高数各章综合测试题与答案

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高等数学试题及答案完整版

高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。

大一高数1-9的习题答案

大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。

在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。

下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

高数笔记单元测试题及答案

高数笔记单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 0 $ 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 无定义2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大3. 函数 $ y = \ln x $ 的定义域是：A. $ (-\infty, 0) $B. $ (0, +\infty) $C. $ (-\infty, +\infty) $D. $ [0, +\infty) $4. 曲线 $ y = x^3 $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 函数 $ f(x) = 3x - 2 $ 的反函数是：A. $ x = 3y - 2 $B. $ y = \frac{x + 2}{3} $C. $ y = 3x + 2 $D. $ x = \frac{y + 2}{3} $6. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{4} $C. $ \frac{1}{2} $D. 17. 函数 $ y = \sin x $ 的周期是：A. $ 2\pi $B. $ \pi $C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \frac{1}{2} $8. 函数 $ y = e^x $ 的导数是：A. $ e^x $B. $ e^{-x} $C. $ x \cdot e^x $D. $ 1 $9. 微分 $ dy $ 与 $ dx $ 的关系是：A. $ dy = f'(x) dx $B. $ dy = f(x) dx $C. $ dx = f'(x) dy $D. $ dx = f(x) dy $10. 若 $ \int f(x) dx = F(x) + C $，则 $ \int f'(x) dx $ 是：A. $ f(x) $B. $ f'(x) $C. $ F(x) $D. $ C $答案：1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. A 9. A 10. A二、简答题（每题5分，共10分）1. 什么是泰勒级数？请给出 $ e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开式。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学试题及答案解析

高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。

计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。

接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。

因此，最大值为f(5) = 9。

2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。

因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。

二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。

答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。

将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。

2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。

答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。

三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。

答案：极值点为x = 3。

解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。

计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。

大学高数考试题及答案详解

大学高数考试题及答案详解# 大学高数考试题及答案详解一、选择题1. 题目：函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $ [0, 1] $ 上的定积分是：- A. $ \frac{1}{3} $- B. $ \frac{1}{2} $- C. $ \frac{3}{4} $- D. $ \frac{2}{3} $答案： C详解：根据定积分的计算公式，$ \int_{0}^{1} x^2 dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} $。

因此，正确答案为 C。

2. 题目：极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是： - A. 1- B. 0- C. $ \frac{1}{2} $- D. $ \infty $答案： A详解：利用极限的性质和三角函数的极限，我们有 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。

因此，正确答案为 A。

二、填空题1. 题目：如果 $ \int_{a}^{b} f(x) dx = 4 $，那么$ \int_{a}^{b} 2f(x) dx = $ ________。

答案： 8详解：根据定积分的性质，如果 $ c $ 是一个常数，那么$ \int_{a}^{b} cf(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx $。

因此，$ \int_{a}^{b} 2f(x) dx = 2 \int_{a}^{b} f(x) dx = 2 \times 4 = 8 $。

2. 题目：函数 $ g(x) = e^x $ 的导数是 $ g'(x) = $________。

高数测试卷一及答案(第一章)

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高数b一到六章测试题及答案

高数b一到六章测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 曲线y=x^2-4x+5在点(2,1)处的切线斜率是（）。

A. -4B. -2C. 0D. 2答案：B3. 以下哪个选项是函数y=x^2+3x-4的极值点（）。

A. x=-3B. x=-1C. x=1D. x=2答案：C4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. xe^x + CC. e^x/x + CD. ln|x| + C答案：A5. 以下哪个选项是函数y=x^3-3x^2+2的拐点（）。

A. x=0B. x=1C. x=2D. x=-1答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2-4x+5的最小值是________。

答案：12. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。

答案：x=1, x=24. 函数f(x)=x^2-4x+4的图像关于________对称。

答案：x=25. 函数f(x)=x^3-3x在x=0处的泰勒展开式是________。

答案：f(x) = x^3 - 3x三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算定积分∫(0 to 1) (3x^2-2x+1)dx。

答案：(1/3x^3 - x^2 + x)|_0^1 = 12. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0得x=1或x=3，f''(x)=6x-12，f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点，f''(3)=6>0，所以x=3是极小值点。

四、解答题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极小值。

高数习题集(附答案)

