高二数学试卷附答案解析

高二数学试卷附答案解析
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

方法一：在8箱子中各任意抽查一枚；方法二：在4箱中各任意抽查两枚。

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则（ ） A ．=
B ．
>
C ．
<
D ．以上三种情况都有可
能
2.如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距
离分别为米、米，又已知米，则甲乙两人相距
（ ）米.
A ．50
B ．
C ．60
D ．70
3.设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线
右支上存在点
，满足，且到直线的距离等于双曲线
的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4.有个球，其中个一样的黑球，红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，则所有不同的排法种数是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5.在区间
上函数
和函数
在同一点取得相
同的最小值，那么在上的最大值是（ ）
A． B． C．8 D．4
6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.用反证法证明命题“若自然数，，的积为偶数，则，，中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）
A．，，中至多有一个偶数
B．，，都是奇数
C．，，至多有一个奇数
D．，，都是偶数
8.是椭圆上一点，是椭圆的焦点，则的最大值是（）
A．4 B．6 C．9 D．12
9.已知等差数列中，的值是（）
A．15 B．30 C． 31 D． 6410.点M的极坐标是（），则点M的直角坐标为（）
A．（，） B．（，） C．（，） D．以上都不对11.给出下列命题：
（1）导数f′（x
）=0是y=f（x）在x
处取得极值的既不充分也不必要条件；
（2）若等比数列的n项s
n
=2n+k，则必有k=﹣1；
（3）若x∈R+，则2x+2﹣x的最小值为2；
（4）函数y=f（x）在[a，b]上必定有最大值、最小值；
（5）平面内到定点（3，﹣1）的距离等于到定直线x+2y﹣1的距离的点的轨迹是抛物线．
其中正确命题的序号是．
12.设点A为双曲线的右顶点，则点A到该双曲线的一条渐近线的距离是（）
A． B．3 C． D．
13.已知集合M＝{x|}，N＝{x|}，则M∩N＝（）
A．{x|－1≤x＜1}
B．{x|x＞1}
C．{x |－1＜x＜1}
D．{x |x≥－1}
14.已知分别是椭圆的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
15.设全集，集合{或}，，则
=（）
A．
B．
C．
D．
16.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为( )
A． B． C． D．17.已知点表示的平面区域内的一个动点，且
目标函数的最大值为7，最小值为1，则的值为
（）
A．2 B． C．-2 D．-1
18.从七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程
的
系数，则倾斜角为钝角的直线共有（）条.
A．14； B．30； C．70； D．60
19.直线的倾斜角的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
20.设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|y=ln（x2﹣2x）}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}
二、填空题
21.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．
22.已知，，方程在[0，1]内只有一个根，则在区间[0，2016]内根的个数_________.
23.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC等于（）
A．45° B．60° C．90° D．120°
24.设有两个命题，p：关于x的不等式（a>0，且a≠1）的解集是{x|x<0}；q：函数的定义域为R。

如果为真命题，为假命题，则实数a的取值范围___________。

25.下列四个命题（1）有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________
26.在中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若，则角__________；
27.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则
．
28.若，，则的最小值为___________.
29.已知直线与轴分别交于点，为坐标原点，则点到平分线的距离为
30.二元一次方程组表示的平面区域内，使得x＋2y取最小值的整点坐标为___．
三、解答题
31.（本小题满分12分）
已知（,0），（1,0），的周长为6.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（II）试确定的取值范围，使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.
32.如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左
顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆的方程；
（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．
33.如图，在四棱锥中，，且为的中点.证明：平面.
34.某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.（1）写出其中的、、及和的值；
（2）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人都是第3组的概率
35.设，函数
（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围．
参考答案
1 .C
【解析】略
2 .D
【解析】
.
3 .C
【解析】,
.所以渐近线方程为，即.
4 .B
【解析】
试题分析：分为两种情况，（1）当4个球颜色都不同时，排列种数是,（2）当4个球包含2个黑球时，那么需在红，白，蓝球中选2
个，排法种是,,故选B.
考点：排列组合
5 .D 【解析】令，又当时，当时
,故选D.
【点睛】本题考查函数的的最值、导数的应用，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于中等难题. 首先利用导数工具求得令
，进而
.
6 .C
【解析】极值点必须同时满足=0，且极值点邻近的左右区域的
异号这两个条件，故图中共有三个极值点。

