高中数学必修五北师大版余弦定理学案

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2022年高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 1.2余弦定理》05

余弦定理教学目标1．知识与技能〔1〕掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;〔2〕会利用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。

2过程与方法〔1〕利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;〔2〕通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。

3情感态度与价值观〔1〕培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；〔2〕通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点和难点重点：利用向量的数量积证明余弦定理；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路，及对余弦定理的熟练记忆。

教学过程设计一、复习回忆1 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

正弦定理准确地反映了三角形中边与角之间的关系。

2 用正弦定理可以解决哪些三角形问题？〔1〕三角形的两个角和一边，求出其它一角和两边。

〔2〕三角形的两边和其中一边的对角，求其它两角和一边。

二、情景引入展示校园图片，问如何测得校门口A与阶梯教室B间的距离？做法如下：在主教学楼前选取一位置C，测得AC=50米，BC=106米，C=105度问题：用正弦定理能否直接求出A、B两点间距离？这个问题实际上是三角形两边及它们的夹角，求第三边的问题。

正是我们这节课要学习的余弦定理可以解决的问题之一。

三、新课1先看三种特殊情况：观察上面三个式子相同点和不同点，猜测出一般式子：c2＝a2＋b2－2abcoC。

思考：在△ABC中，角C, 边a ，b 求c。

解：即 c2＝a2＋b2－2abcoC．同理可证出：a2＝b2＋c2－2bccoA，b2＝a2＋c2－2accoB，我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

教师引导学生观察余弦定理公式的特征和规律帮助学生对公式的记忆。

提出问题：1勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广。

2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.1.2 余弦定理(一)

