答下列问题． 1．用自己的话说说什么叫因式?并举几个例子说明．2．观察下表的两种代数式变形的例子（2）用自己的话说说什么叫因式分解，并举例说明．（3）我们为什么要进行因式分解？（4）怎样判断因式分解的正确性．二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列各题中，从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？（1）21234a b a ab =⋅ （）（2）2244(2)x x x -+=- （）（3）2(2)2xx x x -=- （）A ．22244)2(y xy x y x ++=+ B.3)1(4222+-=+-x y x C. )1)(13(1232-+=--x x x x D.mc mb ma c b a m ++=++)( 3.检验下列因式分解是否正确，并写出检验过程.（1）)(22y x xy xy y x -=- （2）)12)(12(122-+=-x x x三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.若 2x mx n ++能分解成(5)(2)x x +-，则m 和n 的值是多少？2.已知213=x ，求代数式xxx 32-的值．学法指导：跟同学分享你的解答方法，你的方法有什么独到之处吗？用到了什么知识点？【当堂检测】1．下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）1)2(41842--=--x x x x （2）)1(22--=--bx ax x x bx ax （3）1))((122--+=--y x y x y x 2．检验下列因式分解是否正确．（1）)5)(2(1072--=--x x x x （2）)1(41442-=+-m m m m【学习反思】本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64.敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀.最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？这就是数学上有名的“约瑟夫问题”.给大家一个提示，敌人从l 号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了.剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码.按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？【课后精练】1.判断下列各式从左到右的变形是否是因式分解，用“∨”表示是，•用“×”表示不是．（1）22))((b a b a b a -=-+（）（2）)12(3363223--=--x x x x x x （）（3）)(223m m m m m m -=--（）（4）3)2(322-+=-+x x x x （） 2.下列各因式分解正确的是（）A ．)3(322x x y xy y y x -=-+B ．)(2c b a a ac ab a +--=+-- C ．)176(221412222-+=-+xy x xy xy y x y x D ．)4)(1(342-+=+-a a a a 3．如果222-+mx x 可因式分解为)2)(12(-+x x ，求m 的值．3.2 提公因式法（一）【学习目标】1、知道公因式的定义，能准确找出一组多项式的公因式．2、知道找公因式的基本步骤，并能利用提公因式法进行简单的因式分解．【体验学习】一、新知探究阅读教材第59—60页，独立思考，回答下列问题．1.（1）结合小学所学知识说说4，6，14的最大公因数是什么？36和60的最大公因数是什么？2x ，x 的公因式是什么？428y x ，z xy 212的公因式是什么？（2）说说什么叫公因式？试着概括一下找公因式的步骤．2．用自己的话说说什么叫提公因式法？并举例说明．二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1．判断下列因式分解是否正确，不对的请在后面的横线上更正．（1）) 32( 32 232r h r r h r ππππ+=+（）（2）)5(522x x y y xy y x +=-+ （）（3）)111(24234xx x x x x ++=++ （）（4）24254)1(a a a a a a -+=-+ （）2．在括号内写出下列多项式各项的公因式．（1）mb ma +（）（2）ky kx 84- （）（3）23205y y +（）（4）ab ab b a +-222（）3．把下列多项式因式分解．（1）2232231046n m n m n m +-- （2）y y xy +-253三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.写出下列各式的公因式（1）()()()b a b a b a ++-+9 ,6 ,332的公因式是：．