江苏省南京市、盐城市2023届高三年级3月第一次模拟考试数学试题(原卷版)

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江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(3)

一、单选题二、多选题1.函数的最大值为（）A．B．C．D．2. 下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为34562.544.5A．B．C．D．3. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．4.已知集合，B 为A 所有子集组成的集合，则下列不是集合B 的子集的是（）A ．AB ．BC．D．5. 已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（）A．B．C ．或D．或6. 2 a = 3，2 b = 6，2 c =12，则a , b , c 成（）A ．等比数列但不是等差数列B ．等差数列但不是等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列7. 设公比为3的等比数列前项和为，且，则（）A ．3B ．9C ．27D ．818. 若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．9. 设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（）A．B．C ．为常数D ．为等比数列10. 已知，，是三个平面，，，．下列结论正确的是（）A ．若，则与可能是异面直线B ．若，则直线、、必然交于一点（即三线共点）C．若，则D．若，则与可能是异面直线11. 已知数列，，且满足，，则（）A．B ．的最大值为C．D．江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(3)江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(3)三、填空题四、解答题12. 有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（）A ．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为B ．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为C ．从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球的概率为D．两次取出的球颜色不同的概率为13.某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.14.若，且为第二象限角，则________.15. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的左焦点为，点在椭圆上，的中点为，若，，则椭圆离心率的值为______．16. 在条件①，，②，，③，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.在中，角，，的对边分别为，，，且，___________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17. 已知，.(1)求的大小；(2)设函数，，求的单调区间及值域.18. 在四棱锥P -ABCD中，侧面底面ABCD，为等边三角形，底面ABCD 为菱形，，O 为AD 的中点.（1）试在线段BP 上找一点E ，使平面PCD ，并说明理由；（2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19. 函数，(1)求函数在点处的切线方程；(2)若时，有成立，求的取值范围.20.已知空间四边形中，M ，N ，P ，Q 分别是边的中点（如图）．求证：是一个矩形．21. 某校为了解学生在新冠病毒疫情期间学生自制力，学校随机抽取80位学生，请他们家长（每位学生请一位家长）对学生打分，满分为10分．下表是家长所打分数的频数统计．分数5678910频数482024168（1）求家长所打分数的平均值；（2）若分数不小于8分为“自制力强”，否则为“自制力一般”，在抽取的80位学生中，男同学共42人，其中打分为“自制力强”的男同学为18人，是否有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关？附：．0.100.050.010.0052.7063.841 6.6357.879。

江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P 是的内心，且，则a 的值为（）A ．9B ．11C ．17或19D ．192. 已知函数，下列选项中不可能是函数图象的是A．B．C．D．3. 设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为A．B．C．D．4. 若函数y＝(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a ＋log a＝( )A ．1B ．2C ．3D ．45. 在等比数列中，已知是方程的两根，则A ．1B．C．D ．36. 下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．B．C．D．8. 对于直线m ，n 和平面，，的一个充分条件是（）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，，9.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(1)三、填空题四、解答题A．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．函数在区间上单调递减D ．若，则的值为10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．，频率为，初相为B．函数的图象关于直线对称C ．函数在上的值域为D ．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，则所得函数是11. 已知两点，，若直线上存在点P ，使，则称该直线为“B 型直线”.下列直线中为“B 型直线”的是（）A．B．C．D．12. 某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（）A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加13. 已知，为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为______．14. 已知内接于单位圆，以BC ，AC ，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，．若，则的面积最大值为______．15. 二项式的展开式中的系数是___________.16.某工程设备租赁公司为了调查，两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：(1)根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台型挖掘机，一台型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果，两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．17. 在中，角，，的对边分别为，，，面积为，在下列三个条件中任选一个，解答下面的问题．①，②，③．(1)求角的大小；(2)若外接圆的面积为，求的最大值．18.已知，（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围.19. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．20. 在三棱柱中，，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若侧面为菱形，求证：.21. 已知函数，且恒成立．(1)求实数的最大值；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．。