第一章函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，。

高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nn n a x ¥=+å在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散;(D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是(). (A) 1(1);210nn nn ¥=-+å (B) 131(1);n n n-¥=-å(C) 111(1)();2nn n ¥-=-å(D) 113(1).n n n¥-=-å3、若数项级数1nn a¥=å收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ¥++=++=å() (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +-(D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数21sin 3n na n n ¥=éù-êúëûå( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ¥==-¥<<+¥å，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==ò，则1()2S -等于() (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4(D) 12.二、填空题二、填空题 1、设14nn u¥==å，则111()22n n n u ¥=-=å() 2、设()111n n n a x ¥+=-å的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ¥=+å的收敛区间为() 3、设32,10(),01x f x x x -<ì=í<î≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ¥=++å则3b =()5、级数()1(1)221!n n n n ¥=-+å的和为( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ¥=-×å的收敛域的收敛域2、求()21112n n n ¥=-×å的和的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ¥=+å的和函数的和函数 5、已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -¢=+，n 为正整数，且e (1)nf n=，求函数项级数()1n n f x ¥=å的和函数.6、设有方程10nx nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1a >时，级数1n n x a¥=å收敛. 四、证明题四、证明题设π4tan d nn a x x =ò（1）求()211n n n a a n ¥+=+å （2）试证：对任意常数0l >，级数1n n a nl¥=å收敛收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n na an ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n n l l ¥¥+==<åå第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n¥=-å的和函数在12x =点的值. 而()22221121211nn nn n n x x xn n n ¥¥¥====--+-ååå,分别求出2121n n x n ¥=-å和2121n n x n ¥=+å的和函数即可.3、答案：11(1)211(),,122n n n n f x xx n +¥+=--éö=Î-÷ê+ëøå()1(1)(1)20!1n nn f nn ++--=×+. 提示:()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x xx x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42x n n n n x x x x n ¥=æö+=++--¥<<+¥ç÷èøå 提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n nx x x n n n ¥¥¥===+æöæö=+ç÷ç÷-èøèøååå，而()1011e ,e 1!!xn x n nn x x x n n ¥¥====-åå5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ¥==--Î-å提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ¥¥¥=====ååå，记1()n x S x n¥==å，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x ¢>>,故()n f x 在()0,+¥内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nn f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,110nx x nn-<=<,故当1a > 时，级数1nn x a ¥=å收敛.四、提示：()()2111n n a a nn n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nl l ¥¥+==<åå第十章曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1;(D) 2. 2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++ò的值等于() (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设S 为封闭柱面()22203x y az +=≤≤，其向外的单位法向量为{}c o s ,c o s,c o s n a b g =，则()cos cos cos d x y z s a b g S++òò等于( ) (A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a(D) 0. 4、设曲线c 为22220x y z a x y z ì++=í++=î，则d c x s ò等于( ) (A) 23;a (B) 0; (C) 2;a(D) 213a . 5、设S 为下半球222z a x y =---的上侧，W 是由S 和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y åòò不等于()(A) d ;v W -òòò(B) 2π220d d aa r r r q -òò;(C) 2π22d d ;aa r r r q--òò(D) ()d d z x y x y å++òò.二、填空题二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=ò() 2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于() 3、设S 是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s åòò等于() 4、设S 是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy zS++òò等于() 5、设22()d ()d 1cxf x y x f x yx -++ò与路径无关，其中()f x ¢连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()()xysin d cos d LI e y b x y x e y ax y éù=-++-ëûò，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线22y ax x =-到点()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =ò，其中L 为圆周22220x y z a x y z ì++=í++=î.3、在变力F y z i z x j x y =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc++=上第一卦挂线的点(),,M x h z ，问,,x h z 取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S Î，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z r 为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Sz s x y z r òò.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S=++òò，其中S 为曲面()221014y z xx =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，，都有，2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=òò，其中函数()f x 在()0,+¥内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +®=，求()f x . 答案：()e ()e 1xxf x x=-提示：由题设和高斯公式得提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d xxSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v W¢éù=--=±+--ëûòòòòò由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x ¢+--=，解此微分方程即可.四、证明题四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：的正向边界，试证：（1）sin sin sin sine d e d e d e d y x y xLLx y y x x y y x ---=-òò；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --ò≤第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、二、1、3πa -；2、4π-；3、63π；4、4π3；5、211x +.三、三、1、答案：23ππ222I a b a æö=+-ç÷èø. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L LI y s x s z s a s ====òòòò.3、答案：,,333a b c x h z ===m a x 39W a b c =.提示：直线段:,,OM x t y t z t x h z ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3dOM W yz x zx y xy z t t xhz xhz =++==òò 再求W xhz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：、答案：()3d π,,2Szs x y z r =òò.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022xyX Y zZ ++=，点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z zr -æö=++ç÷èø.5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y S=++=òò.提示：添加曲面1S 为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在S 和1S 所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S =++òò的积分等于3d d Dxy x y òò为0.6、提示：、提示：（1）左边=()ππsinsinsin sin 0π0πed πed πe +e d yxx xy x x ---=òòò，同理，，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx xx -ò（2）由（1）得s i n s i n ed ed yxLx y y x --ò=()πsin sin 0πe+ed x xx -ò，而由sin ex 和sin ex-泰勒展开式知道式知道()π20π2sin d x x +ò≤()πsin sin 0πe +e d x x x -ò，而()π2205π2sin d π2x x +=ò.第九章重积分测试题一、选择题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=òò(). (A) 12cos sin D x ydxdy òò;(B) 2cos sin Dx ydxdy òò(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +òò(D) 0 2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+òò，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于().(A) xy ;(B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设2222222123cos d d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=+òòòòòò其中(){}22,1D x y xy =≤+，则(). (A) 321I I I >>;(B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >> 4、设空间闭区域W 由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1W 为W 在第一挂限的部分，则( ). (A) 1d 4d x v x v WW =òòòòòò; (B)1d 4d y v y v WW =òòòòòò;(C)1d 4d z v z v WW =òòòòòò; (D) 1d 4d xyz v xyz v WW =òòòòòò5、设空间闭区域(){}2222,,2z x y zx y x yW =-≤≤+-，d I z v W=òòò，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A) 222π120d d d r r I r r z z q -=òòò; (B) π2π224000d d cos sin d I q j r j r j r =×òòò; (C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-òò;(D) 22222112004d d d y x y x yI x y z z --++=òòò二、填空题二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b æö=+ç÷èøòò的值等于() 2、设(){}22,1D x y xy=≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r Dex y x yr-®++òò的值等于() 3、积分222d e d yx I x y -=òò的值等于() 4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++òòò≤可化为定积分0()d Rx x j ò，则()x j 等于() 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+òòò≤的值等于() 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()22d d DI x y y x y =++òò，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域.2、求{}22max,ed d x y DI x y =òò，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v W =++òòò，其中W 由曲线220y zx ì=í=î绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v W=+òòò，W 由22x y z +=及224x y z --=确定.5、计算112111224d e d d e d yyyyx x y I y x y x =+òòòò.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =ò，证明11201d ()()d 2xI x f x f y y A ==òò.第九章重积分测试题答案与提示一、一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、二、1、22222πR 4x y a b æö+ç÷èø；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、三、 1、答案：()163π-29I =.提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π2242002d d ()d r I r r r z z q =+òòò即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v W=òòò,ππ122400d 4d d cos sin d z v q j r j r j r W=×òòòòòò.5、答案：3e e 82I =-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t zV zx y h t éù+-ëû==òòò≤；再求出雪堆的侧面积2222221()21313ππ1d d ()12xy x y h t S z z x y h t +=++=òò≤；由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，四、提示：交换积分次序，并利用11111d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y xf x f y y ==òòòòòò.第八章多元函数微分法及应用测试题一、选择题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x y f t dt x ¶=¶ò(). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y d d -<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =º是(,)f x y c º（常数）的（的（）. (A) 充要条件；充要条件； (B)充分条件；充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（内的二阶偏导数都存在，则（）（A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；内成立；（B ）(,),(,)x yf x y f x y 在D 内连续；（C ） (,)f x y 在D 内可微分；内可微分；（D ）以上结论都不对）以上结论都不对 4、42002lim 3x y xyx y ®®+的值为（） (A)¥ ； (B) 不存在；不存在； (C) 23；(D) 0. 5、设有三元函数ln e 1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）. （A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =；（C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =；（D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy x f x y e x y yp=+-,则(1,1)x f 的值为（）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(x yf f a f b ¢¢===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x j =，则(1)j ¢的值为（）. 3、设2(,,)xf x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f ¢-=（）.4、曲线222320x y z x y z ì++=í-+=î在点()1,1,1M 处的切线方程为（）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（）方向的方向导数最大？）方向的方向导数最大？三、三、计算和应用题计算和应用题 1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y-+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0º/¢¢g ，如果222222242fy z y x z x z ¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy+=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值取得极值, ,判断此极值是极大值还是极小值极大值还是极小值, , 并求出此极值并求出此极值. .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1）设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置. 四、证明题四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y b F z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点上任一点处的切平面都通过定点. .第八章多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326ogradu i j k =--. 三、三、1、答案：2,2a b ==-.提示：提示：利用xy yx f f ¢¢¢¢=这一条件. 2、答案：1k =-.提示: g f f xz ¢+¢+¢=¶¶21，g k f f yz ¢+¢+¢-=¶¶21，g f f f x z ¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶221211222，g k f f f yz ¢¢+¢¢+¢¢-¢¢=¶¶2221211222， g k f f y x z ¢¢+¢¢+¢¢-=¶¶¶22112，()g k k f y z y x z xz ¢¢+++¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶222222222142，又因为0º/¢¢g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：232323,,333a b c .提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z xf xfg ¢¢¢¢++=¢¢¢-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-=¢=¢yx f f x f y e f g xy x 221×¢+×¢=¢ y f x e f g xy y 221×¢+×¢=¢ 0)0,0(=¢x g 0)0,0(=¢y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211×¢¢+×¢¢++×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ A=2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢f g x 1)0,1()0,0(1-=¢=¢¢=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案: ()()22220000000000(,)22558g x y y x x y x y x y =-+-=+-攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示提示: : 沿梯度方向的方向导数最大沿梯度方向的方向导数最大,,方向导数的最大值即为梯度的模方向导数的最大值即为梯度的模. . 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可下的极大值点就可. . 四、答案四、答案: :通过定点(),,M a b c . 第六章微分方程测试题一、选择题一、选择题1、设()y f x =是240y y y ¢¢¢-+=的解,若0()0f x >且0()0f x ¢=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e¢¢¢-+=的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式( ) (,,,a b c d 为常数). (A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ¢¢+=++的特解形式可设为(). (A) (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++(D) *2ecos .y ax bx c x =+++ 4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为(). (A) (A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +---(D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y ¢+=满足(1)2y =的特解为(). (A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题二、填空题1、已知微分方程23e xy y y -¢¢¢--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为(). 2、以12e ,ex xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是(). 3、若连续函数()f x 满足()()e xf t f x dt =ò，则()f x 等于(). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y xa D D =++，其中a 是比x D (0)x D ®高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于(). 5、2e xy y y x ¢¢¢++=的通解为(). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、设2e (1)e xxy x =++是二阶常系数线性微分方程e xy y y a b g ¢¢¢++=的一个特解，求该微分方程的通解. 2、设函数()y y x =在(),-¥+¥内具有二阶导数，且()0,y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数.(1)(1)试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d x x y x y y æö++=ç÷èø变换为()y y x =所满足的微分方程;(2)(2)求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解.3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程分方程的解，试求此微分方程4、已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+ò，求()f x .5、已知连续函数()f x 满足()100()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+òò，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+¥上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f éù-ëû，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题四、证明题证明方程()y y f x ¢¢+=（其中()f x 连续）的通解为连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-ò，其中为任意常数，其中为任意常数.. 第六章微分方程测试题答案与提示一、一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、 1、3121ee e 4xxxc c x --+-；2、20y y y ¢¢¢++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x xy c c x x -=++-.三、三、1、答案：2212e e e (1)e x x xx c c x ++++. 提示：将2e(1)e xxy x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,a b g 的值，然后再去求解微分方程.2、答案、答案: (1): (1)sin y y x ¢¢-=; (2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案、答案: :2e 2e x x y y y x ¢¢¢--=-.提示:21312e ,=e xxy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y ¢¢¢--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x ¢¢¢--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案、答案: : 32()3e 2e x x f x =-.5、答案、答案: : 21()12e 2xf x xx æö=++ç÷èø. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =òò.6、答案、答案:: 3()1x f x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3tt f t f f x x éù-=ëûò，然后两边求导.四、略四、略. . 第五章定积分及应用测试题一、选择题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>ò，则I 的值是(). （A ）依赖于s 和t ；（B ）是一个常数；）是一个常数；（C ）不依赖于s 但依赖于t ；（D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+ò(B) 233(1)e d x x x -+ò(C) 4222sin cos d 1x xx x p p-+ò(C) 2121(1)d x x x --+ò3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>，令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-ò，则().(A) 321S S S >>;(B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>. 4、已知sin πd 2x x x +¥=ò，则220sin d x x x +¥ò的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4(D) π-1. 5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x ®-ò的值等于(). (A)不存在；不存在； (B) 0; (C) (0);f ¢ (D) 1(0).2f ¢ 二、填空题二、填空题1、设()f x 连续，310()dt x f t x -=ò，则(7)f 等于(). 2、定积分3π43π4(1arctan )1cos 2d x x x -++ò的值为(). 3、定积分11()e d xx x x -+ò的值为(). 4、若积分(21)d 4aax x --=-ò,则常数a 的值等于(). 5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x p ¢¢+=ò，求(0)f .2、计算21212(e e )d 11xxx x x x --+++-ò3、设2π20sin ()d 12cos tf x t x t x =++ò，求(1)(0)f f4、计算π320sin d sin cos x x x x+ò.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+ò，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +ò与x 无关，求()f x .四、证明题四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x ¢>，证明存在唯一的(),a b x Î使曲线()y f x =和(),y f x a x ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b x ==所围面积2S 的3倍.第五章定积分及应用测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、二、 1、112；2、422-；3、2；4、2；5、3712.三、三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分提示：用分部积分. .2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性提示：利用奇偶对称性. . 3、答案：、答案：1. 1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ33332220sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x xx xx x+==+++òòò.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=.提示：令()[]11()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x xf u u =+=+=+òòò，由()0F x ¢=得()()0f x f x ¢+=，所以e ()0x f x ¢éù=ëû. 四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x "Î=--ò，()()2()d ,bt S t f x x b t =--ò令()()12()3t S t S t j =-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、()f x 当0x x ®时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x ®存在的()条件. (A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n n n n n®¥+++= ( ). (A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n®¥®¥®¥+++=; (B) ¥;(C) 21+2+1lim 2n n n ®¥+=;(D) 极限不存在. 3、设()=232x xf x +-，则当0x ®，有，有( ). (A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小;(D) ()f x 是比x 低阶的无穷小. 4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的(). (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点;(D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题二、填空题7、若2211()3f x x xx+=++，则()f x =()． 8、已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -ì¹ï=í=ïî在0x =连续，则a = ( )． 9、 lim(3)1=n n n n ®¥+--()．10、设2013sin coslim(1cos )(e 1)xx x x xx ®+=+-( )． 5、已知25lim 232n a bn n ®¥++=-，则a =( )，b = ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、设0,0(), 0x f x x x ì=í>î≤，20, 0(), 0x g x x x ì=í->î≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ì>ï=íï+î≤，要使()f x 在(,)-¥+¥内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设11e , 0()ln(1),10x x f x x x -ìï>=íï+-<î≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )xx x ®．5、计算极限123lim()21x x x x +®¥++6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、三、1、答案：[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x =[()]()g f x g x =. 2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．是第二类间断点．4、答案：、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0axx f x b x x ì<=í+î≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ). (A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=;(D)2,1a b ==-. 2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ì-+>=íî≤ (). (A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ¢ (). (A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x D ®-D -=D( ). (A) 02()f x ¢; (B)0()f x ¢-; (C) 0()f x ¢;(D) 0()f x ¢-.5、设()sin cos 2x f x x =+，则(15)(π)f = (). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（连续的（充分充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（可微的（）条件．）条件．12、设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f ¢=( )． 13、设()f x 为可微函数，则当0x D ®时，在点x 处的d y y D -是关于x D 的()无穷小.14、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+ìí=-î，则3π4d d t x y== ( 1- )，223π4d d t x y == ( ) ． 15、设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y x x ì¹ï=íï=î在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1,0() 1 ,0x x f x x x ì-ï¹=íï=î，求 ()f x ¢. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x ¢存在，求d dyx . 4、设7777xy x =++，求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数452(3)(1)x x y x +×-=+的导数的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题四、证明题设)(x f 在),(+¥-¥内有定义，且,(,)x y "Î-¥+¥，恒有()()()f x y f x f y +=×，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x ®=，证明()f x 在),(+¥-¥内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ．二、二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、823πa -；5、1．三、三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 ,0x x x f x x x ì-+ï¹¢=íï=î． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x xy f f f x x ¢¢=+.4、答案：67211d [7ln 7()]d 7xy xx x-=+-；7227d (ln 7)d 144x y x ==-×．5、答案：452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +×-¢=×+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+.四、提示: ,(,)x y "Î-¥+¥，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=××，()limlim ()()().x x y f x f x g x f x x®®D ¢==×=D第三章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x;(D) ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x ¢¢¢== ，0()0f x ¢¢¢>，则(). (A) 0()f x ¢是()f x ¢的极大值;(B) 0()f x 是()f x 的极大值; (C)0()f x 是()f x 的极小值;(D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点。

