坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：

如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：

设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．

一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化

设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

4.

1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．

2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]

1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．

解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.

答案：⎝

⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝0

1．确定极坐标方程的四要素

极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x

(x ≠0)

(2)在[0,2π)内由tan θ＝y

x (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

[练一练]

1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，

OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，

化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ

2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝2

2，则极点到该直线的距离是________．

解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝2

2，

∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22

， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为2

2. 答案：

2

2

平面直角坐标系中的伸缩变换

1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝12x ，

y ′＝3y ，则在这一坐标变换

下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．

解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝2x ′，y ＝13y ′.

代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′

2．函数y ＝sin(2x ＋π

4)经伸缩变换⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝1

2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝12x ′，

y ＝2y ′.

① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π

4)，

即y ′＝12sin(x ′＋π

4)．

答案：y ′＝12sin(x ′＋π

4

)

3．双曲线C ：x 2

－y 2

64＝1经过φ：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．

解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2

－

y 264

＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 2

16＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双

曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．

答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝λ·

x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．

极坐标与直角坐标的互化

[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．

(1)求曲线C 1的直角坐标方程；

(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 2

4＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |

的最小值．

[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝2

3

.

(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8