（2）为正整数）m p p m m (,12++的公因式是：． 2. 把下列多项式因式分解（1）235xy xy y -+ （2）3223226410a b a b a b --+（3）()()2013201222-+- （4）32244234812x yz x yz x y z -+【当堂检测】1. 24x ，68x 的公因式是：． 2.2316b a ，234b a ，48ab 的公因式是：． 3. 分解因式：xyz z xy yz x 412422+--【学习反思】本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】《因式分解》一课教学故事文革时期，有一个教书先生，很有才华.他有三个儿子，分别起名叫爱国、爱民、爱党.一天，他正在家习文写作，几个造反派夺门而入，其中一个戴红袖章的造反派指着他说道：‚跟我把他捆起来.‛几个魁梧高大的造反派便连忙过去将他紧紧地捆住.那教书先生道：‚你们凭什么抓人？我犯的什么法？‛那戴红袖章的造反派笑着说道：‚你去了就知道！‛说完，便拉着教书先生走了.到了那里，是一个批判大会会场，造反派将他押到台上，那教书先生还理直气壮的反抗道：‚你们凭什么抓我呀，还得讲个道道来呀？‛那戴袖章地造反派摆着八字步走到他面前严厉地说道：‚道道？我问你，你的三个儿子的名字是怎么起的呀？‛‚我三个儿子的名字怎么拉，‘爱国、爱民、爱党’还不好呀？‛教书先生反驳道. 那造反派便又笑起来说道：‚那......你把那个'爱'字提取出来，叫什么呀?‛他又停顿了一会儿，接着说道：‚叫‘爱国民党’呢？你知道吗？你的三个儿子‘爱国民党’这个罪名可不小啊，哈哈！‛那教书先生听造反派这样一说，便象霜打的茄子，慢慢地低下了头，等着受批判了. 【课后精练】1.说出下列多项式中各项的公因式．（1）212x 1815y xy y -+-的公因式是．（2）32r h r ππ+的公因式是．（3）n m n m y x y x 1142---（m ，n 均为大于1的整数）的公因式是．2. 用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．1.2 提公因式法（二）【学习目标】1．知道公因式可以是多项式，并能正确地找出不同形式的公因式．2．会熟练利用提公因式法进行因式分解，并能总结出提公因式法分解因式的基本步骤．【体验学习】一、新知探究阅读教材第60—61页，独立思考，回答下列问题． 1.请在下列各式等号右边的括号内填上合适的代数式．（1）2－a =－（）（2）－m －n =－（）（3）－s 2+t 2 =－（）（4）b —a =－（）（5）（b －a ）2 =－（）2 （6）（b －a ）3 =－（）3（7）()nx y -=－（）n （ n 为奇数）（8）()n x y -=－（）n （n 为偶数）2．分别写出多项式)()(y x b y x a +++、)3(5)3(6p n p m ---、)1(8)1(4)1(2+++++x cm x bm x am 、22))((4))((2a b c a b a c a ----+ 的公因式．归纳：想想公因式可以分为哪几种类型？分别举例说明．二、基础演练根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.下列各组代数式中是否有公因式，如果有，请在横线上写出来．（1）a b b a m --和)(5 （）（2）()b a b a --+和2（）（3）y x y mx ++和（）（4）222ab b a ab a --和（） 2．把下列各式分解因式（1）)2(3)2(---x x x （2）)(12)(62p q q p ---（3）2)()(m n m n m mn ---（4）)(18)(1222y x y x y x xy +-+-三、综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 1.将下列多项式进行因式分解（1）1142+---n n x x （2）()()()()b a y x b a y x +-++-23322.已知：16=--c b a ，求)()()(a c b c b a c b c b a a -+++-+--的值．【当堂检测】1. 把下列各式分解因式（1）3a （x －y ）－（x －y ）（2）a （m －2）+b （2－m ）（3）5（x －y ）3+10（y －x ）2【学习反思】本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】数学学习妙用36口诀9（分解因式歌）首先提取公因式，然后考虑用公式. 十字相乘试一试，分组分得要合适. 四种方法反复试，分解完成连乘式.【课后精练】1.选择题（1）多项式1142+---n n a a 的公因式是M ，则M 等于（）A ．12-n aB ．na 2- C ．12--n a D ．12+-n a（2）下列因式分解不正确的是（） A ．)2(24222a b ab b a ab +-=+- B ．)3)((3)(9)(3n m b a a b n b a m +-=--- C ．)