河北工程大学《高数》习题集答案(全套)

2、证明：（1）设 f ( x ) 是奇函数，且 f ( x ) 可导
f ( x) lim
f ( x x ) f ( x ) f [( x x )] f ( x ) lim x 0 x 0 x x f ( x x) f ( x) f ( x x ) f ( x ) lim lim f ( x) x 0 x 0 x x
2. 证明：令
F ( x ) x 2 sin x 3
在
0,
联
系
，
且
F (0) 3 0, F ( ) ( 3) 0 ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一
(0, ) ，使 F ( ) 0 ，即方程 x 2 sin x 3 0 至少有一个界于 0 与 2
a f a f 2a
由零点定理
f 0 f 2a
0 a 0
至少存在一点 0, a , 使得 f f a 0 , 即 f f a
高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则
f ( x ) 在 x=0 处间断。
x 1
lim f ( x) lim (2 x ) lim f ( x) f (1)
x 1 x 1
f ( x ) 在 x 1 处连续
总上可得 f ( x ) 的连续区间为（ ,0), (0,) 。
第十节闭区间上连续函数的性质
1. 证明：令
F ( x ) x ln x 1 ，则 F ( x) 在
1,2
连续，且
F (1) 1, F (2) (2 ln 2 1) 0 ，由连续函数的零点定理可知，至少存在一

(完整)高等数学考试题库(附答案)

高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。

2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。

3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。

6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。

7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。

8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。

9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。

10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。

11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。

12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。

13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。

14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。

18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。

19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。

20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

完整版)高等数学测试题及答案

完整版)高等数学测试题及答案高等数学测试试题一、是非题（3’×6=18’）1、$\lim_{x\to 1}(1-x)=e$。

（×）2、函数$f(x)$在点$x=x_0$处连续，则它在该点处必可导。

（×）3、函数的极大值一定是它的最大值。

（×）4、设$G(x)=f(x)$，则$G(x)$为$f(x)$的一个原函数。

（√）5、定积分$\int_{-1}^1 x\cos x dx=0$.（√）6、函数$y=x-2$是微分方程$x\frac{dy}{dx}+2y$的解。

（√）二、选择题（4’×5=20’）7、函数$f(x)=\sin\frac{1}{x}$是定义域内的（）A、单调函数B、有界函数C、无界函数D、周期函数答案：C8、设$y=1+2x$，则$dy$=（）A、$2xdx$B、$2x\ln2$C、$2x\ln2dx$D、$(1+2x\ln2)dx$答案：A9、设在区间$[a,b]$上$f'(x)>0$，$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在该区间上沿着$x$轴正向A、上升且为凹弧B、上升且为凸弧C、下降且为凹弧D、下降且为凸弧答案：B10、下列等式正确的是（）A、$\int f'(x)dx=f(x)$B、$\int f(x)dx=f'(x)$C、$\int f'(x)dx=f(x)+C$D、$\int f(x)dx=f'(x)+C$答案：C11、$P=-\int \cos^2 x dx$，$Q=3\int dx$，$R=\int xdx$，则int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx < \int_0^1 \sin^2 x dx <\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$A、$P<Q<R$B、$Q<P<R$C、$P<R<Q$D、$R<Q<P$答案：D三、选择题（4’×5=20’）12．函数$f(x)=\frac{x^2}{3x-3}$的间断点为（）A、3B、4C、5D、6答案：A13、设函数$f(x)$在点$x=0$处可导，且$\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\frac{1}{2}$，则$f'(0)$=（）A、2B、1C、-1D、-2答案：B14、设函数$f(x)=x^2\ln x$，则$f''(1)$=（）A、2B、3C、4D、5答案：B15、$\frac{d}{dx}\int_0^{\ln(1+x)}\ln(1+t)dt=$A、$\ln(1+x)$B、$\ln(1+x^2)$C、$2x\ln(1+x^2)$D、$x^2\ln(1+x^2)$答案：C16、$\int f'(e^x)e^xdx=$A、$f(e^x)$B、$f(e^x)+C$C、$f'(e^x)$D、$f'(e^x)+C$答案：B四、选择题（7’×6=42’）17、$\lim_{x\to 2x-2}\frac{x^2+x-6}{x-2x+2}=$A、5B、6C、7D、8答案：B18、函数$y=x^3-3x$的单调减少区间为（）A、$(-\infty,-1)$B、$(-\infty,1)$C、$(-1,+\infty)$D、$[-1,1]$答案：A19、已知曲线方程$y=\ln(2+x)$，则点$M(0,\ln2)$处的切线方程为（）A、$y=\frac{x}{2}+\ln2$B、$y=\frac{x}{2}-\ln2$C、$y=2x+\ln2$D、$y=2x-\ln2$答案：AB、y=x+1C、y=x^2+ln2D、y=x+ln2x10、函数f(x)=∫lntdt的极值点与极值分别为：A、x=2，极小值f(2)=1B、x=1，极小值f(1)=1/2(ln2-1)C、x=2，极大值f(2)=1D、x=1，极大值f(1)=1/2(ln2-1)21、曲线y=4-x^2，x∈[0,4]与x轴，y轴以及x=4所围的平面图形的面积值S=A、4B、8C、16D、3222、微分方程dy/dx=ex-2y满足初始条件y(0)=1的特解为：A、lny=ex-1B、e2y=2ex-1C、e2y=ex-1D、e2y=e2x-1。

高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（） (A) 绝对收敛； (B ）条件收敛; (C) 发散；（D ）收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ）绝对收敛；（B) 条件收敛； (C ）发散; （D ）收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（）（A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。

二、填空题1、设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1）求()211n n n a a n∞+=+∑ （2）试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。

