高数(一)期中考试试题
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高等数学(上)期中考试试卷
(A ) 可去间断点 (B ) 跳跃间断点 (C ) 无穷间断点 (D ) 振荡间断点装订线内不要答题自觉遵 守考 试规 则，诚 信 考 试，绝 不 作弊（3）设函数)(x f 二阶可导，且0)(>'x f ，0)(>''x f ，则当0>∆x 时，有（ ）(A )0>>∆dy y (B )0<<∆dy y (C )0>∆>y dy (D )0<∆<y dy（4）函数q x x x f ++=2)(3的零点的个数为 （ ）(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 与q 取值有关（5）若函数)(x f 满足)( )()(+∞<<-∞=-x x f x f ，且在)0,(-∞内，0)(>'x f ，0)(<''x f ，则在),0(+∞内 （ ）(A ) )(x f 单调增加且其图象是凸的； (B ) )(x f 单调增加且其图象是凹的；(C ) )(x f 单调减少且其图象是凸的； (D ) )(x f 单调减少且其图象是凹的。
（6）设)(x f 在),0(δU 内具有连续的二阶导数，0)0(='f ，)0( 1)(lim 0<=-''→a a e x f x x 则 （ ）(A ) 0=x 是函数)(x f 的极小值点； (B ) 0=x 是函数)(x f 的极大值点；(C ) ))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； (D ) ))0(,0(f 不是曲线)(x f y =的拐点。
（7）曲线1)3)(2(2)(2-+-=x x x x f （ ） (A ) 没有渐近线； (B ) 仅有水平渐近线；(C ) 仅有铅直渐近线； (D ) 既有水平渐近线又有铅直渐近线。
三、计算下列极限 (每题5分，共20分)（1）)||sin 12(lim 410x x e e x x x +++→（2）)1ln()cos 1(1cos11lim 230x x x x x x -++-+→（3）)tan 11(lim 20xx x x -→(4) x x x )arctan 2(lim π+∞→四、计算下列各题(每题6分，共24分)（1）设x e x x y -=1sin sin x x +，求y '.( 2 )设函数)(x y 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，试求0t 22=dx y d( 3 ) 21)(2-+=x x x f ， 试求)()(x f n( 4 ) 已知方程)ln()(2y x y x x y --=-确定y 是x 的函数，求dy .五．（6分）证明：当1<x 时，xe x ≥-11六．（5分）设)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)(≠''x g ，)()(b f a f ==,0)()(==b g a g 证明：（1）在),(b a 内，0)(≠x g ；（2）至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=成立.。
期中考试数学高一真题试卷
期中考试数学高一真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值。
A. 3B. 5C. 7D. 92. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 包含3. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 17B. 14C. 11D. 84. 若\( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 2\theta \)的值。
A. 0B. -1C. 1D. -\( \frac{1}{2} \)5. 函数\( y = \log_2 x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)6. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( x + y = 10 \)，求\( xy \)的值。
A. 4B. 8C. 12D. 167. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a + b \)的值。
A. -3B. -2C. -1D. 09. 函数\( y = \sqrt{x} \)的值域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( y \geq 0 \)C. \( y > 0 \)D. \( y \leq 0 \)10. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，求\( \sin 2\alpha \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C.\( \frac{2}{5} \) D. \( \frac{1}{5} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 若\( \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)，\( \theta \)的终边在第二象限，则\( \sin \theta \)的值为________。
2023-2024学年天津一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b25．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√27．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−1128．定义在R上的奇函数f（x），满足f（12+x）＝f（12−x），在区间[−12，0]上递增，则（）A．f（0.3）＜f(√2)＜f(2)B．f（2）＜f（0.3）＜f（√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．1110．定义区间长度m 为这样的一个量：m 的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x 的不等式x 2﹣ax ﹣6a ＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25]∪[1，+∞） B ．[﹣25，﹣24）∪（0，1] C ．[﹣25，0）∪（1，24） D ．[﹣25，1]二、填空题：（每小题4分，共24分） 11．已知函数f(x)=√2+x 1√16−x 的定义域为 ．12．已知命题p ：x ＞m ，q ：2+x ﹣x 2＜0，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 ．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 ．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ ．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 ． 三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝2． （1）求b a +4b的最小值；（2）求4a 2+8ab +b 2的最大值． 19．（12分）已知函数f(x)=x 2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．2023-2024学年天津一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}，集合P＝{1，2，3}，Q＝{2，4}，则（∁U P）∪Q＝（）A．