江苏省南京市2023届高三上学期期末模拟数学试题(解析版)

南京市2023届高三年级期末调研模拟数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}113,202x M x x N x =+-≤<=<≤则M N ⋂=（）A.{}04x x ≤<B.{}04x x <<C.{}14x x ≤< D.{}14x x <<【答案】D 【解析】【分析】将集合,M N 分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】因为{}113M x x =+-≤<，则[)0,4M =，又因为{}202xN x =<≤，则(]1,4N =，所以()1,4M N ⋂=.故选：D.2.若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3.若等差数列{}n a 的前5项和为75，422a a =，则9a =（）A.40B.45C.50D.55【答案】B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和与基本量1a 和d 的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得()11154575232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得15a =，5d =，91845a a d ∴=+=.故选：B.4.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则()150.75P X -<≤==（）A.0.5B.0.625C.0.75D.0.875【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.【详解】因为()22,X N σ，()()1225P X P X -<≤=≤<并且()20.5P X ≥=又因为()()1235P X P X -<≤=>，所以()()()()2255450.5P X P X P X P X ≥=≤<+>=>=，所以()50.125P X >=所以()250.50.1250.375P X ≤<=-=，所以()150.75P X -<≤=故选：C5.若正n 边形12n A A A L 的边长为2，21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑，则n =（）A.6 B.8 C.10D.12【答案】D 【解析】【分析】设正n 边形的内角为θ，根据数量积公式可得1124cos i i i i A A A A θ+++⋅=-，由于21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑ ()cos 22πn n n -=--，分别代入各选项的n 即可判断正误.【详解】解：设正n 边形的内角为θ，则()2πn nθ-=，()11222cos π4cos i i i i A A A A θθ+++∴⋅=⨯-=-，()2112142cos n i i i i i A A A A n θ-+++=⋅=--∑即()()()42cos cos22π2πn n n n n n--=---=⇒-，当6n =时，()262ππ21cos cos 3662-==-≠--，A 选项错误；当8n =时，()282ππ3coscos 4882-==-≠--，B 选项错误；当10n =时，()43coscos sin sin 51032102ππππ10==-->-=-，由于82-<，所以4cos 5π8-≠，C 选项错误；当12n =时，()5co 122ππs cos 6212122-==-=--，D 选项正确；故选：D.6.已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，C 的两个焦点为F 1，F 2，A 为C 上一点，其横坐标为1，且|OA |2=|AF 1|·|AF 2|，则C 的离心率为（）A.14B.24C.12D.22【答案】D 【解析】【分析】设()01,A y ，由220||1OA y =+，10||AF a ex =+，20||AF a ex =-，根据题意列方程可得结果.【详解】设0(1,)A y ，则20211y a +=，即：20211y a =-，∴2202211||1112OA y a a =+=+-=-.又∵10||AF a ex a e =+=+，20||AF a ex a e =-=-，∴2212||||AF AF a e =-.又∵212||||||OA AF AF =,∴22212a e a-=-.①又∵222222111c a e a a a -===-②，1a >③，∴由①②③得：22a =，212e =.又∵01e <<,∴22e =.故选：D.7.若()()sin 2sin ,sin tan 1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=（）A.2B.32C.1D.12【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可【详解】因为()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩，所以()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()1sin sin cos 2cos 22αβαββα+-=-，又()()sin tan 1αβαβ+⋅-=，所以()()()sin sin 1cos αβαβαβ-+⋅=-即()()()sin sin cos αβαβαβ+-=-，所以()()1cos 2cos 2cos 2βααβ-=-，所以()()22112sin 12sin cos 2βααβ--+=-即()22sin sin cos αβαβ-=-，又sin 2sin αβ=，所以224sin sin cos cos sin sin ββαβαβ-=+，所以2224sin sin cos cos 2sin ββαββ-=+，所以2sin cos cos βαβ=，所以1sin sin cos cos 2αβαβ=即sin sin 2cos cos αβαβ=，又易知cos cos 0αβ≠，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，即tan tan 2αβ=，故选：A8.