高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim sin x -tan x= .3x →0ln (1+2x )3-x -1+x= .2x +x -22.limx →12x 2+ax +b=3，其中为a ,b 常数，则a =，b = .3.已知limx →-1x +1⎧sin 2x +e 2ax -1,x ≠0⎪4.若f (x )=⎨在(-∞,+∞)上连续，则a = .x⎪a ,x =0⎩5.曲线f (x )=x -1的水平渐近线是，铅直渐近线是 .2x -4x +31e x6.曲线y =(2x -1)的斜渐近线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N ，当n ≥N 时，恒有x n-a ≤2ε”是数列{x n}收敛于a 的 .A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件⎧x 2,⎧2-x ,x ≤02.设g (x )=⎨，f (x )=⎨⎩x +2,x >0⎩-x ,x <0则g ⎡f (x )⎤= .⎣⎦x ≥0⎧2+x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2-x 2,x <0⎧2+x 2,x <0A.⎨B.⎨C.⎨D.⎨⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥0⎩2-x ,x ≥0⎩2+x ,x ≥03.下列各式中正确的是 .⎛1⎫⎛1⎫A．lim 1-⎪=e B.lim 1+⎪=e+ x →0x →0x ⎝x ⎭⎝⎭+x x⎛1⎫⎛1⎫ C.lim 1-⎪=-e D.lim 1+⎪x →∞x →∞⎝x ⎭⎝x ⎭4.设x →0时，e tan x x -x=e -1-1与x n 是等价无穷小，则正整数n = .A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.曲线y =1+e -x 1-e2-x 2.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是 .A.11sin x ,x ∈(0,1] B.sin x ,x ∈(0,+∞)x x 111C.sin ,x ∈(0,1]D.x sin ,x ∈(0,+∞)x x x三、求下列极限（每小题5分，共35分）x 2-x -21.limx →24x +1-32．lim x +ex →0(12x -x)3.lim 1+2+3n →∞(n1n n)x 2sin4．x →+∞lim 1x 2x 2-15.设函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)，求lim1ln ⎡⎣f (1)f (2)n →∞n 2f (n )⎤⎦.1⎛⎫x 2+e sin x ⎪+6．lim 4x →0x ⎪ 1+e x ⎪⎝⎭7．lim+x →01-cos x1-cos x四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）ax 2-2x +b=-21.lim2x →1x +x -22．lim x +ax 2+bx -2=1x →-∞()⎧a x -b x,x ≠0⎪五、讨论函数f (x )=⎨x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1)在x =0处的连续性，⎪0,x =0⎩若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）⎛sin t ⎫六、设f (x )=lim ⎪t →x sin x ⎝⎭x sin t -sin x，求f (x )的间断点并判定类型.（本题7分）⎡1⎤七、设f (x )在[0,1]上连续，且f (0)=f (1).证明：一定存在一点ξ∈⎢0,⎥，使得⎣2⎦1⎫⎛f (ξ)=f ξ+⎪.（本题6分）2⎭⎝第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设f (x )在x 0可导，且f (x 0)=0,f '(x 0)=1，则lim hf x 0-h →∞⎛⎝1⎫⎪= .h ⎭2.设f x ⎛1⎫2'd x =d .=cos x ，则 . 3.f (x )=⎪2x ⎝⎭1-x sin x 4.设y =f (e )，其中f (x )可导，则d y = .5.设y =arccos x ，则y ' ⎛1⎫⎪= .⎝2⎭⎛1⎫,π⎪的切线方程为 .π⎝⎭6.曲线xy =1+x sin y 在点二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在x =0处可导的是 .A.y =|x |B.y =|sin x |C.y =ln xD.y =|cos x |2.设y =f (x )在x 0处可导，且f '(x 0)=2，则limf (x 0+2x )-f (x 0-x )= .x →0x 11A.6B.-6C.D.-6623.设函数f (x )在区间(-δ,δ)内有定义，若当x ∈(-δ,δ)时恒有|f (x )|≤x ，则x =0是f (x )的 .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且f '(0)=0D.可导的点，且f '(0)≠0⎧sin x ,x <04.设f (x )=⎨2，则在x =0处f (x )的导数 .x ,x ≥0⎩A.0 B.1 C.2 D.不存在5.设函数f (u )可导，y =f (x )当自变量x 在x =-1处取得增量x =-0.1时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则f '(1)= .A.-1B.0.1C.1D.0.52三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)y =ln e +1+e(2)y =a x a (3)y =x +a +a a a x(x2x)(⎛1⎫x +1 -1⎪⎝x ⎭)(4)y =(sin x )cos x2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)y =x ln x +sin x (2)y =ecot 21x2(3)y =x 21-x1+x3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）y =cos x ln x（2）y =21-x1+x⎧e x ,x ≤14.设f (x )=⎨在x =1可导，试求a 与b .（本题6分）⎩ax +b ,x >15.设f (x )=⎨⎧sin x ,x <0'，求f (x ).（本题6分）⎩ln(1+x ),x ≥0x 2-xy 2=1所确定，求d y .（本题6分）6.设函数y =y (x )由方程ln y⎧t ⎛⎫x =a ln tan +cos t ⎪d y d 2y ⎪ 7.设y =y (x )由参数方程⎨2⎝⎭，求,2.（本题6分）d x d x ⎪y =a sin t ⎩1+t ⎧x =⎪⎪t 38.求曲线⎨在t =1处的切线方程和法线方程.（本题5分）31⎪y =+⎪2t 22t ⎩第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.若a >0,b >0均为常数，则lim ⎛a +b ⎫= .⎪x →0⎝2⎭x x 3x2.lim 1⎫⎛1-⎪= .2x →0x x tan x ⎝⎭3.limx →0arctan x -x= .3ln(1+2x )2-x 4.曲线y =e 的凹区间，凸区间为 .5.若f (x )=x e ，则f x (n )(x )在点x =处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设a ,b 为方程f (x )=0的两根，f (x )在[a ,b ]上连续，(a ,b )内可导，则f '(x )=0在(a ,b )内 .A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设f (x )在x 0处连续，在x 0的某去心邻域内可导，且x ≠x 0时，(x -x 0)f '(x )>0，则f (x 0)是 .A.极小值B.极大值C.x 0为f (x )的驻点 D.x 0不是f (x )的极值点3.设f (x )具有二阶连续导数，且f '(0)=0，lim x →0f ''(x )=1，则 .|x |A.f (0)是f (x )的极大值 B.f (0)是f (x )的极小值C．(0,f (0))是曲线的拐点D．f (0)不是f (x )的极值，(0,f (0))不是曲线的拐点4.设f (x )连续，且f '(0)>0，则∃δ>0，使 .A.f (x )在(0,δ)内单调增加.B.f (x )在(-δ,0)内单调减少.C.∀x ∈(0,δ)，有f (x )>f (0)D.∀x ∈(-δ,0)，有f (x )>f (0).三、解答题(共73分)1.已知函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)=0，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得f '(ξ)=-2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当0<a <b 时，（2）当0<x <f (ξ).（本题6分）tan ξb -a b b -a.<ln <b a aπ2时，2πx <sin x <x .3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）e x -e -x -2x（1）limx →0x -sin x1（2）lim(cos x )x →0sin 2x（3）limx →01x(1+x )-ex 4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）f (x )=x (1-x )1323⎧x 2x ,x >0（2）f (x )=⎨⎩x +1,x <05.求y =2x的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）ln x6.证明方程x ln x +第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1=0只有一个实根.（本题7分）e1. 2. 3.，铅直渐近线是， 4.6.5.水平渐近线是二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6．C 三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．. 5.. 6．，，所以，原式.7．四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）.解：1.据题意设，令得，则，故．，令得2．左边故，则．，右边五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4.5. 6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67分）解：1.(1)..(2)(3).(4)两边取对数得，两边求导数得.，2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2)..(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故，两边求微分得.6.方程可变形为，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1． 2． 3． 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B 2．A3．B，提示：由题意得，，当时，，当时，，从而在；即当取得极小值时，4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，三、解答题(共73分)证明：1.令，即，则在，使得上连续，，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当小值点，极小值为时，.；故为极大值点，极大值为；为极⑵，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为得；；列表得：，，令得驻点，令---++极小值点++++-拐点单减凸单减凹单增凹单增凸6．证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，，所以方程只有一个实根．。

高数前3章测试题及答案

高等数学上册前3章练习题一、填空1．⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b （1，2）2．已知2)3(='f ,则=--→hf h f h 2)3()3(lim-13.曲线处的切线方程为在2132=⎪⎩⎪⎨⎧=+=t ty tx )5(38-=-x y4. 抛物线24x x y -=在其顶点处的曲率为_______________25. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ，则=')0(f _______________!n6. 曲线123-=x x y 的渐近线方程是______________________12x =7. 设)(0x f '存在，则0lim→h =--hh x f x f )()(00 )(0x f '8. 曲线xx y ln =的拐点坐标为 ( 232323,-e e ) 9．函数7186223+--=x x x y 的极大值点为，极小值点为 3,1=-=x x10．．设y =y (x )由方程yexy e+=所确定，则0()y '=（）.二、选择1．2)11(lim xx x x -∞→-+=（）。

（D ）（A ）1（B ）21e （C ）0 （D ）1-e2．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值，则=a （）C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列命题不正确的是 cA 、非零常数与无穷大之积是无穷大。