{0，2，3，4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，4}解：因为U＝{x|0≤x＜5，x∈N*}＝U＝{1，2，3，4}，所以（∁U P）∪Q＝{4}∪{2，4}＝{2，4}．故选：B．2．“a＝b”是“a+b2=√ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：a＝b＜0时，a+b2=√ab不成立，“a＝b”不是“a+b2=√ab”的充分条件；a+b2=√ab时，有a≥0且b≥0，a+b−2√ab=0，即(√a−√b)2=0，得a＝b，故“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要条件；所以“a＝b”是“a+b2=√ab”的必要不充分条件．故选：B．3．存在量词命题p：∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≤0的否定是（）A．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0B．∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0 C．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0D．∃x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣1＞0．故选：A．4．已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2≠b2B．若a2≠b2，则a＞bC．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2解：对于A，当a＝﹣b时，如a＝2，b＝﹣2时a2＝b2成立，故A错误；对于B，当a＝1，b＝2，显然a2≠b2，但a＜b，故B错误；对于C，当a＝2，b＝﹣3时，显然a＞b，但a2＜b2，故C错误；对于D，a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，故D正确．故选：D．5．已知x＞y＞z，且x+y+z＝1，则下列不等式中恒成立的是（）A．xy＞yz B．x|y|＞z|y|C．xy＞xz D．xz≥yz解：当x＝2，y＝0，z＝﹣1时，不等式xy＞yz，x|y|＞z|y|，xz≥yz均不成立，故选项A、B、D错误；因为x＞y＞z，且x+y+z＝1，所以x＞0，所以xy＞xz，故选项C正确．故选：C．6．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，则f（x）的最小值为（）A．2B．3C．4D．2√2解：由f（x）+2f（1x ）＝5x+4x，取x=1x，则f（1x）+2f（x）=5x+4x，联立解得f（x）＝x+2x，x∈（0，+∞）．∴f（x）＝x+2x≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x，即x=√2时等号成立．∴f（x）的最小值为2√2．故选：D．7．若函数f(x)=2ax2+bx+c的部分图象如图所示，则f（5）＝（）A．−13B．−23C．−16D．−112解：根据题意，函数f(x)=2ax2+bx+c，由函数的图象，其定义域为{x|x≠2且x≠4}，在区间（2，4）上，f（x）＞0，且当x＝3时，f（x）取得最小值1，在区间（﹣∞，2）和（4，+∞）上，f（x）＜0，设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x）＝0的两个零点为2和4，必有a＜0，且当x＝3时，g（x）取得最大值2，则有{−ba =2+4=6c a =2×4=89a +3b +c =2，解可得{a =−2b =12c =−16，则f （x ）=2−2x 2+12x−16=−1x 2−6x+8， 则f （5）=−13．故选：A ．8．定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），在区间[−12，0]上递增，则（ ）A ．f （0.3）＜f(√2)＜f(2)B ．f （2）＜f （0.3）＜f （√2）C ．f （0.3）＜f （2）＜f （√2）D ．f （√2）＜f （2）＜f （0.3）解：定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （12+x ）＝f （12−x ），可得f （x ）的图象关于直线x =12对称，由f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （﹣x ）＝f （x +1）， 可得f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 即f （x ）的周期为2，奇函数f （x ）在区间[−12，0]上递增，可得f （x ）在（0，12）递增，由f （x ）的图象关于直线x =12对称，可得f （x ）在（12，1）递减，即有f （12）＞f （0）＝0，f （−12）＜0，f （0.3）＞0，即有f （2）＝f （0）＝0，f （√2）＝f （1−√2）＜0， 可得f （√2）＜f （2）＜f （0.3）， 故选：D ．9．已知a ，b ∈R ，若√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b2的最大值为m ，且不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集为（1，2m ），则a +b ＝（ ） A ．3B ．43C ．7D ．11解：根据不等式xy ≤x 2+y 22可得√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2≤4a 2+b 2+a 2+4b 22=52(a 2+b 2)，当且仅当4a 2+b 2＝a 2+4b 2，即a 2＝b 2时等号成立， 所以，√4a 2+b 2⋅√a 2+4b 2a 2+b 2≤52，所以m =52．所以，不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，5）．根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，1和5是方程x2﹣ax+b＝0的两个解，由根与系数的关系知{1+5=a1×5=b，解得{a=6b=5，所以a+b＝11．故选：D．10．定义区间长度m为这样的一个量：m的大小为区间右端点的值减去区间左端点的值，若关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，且解集的区间长度不超过5个单位长，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，25]∪[1，+∞）B．[﹣25，﹣24）∪（0，1]C．[﹣25，0）∪（1，24）D．[﹣25，1]解：∵关于x的不等式x2﹣ax﹣6a＜0有解，∴Δ＝a2+24a＞0，解得a＞0或a＜﹣24．由x2﹣ax﹣6a＝0解得．x1=a−√△2，x2=a+√△2∵x1＜x2，∴不等式解集为（x1，x2），∵解集的区间长度不超过5个单位长x2﹣x1≤5，解得﹣25≤a≤1，∵a＞0或a＜﹣24，∴﹣25≤a＜﹣24或0＜a≤1．故选：B．二、填空题：（每小题4分，共24分）11．已知函数f(x)=√2+x√16−x2的定义域为[﹣2，4）．解：由题意得函数f(x)=√2+x1√16−x2要有意义，需满足{2+x≥016−x2＞0，解得﹣2≤x＜4，即函数f(x)=√2+x1√16−x2的定义域为[﹣2，4）．故答案为：[﹣2，4）．12．已知命题p：x＞m，q：2+x﹣x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是[2，+∞）．解：不等式2+x﹣x2＜0，即x2﹣x﹣2＞0，解得x＜﹣1或x＞2．设A＝{x|x＞m}，B＝{x|x＜﹣1或x＞2}，由命题p是命题q的充分不必要条件，可知A⫋B，所以有m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为 13 ．