【恒心】四川省2014届高三“联测促改”数学(文科)试题及参考答案

四川省2014年“联测促改”活动数学(文史类)一、选择题：1.集合{4},{3}A x x B x x =|2≤<=|≥，则A B = A.[2,4) B.[3,)+∞ C.[3,4) D.[2,3) 【答案】：C2.复数52i -的共扼复数是 A.2i + B.2i -+ C.2i - D.2i -- 【答案】：B3.为了解某地区的中小学生的课业负担情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大。

在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样 【答案】：C 4.为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象，只需把函数3sin()5y x π=+图象上的所有点A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变D.横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 【答案】：D 5.“a b >”是“11a b<”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要的条件【答案】：D 6.若12,e e是夹角为60°的两个单位向量，则122a e e =+与1232b e e =-+的夹角为 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】：C7.已知x,y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，设M ，m 分别为目标函数z=3x+5y 的最大、最小值，则M –m ，为A. 9B. 11C. 17D. 28 【答案】：D8.某算法程序框图如图所示，若1323,3,log 32a b c ===，则输出的结果是否是否是输出c 输出b输出ab ≥c?a ≥c?开始输入a,b,c a ≥b ?否是结束A.3a b c++ B.a C.b D.c 【答案】：D9.已知△ABC 的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=.若△ABC 的面积为1sin 6C ,则角C 的大小为 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】：B10.过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线12,l l , 则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是A.1y =-B.2y =-C.1y x =-D.1y x =-- 【答案】：A 二、填空题：11.函数22xx y -=+的最小值为 【答案】：212.366log 9log 12+=【答案】：213.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为俯视图侧视图正视图【答案】：32π14.圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C ：224420x y x y +---=的公共弦长等于.【答案】：2515.在直角坐标系中，定义两点1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =|-|+|-|。

现有下列命题：①若P, Q 是x 轴上两点，则12(,)d P Q x x =|-|；②已知P (1,3)，Q(22sin ,cos αα) (R α∈)，则d(P,Q)为定值；③原点O 到直线10x y -+=上任一点P 的直角距离d (O, P)的最小值为22; ④设A(x,y)且,x Z y Z ∈∈，若点A 是在过P (1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A 到点P 与Q 的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A 只有5个. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 【答案】：①②④ 三、解答题：16.(12分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6位同学，这6位同学的成绩(分数)如茎叶图所示.⑴求这6位同学成绩的平均数和标准差;⑵从这6位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，求这两位同学中恰有一位同学成绩低于平均分的概率.学生成绩288667968【解析】：⑴这6位同学的成绩平均效为611816n n x x ===∑又262222222111()(5533115)4966n n s x x ==-=+++++=∑故这6位问学成绩的标准差为s =7……………….6分⑵从6位同学中随机选取2位同学，包含的基本事件空间为(76,76)、(76,78)、 (76,78)、(76,82)、(76,96)、(76,78)、(76,78)、(76,82)、(76,96)、(78,78)、(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、 (78,96)、(82,96)15个基本事件。

其中括号内数字分别表示2位同学的成绩. 记“选出的2位问学中，恰有1位同学的成绩低于平均分”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(76,82)、(76,96)、(76,82)、(76,96) 、(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、(78,96)共8个基本事件，则8()15P A =。

故从6位同学中随机选取2位同学，恰有1位同学的成绩低于平均分的概率为815。

……..12分 17.( 12分)已知向量(1,),(cos ,sin )a m b x x == ，函数()2f x a b =⋅-.⑴设1m =，x 为某三角形的内角，求()1f x =-时x 的值; ⑵设3m =，当函数()f x 取最大值时，求cos2x 的值。

【解析】：由题可知，()sin cos 2f x m x x =+-，⑴当1m =时，()sin cos 2f x x x =+-，∵()1sin cos 12sin()14f x x x x π=-⇒+=⇒+-∴2sin()42x π+=∵x 为三角形的内角，∴3442x x πππ+=⇒=……………….6分 ⑵当3m =时，()3sin cos 22sin()26f x x x x π=+--+-，当且仅当sin()16x π+=时，函数max ()0f x =。

此时2()2()623x k k Z x k k Z πππππ+=+∈⇒=+∈∴21cos 2cos[2(2)]cos 332x k πππ=+==-…………….12分18.( 12分)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A, B 两种菜可供选择。