7 .B
【解析】“至少有一个偶数”的对立面是“没有偶数”，故选B.
8 .C
【解析】根据椭圆定义得：
故选C
9 .A
【解析】用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12,故答案选A. 10 .A 【解析】略 11 .（1）（2） 【解析】
试题分析：（1）比如y=x 3
，y′=3x 2
，x=0不为极值点，由充分必要条件的定义，即可判断； （2）求出a n =
，即可求出k ；
（3）运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可判断； （4）比如常数函数在[a ，b]上无最值，即可判断；
（5）注意运用抛物线的定义的隐含条件即定点不在定直线上，即可判断． 解：（1）由f'（x 0）="0" 推不出极值点，因为有可能是拐点（说明不充分），
比如y=x 3，y′=3x 2，x=0不为极值点；f （x ）在x=x 0处取得极值， 但函数f （x ）在R 上不一定可导，故不能推出f′（x 0）=0，
故导数f′（x 0）=0是y=f （x ）在x 0处取得极值的既不充分也不必要条件，故（1）对；
（2）若等比数列的前n 项和s n =2n +k ，则a 1=2+k ，a n =s n ﹣s n ﹣1=2n +k ﹣（2n ﹣1+k ）=2n ﹣1，
a 1=1，故k=﹣1，故（2）对； （3）若x ∈R +，则2x +2﹣
x ≥2=2，当且仅当2x =2﹣
x =1，即x=0，取等
号，
由于x ＞0，故最小值取不到，故（3）错； （4）比如常数函数在[a ，b]上无最值，故（4）错；
（5）平面内到定点（3，﹣1）的距离等于到定直线x+2y ﹣1=0的距离的点的轨迹是
过定点垂直于已知直线的一直线，而非抛物线，是因为定点在定直线上，故（5）错．
故答案为：（1）（2） 考点：命题的真假判断与应用． 12 .D 【解析】
试题分析：由双曲线方程可知，，渐近线为，．所以右顶点为．点到渐近线即
的距离为．故D正确．
考点：1双曲线的简单几何性质；2点到线的距离．
13 .C
【解析】略
14 .A
【解析】因为是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以，因为，所以。

在中，因为
，所以，由椭圆定义可得，所以。

故选A。

【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系。

由是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，得为直角三角形。

由
求出两锐角，根据斜边求两直角边，再根据椭圆定义得关于的关系式，可求离心率。

15 .C
【解析】
试题分析：，考点：集合的并集、补集运算．
16 .C
【解析】设；
两式相减得所以，则，所
以
故选C
17 .C
【解析】此题考查线性规划知识点；把不等式组表示的平面区域画出来，由已知条件可知，在直线与的交点处取得最小值，则
；在直线与的交点处去最大值，则
；所以，
选C
18 .C
【解析】由于倾斜角是钝角得满足即，所以（1）-9,-5分
别作a,b有条直线；
（2）从1,2,3,7中选两个数作a,b有,综合这两种情况共有+
=70条。

19 .B
【解析】
试题分析：设已知直线的倾斜角为，则由已知有：
，
，
，
即：，又因为，
．
故选B．
考点：直线的倾斜角与斜率．
20 .C
【解析】
试题分析：求出集合B的等价条件，根据集合的交集进行计算即可．解：由x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，
即B={x|x＞2或x＜0}，
∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，
故选：C．
考点：交集及其运算．
21 .4
【解析】
试题分析：该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．
解：由三视图复原几何体，如图，
它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，
这个几何体的体积：
故答案为4．
考点：由三视图求面积、体积．
22 .2016
【解析】
试题分析：：∵f（x）=f（-x+2），
∴f（x）的图象关于x=1对称，
又∵方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根，
∴方程f（x）=0在[1，2]内有且只有一个根，
故方程f（x）=0在[0，2]上有且只有两个根，；
又∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）是周期为2的函数，
故f（x）=0的根为x=k+，k∈Z；
故f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016
考点：根的存在性及根的个数判断
23 .B
【解析】略
24 .。

函数的定义域为R等价于，所以，解得，即。

如果为真命题，为假命题，则p真q假或p假q真，
或，解得或。

【解析】略
25 .1
【解析】解：因为命题1中，函数的定义域为空集，因此表达式无意义。

命题2中，函数是定义域到值域的映射，成立
命题3中，函数的图象是由离散的点组成的，不是直线、
命题4中，函数表示的是应该是抛物线的两端组成的，不是一条抛物线。

26 .
【解析】由全余弦定理有
.
27 .．
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为，准线经过双曲线
的一个焦点，必为左焦点，所以，解得．
考点：抛物线的几何性质．
28 .4
【解析】，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
【考点】均值不等式
【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）
，当且仅当时取等号；（2），
，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其
次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
29 .
【解析】
试题分析：由已知，A（3,0）.设的倾斜角为，AD的倾斜
角为，则tan=,cos=,sin=,=，所以=,
由直线方程的点斜式得AD的方程：x－2y－3=0，所以点到平分
线的距离为=。