解：某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱， 设两项运动都喜欢的人数为x ，作出维恩图，可得：25﹣x +x +20﹣x +16＝48，解得x ＝13， 则既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为13． 故答案为：13．14．已知函数f(x)={x +3，x ≤0√x ，x ＞0，若f （a ﹣3）＝f （a +2），则f （a ）＝ √2 ．解：当a +2≤0，即a ≤﹣2时，则由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a ＝a +5，无解； 当a ﹣3≤0，且a +2＞0，即﹣2＜a ≤3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，a =√a +2，所以a ＞0， 整理可得，a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝﹣1（舍去）或a ＝2； 当a ﹣3＞0，即a ＞3时，由f （a ﹣3）＝f （a +2）可得，√a −3=√a +2，无解． 综上所述，a ＝2． 所以，f(a)=f(2)=√2． 故答案为：√2．15．已知函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为 [0，76] ．解：函数f(x)={x 2−(a +4)x +5，x ＜2(2a −3)x ，x ≥2在R 上单调递减，则{2a −3＜0a+42≥24−2(a +4)+5≥2(2a −3)，解得0≤a ≤76，即实数a 的取值范围为[0，76]．故答案为：[0，76]．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且当x ≥0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m +1]，不等式f （1﹣x ）≤f （x +m ）恒成立，则实数m 的最大值为 −13．解：因为 f （﹣x ）＝f （x ），x ∈R ，所以函数f （x ）为偶函数， 又当x ⩾0时，f （x ）={−x 2+1，0≤x ＜11−x ，x ≥1是减函数，所以不等式 f （1﹣x ）⩽f （x +m ），等价于不等式 f （|1﹣x |）⩽f （|x +m |）， 即|1﹣x |⩾|x +m |，平方化简得 2（m +1）x ⩽1﹣m 2， 当m +1＝0时，x ∈R ，符合题意，所以m ＝﹣1； 当m +1＞0，即 m ＞﹣1时 ，x ⩽1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以 m +1⩽1−m 2，解得 m ⩽−13，所以−1＜m ⩽−13； 当m +1＜0，即m ＜﹣1 时，x ⩾1−m2，又x ∈[m ，m +1]， 所以m ⩾1−m 2，解得m ⩾13，这与m ＜﹣1矛盾，舍去． 综上，−1⩽m ⩽−13，因此实数 m 的最大值是 −13．三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}，B ＝{x |x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0} （1）若A ∩B ＝{2}，求实数m 的取值范围； （2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣2x ＝0}＝{0，2}，由A ∩B ＝{2}可得2∈B ， 则22+2（m ﹣1）﹣m 2+1＝0， 化简可得m 2﹣2m ﹣3＝0， 解得m ＝﹣1或m ＝3，当m ＝﹣1时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2﹣2x ＝0，则B ＝{0，2}，此时A ∩B ＝{0，2}，不满足题意； 当m ＝3时，x 2+（m ﹣1）x ﹣m 2+1＝0⇒x 2+2x ﹣8＝0，则B ＝{4，2}，此时A ∩B ＝{2}，满足题意； 所以m ＝3．（2）由A ∩B ＝B 可得，B ⊆A ，当B ＝∅时，Δ＝（m ﹣1）2+4（m 2﹣1）＜0， 化简可得5m 2﹣2m ﹣3＜0，解得−35＜m ＜1；当B为单元素集合时，Δ＝（m﹣1）2+4（m2﹣1）＝0，解得m=−35或m＝1，当m=−35时，x2+(m−1)x−m2+1=0⇒x2−85x+1625=0，解得x=45，即B={45}，不满足B⊆A；当m＝1时，x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2＝0，解得x＝0，即B＝{0}，满足B⊆A；当B为双元素集合时，则其两个元素分别是0，2，由韦达定理得{Δ=(m−1)2+4(m2−1)＞0−(m−1)=0+2−m2+1=0×2，解得m＝﹣1，此时x2+（m﹣1）x﹣m2+1＝0⇒x2﹣2x＝0，即B＝{0，2}，满足B⊆A，综上所述，m∈(−35，1]∪{1}．18．（12分）已知a＞0，b＞0，2a+b＝2．（1）求ba +4b的最小值；（2）求4a2+8ab+b2的最大值．解：（1）a＞0，b＞0，2a+b＝2，所以ba+4b=ba+2(2a+b)b=ba+4ab+2≥2√ba⋅4ab+2=6，当且仅当ba=4ab且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，故ba+4b的最小值为6．（2）由2a+b=2≥2√2ab，得ab≤12，当且仅当2a＝b且2a+b＝2，即a=12，b＝1时等号成立，4a2+8ab+b2=(2a+b)2+4ab=4+4ab≤4+4×12=6，故4a2+8ab+b2的最大值为6．19．（12分）已知函数f(x)=x2+2x．（1）求f（1），f（2）的值；（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明；（3）若不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m对一切x∈[1，6]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f(x)=x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5．（2）函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−(x22+2x2)=(x12−x22)+(2x1−2x2)=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)，由1＜x1＜x2，得x1﹣x2＜0，x1+x2＞2，x1x2＞1，2x1x2＜2，x1+x2−2x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）的单调递增．（3）不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m，即（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m，依题意有（x﹣1）2﹣2（x﹣1）≥m对一切x∈[1，6]恒成立，（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1﹣1＝（x﹣2）2﹣1，由1≤x≤6，得﹣1≤x﹣2≤4，0≤（x﹣2）2≤16，﹣1≤（x﹣2）2﹣1≤15，则有﹣1≥m，实数m的取值范围（﹣∞，﹣1]．20．（12分）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．（1）求f（x）+f（2a﹣x）的值；（2）当函数f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求f（x）的值域；（3）设函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，求g（x）的最小值．解：（1）已知函数f(x)=x+1−aa−x(x∈R且x≠a）．则f(x)+f(2a−x)=x+1−aa−x+2a−x+1−aa−2a+x=x+1−aa−x+a−x+1x−a=x+1−a−a+x−1a−x=−2．