1．2 余弦定理(一)明目标、知重点 1.把握余弦定理，会利用向量的数量积证明余弦定理.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.[情境导学]我们知道已知两边和一边的对角，或者已知两角和一角的对边能用正弦定理解三角形，假如已知两边和夹角怎样解三角形求第三边和其他两角呢？或者已知三边怎么解三角形求三个角呢？这是余弦定理所能解决的问题，这一节我们就来学习余弦定理及其应用．探究点一利用向量法证明余弦定理问题假如已知一个三角形的两条边及其所夹的角，依据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、外形完全确定的三角形．如何利用已知的两边和夹角来解三角形呢？思考1 如何用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角来解三角形”？答在△ABC 中，已知AB ＝c ，AC ＝b 和角A ，求边a 和角B ，C .思考2 我们可以先争辩计算第三边长度的问题，联系已经学过的学问和方法，我们又从哪些角度争辩这个问题能得到一个关系式或计算公式？答由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量的数量积，或用解析几何的两点间距离公式来争辩这个问题．思考3 如图，如何用b ，c 和角A 表示出边c?答 a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2. 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .小结余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考4 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来争辩，写出各个顶点的坐标，你能否利用平面内两点间的距离公式来推导余弦定理？答如下图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证：b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .例1 如图所示，有两条直线AB 和CD 相交成80°角，交点是O .甲乙两人同时从点O 分别沿OA ，OC 方向动身，速度分别为4 km/h 和4.5 km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?思考如何把题目中的已知条件和求3时后两人相距多远的问题，转化成解三角形中的问题？(写出例题的解题过程)答经过3时，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)，问题转化为在△OPQ 中，已知OP ＝12 km ，OQ ＝13.5 km ，∠POQ ＝80°，求PQ 的长．解经过3时后，甲到达点P ，OP ＝4×3＝12(km)，乙到达点Q ，OQ ＝4.5×3＝13.5(km)．依余弦定理，知PQ ＝OP 2＋OQ 2－2OP ·OQ cos ∠POQ＝122＋13.52－2×12×13.5cos 80°≈16.4(km)．答 3时后两人相距约16.4 km.反思与感悟利用余弦定理解决实际生活中的问题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化，从而转变成解三角形问题．跟踪训练1 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m. 答案 30解析设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°(m)＝30，∠C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．探究点二余弦定理的变形思考1 余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？答从余弦定理的三个关系式中，分别出角的余弦，又可得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba.思考2 依据余弦定理及其推论，你认为余弦定理及其推论的基本作用有哪些？答 (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；(2)已知三角形的三条边就可以求出其他角．例2 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5…的图形．试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．思考依据图中标出的数据，你能求出∠BCD 的大小吗？答由△ABC 中标出的数据知，△ABC 为等腰直角三角形，所以∠ACB ＝45°，又由于∠ACD ＝90°，所以∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝45°＋90°＝135°. 解在△BCD 中，BC ＝1，CD ＝1，∠BCD ＝135°.由于BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝12＋12－2×1×1cos 135°＝2＋2，所以BD ≈1.8. 在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2＋2，AD ＝ 3.由于cos ∠DAB ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝12＋(3)2－(2＋2)2×1×3≈0.169 1，所以∠DAB ≈80°.反思与感悟已知三边求三角：余弦值是正值时，角是锐角；余弦值是负值时，角是钝角．跟踪训练2 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，推断三角形的外形．解由于a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)． c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形．探究点三余弦定理在实际生活中的应用例3 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．解在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114. 反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题确定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪训练3 在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m答案 B解析方法一如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600 m ，BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.方法二由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4答案 B解析设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32D.78答案 D解析设顶角为C ，由于l ＝5c ，且a ＝b ＝2c ，∴C 为最小角，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为．答案 4解析设最大边为x 1，最小边为x 2，则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.[呈重点、现规律]1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角．2．当所给的条件是边角混合关系时，推断三角形外形的基本思想：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)假如一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)假如一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．一、基础过关1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.3．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km 时，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0.设该方程的两根为x 1，x 2，则P 点的位置有两处，即P 1，P 2. 则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20(km)，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1(h )．故选B.4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案 D解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.5．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为 km. 答案6－1解析由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2 km ，AB ＝3 km ，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×⎝⎛⎭⎫－12，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.6．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为．答案 120° 解析易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°.7．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7. 所以AC 边上的中线长为7. 二、力气提升8．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的外形为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理，所以△ABC 为直角三角形．9．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个答案 B解析设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°，即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形；当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是．答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－12.又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.12．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长．解由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4c ＝b －4.∴a >b >c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6. 三、探究与拓展13．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)由cos A ＝1213，得sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.又12bc sin A ＝30，∴bc ＝156. AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝⎛⎭⎫1－1213＝25，∴a ＝5.。

高中数学第二章余弦定理教案1北师大版必修5

1.2 余弦定理教课目的1．知识与技术: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法 : 利用向量的数目积推出余弦定理及其推论，并经过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．神态与价值：培育学生在方程思想指导下办理解三角形问题的运算能力；经过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的广泛联系与辩证一致。

教课要点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教课难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法：第一研究把已知两边及其夹角判断三角形全等的方法进行量化，也就是研究怎样从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数目积比较容易地证了然余弦定理。

进而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确立三角形的角教课假想[创建情形 ]C如图 1． 1-4 ，在ABC中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和C，求边 c b aA c B[ 探究研究 ]( 图 1． 1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么门路来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、 B 均未知，因此较难求边c。

因为波及边长问题，进而能够考虑用向量来研究这个问题。

A如图 1． 1-5 ，设CB a ， CA b ， AB c ，那么 c a b ，则b cC a Bc 2c c a b a ba ab b a b222( 图 1． 1-5)a ba b2进而c2a2b22ab cos C同理可证a2b2c22bc cos A b2a2 c22ac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即c2a2b22ab cos Ca2 b2 c22bc cos A b2 a2 c22ac cos B思虑：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知此中三个量，能够求出第四个量，可否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可获得以下推论：cos A b2c2a2a2c2b2b2a2c2cosB2accos C2ba 2bc[ 理解定理 ] 进而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的随意两边及它们的夹角就能够求出第三边；②已知三角形的三条边就能够求出其余角。