B 、0与无穷大之积是无穷小。

C 、无界函数是无穷大。

D 、无穷大的倒数是无穷小。

4．若l x ax x x =+++-→14lim 31，则。

（C ）（A ）3,6==l a （B ）3,6=-=l a （C ）6,3==l a （D ）6,3-=-=l a5设22,2,21)(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=x x b ax x x x f 在处可导，则必有 B A 、==b a 2 B 、a =2,2-=b C 、a =1, b =2 D 、a =3, b =26. 若22lim 221=-+++→x x bax x x ，则 B A 、a =2,b =4 B 、a =4, b =-5 C 、a =1, b =-2 D 、a =-4, b =57,设)(x f 在0x 处可导，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000BA 、)('0x fB 、)('20x fC 、0D 、)2('0x f8.若则,)(lim c x f x =∞→ AA 、)(x f y =有水平渐近线c y =B 、)(x f y =有铅直渐近线c x =C 、c x f =)(D 、)(x f 为有界函数9.若a x f x x =→)(lim 0，则必有_____CA 、)(x f 在0x 点连续；B 、)(x f 在0x 点有定义；C 、)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义；D 、)(0x f a =10. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在0=x 处____B A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、可导，但导数在该点不连续； D 、导函数在该点连续11 .设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f ，则x =0是)(x f 的 C（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跳跃间断点（D ）振荡间断点12. 设)(x f 在0x x =处连续且)(0x f '不存在，则)(x f y =在))(,(00x f x 处（D ）（A ）没有切线（B ）有一条不垂直 x 轴的切线（C ）有一条垂直x 轴的切线（D ）或者不存在切线或者有一条垂直于x 轴的切线。