（2）f(x)=1−(a−x)a−x=−1+1a−x，由a+12≤x≤a+1，有−a−1≤−x≤−a−1 2，得−1≤a−x≤−1 2，则有−2≤1a−x≤−1，可得−3≤−1+1a−x≤−2，所以f（x）值域为[﹣3，﹣2]．（3）由题意，函数g（x）＝x2+|（x﹣a）f（x）|，所以g（x）＝x2+|x+1﹣a|（x≠a），①当x≥a﹣1且x≠a时，g(x)=x2+x+1−a=(x+12)2+34−a，如果a−1≥−12，即a≥12时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2；如果a−1＜−12，即a＜12且a≠−12时，g(x)min=g(−12)=34−a；如果a=−12时，g（x）无最小值．②当x＜a﹣1时，g(x)=x2−x−1+a=(x−12)2+a−54；如果a−1＞12，即a＞32时，g(x)min=g(12)=a−54；如果a−1≤12，即a≤32时，g(x)min=g(a−1)=(a−1)2，当a＞32时，(a−1)2−(a−54)=(a−32)2＞0，当a＜12时，(a−1)2−(34−a)=(a−12)2＞0，综上所述，当a＜12且a≠−12时，g（x）的最小值是34−a；当12≤a≤32时，g（x）的最小值是（a﹣1）2；当a＞32时，g（x）的最小值是a−54；当a=−12时，g（x）无最小值．。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
![2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/8312445242323968011ca300a6c30c225801f019.png)
在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
0
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。
12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。
13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。
高等数学(一)期中测试题答案
高等数学(一)期中测试题答案一、选择题（10×2分=20分） 1．函数)ln(ln x y=的定义域为（ D ）A ．（0 ，＋∞）B ．（1 ，+∞）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞） 2．下列（ A ）是初等函数 A ．112--=x xyB ．⎪⎩⎪⎨⎧--=0112x x y11=≠x xC ．2cos -=x yD ．)1ln(2--=xy3．下列极限存在的是（ A ） A ．2)1(limxx x x +∞→ B ．121lim-→xx C ．xx e1lim→ D ．xxx 1lim2+∞→4．下列各式中正确的是（ D ） A ．ex xx =+→)11(limB ．exx x =+∞→1)11(limC ．e x x x =+∞→1)1(lim D ．ex x x =+→1)1(lim5．=--→4)2sin(lim22xx x （ B ）A ．0B ．41 C ．21 D ．16．函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin xx y0=≠x x 在0=x 处（ C ）A ．没定义B ．不连续C ．连续但不可导D ．可导7．下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是（ A ） Ａ．[]3,2,652∈+-=x x xyＢ．[]2,0,)1(132∈-=x x yＣ．[]1,0,∈=-x xeyxＤ．[]3,0,1∈+=x x y8．若函数)(x f y =在区间0)(,0)(),('''<>x f x f b a 内，则）内，在（b a x f )(（ B ）A ．单调递增且是凹的B ．单调递增且是凸的C ．单调递减且是凹的D ．单调递减且是凸的 9．若)(2)('x x f x f ，则的一个原函数是=（ D ） A ．x2 B ．2ln 2xC ．2ln 2xD ．2ln22x10．若等于则dx ef eC x F dx x f xx)(,)()(⎰⎰--+=（ D ）A ．C e F x +)(B ．Ce F x+-)( C ．C e F x +-)( D ．CeF x+--)(二、填空题（10×2分=20分） 1．=+→xx x )11(lim12．曲线处的切线方程是在0=+=x e x yx012=+-y x3．若函数⎩⎨⎧+=,,)(x a e x f x 00>≤x x 在==a x处连续，则0 14．设函数==)0(,‘则y xe y x15．302.1的近似值为 1.0076．设函数==)(,ln )2(x f x x f ‘则x17．设=----=）（则‘0),4)(3)(2)(1()(f x x x x x x f 24 8．若⎰=+=)(,3arctan )(x f c x dx x f 则 2913x+9．曲线12+=xy的渐近线为xy±=10．拉格朗日定理是柯西定理在xx g =)(时的特殊情形。
高等数学期中考试试题
高等数学期中考试试题满分100分 时间100分钟 专业班级 姓名 成绩 一、填空题(每小题4分, 共32分)1. 设,0()cos ,0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则2(1)f x -= .2. ()xx x2cot 2tan 31lim +→=.3. 设ln y x y =+, 则dy dx=.4. 曲线sin 2cos t tx e ty e t ⎧=⎨=⎩在点（0，1）处的切线方程是 . 5. 10100(2tan )(2sin )lim sin x x x x→+--= .6. 若221lim 2(1)x ax bx c x →++=-，则a = ，b = ，c = .7. 设()()f x g x '=，则2(sin )df x = .8. ()x x x f e =的带拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为_________ . 二、选择题 (每小题4分, 共32分)1．函数()sin f x x x =（ ）（A ） 在（- ∞,+ ∞）内无界； （B ） 在（- ∞,+ ∞）内有界； （C ） 当x →∞时为无穷大； （D ） 当x →∞时极限存在.2. 设曲线ax x y +=3与c bx y +=2在点(-1,0)处相切，其中a ,b ,c 为常数，则（ ）。
（A ）1,1,1=-=-=c b a （B ）2,2,1-==-=c b a （C ）2,2,1=-==c b a （D ）1,1,1=-==c b a3.设31(),()11xf xg x x x-==-+，则当1x →时，（ ）（A ）f 与g 为等价无穷小； （B ）f 是较g 为高阶的无穷小；（C ）f 是较g 为低阶的无穷小； （D ）f 与g 为同阶无穷小，但不等价.4.函数()2f x x =+在点0x =处 ( )(A)连续，但不可导; (B)连续且可导; (C)不连续，故不可导; (D)具有连续的导数. 5.设111()23x xef x e+=+, 则0x =是()f x 的( )(A)可去间断点; (B)跳跃间断点; (C)第二类间断点; (D)不是间断点.6. 若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ ）。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。
A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。
A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。
A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。
A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。