北师大版必修5 2.1.2 余弦定理学案

第2课时余弦定理Q 情景引入ing jing yin ru中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A 处，与我国海岛B 相距s 海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C 处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v 海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC ＝α，BC ＝m 海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？X 新知导学in zhi dao xue1．余弦定理 (1)语言叙述：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. (2)公式表达： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (3)变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形．3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角； a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角； a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角. Y 预习自测u xi zi ce1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c 的值是( D ) A ．8 B ．217 C ．62D ．219[解析] 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×(－12)＝76，∴c ＝219.2．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( A )A ．42B ．30C ．29D ．2 5[解析] cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ，所以AB 2＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为( C ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.4．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边的长是21.[解析] 解2x 2＋3x －2＝0，得x 1＝12或x 2＝－2(舍去)．∴夹角的余弦值为12，根据余弦定理得第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为32 3.[解析] 如图，cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32.∴BD ＝AB ·sin A ＝323.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨已知三边解三角形例题1 在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，求其最大内角．[分析] 由条件知角C 为最大角，然后利用余弦定理求解．[解析] 由于a ﹕b ﹕c ＝3﹕5﹕7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴∠C ＝120°，即最大内角为120°.『规律总结』在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理．用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．〔跟踪练习1〕已知在△ABC 中，a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)，求∠A 的度数． [解析] ∵a ﹕b ﹕c ＝2﹕6﹕(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)．由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵A ∈(0，π)，∴∠A ＝45°.命题方向2 ⇨已知两边及一角解三角形例题2 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，∠B ＝30°，解三角形．[分析] 由题目可知以下信息： ①已知两边和其中一边的对角． ②求另外的两角和另一边．解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a 的方程，求出边a ，再由正弦定理求角A ，角C ．[解析] 解法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，∠A ＝30°，∠C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴∠A ＝90°，∴∠C ＝60°.解法二：由b <c ，∠B ＝30°，b >c sin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴∠C ＝60°或120°，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6.当∠C ＝120°时，∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.『规律总结』已知两边和一角解三角形时有两种方法：(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)直接用正弦定理，先求角再求边．用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1)就避免了取舍解的麻烦．方法总结：利用正弦、余弦定理求角的区别余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件知三边知二边一角依据cos A ＝b ＋c 2－a 22bc等sin A ＝a sin B b等求角解方程cos A ＝m ，A ∈(0，π) 解方程sin A ＝m ，A ∈(0，π) 检验y ＝cos x 在(0，π)上为减函数，解方程所得解唯一y ＝sin x 在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验若将上题中“c ＝33”改为“c ＝23”，“B ＝30°”改为“A ＝30°”，应该如何解三角形？[解析] 直接运用余弦定理： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝32＋(23)2－2×3×23×cos30°＝3，从而a ＝3，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(3)2＋(23)2－322×3×23＝612＝12，∴B ＝60°，∴C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°. 命题方向3 ⇨判断三角形的形状例题3 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[分析] 解答时可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可由边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．[解析] 解法一：利用角的关系来判断． ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0. ∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B ．又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理，上式可化为 2ab cos c ＝ab ，解得cos C ＝12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝60°.故△ABC 为等边三角形．解法二：利用边的关系来确定．由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A ·sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b . 又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c . 因此△ABC 为等边三角形．『规律总结』判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．〔跟踪练习3〕在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解析] 解法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵B ＝60°且b ＝a ＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°. 整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ， ∴△ABC 为正三角形．解法二：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ．又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. 即A ＝120°－C ，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C )＋sin C ．整理，得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°， ∴C ＝60°，∴A ＝60°. ∴△ABC 为正三角形． Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围．[误解] ∵2a ＋1，a,2a －1为三角形的三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12.2a ＋1是三边长的最大值，设其对角为θ.∵2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，∴cos θ<0，即a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8，∴a 的取值范围是12<a <8.[错因分析] 误解中求得的a >12不是2a ＋1，a,2a －1能构成三角形的充要条件．如当a ＝1时，a ＋(2a －1)<2a ＋1，此时2a ＋1，a,2a －1就不能作为三角形的三边，本题实质上是求2a＋1，a,2a －1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”．[正解] ∵2a ＋1，a,2a －1为三角形的三边， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大．∵2a ＋1，a,2a －1表示三角形的三边，还需a ＋(2a －1)>2a ＋1，解得a >2.设最长边所对角为θ，则cos θ＝a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8.∴a 的取值范围是2<a <8.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu余弦定理⎩⎪⎨⎪⎧定理的内容⎩⎪⎨⎪⎧ 定理及推导定理的几个变式定理的作用⎩⎨⎧解三角形类型⎩⎪⎨⎪⎧ 两边和夹角三边三角形形状的判断⎩⎪⎨⎪⎧ 常见类型判断方法。