高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)n n n a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( )(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是( ).(A) 1(1);210n n nn ∞=-+∑(B) 11n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑(D)11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1n n a ∞=∑收敛于S ，则级数()121n n n n a a a ∞++=++=∑( )(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关.5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1()2S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4 (D) 12.二、填空题1、设14n n u ∞==∑，则111()22n nn u ∞=-=∑( ) 2、设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ∞=+∑的收敛区间为( )3、设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( )4、设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为( )三、计算与应用题1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ∞=+∑的和函数5、已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α> 时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1）求()211n n n a a n∞+=+∑（2）试证：对任意常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值.而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可.3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑ ()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+.提示: ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn n n n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1x n nf x x x ∞==--∈-∑提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x n xf x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,00110n x x n n -<=<,故当1α> 时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( )(A) 1;- (B) 0; (C) 1; (D) 2.2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于( )(A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于( )(A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a (D) 0.4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，则d cx s ⎰等于( )(A) 23;a (B) 0; (C) 2;a (D)213a .5、设∑为下半球z =Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y ∑⎰⎰不等于( )(A) d ;v Ω-⎰⎰⎰(B) 2π00d d r θ⎰⎰;(C) 2π00d d ;ar θ-⎰⎰ (D) ()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( )4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于( )5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x-++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( )三、计算与应用题1、求()()x ysin d cos d L I e y b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d L I y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x .答案：()e ()e 1x xf x x=-提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性，知2()()()e 0x xf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：（1）sin sin sin sin e d e d e d e d y x y x LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --⎰≤第十章曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、1、3πa -；2、4π-；3、；4、4π3；5、211x+. 三、1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式.2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L L I y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰. 3、答案：ξηζ===max W =. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3d OMW yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=++==⎰⎰再求W ξηζ=在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案： ()3d π,,2Sz s x y z ρ=⎰⎰.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022x y X Y zZ ++=，点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z z ρ-⎛⎫=++⎪⎝⎭. 5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑=++=⎰⎰.提示：添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式.注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰的积分等于3d d Dxy x y ⎰⎰为0.6、提示：（1）左边=()π0πsin sin sin sin 0π0πe d πe d πe +e d y x x x y x x ---=⎰⎰⎰，同理，右边=()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰（2）由（1）得sin sin e d ed y xLx y y x --⎰=()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而由sin e x 和sin e x -泰勒展开式知道()π20π2sin d x x +⎰≤()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而()π2205π2sin d π2x x +=⎰.第九章重积分测试题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰( ).(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰;(B) 2cos sin Dx ydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 02、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是xoy 平面上由20,y y x == 和1x =所围区域，则(,)f x y 等于( ).(A) xy ; (B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设22222123d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y I x y x y I x y x y ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(){}22,1D x y x y =≤+，则( ).(A) 321I I I >>; (B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D)312I I I >>4、设空间闭区域Ω由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分，则( ).(A) 1d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B) 1d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(C) 1d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (D) 1d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、设空间闭区域({,,z x y z Ω=，d I z v Ω=⎰⎰⎰，则下列将I 化为累次积分中不正确的是( ).(A)22π1d d d rI r r zθ=⎰⎰;(B)π2π240d d cos sin d I θϕϕρϕρ=⋅⎰⎰;(C) 122201πd π(2)d I z z z z z =+-⎰⎰; (D) 221004d d x y I x y z z +=⎰二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰的值等于( )2、设(){}22,1D x y x y =≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r De x y x y r -→++⎰⎰的值等于( )3、积分222d e d y xI x y -=⎰⎰的值等于( )4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++⎰⎰⎰≤可化为定积分0()d Rx x ϕ⎰，则()x ϕ等于( ) 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+⎰⎰⎰≤的值等于( )三、计算与应用题1、求)d d DI y x y =⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域. 2、求{}22max ,e d d x y DI x y =⎰⎰，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v Ω=+⎰⎰⎰，Ω由z =z =确定.5、计算112111224d e d d e d y y xxy I y x y x =+⎰⎰⎰.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A=⎰，证明11201d ()()d 2x I x f x f y y A ==⎰⎰.第九章重积分测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、1、22222πR 4x y ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b .三、1、答案：()163π-29I =. 提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π42002d d ()d r I r r z z θ=+⎰⎰⎰即可.4、答案：π8I =.提示: d 0x v Ω=⎰⎰⎰, ππ122400d 4d d cos sin d z v θϕρϕρϕρΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5、答案：3e 8I =- 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t z V zx y h t ⎡⎤+-⎣⎦==⎰⎰⎰≤；再求出雪堆的侧面积22221()213πd ()12x y h t S x y h t +==⎰⎰≤；由题意d 0.9d V S t =-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，并利用1111000001d ()()d d ()()d d ()()d 2y xy f x f y x x f x f y y x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第八章多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()xy f t dt x∂=∂⎰( ).(A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡（常数）的（）.(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（）（A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；（B ）(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；（C ） (,)f x y 在D 内可微分；（D ）以上结论都不对 4、42002lim3x y xyx y →→+的值为（）(A)∞ ； (B) 不存在； (C) 23； (D) 0.5、设有三元函数ln e 1xz xy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）.（A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =；（C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =；（D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =. 二、填空题1、设(,)cos()(2xy f x y e x y π=+-,则(1,1)x f 的值为（）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b''===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x ϕ=，则(1)ϕ'的值为（）.3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-=（）.4、曲线222320x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点()1,1,1M 处的切线方程为（）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（）方向的方向导数最大三、计算和应用题1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0≡/''g ，如果222222242f y zy x z x z ''=∂∂+∂∂∂+∂∂，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y x y xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1）设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y bF z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点.第八章多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D. 二、 1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326o gradu i j k =--.三、1、答案：2,2a b ==-.提示：利用xyyx f f ''''=这一条件. 2、答案：1k =-. 提示:g f f xz'+'+'=∂∂21，g k f f y z '+'+'-=∂∂21，g f f f x z ''+''+''+''=∂∂221211222，g k f f f yz ''+''+''-''=∂∂2221211222， g k f f y x z ''+''+''-=∂∂∂22112，()g k k f y zy x z xz ''+++''=∂∂+∂∂∂+∂∂222222222142，又因为0≡/''g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：,,333a . 提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的极值就可.4、答案：1221122d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy y 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.6、答案: 00(,)g x y ==攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模.然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可. 四、答案: 通过定点(),,M a b c . 第六章微分方程测试题一、选择题1、设()y f x =是240y y y '''-+=的解,若0()0f x >且0()0f x '=,则在0x 点()f x ( ).(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448x y y y e '''-+=的一个特解应具有形式 ( ) (,,,a b c d 为常数).(A) 2;x ce (B) 22;x dx e (C) 2;x cxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为( ).(A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++ (D) *2ecos .y ax bx c x =+++4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为( ).(A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为( ).(A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题1、已知微分方程23e x y y y -'''--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为( ).2、以12e ,e x x y y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ).3、若连续函数()f x 满足()0()e xf t f x dt =⎰，则()f x 等于( ). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++，其中α是比x ∆(0)x ∆→高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于( ).5、2e x y y y x '''++=的通解为( ). 三、计算和应用题1、设2e(1)e xx y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解，求该微分方程的通解.2、设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d xx y x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =所满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y '==的解. 3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程4、已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+⎰，求()f x . 5、已知连续函数()f x 满足()100()()d e 2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+⎰⎰，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f ⎡⎤-⎣⎦，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题证明方程()y y f x ''+=（其中()f x 连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-⎰，其中为任意常数.第六章微分方程测试题答案与提示一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、1、3121e e e 4xxx c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x x y c c x x -=++-. 三、1、答案：2212e e e (1)e x x x x c c x ++++.提示：将2e (1)e x x y x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,αβγ的值，然后再去求解微分方程.2、答案: (1) sin y y x ''-=;(2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案: 2e 2e x x y y y x '''--=-.