___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。
___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。
A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。
A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。
12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。
13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。
14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
高等数学1期中考试试题参考答案
《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )（A ）（B ） （C ） （D ） xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、，，则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax （A ）（B ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax （C ）（D ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。
4、已知， 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。
5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ）（A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( )（A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大，（C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。
高一上学期期中数学试卷(基础篇)(解析版)
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S1 > 2 > 0)*1−2 = (−31 + 2)−(−32 + 2) = 3(2−1))
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S1 > 2 > 0)*1−2 = 31−32 = (1−2) 21 + 12 + 22 )
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11（5 分）23-24 ·"Âû·#$cdÅ®Ù$)gh4K
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高数期中测试第一套
第一套一、选择题：1~8小题，每小题四分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
（1）已知lim x→+∞(5x −√ax 2+bx +5)=3成立，则a ，b 的值为（） A a=25 ,b=-30 B a=15,b=20 C a=25,b=20 D a=15 ,b=-30 答案：A（2）设f (x )={e 1x−3x <3 √x −3 x ≥3,则（）。
A 函数f (x )在X=3处不连续 B 函数f (x )在X=3处连续C 函数f (x) 在X=3处连续且可导 D 函数f (x ) 在X=3处不连续也不可导 答案：B（3）下列各项说法正确的是（）。
A 若∑u n 2∞n=1和∑v n 2∞n=1 都收敛，则∑(v n +u n )2∞n=1 收敛B 若∑|u n v n |∞n=1收敛，则∑u n 2∞n=1和∑v n 2∞n=1 都收敛C 若正项级数∑u n ∞n=1发散，则u n ≥1nD 若级数∑u n ∞n=1收敛且u n ≥v n (n =1,2,…),则级数∑v n ∞n=1也收敛 答案：A（4）设函数y 1(x ),y 2(x ),y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程的解，c 1,c 2为任意常数，则该非齐次方程的通解为（）。
A c 1y 1+c 2y 2+y 3B c 1y 1+c 2y 2−(c 1+c 2)y 3C c 1y 1+c 2y 2−(1−c 1−c 2)y 3D c 1y 1+c 2y 2+(1−c 1−c 2)y 3答案：D（5）设A,B,C是n阶矩阵，且ABC=E,则必有A CBA=EB BCA = EC BAC=ED A CB=E答案：B（6）设向量组Ι:α1,α2,…αr可由向量组II:β1,β2,…βs线性表出，则下列命题正确的是A若向量组I线性无关，则r ≤sB若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则r ≤sD若向量组II线性相关，则r>s答案：A（7）对于任意随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是（）A EXY=EXEY.B cov（X，Y）=0C DXY=DXDY. DD（X，Y）=DX+DY答案：C（8）答案：A二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（9）答案：（10）答案：（11）答案：（12）答案：（13）答案：（14）答案：三、解答题（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）答案：（17）（本题满分10分）答案：（18）（本题满分10分）答案：（19）（本题满分10分）求函数解：（20）（本题满分11分）答案：（21）（本题满分11分）答案：（22）（本题满分11分）答案：（23）（本题满分11分）答案：。
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷及答案
2022-2023学年第一学期期中考试高三数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）班级姓名座号一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）1．已知集合{(2)0}A xx x =->∣，{12}B x x =-<<∣，则(∁R A)∪B =（）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．(1,)-+∞D ．(,2)-∞2．在数列{}n a 中，12n n a a +=-，且21a =，则n a =（）A ．22n -B ．2(2)n --C ．12n -D ．1(2)n --3．已知在矩形ABCD 中，13AE AB = ，线段,AC BD 交于点O ，则EO =（）A ．1126AB AD + B ．1163AB AD +C ．1136AB AD +D ．1162AB AD+ 4．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1sin ,2sin 3A bB ==，则=a （）A ．23B ．32C ．6D ．165．设ln 2a =，122b =，133c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c a b<<6．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．19-C ．3D ．197．若0a >，0b >，且a b ab +=，则2a b +的最小值为（）A ．3+B ．2+C ．6D ．3-8．函数()()1sin π1f x x x =+-，则()=y f x 的图象在()24-，内的零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）A ．