2020-2021学年高一数学北师大版必修五第二章2.1.2 余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“已知三边求三角形的三个角”及“已知两边及其夹角求三角形其他边与角”问题，培养学生数学思维品质，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学情分析本节之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，解决问题是学生学习的一大难点。

三、设计思想本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“余弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等讨论的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创新的能力。

四、教学目标1．继续探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出余弦定理，掌握余弦定理的内容及其证明方法，并学会运用余弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。

2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

北师大版高中数学必修五余弦定理教案,(1)

【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例 1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a ,=−→−AC b ，且|a |2=,|b |3=,a •b 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则ac b c b a +++的值等于________五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学北师大版必修5第二章解三角形余弦定理学案含解析

北师大版高中数学必修5学案含解析：内容标准学科素养1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第38页[基础认识]知识点一余弦定理4951，思考并完成以下问题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.(1)如果C＝90°，如何求AB边的长？提示：利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.(2)设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c.怎样用向量的线性运算表示AB→？提示：AB→＝CB→－CA→＝a－b.(3)在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？提示：|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C.(4)你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B.文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2＝b2＋c2－2bc cos__A，b2＝a2＋c2－2ac cos__B，c2＝a2＋b2－2ab cos__C.如果已知△ABC的三边长a，b，c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？提示：能．用余弦定理变形可得公式．cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab．思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．2．△ABC 中，分别指出在下列条件下，角C 是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)．(1)a 2＋b 2＝c 2.(2)a 2＋b 2＞c 2.(3)a 2＋b 2＜c 2.提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角C 是直角．(2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，所以可得，角C 是锐角． (3)由(2)中的方法，同理可得，角C 是钝角．[自我检测]1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4解析：由条件可知cos A ＝－35，则BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52， ∴BC ＝213.答案：B2．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：本题主要考查余弦定理．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，则B ＝π6.故本题正确答案为A. 答案：A3．(2019·郑州高一检测)在△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝________．解析：∵△ABC 中，a ＝2，b ＝5，c ＝6，∴由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋36－252×2×6＝58. 答案：58授课提示：对应学生用书第39页探究一已知两边及一角解三角形[阅读教材P50例4及解答]如图所示，有两条直线AB 和CD相交成80°角，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OA 、OC 方向出发，速度分别是4 km/h ，4.5 km/h ，3小时后两人相距多远(结果精确到0.1 km)?题型：已知两边及一角解三角形方法步骤：①计算△OPQ 两边长，OP ＝12，OQ ＝13.5.②利用余弦定理求PQ 的长．[例1] (1)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝23，A ＝30°，求a ； (2)在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、C 和边a . [解题指南] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．[解析] (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋(23)2－2×3×23cos 30°＝3，所以a ＝ 3.(2)法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，即a 2－9a ＋18＝0，解得a ＝3或a ＝6.当a ＝3时，A ＝30°，C ＝120°；当a ＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin B b ＝6×123＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sin C ＝c sin B b＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.方法技巧已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．跟踪探究 1.(1)在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝1，tan B ＝34，则AC ＝________； (2)在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________．解析：(1)由tan B ＝34，得cos B ＝45. 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝52＋12－2×5×1×45＝18，所以AC ＝3 2. (2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0，解得c ＝5或c ＝－75(舍去)，故c ＝5. 答案：(1)32 (2)5探究二已知三边解三角形[阅读教材P50例5及解答]图中是公元前400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2，3，5，…的图形，试计算图中线段BD 的长度及∠DAB 的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．