提示: 21312e ,=e x x y y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y '''--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案: 32()3e 2e x x f x =-.5、答案: 21()12e 2xf x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.提示：作代换xu t =，则1002()d 2()dt xx f xu u f t =⎰⎰. 6、答案: 3()1xf x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3t t f t f f x x ⎡⎤-=⎣⎦⎰，然后两边求导. 四、略.第五章定积分及应用测试题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0st I t f tx x t s =>>⎰，则I 的值是( ). （A ）依赖于s 和t ；（B ）是一个常数；（C ）不依赖于s 但依赖于t ；（D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ).(A) 12212cos ln(1)d x x x -+⎰ (B) 233(1)e d x x x -+⎰(C) 4222sin cos d 1x x x x ππ-+⎰(C) 211(d x x -⎰ 3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>，令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰，则( ).(A) 321S S S >>; (B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D)132S S S >>.4、已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，则220sin d x x x +∞⎰的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4 (D) π-1.5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt lim xx f x t x→-⎰的值等于( ).(A)不存在； (B) 0; (C) (0);f ' (D) 1(0).2f ' 二、填空题 1、设()f x 连续，31()dt x f t x -=⎰，则(7)f 等于( ).2、定积分3π43π4(1arctan x x -+⎰的值为( ). 3、定积分11()e d x x x x -+⎰的值为( ).4、若积分(21)d 4a a x x --=-⎰,则常数a 的值等于( ).5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x π''+=⎰，求(0)f . 2、计算21x x x --⎰3、设2π20sin ()d 12cos t f x t x t x =++⎰，求(1)(0)f f 4、计算π320sin d sin cos xx x x+⎰.5、设3e e ()ln ()d xf x x f x x =+⎰，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]10()()d f x xf xt t +⎰与x 无关，求()f x . 四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x '>，证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3倍.第五章定积分及应用测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、1、112；2、2；3、2；4、2；5、3712. 三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分.2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性.3、答案：1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-.提示：πππ333322200sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x x+==+++⎰⎰⎰.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e x f x -=.提示：令()[]11000()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =+=+=+⎰⎰⎰，由()0F x '=得()()0f x f x '+=，所以e ()0xf x '⎡⎤=⎣⎦. 四、提示：()()()10,,()()d t t a b S t t a f t f x x ∀∈=--⎰，()()2()d ,bt S t f x x b t =--⎰ 令()()12()3t S t S t ϕ=-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x xf x →存在的( )条件.(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关.2、设22212lim()n nn n n →∞+++= ( ). (A) 22212lim lim lim0n n n nn n n →∞→∞→∞+++=; (B) ∞;(C) 21+2+1lim2n n n →∞+=; (D) 极限不存在.3、设()=232x x f x +-，则当0x →，有 ( ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小;(C) ()f x 是比x 高阶的无穷小; (D) ()f x 是比x 低阶的无穷小.4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的( ).(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点; (D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题7、若2211()3f x x xx +=++，则()f x =()． 8、已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则a = ( )．9、n →∞()．10、设2013sin coslim (1cos )(e 1)x x x x x x →+=+- ( )． 5、已知25lim 232n a bn n →∞++=-，则a = ( )，b = ( )．三、计算与应用题1、设0, 0(), 0x f x x x ⎧=⎨>⎩≤，20, 0(), 0x g x x x ⎧=⎨->⎩≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x[()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩≤，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，应当怎样选择数a3、设11e , 0()ln(1), 10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<⎩≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．4、计算极限tan π2lim(sin )x x x →．5、计算极限123lim()21x x x x +→∞++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、1、答案：[()] = (),f f x f x [()]0,g g x = [()]0,f g x = [()]()g f x g x =.2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．4、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+⎩≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ).(A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=; (D)2,1a b ==-.2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ⎧-+>=⎨⎩≤ ( ).(A)不连续; (B)连续，但不可导;(C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数.3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ' ( ).(A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数; (C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数.4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( ).(A) 02()f x '; (B)0()f x '-; (C) 0()f x '; (D)0()f x '-.5、设()sin cos 2xf x x =+，则(15)(π)f = ( ).(A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（）条件．12、设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f '= ( )． 13、设()f x 为可微函数，则当0x ∆→时，在点x 处的d y y ∆-是关于x∆的( )无穷小.14、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩，则3π4d d t x y == ( 1-)，223 π4d d t xy == () ．15、设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d y x=( )．三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 00 , 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1, 0() 1 , 0x x f x xx ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩，求 ()f x '. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x '存在，求d d y x. 4、设y =2d x y =. 5、用对数求导法计算函数y =的导数 6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，且,(,)x y ∀∈-∞+∞，恒有()()()f x y f x f y +=⋅，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x →=，证明()f x 在),(+∞-∞内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ．二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、3πa -；5、1．三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 , 0x x x f x xx ⎧-+⎪≠'=⎨⎪=⎩． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x x yf f f x x ''=+.4、答案：67211d [7()]d 7y x x x-=-；2d (ln 7)d 144x y x ==-⋅． 5、答案：45(3)145[](1)2(2)31x y x x x x -'=⋅+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n y x -=+. 四、提示: ,(,)x y ∀∈-∞+∞，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=⋅⋅，00()limlim ()()().x x yf x f xg x f x x →→∆'==⋅=∆第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 ( ).(A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x ; (D) ln(2)x -.2、设00()()0f x f x '''== ，0()0f x '''>，则( ).(A) 0()f x '是()f x '的极大值; (B) 0()f x 是()f x 的极大值;(C)0()f x 是()f x 的极小值; (D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点.3、设函数()f x 在[0,1]上满足()0f x ''>，则(1)f '，(0)f '，(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ).(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-; (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->; (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>; (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 4、指出曲线2()3xf x x =-的渐近线 ( ). (A) 没有水平渐近线; (B)只有一条垂直渐近线;(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线; (D) 只有水平渐近线.5、曲线53(5)2y x =-+ ( ).(A) 有极值点5x =，但无拐点; (B) 有拐点(5,2)，但无极值点;(C) 有极值点5x =，且(5,2)是拐点; (D) 既无极值点，又无拐点.二、填空题16、设常数0k >，函数()ln ex f x x k =-+在(0,)+∞内零点的个数为（）．17、若2sin 2e 1,0() , 0 ax x x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续，则a = ( )．18、曲线1ln(e )(0)y x x x =+>的渐近线方程为 ( )． 19、240ln(1)ln(1)ln(1)lim x x x x x →+---= ()． 5、若()f x 是x 的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x 轴，那么函数()f x 的表达式是 ( )．三、计算与应用题1、当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在π3x =处有极值求此极值，并说明是极大值还是极小值.2、求0e ln(1)1lim arctan x x x x x→+---.3、求11cos0sin lim()x x x x-→. 4、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点. 5、求数列的最大项.6、曲线弧sin (0π)y x x =<<上哪一点处的曲率半径最小求出该点处的曲率半径. 四、证明题设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''≥. 证明对于(,)a b 少内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+-+≤.第三章综合测试题答案与提示一、1、B ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ．二、1、2；2、2-；3、1ey x =+；4、112；5、43416x x x -+．三、1、答案：2,a =π3y =.2、答案：12-.3、答案：13e -.4、答案： (1,2)和(1,2)--． 56、答案: π(,1)2处的曲率半径最小，值为1.四、略．第四章综合测试题一、单项选择题1、=⎰( ).(A) C +; (B) arctan x C +; (C)12C; (D) C .2、已知()f x 的一个原函数是2ex -，求()d xf x x '=⎰ ( ).(A) 222e x x C --+; (B) 222e x x C -+;(C) 22e (21)x x C ---+; (D) 以上答案都不正确. 3、已知()d ()f x x F x C =+⎰，则()d f b ax x -=⎰ ( ).(A) ()F b ax C -+; (B) 1()F b ax C a--+; (C) ()aF b ax C -+; (D) 1()F b ax C a-+.4、已知曲线上任一点的二阶导数6y x ''=，且在曲线上(0,2)-处的切线为236x y -=，则这条曲线的方程为( ).(A) 322y x x =--; (B) 332360x x y +--=; (C) 32y x x =-; (D) 以上都不是. 5、若()()F x f x '=，则d ()F x =⎰ ( ).(A) ()f x ; (B) ()F x ; (C) ()f x C +; (D) ()F x C +.二、填空题20、设函数()f x 的二阶导数()f x ''连续，那么()d xf x x ''=⎰( ).21、若(e )1x f x '=+，则()f x = ( ).22、已知曲线()y f x =上任意点的切线的斜率为336ax x --，且1x =-时，112y =是极大值，则()f x =()；()f x 的极小值是 ( ). 23、23ed x x x =⎰ ().5、[(()] d f x xf x x '+=⎰ ( ).三、计算与应用题 1、求不定积分d e e x xx--⎰.2、求不定积分4tan d x x ⎰.3、求不定积分e cos d ax bx x ⎰.4、求不定积分x ⎰.5、求不定积分x ⎰.6、求不定积分382d (1)x x x +⎰. 四、证明题设()F x 是()f x 的一个原函数，且(0)1F =，()2()f x x F x =，证明： 2()1dx ln(12)()4f x x C f x =++'⎰.第四章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、B ；5、D ．二、1、()()xf x f x C '-+；2、ln (0)x x C x +>；3、323622x x x --+，8-； 4、221e (1)2x x C -+；5、()xf x C +．三、1、答案：e 11ln 2e 1xx C -++.2、答案：31tan tan 3x x x C -++ 3、答案：221e (cos sin )axa bxb bx C a b+++ 4、答案：C5、答案：(1)x arc C +.6、答案: 4481arctan 8(1)8x x C x +++.四、提示：()2()f x x F x =()2()F x x F x '⇒=2ln ()F x x C ⇒=+，由(0)1F =，得22()e ()2e x x F x f x x =⇒=2()()12f x xf x x ⇒='+，2()1dx ln(12)()4f x x C f x ⇒=++'⎰. 第七章综合测试题一、单项选择题1、点(2,3,1)M -关于xOy 平面的对称点是( ).(A) (2,3,1)--; (B) (2,3,1)---; (C) (2,3,1)--; (D)(2,3,1)--.2、已知平面通过点(,,0)k k 与(2,2,0)k k ，其中0k ≠，且垂直于xOy 平面，则该平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=的系数必定满足( ).(A) ,0A B C D =-==; (B) ,0B C A D =-==;(C) ,0C A B D =-==; (D) ,0C A B D ===.3、直线50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩的标准方程是( ).(A) 41413x y z -+==-; (B) 41413x y z --==;(C) 41413x y z -+==--; (D) 41413x y z --==-. 4、点(4,3,5)M -到x 轴的距离是的( ).(A) ; (B) ; (C) ;5、方程22214y x z -+=表示( ).(A) 旋转双曲面; (B) 双叶双曲面; (C) 双曲柱面; (D)锥面.二、填空题24、设(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= ( ) 25、若13a =，19b =，24a b +=，则a b -= ( ) 26、直线73121x y z +-==-上与点(3,2,6)的距离最近的点是 ( ) 27、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面4280x y z -+-=垂直，则此平面方程为 ()28、曲线22222z x y z x⎧=+⎨=-⎩关于xOy 面的投影柱面方程是( )三、计算与应用题1、设375a b a b +⊥-，472a b a b -⊥-，求(,)a b ∧.2、设4a =, 3b =, (,)6a b π∧=，求以2a b +和3a b -为边的平行四边形的面积.3、设一平面垂直于平面0z =，并通过从点(1,1,1)-到直线10y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，求此平面的方程.4、求锥面z 与柱面22z x =所围立体在三个坐标面上的投影5、在平面2320x y z +-+=和平面55430x y z +-+=所确定的平面束内，求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,3,1)- .6、光线沿直线30:10x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面π:10x y z +++=，求反射线所在的直线方程. 四、证明题设M 为ABC ∆的重心，证明：对于任意一点O ，有1()3OM OA OB OC =++.第七章综合测试题答案与提示一、1、C ；2、A ；3、A ；4、B ；5、A ．。