53(525155232y b ax ab y ab bx a ab ---=++- D ．)12(336322--=--y y a a ay ay（3）将多项式by bx y x a 22)(-+-分解因式，正确的结果是（） A ．)2)((b a y x +-- B ．)2)((b a y x +- C ．)2)((b a y x -- D ．)2)((b a y x +-- 2．把下列各式分解因式（1）2)()(b a b a +-+ （2）)()(x y y y x x -+-（3）22(x y)(y x)a b --- （4）224(a b)6ab ()a b a b ---3.3公式法（一）【学习目标】：1.能识别一个多项式是否符合平方差公式的要求.2.能初步利用平方差公式进行因式分解，并能总结出平方差公式法因式分解的基本步骤.【体验学习】：一、新知探究阅读教材63-64页的所有内容，然后根据你对教材的理解，回答下列问题： 1.请用字母表示平方差公式，并说说它的特点.2.说说平方差公式与利用平方差公式进行因式分解之间的联系与区别？3.例1、2中哪一项相当于公式中的a ，哪一项相当于公式中的b ？4.在应用平方差公式进行因式分解时，要注意什么？二、基础演练1.模仿例1把下列各式进行因式分解（1）2x －1 （2）92-m（3）224y x - （3）942-x1.把下列各式进行因式分解（1）416x +- （2）22)()(y x y x --+（3） 222（4）24116 1.下列多项式是否能用平方差公式分解因式？（1）42+x （）（2）2594-a （）（3）a b a -23（）（4）281x +- （）2.计算（1)224n m m -（2）22)()(z x y z y x ---++(3)25)(92-+y x（4）2244)44(y x x -++【当堂检测】：把下列多项式因式分解（1）229y x -（2）23ab a -（3）22492536t x - （4）22)()(z y x z y x -+---【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：密码原来是这样的在日常生活中，如提款、上网都需要密码.有一种用因式分解产生的密码，方便记忆.其原理是：对于多项式44y x -，其因式分解的结果是))(()(22y x y x y x -+⋅+，若取9,9==y x ，则哥哥因式的值是0,18,16222=-=+=+y x y x y x ，于是就把“162180”作为一个六位数的密码.对于多项式23xy x -，若取5,21==y x ，用上述方法产生的密码是多少呢？你能算出来吗？【课后精练】：把下列多项式因式分解或计算1.642-x2.2291b a -3.36)(42--y x4. 224.526.47-3.3 公式法（二）【学习目标】：1.能识别一个多项式是否适合完全平方公式.2.能初步利用完全平方平方公式进行因式分解，并能总结出完全平方公式法因式分解的基本步骤.【体验学习】：一、新知探究阅读教材65-66页的所有内容，然后根据你对教材的理解，回答下列问题：1.请用字母表示完全平方公式，并说说它的特点.2.你能将65页“动脑筋”中的两个多项式因式分解吗？3.例5、6中哪一项相当于公式中的a ，哪一项相当于公式中的b ？4.在应用完全平方公式进行因式分解时，要注意什么？二、基础演练1.下列多项式是否能用完全平方公式分解因式？（1）224x x ++ （）（2）2105x x -+ （）（3）442+-x x （）（4）425102++x x （） 2.将下列各式进行因式分解（1）269x x -+ （2）21025m m -+1.将下列各式进行因式分解（1）224129x xy y --- （2）2()12()36x y x y ++++（3）4221x x -+ （4）322a a a -+2.若162+-mx x 是一个完全平方式，那么m 的值是多少？3.若n 为自然数，试说明22(5)(3)n n +--能被16整除【当堂检测】：1.要得到2)(b a -，多项式223b ab a ++应加上（） A.ab - B.ab 3- C.ab 5- D.ab 7-2.将下列各式因式分解（1）36122+-m m （2）42552++x x（3）2244y xy x -+- （4）ab b a b a 5205223-+-【学后反思】：本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________【拓展链接】：从前，有－个狡猾的庄园主，把－块边长为.米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”张老汉非常吃惊．你知道张老汉是否吃亏了吗?学习了本节课的知识，你能轻松地解决这个问题吗?【课后精练】：1.把下列多项式因式分解（1）2241q pq p +- （2）2242025y xy x ++（3）4424++x x （4）91322-+-x x2.已知1692++xm m 可以用完全平方公式进行因式分解，求x .。