考点：本题主要考查直线的方程，点到直线的距离，三角函数诱导公式、同角公式、倍半公式。

点评：中档题，本题综合性较强，解的思路明确，应先运用三角公式求AD的斜率，再求其方程。

30 .(－1，－2)
【解析】
作可行域如图，则可行域内的整点为，使得取得最小值的整点为，故答案为，故答案为.
31 .（Ⅰ）（）；
（II）当时，椭圆上存在关于对称的两点。

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置
关系的运用。

（1）因为已知（,0），（1,0），的周长为6.
则动点的轨迹的方程；根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为
焦点，长轴长为4的椭圆。

（2）要使得轨迹上有不同的两点、关于直线对称.
假设椭圆上存在关于对称的两点，。

设，直线与椭圆联立方程组，结合又的中点
在上得到范围。

解：（Ⅰ）根据椭圆的定义知，的轨迹是以，为
焦点，长轴长为4的椭圆。

∴，∴
故的轨迹方程为（）
（II）解法1：假设椭圆上存在关于对称的两点，。

设
由得由得
∵∴
又的中点在上
∴∴∴
∴，即
故当时，椭圆上存在关于对称的两点。

解法2：设，是椭圆上关于对称的两点，的中点为，则
①－②各得即
∴
又点在直线上
∴即，
而在椭圆内，∴∴
∴当时，椭圆上存在关于对称的两点。

32 .（1）；（2），；（3），证明见解析．【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的离心率以及圆的方程，求出的值，进而可得到椭圆的方程；（2）先设出点的坐标，并表示出，再根据,在椭圆上，即可求出的最小值，进而可求出此时圆的方程；（3）先设出点的坐标，并写出直线的方程，进而得到的表达式，再根据点在椭圆上，即可证得为定值．
试题解析：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为
（2）方法一：点与点关于轴对称，设，，不妨设．
由于点在椭圆上，所以．（*）
由已知，则，，由于，故当时，取得最小值为．
由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到
故圆的方程为：．
方法二：点与点关于轴对称，故设，不妨设，由已知，则
故当时，取得最小值为，此时，
又点在圆上，代入圆的方程得到．
故圆的方程为：．
(3) 方法一：设，则直线的方程为：，
令，得，同理：，
故（**）
又点与点在椭圆上，故，，
代入（**）式，得：．
所以为定值．
方法二：设，不妨设，
，其中．则直线的方程为：
，
令，得，
同理：，
故．
所以为定值
考点：1、圆锥曲线及其方程；2、平面向量的数量积；3、直线与圆锥曲线的位置关系.
【思路点睛】本题是一个直线与圆锥曲线的位置关系以及平面向量的数量积方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，对于（1）根据椭圆的离心率以及圆的方程，求出的值，进而可得到椭圆的方程；对于（2）先设出点的坐标，并表示出，再根据,
在椭圆上，即可求出的最小值，进而可求出此时圆的方程；对于（3）先设出点的坐标，并写出直线的方程，进而得到的表达式，再根据点在椭圆上，即可证得为定值．
33 .见解析
【解析】试题分析：先证明，且，又，且，所以，，所以为平行四边形，即
，由线面平行的判定定理可证得.
试题解析：
证明：取的中点，连结，所以，且，
由已知，且，所以，，
所以为平行四边形，即．
．
34 .(1)，，，，；(2)，，；(3) .
【解析】试题分析：（1）利用频率分布表及频率分布直方图能求出及和的值；（2）第组喜欢地方戏曲的人数比，
用分层抽样的分法从这三组中抽取人，能求出这三组每组分别抽取多少人；（3）第三组抽到人，记为，第一组和第二组人记为，从这六人中随机抽取人，利用列举法能求出抽取人年龄都在的概率
试题解析：（1）由表可知第3组，第4组的人数分别为，，再根据直图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.
所以第5组的人数为，且，
，，， .
（2）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. （3）
.
35 .（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】本试题主要考查了导数的极值的必要不充分条件：导数为零的运用，以及给定函数单调区间，求解参数的取值范围的综合运用。

（1）中，因为是函数的极值点在，则必然在导数值为零，得到a的值，然后验证。

（2）利用函数在给定区间单调递增，则等价于，不等式
对恒成立．，利用分类参数的思想，求解不等式右边函数的最值即可。

解：（Ⅰ）
因为是函数的极值点，所以，即，
所以．经检验，当时，是函数的极值点．即． 6分
（Ⅱ）由题设，，又，
所以，，，
这等价于，不等式对恒成立．
令（），则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为．
所以．即实数的取值范围为。