aB ．a b ⋅=C ．bb a⊥-)(D ．//a b10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若3232a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}n S 是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列11．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，π2ϕ≤），()11π12f x f ⎛≥⎫ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 的最小正周期为π，则（）A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称D ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增12．已知正实数,,a b c 满足2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，下列说法正确的是（）A ．4a b=B ．26c b =C ．a b c +-的最大值为34D ．a b c +-的最大值为38三、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）1355cos 1212ππ-=______14．已知向量a ，b 夹角为45︒，且1= a ，2a b += ；则b = ______．15．写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________.16．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）17．在△ABC 中，b =，6a =.(1)若π6A =，求c 的值;(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.cos B C =；②cos sin B C =；③2B C =.18．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，满足113a =，且*131(N )n n S S n +=+∈．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)求n S .19．已知函数()=f x a b ⋅，其中()=2cos ,a x x -，=(cos ,1)b x，x R ∈．(1)求函数=()y f x 的单调递减区间．(2)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()=1f A -，a =(3,sin )m B与=(2,sin )n C共线，求边长b 和c 的值．20．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值.21．已知集合{}2=5+40M x x x -≤，函数()228f x x ax =-+．(1)求关于x 的不等式()28f x a ≥+的解集；(2)若命题“存在0∈x M ，使得()00f x ≤”为假命题，求实数a 的取值范围．22．设函数22()(1488)f x x m mn x m =+-++，其中1m >，n *∈N ．(1)若()f x 为偶函数，求n 的值；(2)若对于每个n *∈N ，()f x 存在零点，求m 的取值范围．2022-2023学年第一学期期中考试高三数学参考答案及评分标准1．B 2．B∵122,1n n a a a +=-=，∴112a =-，12n na a +=-．{}n a 是公比为2-的等比数列，∴121(2)(2)2n n n a --=-⨯-=-．故选：B ．3．D依题意得，结合图形有：()212111323262EO EB BO AB BD AB AD AB AB BD =+=+=+-=+ .故选：D4．A 由正弦定理sin sin a bA B =，整理得sin 122sin 33b A a B ==⨯=故选：A ．5．Aln 2a =，而0ln 21<<，所以01a <<；又 121628b ==，131639c ==∴令16()f x x =，而函数()f x 在(0,)+∞上递增∴1b c << ∴a b c<<故选：A 6．D225521cos 2cos 212sin 1233639a a πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D 7．A因为0a >，0b >，且a b ab +=，所以111a b+=，所以()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a=时，取等号，所以2a b +的最小值为3+，故选：A.8．B由()()1sin π01f x x x =+=-可得()1sin π1x x =--，则函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象在()24-，内交点的横坐标即为函数()=y f x 的零点，又函数()sin πy x =与函数11y x =--的图象都关于点()1,0对称，作出函数()sin πy x =与函数11y x =--的大致图象，由图象可知()=y f x 在()24-，内有四个零点，则零点之和为4．故选：B.9．AC由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = 知：在A 中，2= a A 正确；在B 中，2a b ×=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-= ，∴()-⊥a b b r r r ，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误.故选：A C .10．AC∵在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，3232a a =，2312a a +=，解得24a =，38a =，∴2q =，或者28a =，34a =，∴12q =，不符合题意，舍去，故A 正确，21422a a q ===，则()12122212n n n S +-==--，2112222n n n n S S +++-==≠-常数，∴数列{}n S 不是等比数列，故B 不正确；()8821251012S -==-，故C 正确；∵2n n a =，∴lg lg 2n a n =，2lg 2lg 2lg 2-=，∴数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，故D 错误，故选：AC 11．ABD ∵πT =，∴22T πω==．依题意得()min 11π11πsin 1126f x f ϕ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11ππ2π62k k ϕ+=-∈Z ，且π2ϕ≤，∴π3ϕ=-，即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则A 正确；令()π2π3x k k -=∈Z ，即()ππ26k x k Z =+∈，当0k =时，对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，则B 正确；将()f x 的图象向左平移5π6个单位长度后得到的函数()4πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象不关于y 轴对称，则C 错误；∵π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则D 正确．故选：ABD.12．