第三讲：因式分解的应用

第三讲因式分解的应用（提高训练）一．知识点熟悉因式分解中常用的结果（1）)1)(1(1±±=±±±b a a b ab（2）)1)(1(1 b a a b ab =-±（3）)22)(22(4224+-++=+a a a a a（4）)122)(122(14224+-++=+a a a a a（5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++（6）))((3222333bc ac ab c b a c b a ab c b a ---++++=-++二．例题讲解例题1、（1）若22222244,62b a b b a a b a +++-=+求的值。

（2）y x x xy y y xy x +=++=++求若,28,1422的值。

练习：（1）已知=++--=+=+2,30,32222b ab a ab b a b a 则。

（2）若43222234585,1y xy xy y x y x y x x y x ++++++-=+求的值。

例题2、求方程07946=--+y x xy 的整数解。

提示：01)23)(32(=-+-y x练习：（1）求方程200625222=++y xy x 的所有的正整数解。

（2）整数b a ,满足=++-=b a b a ab ，则3031096 。

例题3、在1001-之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有 9 个。

练习：1、要使二次三项式p x x +-52在整数范围内进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（）个A 、2个B 、4个C 、6个D 、无数个2、设n 为某一整数，代入代数式n n -5计算其值时，四个学生算出下列四个结果，其中仅有一个是正确的，则这个正确的结果是（）A 、7770B 、7775C 、7776D 、7779例题4、计算下列各式。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲因式分解的应用(含答案)