题型：已知三边解三角形．方法步骤：①在△BCD 中利用余弦定理求BD .②在△ABD 中利用余弦定理求∠DAB .[例2] (1)在△ABC 中，若a 2＋b 2＋ab ＝c 2，则角C ＝________；(2)在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各内角的度数．[解题指南] (1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解；(2)先由三边的比值设出三边的长度，再利用余弦定理的变形求解．[解析] (1)由a 2＋b 2＋ab ＝c 2，得a 2＋b 2－c 2＝－ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab＝－12，故C ＝120°.(2)由a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)．由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－42×6×（3＋1）＝22， ∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.[答案] (1)120° (2)见解析延伸探究本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，6，3＋1”，求其最大角与最小角之和．解析：因为3＋1＞6＞2，所以最大角与最小角所对的边分别为3＋1，2.设长为6的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos θ＝22＋（3＋1）2－（6）22×2×（3＋1）＝12，所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°.方法技巧已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值进而求出三个角．跟踪探究 2.(2019·桂林高一检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：根据题意，由于△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－72×3×2＝12，因为0°＜B ＜180°，则可知B 等于60°，选C. 答案：C探究三判断三角形的形状[例3] 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．[解题指南] 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可以把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．[解析] 法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝c b，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，又因为a ＝b ，所以4b 2－c 2＝3b 2，从而b 2＝c 2，所以b ＝c .综合以上分析，得a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )，又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A －B )＝0，又因为A ，B 都是三角形的内角，所以A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°，综上得△ABC 为等边三角形．方法技巧判断三角形形状的思路(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：①△ABC 为直角三角形a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2.②△ABC 为锐角三角形a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2.③△ABC 为钝角三角形a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2.④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2. 跟踪探究 3.(2019·宝山高一检测)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定解析：由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， ∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理可得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．故选A.答案：A授课提示：对应学生用书第40页[课后小结](1)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题①已知两边和夹角，解三角形．②已知三边求三角形的任意一角．(2)余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．①如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． ②如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． ③如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．(3)对所给条件进行变形，主要有两种途径：①化边为角．②化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．[素养培优]忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求边c的取值范围．易错分析在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先要考虑到三角形中的隐含条件，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；然后要注意对问题的分类讨论，当三角形是钝角三角形时，其最大内角必为钝角．考查逻辑推理、分类讨论的学科素养．自我纠正因为a＝1，b＝2，所以1＜c＜3.若角B是钝角，则cos B＜0，即12＋c2－222×1·c＜0，解得1＜c＜3；若角C是钝角，则cos C＜0，即12＋22－c22×1×2＜0，解得5＜c＜3.综上，边c的取值范围是(1，3)∪(5，3).。

高中数学 2.1余弦定理导学案北师大版必修5

[B]3△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+ bc=0.则A =（）；
[B]4已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC= （b2+c2-a2），则A等于（）
A.45°B.30°C.120°D.15°
[B]5．在 △ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学2.1余弦定理导学案北师大版必修5
【学习目标】
1.熟记并写出余弦定理的内容
2.会运用余弦定理解斜三角形的两类基本问题
【学习重点】
余弦定理的证明及其基本应用
【学法指导】
利用向量的数量积推出余弦定理，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【使用说明】
(提示：通过三角形面积公式求c，再用余弦定理求a.)
(2)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶，求△ABC中最大角的度数．(提示：首先判断哪个角最大，再用余弦定理求解，)
（二）当堂检测
[A]1.△ABC中，已知b=3,c=3 ,∠B=30°则a=( )
A.3或6 B.3 C.6 D.4
[A] 2.在△ABC中，若b=1,c= ,∠C= ,则a=.
[B]你能进行证明吗？试试看！！
（参照课本49页进行证明）
3.余弦定理的变形有哪些？写出来
（一）学习探究
探究一
在△ABC中，(1)若a＝1，b＝1 ，C＝120°求c；
(2)若a=1,b= ,c= ,求B：
探究二
[B](1)在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2，S△ABC＝2，求a.
A.等腰直角三角形B.等腰三角形

