高数各章综合测试题与答案

第十一章 无穷级数测试题

一、

单项选择题

1、若幂级数

1

(1)n

n

n a x ∞

=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然（ ) （A ） 绝对收敛; (B) 条件收敛; （C ） 发散； (D) 收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（ )。

（A) 1(1);210

n n n

n ∞

=-+∑

（

B) 1

n n -∞

= (C) 1

11

(1)();2n

n n ∞

-=-∑ （D ）

1

1

(1)n n ∞

-=-∑ 3、若数项级数

1

n

n a

∞

=∑收敛于S ,则级数

()121

n

n n n a

a a ∞

++=++=∑( )

（A ） 1;S a + （B) 2;S a + （C ） 12;S a a +- （D) 21.S a a +- 4、设a

为正常数，则级数

21sin n na n ∞

=⎡⎢⎣

∑（ )。

(A ） 绝对收敛; （B ） 条件收敛； （C ） 发散; (D ） 收敛性与a 有关. 5、设2

(),01f x x x =<≤，而1

()sin π,n

n S x b

n x x ∞

==-∞<<+∞∑，

其中10

2

()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1

()2

S -等于（ ） (A) 1;2- （B) 1;4- （C) 1;4 (D ） 12

。

二、

填空题

1、 设

14n n u ∞

==∑，则1

11

()22n n

n u ∞

=-=∑（ ） 2、 设

()

1

1

1n n n a x ∞

+=-∑的收敛域为[)2,4-,则级数

()

1

1n

n

n na x ∞

=+∑的收敛区间为（ ）

3、 设3

2,10

(),01x f x x x -<⎧=⎨

<⎩

≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ） 4、 设2

()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为

()01

cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 则3b =（ )

5、级数()1(1)221!

n n n

n ∞

=-+∑的和为( ）

三、计算与应用题 1、求级数

()1

13;3n

n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域 2、求

()211

12

n

n n ∞

=-⋅∑的和 3、将函数()

2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)

0n f

+

4、求20

12!n

n

n n x n ∞

=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x

n n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e

(1)n f n

=

，求函数项级数()1

n n f x ∞

=∑的和函数.

6、 设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α>

时,级数

1

n n x α∞

=∑收敛。

四、证明题

设π40

tan d n n a x x =

⎰

（1） 求

()211

n n n a a n

∞

+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>,级数

1

n

n a n λ∞

=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n

∞

+=+=∑.

因为2

11n n a a n ++=+，所以11

1n a n n <<+，1111n n n a n n

λλ∞∞

+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示

一、

1、A ；

2、D ；

3、B;

4、C;

5、B. 二、

1、1;

2、()4,2-;

3、32；

4、2π3

;5、cos1sin1-。 三、

1、答案：[)0,6。

2、答案:

53

ln 284

- 提示：原式为级数()

211n n x n ∞

=-∑的和函数在1

2x =点的值。

而()

22221121211n n n

n n n x x x n n n ∞

∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可。 3、答案：110

(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞

+=--⎡⎫

=∈-⎪⎢+⎣⎭∑

()1

(1)

(1)20!1

n n n f

n n ++--=⋅

+。 提示： ()

()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++

4、答案：222

011e 1,2!42x

n n

n n x x x x n ∞

=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭

∑ 提示：()2011112!1!2!2n

n

n n n n n n n x x x n n n ∞

∞∞===+⎛⎫⎛⎫

=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

∑∑∑,

而()1011e ,e 1!!

x

n x

n n n x x x n n ∞

∞

====-∑∑

5、答案：

()()[)1

e ln 1,

1,1x

n n f x x x ∞

==--∈-∑

提示:先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x

n x f x n

=

()1

11e e x x

n n n n x x f x n n ∞

∞

∞=====∑

∑∑，记1()n x S x n

∞

==∑，则可得()ln(1)S x x =--

6、提示:设()1n

n f x x nx =+-，则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正

根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知，

00110n x x n n -<=<，故当1α> 时,级数1

n n x α

∞

=∑收敛。