第三讲因式分解的应用趣题引路】考考你：333311111222231*********++等于多少？想一想立方和公式，设a ＝22223，b ＝11112，a －b ＝11111，故原式＝3333)(b a a b a -++＝))(2())((2222b ab a b a b ab a b a +--+-+＝b a b a -+2＝11112444461111222223-+＝3333433335．这是因式分解的魔力！想知道因式分解在哪些方面有用吗？怎样用好这个工具？本讲将告诉你答案．知识拓展】因式分解是代数变形的重要工具．它在数值计算、代数式的化简、恒等式的证明、不定方程、几何证明等方面都有广泛应用．下面举例说明．一、利用因式分解化简求值例1 若a 是方程x 2－3x ＋1＝0的一个根，试求2a 5－5a 4＋2a 3－8a 2＋3a 的值．解析依题意有a 2－3a ＋1＝0，设法弄清所求代数式与a 2－3a ＋1的联系，通过分解可使原式变成包含a 2－3a ＋1的代数式．解：∵a 是x ²－3x ＋1＝0的根， ∴a 2－3a ＋1＝0．原式＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 4－8a 2＋3a＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 2(a 2－3a ＋1)＋3a (a 2－3a ＋1) ＝0．点评：本题也可将a ²－3a ＝－1反复代入原式化简求之．例2 化简： 200019981998200022-+·420011998199719972-⨯-．解析式子中出现1997，1998，2000，2001，如设其中一个为x ，则其余三个均用含x 的式子表示，从而将问题转化为含x 的代数式化简问题．解：设1998＝x ，则原式＝)43)(2()23)(45(2222-+--+-++x x x x x x x x ＝)4)(1)(2)(1()2)(1)(4)(1(+--+--++x x x x x x x x ＝1．点评：这是一种换元的思想．换元时通常取几个数(或式)的算术平均数较为简单．二、利用因式分解证明等式(不等式)例3 设a ，b ，c ，d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证；a ＝c ，b ＝d ．解析由a 3＋b 3＝c 3＋d 3使人想起立方和公式，展开后两边约去a ＋b 和c ＋d ，问题简化．证明：由a 3＋b 3＝c 3＋d 3得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(c ＋d )(c 2－cd ＋d 2)．由于a ＋b ＝c ＋d ≠0，故a 2－ab ＋b 2＝c 2－cd ＋d 2．配方(a ＋b )2－3ab ＝(c ＋d )2－3cd ．从而ab ＝cd ．于是(a 2－ab ＋b 2)－ab ＝(c 2－cd ＋d 2)－cd ．即(a －b )2＝(c －d )2．而a ≤b ，c ≤d ，故b －a ＝d －c ，与已知式a ＋b ＝c ＋d 比较得b ＝d ，a ＝c ．例4 设a 、b 、c 是三角形三条边，求证：a 2－b 2－c 2－2bc ＜0．解析利用因式分解将所证不等式左边进行变形从而得到三边的易判断的关系．证明：∵a 2－b 2－c 2－2bc ＝a 2－(b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )(a －b －c )． ∴需证(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0．又∵a ，b ，c 是三角形三条边，∴a ＋b ＋c ＞0，a ＜b ＋c ．∴(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0，原式得证．三、利用因式分解解方程(组)例5 (2001年北京初二竞赛试题)已知实数x ，y 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++623222y x y xy x ，则：|x ＋y ＋1|＝．解析方程中出现x ＋y ，xy ，x 2＋y 2，使人想到完全平方公式，将x ＋y 看作整体处理，消去xy ，分解因式得x ＋y ．通常：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0．解：由x 2＋y 2＝6得(x ＋y )2＝6＋2xy ． ① 由x ＋xy ＋y ＝2＋32得xy ＝2＋32－(x ＋y )． ② 将②代人①得(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(10＋62)＝0．即(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(4＋2)(2＋2)＝0．故(x ＋y ＋4＋2)(x ＋y －2－2)＝0． ∴x ＋y ＝－4－2或x ＋y ＝2＋2∴|x ＋y ＋1|＝3＋2．点评：10＋62＝8＋62＋2＝(4＋2)(2＋2)很关键．例6 (上海竞赛题)求方程6xy ＋4x －9y －7＝0的整数解．解析利用整数性质，将方程左边化成两个因式的乘积再分情况讨论．解：方程可化为 2x (3y ＋2)－3(3y ＋2)－1＝0， (2x －3)(3y ＋2)＝1．∴⎩⎨⎧=+=-123132y x 或⎩⎨⎧-=+-=-123132y x ．解得x ＝1，y ＝－1．四、利用因式分解研究整除问题例7 (1999年全国联赛试题)某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn ＋9m ＋11n ＋145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.解析涉及整数问题常常要对已知式进行因式分解. 解依题意mn ＋9m ＋11n ＋145＝(m ＋11)(n ＋9)＋46 可知：(m ＋11)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)， (n ＋9)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)且m ＋11＝n ＋9，故 m ＋11和n ＋9均整除46，而46＝46×1＝23×2.所以，m ＋11＝n ＋9＝46或m ＋11＝n ＋9＝23 由此可得每人捐款数为47元或25元. 好题妙解】佳题新题品味例1 (江苏第17届初二竞赛试题)已知a ，b ，c 是正整数，a >b ，且a 2－ab －ac ＋bc ＝7，则a －c 等于( )A.－1B.－1或－7C.1D.1或7解析将已知等式分解为(a －b )(a －c )＝7，因a >b ，故a －b 和a －c 均为正整数，因而a －c 等于1或7，选D.例2 (2003年太原市竞赛试题)已知m 2＋2mn ＝384，3mn ＋2n 2＝560.则2m 2＋13mn ＋6n 2－444的值是( )A.2001B.2002C.2003D.2004解析采用局部分解：2m 2＋13mn ＋6n 2－444＝2(m 2＋2mn )＋3(3mn ＋2n 2)－444＝2×384＋3×560－444＝2004，选D.例3 计算20052－20042＋20032－20022＋…＋32－22＝ .