2.1.2余弦定理学案(高中数学必修五北师大版)

1．2 余弦定理图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】利用勾股定理求AB 的边长．|c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C.(对应学生用书第35页)(2)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC各内角的度数．【思路探究】(1)直接利用余弦定理求解．(2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解．【自主解答】(1)c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋1－2cos 120°＝3，∴c＝ 3.(2)∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，∴令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A＝45°.cos B＝a2＋c2－b22ac＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件．2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC中，已知角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，若A＝π4，b＝2，S△ABC＝2，求a.(2)在△ABC中，a∶b∶c＝2∶3∶13，求△ABC中最大角的度数．【解】(1)因为S△ABC ＝12bc sin A＝12×2×22c＝22c＝2，所以c＝2 2.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a＝2.(2)∵a∶b∶c＝2∶3∶13，∴令a＝2k，b＝3k，c＝13k(k＞0)，由b ＜a＜c，知C为△ABC最大内角，cos C＝a2＋b2－c22ab＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C＜180°∴C＝150°.C，确定△ABC的形状．【思路探究】可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】法一由正弦定理得sin Csin B＝cb，由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，。

2.1《余弦定理》教案(北师大版必修5).doc

c 2 =a 2 + b 2 - 2abcosC（图 1.的余弦的积的两从L I. 2歩弦（-）教学目标1. 知识与技能:掌握余弦定理的匹种表示形氏及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形间题.”2. 魂与方法:利用向量的数量积確出余弦定7".：.戈推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形间题，“3. 拆与价值：培养学生在方程思想九寻F 处理解三角形间题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识问:J 关系，来生解事物宁勺的普遍联系与辩证统一.，（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想［创设情景］如图 1. 1-4,在 A ABC 中，设 BC=a, AC=b, AB=c, 已知I a,b 和ZC,求边c ［探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图 1. 1-5,设CB = a , CA = b , AB = c ,那么 c = a —Z=甘+ ”『—2厶Z 同理可证 a 2 =b 2 + c 2 -2bccosA方 2 =刀2 + c? — 2ac COS B 于是得到以下定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角于=护 + 护一 2bccosA — £ + — 2ac cos B— f — 2ab cos C =a- a + b ■ b -2a- bCOSj laccosC -b2+a2-c2 2ba⑵解法解法•.•sinA=|sinB= 2A/32?2 •sin45°,思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？(由学生推岀)从余弦定理，又可得到以下推论：.b2+c2-a2co s A= --- ---------定理］从而知余弦定理及其推论的基本件用为："已知三角形的任意两辺及它们£兀角就可以求出第三辺；"已知三角形的三条边就可以求出其它角.*思考：勾股定理指出了直角三用形中三边勺回的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边耘之回的关系，如何看这两*.巴乙间的关系° P(由学生总结)若△ABC中，C=9J ',则cosC=0.这时c1=a i+b i^由此可知余弦定理是勾股定理的拎「，勾股定玉是余弦定生的特例.2［例题分析］例 1.在AABC 中，已知a=2 返,c=46+41 , B=60°,求b及 A⑴解：V b2-a2+c2-2accosB=(2V3)2+(A/6+V2)2-2-2A/3-(V6+A/2) COS 45° =12+(76+A/2)2-4A/3(A/3+1)=8b=242.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:4_^2+C2-(Z2_(2V2)2+(V6+V2)2-(2A/3)2_1C°S 2bc =—2X2V2X(V6+V2) —=2'/. 460°.又T V6+V2 > 2.4+1.4=3.&2巧<2x1.8=3.6, :.a<c,即0° < A < 90°,4=60°.评述：解法二应注意确定A的取值范围。