高数考试试题及答案

高数考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：C2. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. e答案：B3. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. 3D. 2答案：C4. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若∫[a,b] f(x) dx = 3，则∫[a,b] x f(x) dx是（）。

A. 0B. 1C. 3D. 不确定答案：D6. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是（）。

A. y = Ce^(-x)B. y = CxC. y = Ccos(x)D. y = Csin(x)答案：A7. 二元函数z = x^2 + y^2在点(1,1)处沿x轴方向的方向导数是（）。

A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A8. 利用分部积分法计算∫x e^x dx，得到的结果是（）。

A. x e^x - e^x + CB. e^x + x e^x + CC. x e^x - e^x - CD. e^x - x e^x + C答案：A9. 级数∑[1,∞] (1/n^2)是（）。

A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 绝对收敛答案：A10. 函数f(x) = ln(x)在区间(0,∞)上满足（）。

A. 有界但不一致连续B. 一致连续C. 有界但不一致有界D. 无界且不一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。

答案：112. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的拐点是 _______。

高等数学第一章综合测试卷含答案

第一章函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ）连续点（B ）第一类非可去间断点（C ）可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ）三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、此时,()()x x αβ7、当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2；（B ）()0,2；（C ）[)(]0,11,2 ；（D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在（D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）无穷间断点（D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。