解析反复运用平方差公式展开得(2005＋2004)×1＋(2003＋2002)×1＋…＋(3＋2)×1＝(20052)20042011014.2+⨯=例4 (2002年黄冈题)观察：1×2×3×4＋1＝52 2×3×4×5＋1＝112 3×4×5×6＋1＝192 …(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果(用一个最简式子表示).解析注意到给定式子均为四个连续整数之积，右边为完全平方数，且5＝1×4＋1，11＝2×5＋1，19＝3×6＋1…恰好是第一和第四个整数之积加1，第n 个式子应为n (n ＋3)＋1.解 (1)对于自然数n ，有n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＋1＝(n 2＋3n )(n 2＋3n ＋2)＋1＝(n 2＋3n )2＋2(n 2＋3n )＋1＝(n 2＋3n ＋1)2.(2)由(1)得2000×2001×2002×2003＋1＝(20002＋3×2000＋1)2＝40060012中考真题欣赏例1 (北京)观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×3＋4＝31 9×4＋5＝41 …猜想第n 个等式(n 为正整数)应为 .解析注意第n 个式子与式子中数字间的关联.9不变，第二个数比n 小1，第三个数等于n ，第四个数为10(n －1)＋1，故第n 个式子为：9(n －1)＋n ＝10n －9.例2 (2003年北京崇文区)观察下列每组算式，并根据你发现的规律填空：4520,3618,⨯=⎧⎨⨯=⎩ 5630,4728,⨯=⎧⎨⨯=⎩6742,5840.⨯=⎧⎨⨯=⎩已知122×123＝15006，则121×124＝ .解析 15004，注意到121×124与122×123仅有末位数字不同，因而结果仅末位不同竞赛样题展示例1 (奥林匹克训练题)适合(y －2)x 2＋yx ＋2＝0的非负整数对(x 、y )的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析由题设得y (x 2＋x )－2(x ²－1)＝0，即(x ＋1)[yx －2(x －1)]＝0 因为x ≥0，故有yx ＝2(x －1)，显然x ≠0，所以x >0，2(1)22x y x x-==-，于是x ＝1或2，即只有两组解，选B.例2 (2003年全国初中联赛试题)满足等式2003的正整数对(x ，y )的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析由-2003＝0可得0=.00.故xy ＝2003.又因为2003为质数，因此必有12003x y =⎧⎨=⎩ 20031x y =⎧⎨=⎩或故选B.例3 (希望杯竞赛题)已知n 是正整数，且n 4－16n 2＋100是质数，求n 的值. 解析利用质数的因数只有1和本身，将已知式分解因式讨论求解.解 n 4－16n 2＋100＝n 4＋20n 2＋100－36n 2＝(n 2＋10)2－36n 2＝(n 2＋6n ＋10)(n 2－6n ＋10). 因n 2＋6n ＋10≠1，而n 4－16n 2＋100为质数且n 为正整数. 故n 2－6n ＋10＝1，即(n －3)2＝0，得n ＝3.例4 按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； (2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.解析 (1)第一次只能得到1×4＋4＋1＝9，因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9＋4＋9＝49，同理，第三次取9和49，就得到扩充三次的最大数为499.(2) 因c ＝ab ＋a ＋b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，故c ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)，取数a 、c ，可得新数d ＝(a ＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)－1＝(a ＋1)2(b ＋1)－1，即d ＋1＝(a ＋1)2(b ＋1)；取数b 、c 同理可得e ＝(b ＋1)(c ＋1)－1＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)－1，e ＋1＝(b ＋1)2(a ＋1).设扩充后的新数为x ，则总可以表示为x ＋1＝(a ＋1)m ·(b ＋1)n ，又因1999＋1＝2000＝24×53，故1999可以通过上述规则扩充得到.过关检测】A 级1.已知724－1可被40至45之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A.41，48 B.45，47 C.43，48 D.41，472.已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac ＋bd ＋ad ＋bc ＝1997，则a ＋b ＋c ＋d ＝ .3.已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系：p 2－2001p ＋m ＝0，q 2－2001q ＋m ＝0，m 是适当的整数，那么p 2＋q 2的数值是( )A.4004006B.3996005C.3996003D.40040044.计算3322782278782222+=-⋅+ . 5.求证：对于任何自然数n ，323122n n n ++都是3的倍数.6.已知：x ²－x －1＝0，则－x 3＋2x 2＋2002的值为 .7.设方程x 2－y 2＝1993的整数解为,αβ，则αβ＝ .8.整数a 、b 满足6ab ＝9a －10b ＋303，则a ＋b ＝ .B 级1.设a <b <c <d ，如果x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，那么x 、y 、x 的大小关系为( )A.x <y <zB.y <z<xC.z<x <yD.不能确定2.在方程组33336x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中x 、y 、z 是互不相等的整数，那么此方程组的解的个数为( ) A.6 B.3 C.多于6 D.少于33.设y ＝x 4－4x 3＋8x 2－8x ＋5，其中x 为任意数，则y 的取值范围是( ) A.一切数 B.一切正数C.一切大于或等于5的数D.一切大于或等于2的数4.一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数.5.设a 、b 、c 、d 是4个整数，且使得m ＝(ab ＋cd )2－14(a 2＋b 2－c 2－d 2)2是个非零整数，求证：m 一定是个合数.6.求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4＋k 不是质数.7.解方程组：33323,2().x y z xyz x y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩()。