北师大版数学高二必修5学案余弦定理

1.2余弦定理1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)[基础·初探]教材整理余弦定理阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号表示a2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝a2＋c2－2ac cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C．推论cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab.作用实现三角形边与角的互化.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(2)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．()(3)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则c＝217.()【解析】 (1)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0，所以A 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，所以A 为锐角，三角形的形状无法确定． (3)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以c ＝219.【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]已知两边及一角解三角形在△ABC 中，(1)已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A ； (2)已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，C 和边a .【精彩点拨】 (1)可直接应用余弦定理求出第三边后，再求A ；(2)可以应用余弦定理建立方程，通过解方程求边a ，进而求其他边或角，也可应用正弦定理求C ，再求A ，a .【尝试解答】 (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8，∴b ＝2 2.由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，得cos A＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(33)2－2×33a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3. 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝a sin Bb＝63×12＝1，所以A＝90°，C＝60°，当a＝3时，同理得A＝30°，C＝120°.已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求解．[再练一题]1．在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形．【导学号：47172022】【解】由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴2＝3＋c2－23×22c，即c2－6c＋1＝0，解得c＝6＋22或c＝6－22，当c＝6＋22时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A＜180°，∴A＝60°，∴C＝75°.当c＝6－22时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，C＝15°.故c＝6＋22，A＝60°，C＝75°或c＝6－22，A＝120°，C＝15°.已知三边解三角形在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43A、B、C.【精彩点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值．【尝试解答】由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)2 2×(6＋23)×43＝36＋243＋12＋48－24483＋48＝32，∴A＝30°.cos C＝a2＋b2－c22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝24＋36＋243＋12－48246＋242＝22，∴C ＝45°.∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝180°－45°－30°＝105°.1．已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．2．若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．[再练一题]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝5，b ＝3，cos C 是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求c ； (2)若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C .【解】 (1)5x 2＋7x －6＝0可化为：(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2.又cos C ∈(－1,1)， ∴cos C ＝35.据余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c ＝4.(2)∵a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x ，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x ＝32.∵0＜A ＜π，∴A ＝π6.同理可求得B ＝π3. ∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.[探究共研型]三角形形状的判断探究1 在△三角形，则a 、b 、c 之间的关系如何？钝角和锐角三角形呢？【提示】在直角三角形中a 2＋b 2＝c 2；在钝角三角形中a 2＋b 2＜c 2；在锐角三角形中a 2＋b 2＞c 2.探究2 判断三角形形状的基本思路是什么？【提示】思路一：从角的关系判定；思路二：从边的关系判定；思路三：从边与角的关系判定．探究3 在△ABC 中，sin A ＝sin B 一定有A ＝B 吗？【提示】在三角形中sin A ＝sin B ⇔A ＝B .在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c2c ，判断△ABC 的形状．【精彩点拨】可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【尝试解答】在△ABC 中，由已知cos 2A2＝b ＋c 2c ，得1＋cos A 2＝b ＋c2c ，∴cos A ＝bc .根据余弦定理，得b2＋c2－a22bc＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C ＝π这个结论．[再练一题]3．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC的形状．【解】由正弦定理得sin Csin B＝cb，由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，即b2＝c2.所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形.1．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则C为() A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】由b2＋a2＝c2＋ab得b2＋a2－c2＝ab，所以cos C＝b2＋a2－c22ba＝12，所以C＝60°.【答案】 B2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3 B.π6C.π4 D.π12【解析】由条件知C为最小角，cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32，所以C＝π6.【答案】 B3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是________．【解析】在△ABC中，C＝π－A－B，∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝2cos B sin A，∴sin A cos B－cos A sin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC一定是等腰三角形．【答案】等腰三角形4．(1)在△ABC中，若a＝1，b＝1，C＝120°，求c；(2)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC各内角的度数.【导学号：47172023】【解】(1)c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋1－2cos 120°＝3，∴c＝ 3.(2)∵a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，∴令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝6＋(3＋1)2－426(3＋1)＝22，∴A＝45°.cos B＝a2＋c2－b22ac＝4＋(3＋1)2－62×2×(3＋1)＝12，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.。