BD对于A ，由2240a ab b c -+-=，则41c a b ab b a =+-1≥-=3，当且仅当2a b =时，等号成立，故A 错误，对于B ，当c ab 取最小值时，=3=2cab a b⎧⎪⎨⎪⎩，则26c b =，故B 正确；对于C 、D ，222133********a b c b b b b b b ⎛⎫+-=+-=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =，38c =，等号成立，故()max 38a b c +-=，故C 错误，D 正确.故选：BD.1355cos 1212ππ-5152cos 12212ππ⎫=-⎪⎪⎭552sin cos sin cos 126612ππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭52sin 2sin 1264πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.14∵12a a b =+=，∴2(2)a b + =2244a a b b +⋅+=10，代入数据可得2||b =10，化简可得2||b +6=0，，或﹣（负数舍去）15．因为()+1221,>=+2,x x a g x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+1=21x g x -在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22=+2=1+1g x x x x ---，画出+1=21x y -，2=+2y x x -的图象如下所示：要使函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),+-∞∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）16．6-1（）当40a =时，4707S a ==，所以55S =-，又535S a =，所以31a =-，所以，4310a a d -==>，故4n a n =-，令0n a ≥，则4n ≤，所以n S 的最小值为46S =-．2（）当45a =-，74735S a ==-，不合题意．综上所述：40a =，55S =-，70S =，n S 的最小值为6-．故答案为：6-．17．（1）由题意得2222cos a b c bc A =+-，即2223633c c c =+-，得6c =，-------4（2）选条件①，由正弦定理得sin B C =，-----5cos B C =，化简得sin 2sin 2B C =，-----6而B C >，则22πB C +=，π2B C +=，---8故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == -------10选条件②，cos sin B C =，而B C >，则π2B C +=，------7故π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==------912ABC S bc == ------10选条件③，由正弦定理得sin B C =，而2B C =，则sin 2sin cos B C C =，得cos C =，(0,π)C ∈，-----7故π6C =，π3B =，π2A =，由勾股定理得222a b c =+，解得3,c b ==----912ABC S bc == -----1018．（1）解：因为*131(N )n n S S n +=+∈①所以当2n ≥时，得*131(N )n n S S n -=+∈②------2则①-②得：1133n n n n S S S S +---=-----3即13n n a a +=，即113n na a +=-------4又当1n =时，2131S S =+，所以1213()1a a a +=+，其中113a =所以219a =，则2113a a =-------6故数列{}n a 是以113a =为首项，13为公比的等比数列-----7所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.------8（2）解：由（1）可得111111333122313n n n S ⎛⎫-⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭==-⨯ ⎪⎝⎭-.---------1219．（1）2()==2cos f x a b x x ⋅- -------1=cos2+1x x -=2cos(2+)+13x π，-----------3由题意有()22++2Z 3k x k k ππ≤≤ππ∈，-----4解得++63k x k ππ-π≤≤π()Z k ∈------5所以单调递减区间为()+,+Z 63k k k ππ-ππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦；-------6（2）()=2cos(2+)+1=13f A A π-，-------77cos(2+)=1,0<<,<2+<3333A A A ππππ-π∴ ，-------82+=,=33A A πππ∴，---------9(3,sin )m B = 与向量(2,sin )n C = 共线，33sin =2sin ,3=2,=2C B c b b c ∴∴，--------1022227=7=+2cos =,=2,=334a b c bc c c b π-∴.--------1220．（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为4a 是2a 和8a 的等比中项，则()()()2242811137a a a a d a d a d =⋅⇒+=++且11a =-----3则1d =或0d =（舍）-----4则()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=，即通项公式n a n =-------6（2）因为k a 与1k a +（1k =，2，…）之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n ，所以()1020212110102101212T -+=⨯+=-------------1221．（1）因为()2=2+8f x x ax -，且()2+8f x a ≥，所以222+8+8x ax a -≥即()()2+0x a x a -≥，--------2因为()()2+=0x a x a -的实数根为1x a =或2=2a x -，当=0a 时，此时120x x ==，所以不等式的解集为R ；---------3当>0a 时，此时>2a a -，所以不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；-------4当a<0时，此时<2a a -，所以不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；-------5综上所述，当=0a 时，不等式的解集为R ；当>0a 时，不等式的解集为{2a x x ≤-或}x a ≥；当a<0时，不等式的解集为{x x a ≤或2a x ≥-⎫⎬⎭；----------6（2）因为{}{}2=5+40=14M x x x x x ≤≤≤-，-----------7所以命题“存在[]01,4x ∈，使得2002+80x ax -≤”的否定为命题“任意[]1,4x ∈，使得22+8>0x ax -”是真命题，---------8所以可整理成[]8<2+,1,4a x x x∈，令()[]8=2+,1,4h x x x x∈，则()min <a h x ，--------9因为()8=2+h x x x ≥，当且仅当82x x =即=2x 时，取等号，----------11则<8a ，故实数a 的取值范围{}<8a a ---------1222．（1）()f x 为偶函数，14880m mn ∴-+=，-------1714n m∴=+．-----------21m > ，101m∴<<，77111444m ∴<+<，--------3即71144n <<．又*n ∈N ，2n ∴=．-----------5（2）由题意，得22(1488)416[(32)2][(42)2]0m mn m m n m n ∆=-+-=-+-+≥．-----6当2n =时，32(2)0m ∆=-≥，2m ∴≤，又1m >，12m ∴<≤．-------7当2n ≠时，223m n ≤-或12m n ≥-．-------8①当223m n ≤-时，1m > ，n ∴只能取2，舍去--------9②当12m n ≥-时，1m > ，---------10∴从3n =开始讨论：令1()2g n n =-，由于1()2g n n =-单调递减，故只需1(3)132m g >==-．综上所述，m 的取值范围是(1,2]------------12。