调查表明，凡是在这星期一选A 菜的，下星期一会有15改选B 菜;而选B 菜的，下星期一会有310改选A 菜。

用,n n a b 分别表示第n 个星期选A 的人数和选B 的人数.⑴试用1(*,2)n a n N n +∈≥表示n a ，判断数列{300}n a -是否成等比数列并说明理由; ⑵若第一个星期一选A 神菜的有200人，那么第10个星期一选A 种菜的大约有多少人? 【解析】：⑴由题知，对*n N ∈有500n n b a =-,所以当*n N ∈且2n ≥时,11114311(500)250300(300)51022n n n n n n n a a a a a a a ----=+-⇒=+⇒-=-∴当1300a =时,{300n a -}不是等比数列；当1300a ≠时，{300n a -}是以1300a -为首项，12为公比的等比数列……………(7分)⑵当1200a =时，1110191100100300()(300)300300300222n n n n a a a a ---=-⇒=-⇒=-≈∴第10个星期一选A 种菜的大约有300人。

…………..12分19.(12分)已知四债铁P-ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形, ∠ABC= ∠BCD=90°，PB=BC=CD=12AB. Q 是PC 上的一点. ⑴求证：平面PAD ⊥面PBD;⑵当Q 在什么位置时，PA ∥平面QBD?QP ADCB【解析】：⑴∵∠ABC=∠BCD=90°，BC=CD=12AB, 设BC=1，则AD=BD=2，∴222AD BD AB AD BD +=⇒⊥又PB ⊥平面ABCD.∴PB ⊥AD又因为BD ，PB 在平面PBD 内，且BD 与PB 相交， ∴AD ⊥平面PBD 又AD ⊂面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBD 。

…………………6分⑵当PQ=2QC 时，PA ∥平面QBD,证明如下，连结AC 交BD 于点O ，连接OQ, ∵2CD=AB,CD ∥AB,∴AO=2OC 过PA 的平面PAC 平面QBD=OQ,∵PA ∥平面QBD,∴AP ∥OQ,∴PQ=2QC (12)QD APBCO20.(13分)定义在实数集上的函数231(),()23f x x xg x x x m =+=-+。

⑴求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程;⑵若()()f x g x ≥对任意的[4,4]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】：⑴∵2()f x x x =+,当1x =时，(1)2f = ∵'()21'(1)3f x x f =+⇒=∴所求切线方程为23(1)310y x x y -=-⇒--=。

……….(4分) ⑵令321()()()3'()(3)(1)3h x g x f x x x x m h x x x =-=--+⇒=-+ ∴当41x -<<-时，'()0h x >； 当13x -<<时，'()0h x <； 当34x <<时，'()0h x >；要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤. 由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得.而52055(1),(4)03333h m h m m m -=+=-⇒+≤⇒≤- ∴实数m 的取值范围5(,]3-∞-。

…………..13分21.(14分)巳知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是32。

⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程;⑵若存在过点A(1,0)的直线l ，使点C(2,0)关于直线l 的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.【解析】：⑴222222312,3124b x y e a b c b a b b==-⇒==⇒+=, ∵点P(2,1)在椭圆上,∴222222221121482x y b b b +=⇒=⇒+=……………4分 ⑵依题意，直线l 的斜率存在且不为0，则直线l 的方程为：(1)y k x =-. 设点C(2, 0)关于直线l 的对称点为00'(,)C x y ，则0002002022(1)2212121y x k x k ykk y x k +⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪+⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=⎪-⎪+⎩⎩ 若点00'(,)C x y 在椭圆222214x y b b+=上，则2222242222222()()111(24)(1)04k k k b k b k b b b +++=⇒+-+-= 设2k t =，因此原问题转化为关于t 的方程2222(24)(1)0b t b t b +-+-=有正根. ①当221001b b -<⇒<<时，方程一定有正根；②当22101b b -≥⇒≥时，则有222222(24)4(1)043240b b b b b ⎧---≥⇒≤⎨-<⎩ ∴综上得2303b <≤. 又椭圆的焦距为223024c b c =⇒<≤.故椭圆的焦距的取值范围是(0,4]………………………14分。