几类特殊四面体外接球半径求解的策略

几类特殊四面体外接球半径求解的策略

摘要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。

关键词：四面体；外接球；半径

球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题。本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。

1.易补形为长方体模型下的四面体

（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径

从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。该三棱锥的特点为一顶点处引发的的三条棱两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .

例1（2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为，则外接球的表面积为_______.

解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。由于三个侧棱长都等于，则外接球半径所以此三棱锥外接球的表面积 .

点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体

的一角，进

（ 2）等腰四面体的外接球半径

三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。该三棱锥的特点为三组相对的棱与、与、与分别相等。

可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分

别位于长方体的六个面的对角线上。不妨

长方体的长、宽、高分别为，则由勾股定理可知，

故可得所以此三棱锥外接球的半径

.

例2（2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为

_______.

解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。可将该三棱锥

补形为如图所示的长方体，设长方体的长宽高分别为，

则

所以

此四面体外接球半径

点评：本题在求解过程中需要从边长关系出发来认识三棱锥模型，抓住三组

相对的棱分别相等这一信息，将三棱锥补形为长方体，体现了转化与化归思想，

实现复杂问题简单化，从而使得问题迎刃而解。

（3）正四面体的外接球半径

四个面都是全等的正三角形的四面体称为正四面体。该三棱锥的特点是所有棱长都相等，可将该三棱锥补形为如图1.3所示的正方体。设

正四面体的棱长为，则正方体的边长为，所以该三棱锥的外接球半

径为

例3（2003年全国卷理科第12题）棱长都为的四面体的四个顶点在同

一球面上，则此球的表面积为（）

解:由于三棱锥棱长都为，则此三棱锥为正四面体。将该三棱锥补形为边长为1的正方体，所以其外接球半径故其外接球的表面积为 .

点评:正四面体所有棱长都相等，它不仅有外接球和内切球，而且球心是重

合的，恰好是正四面体的中心。本题将三棱锥补形为正方体可有效简化求解过程。

（4）鳖臑外接球的半径

鳖臑：四个面都为直角三角形的四面体。此四面体的特

征是有两个共斜边的直角三角形（斜边长相等）拼接而成，

这条斜边称为三棱锥的长棱。如图1.4，三棱锥中，平面 ,可将

此三棱锥补形为以底面的两

条直角边和垂线分别

为长、宽、高的长方体，长方体

的对角线的中心即为球心。

例4（2018年福州市高三质检文科第10题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑。已知四面体为鳖臑，平面 ,，且该鳖臑的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_______.

解：如图4-1，平面，所以，

,又，为直角三角形，

所以，从而平面，为

和的公共边，所以中

点为球心 .， .

故球的表面积为 .

点评：本题中，三棱锥的底面为直角三角形，过顶点的侧棱与底面垂直，具备此几何特征的三棱锥（四个面均为直角三角形），即可补形为长方体。若过底面三角形的直角顶点的侧棱垂直于底面，则此模型即为例1中的三棱锥。

2.易补形为直三棱柱模型下的四面体

（1）一条棱垂直底面的三棱锥外接球半径

有一条棱垂直于底面的三棱锥可以补成直棱柱。如图，在棱锥

中，平面 ,设，底面的外接圆

半径为。把这个三棱锥补成一个三棱柱，则外接球的球心为上下

底面外接圆圆心连线的中点，则外接球半径为

例5：（2008年高考浙江卷理科第14题）如图，已知四点在球的表面，平面，则球的体积等于____.

解由于平面，所以这个三棱锥是直三棱锥。

因为且 ,所以 ,底面

外接圆半径，所以三棱锥外接圆半径

,所以球的体积 .

（另外，此题亦可补成长方体求解。）

例6：（2016-2017学年广东省佛山市高二上学期教学质量检测理科第16题）四面体中,则四面体外接球表面积是

_________.

解：由题设，可得所以同理，所以

底面。因为故底面为等边三角形，由正弦定理可

得底面的外接圆半径所以此四面体外接球半径

故四面体外接球的表面积

点评:一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心

垂直于这个面的直线上。例5、例6通过构造之三棱柱来求解，其球心是两底面

三角形中心连线的中点。

3.正三棱锥的外接球半径

如图3,正三棱锥中，顶点在底面的射影是底面的中心，则外

接球球心一定在顶点到底面中心的连线上。不妨设正三棱锥的高为，

，底面边长为，外接球球心为 ,半径为 ,由正弦定理可得的外接圆半径

。在中，由勾股定理得