北师大版高中必修51.2余弦定理教学设计

北师大版高中必修5 1.2 余弦定理教学设计1. 教学目标•掌握余弦定理的概念和使用方法；•能够应用余弦定理解决实际问题；•发展学生的数学思维和创新精神。

2. 教学重难点•余弦定理的概念和公式推导；•余弦定理的应用。

3. 教学方法•讲授法：通过演示例题，引导学生理解余弦定理的概念和应用。

•实验法：通过实验检验余弦定理的正确性，并加深对余弦定理的理解。

•提问法：通过提出问题，引导学生自主思考，增强学生的思维能力和解决实际问题的能力。

4. 教学过程4.1 导入新课通过提问法引导学生思考和探索，激发学生学习的兴趣。

•提问：童话中常说“灰姑娘到了舞会上，一跳一跳一跳就跳到了王子的身边”，那么，灰姑娘所跳出的边长与夹角有没有关系呢？4.2 展示教学内容通过讲授法，向学生介绍余弦定理的概念和公式推导。

•讲解：余弦定理是解决任意一个三角形中的三个角和三边关系的一种方法，其表达式为$a^2=b^2+c^2-2bc\\cos A$。

其中，a表示三角形中夹角为A的对边长度，b和c表示夹角为A的两边长度。

4.3 练习及应用通过练习和应用，巩固和深化学生对余弦定理的理解和应用。

4.3.1 练习•练习1：已知$\\triangle ABC$中，AB=5cm，AC=8cm，$\\angle BAC=60^\\circ$，求BC的长度。

•练习2：已知$\\triangle ABC$中，AB=7cm，BC=9cm，$\\angle ABC=120^\\circ$，求AC的长度。

4.3.2 应用•应用1：现有一座山峰，测得山脚至山顶的垂直高度为2000m，以及从山脚观察山顶的仰角为$30^\\circ$，求这座山峰的实际高度。

•应用2：随着科技和时代的进步，人们对高楼的高度和立面的角度的要求越来越高。

现有一栋高楼，已知其高度和一个立面的角度，求这栋高楼的宽度。

4.4 小结通过小结，对本节课内容进行总结归纳，加深学生对余弦定理的理解和应用。

高中数学 2.1.3余弦定理(一)复习学案北师大版必修5

2.1.3余弦定理（一）知识梳理余弦定理：(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）题型一根据三角形的三边关系求角例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.解：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10 设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0) 则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1)＝－12∴C ＝120°.评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。

题型二已知三角形的两边及夹角解三角形例 2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。

（1）求角C 的度数；（2）求AB 的长；（3）求△ABC 的面积。

解：(1) ()cos cos[]C A B π=-+()cos A B =-+011202C =-⇒=（2）因为a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，所以⎩⎨⎧==+232ab b a2222cos120AB b a ab ∴=+- ()210a b ab AB =+-=⇒=（3）23sin 21==∆C ab S ABC 评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。

高二数学北师大版必修5教学教案2-1-2余弦定理(5)Word版含解析

《余弦定理》（第一课时）教学设计一、教学内容解析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书北师大版《数学》必修5第二章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。

第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。

本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。

正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。

余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。

纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。

在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。

1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。

“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。

”从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。

而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。

而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。

北师大版高中数学必修五余弦定理教案

第二章解三角形1.2余弦定理教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边 c b aA c B[探索研究] (图1．1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则b cC a B()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ (图1．1-5) 从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即2222cos c a b ab C =+- 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。