高等数学期中试题及答案
高等数学（上）期中试题一、单项选择和填空（共10小题，每题3分）1.f x ()在x 0的左、右极限存在且相等是f x ()在该点连续的( ) A.充分且必要的条件 B.充分非必要的条件C.必要非充分的条件D.既非充分也非必要的条件2.设y x x dx dyy =+=32,则＝( )A.2B.4C.12D.143.函数f x x x ()=-+268单调减少的区间是( )A.(,)-∞+∞B.(,]-∞3C.[,)-+∞3D.[,)3+∞4.设y x x x y =---'=()()(),()1231则( )A.0B.2C.3D.65.过原点作曲线y=e x 的切线，则：切线的方程为( )A.y=e xB.y=e xC.y=xD.y=2e x 6.设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则：方程f ′(x)=0,在〔0,3〕内的根的个数为( )A.1B.2C.3D.47.∞→n lim （n n 2n 2-+）=______.8.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-+2x1ax 1 0)(x 0)(x =≠ ,在点x=0处连续，则：a=_____. 9.设y=xcos2x,则:f ′(x)=______. 10.曲线sin 2(0,1)cos 2ttx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在处切线为二. （10分） 求0x lim →(1e 1sinx 1x--).三（10分）.设x arctgt y t ==+⎧⎨⎩ln()12,求dy dx d ydx ,22四（10分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。
五（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =并判断它是否为极值点。
六（10分）设常数0k >，判断方程ln 0xx k e-+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。
七（10分）已知曲线L 的方程为221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩，（1）讨论L 的凹凸性；（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。
高等数学(上)期中考试试卷
高等数学（上）期中考试试卷1 高等数学（上）期中考试试卷1一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 3，若f(x)的导函数为f'(x) = 6x^2 + 2ax + b，则a的值为（）A. 2B. -2C. 3D. -32. 函数y = x^3 - 3x^2 + 2x + k的图像必经过的点为（）A. (-1, -1)B. (1, -1)C. (2, 2)D. (-2, 2)3. 设函数y = e^x + a，若a = 1，求y在x = 0处的切线方程为（）A. y = x + 2B. y = 2x + 1C. y = x + 1D. y = 2x + 24. 函数y = a^x在点(0, b)处的切线方程为y = x + 1，求a和b的值。
A. a = 1, b = 1B. a = e, b = eC. a = 2, b = 2D. a = e, b = 15. 函数y = ln(x)在点(1, 0)处的切线方程为y = 2x - 2，求曲线在x = 1处的切线方程。
A. y = xB. y = x - 1C. y = 2x - 1D. y = 2x6. 函数y = cos(x)在区间[0, π/2]上的最小值为（）A. -1B. -√2/2C. -1/2D. 0二、计算题（共70分）1. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x在区间[0, 2]上的定积分。
2. 求曲线y = x^2 - 2x的长度。
3. 求函数y = 2x^3 - 3x^2 + 4x的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点。
4. 求函数y = ln(x)与y = x的交点坐标。
5. 已知函数y = e^x满足条件∫(1, a) y dx = 5，求a的值。
6. 求函数y = x^2 - 2在区间[-2, 2]上的平均值。
三、证明题（共20分）1. 设函数f(x) = x^3 - 3x + 4，证明f(x)在区间[-1, 1]上有且仅有一个零点。
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高等数学（上）期中考试试题
一、填空题（5×5=25分）
1．()的连续区间为x x x f 1arctan 3+-= 。
2．()()()=--+='→h h x f h x f ,x f h 0000lim 2则已知 。
3．(),y x cos x sin y 0=--已知.y =d 则
4．
()()()==02cos 102f ,x x x f 则若 . 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 2在点(0,1)处的法线方程为 .
二、选择题（5×5=25分）
1．的极限是
函数时当12120x 1x 1
+-→,x （ ）
（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）不存在
2．
()()()的是则设x f x ,x ,x ,x x x f 000011=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=
（A ）可去间断点 （B ）无穷间断点 （C ）连续点 （D ）跳跃间断点
3.().n x e e x n x x tan 为是同阶无穷小，则与时，设-→0
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （C ）4
4． 下列结论一定正确的是（ ）
（A ）驻点一定是极值点
（B ）极值点一定是驻点
（C ）()为极小值点则若000x x ,x f =>''
（D ）()()
()()()内不取得极值在则内可导，在若b ,a x f ,x f b ,a x f 0>' 5． x xe y -=曲线的拐点是（ ）
（A ）()222-e , （B ）()00, （C ）()1
1-e , （D ）()e ,1-
三、计算题（6×3=18分）
()()().a x f ,x ,x x x ,ax x f .x x 存在，求若设0lim 02sin 0111
→⎪⎩⎪⎨⎧><+= ().x x .x 2tan 1lim 221π-→求
()()
().x f x x x f .x '++=，求1ln 32cos
四、证明题（6×2=12分）
.x x .x -≤
<11e 11时，证明：当 ()[]()()()()()()().
f b ,a ,c f ,b ,a c ,b f a f b ,a ,b a x f .0002<''∈>∈==ξξ内，使得证明：至少存在一点使得且存在点内二阶可导，且在上连续，在设
五、综合题（10×2=20分）
1． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面面积为5m 2，洞底宽x 为多少
时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
2． 讨论方程()0>=a ax x ln 其中有几个实根？。