若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法求出当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时的一些函数值，从而找到|()|y f x =函数值变化的规律，同理找到当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，|()|y f x =函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =，令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-，令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=，令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时，函数|()|y f x =的值依次为1 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)；令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-，令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=，令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=，令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，函数|()|y f x =的值依次为0,11 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【点睛】难点点睛：确定曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数，要明确函数|()|y f x =的性质，因此要通过赋值求得|()|y f x =的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数|()|y f x =的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点()cos ,sin A αα，()2cos B ββ，其中[),0,2αβπ∈，则（）A.点A 的轨迹方程为221x y +=B.点B 的轨迹方程为22143x y +=C.AB 1D.AB 1【答案】ABC 【解析】【分析】将,A B 点坐标代入方程，即可判断A 、B 项；根据三角形三边关系，结合图象，即可求出AB 的最小值与最大值，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，将A 点坐标代入，可得22cos sin 1αα+=成立，故A 项正确；对于B 项，将B 点坐标代入，可得())22222cos cos sin 143ββββ+=+=成立，故B 项正确；对于C 项，A 点轨迹为以()0,0为圆心，1为半径的圆.B 点轨迹为椭圆.两者位置关系如下图：显然1BO AO >=，因为1AB BO AO BO ≥-=-，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图11,A B 或22,A B ），等号成立.所以，min min 1AB BO =-，当点B 为短轴顶点时，取得最小值，即min BO b ==，所以min 1AB =，故C 项正确；对于D 项，因为1AB AO BO BO ≤+=+，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图33,A B 或44,A B ），等号成立.所以，max max 1AB BO =+，当点B 为长轴顶点时，取得最大值，max 2BO a ==，所以max 3AB =，故D 项错误.故选：ABC.10.记函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，且()*2ππN 3n T n n ≤≤∈.若π6x =为()f x 的零点，则（）A.23n nω≤≤B.321n ω<-C.π2x =为()f x 的零点D.7π6x =为()f x 的极值点【答案】AD 【解析】【分析】利用周期2πT ω=，计算出ω的范围；结合ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算出ω的值，结合余弦函数的零点，极值等性质可判断是否正确.【详解】2πT ω=Q ，()*22πN 3n n n ππω∴≤≤∈得23n nω≤≤，故A 正确；由题意得ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 642k k ωπ∴+=+∈,36,Z 2k k ω∴=+∈，又*23n N n nω≤≤∈ ，，则*1111N ,Z 3424k n k n n -≤≤-∈∈，,当2n =有唯一解0k =，则32ω=，故B 错误；()3πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则π3πcos 12224f π⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；7π37πcos 16264f π⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：AD11.对于伯努利数()N n B n ∈，有定义：001,C (2)nkn nkk B B B n ===∑ .则（）A.216B =B.4130B =C.6142B =D.230n B +=【答案】ACD 【解析】【分析】根据伯努利数的定义以及二项式定理，将()N n B n ∈写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.【详解】由001,C (2)nk n nkk B B B n ===∑ 得，012301230C C C C C +(2)C nk n n k n n n k nn n n B B B B B B n B ==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥=∑，所以，0123101231C )C +C 0(2C C n n n n n n n B B B B n B --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=≥，同理，0123101213111111C )C +0(1C C C C n nn n n n n n n n n B B B B B B +++++-+-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=≥，所以，()1012311211311011+(1)C C C C C C nn n n n n n n n n B B B B n B B +++--+++=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，()1012311101231111+(1)C C C C C 1n n n n n n n n B B n n B B B B ++-+++-=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥+其中第1m +项为111(1)(1)(2)(1)(2)C 11123123n m mm m n n n n m n n n m B B B n n m m ++--+--+=⨯=++⨯⨯⨯⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯(1)(2)(1)C 12311m mm nB B n n n m n m n m n m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅--+-+=⨯⨯⨯⋅+-⨯-+即可得01201211C +C +C C C 11(1)1m m nn n n n n n n B B B B B n B n n n n m --⎛⎫=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+ ⎝⎭++≥-⎪令1n =，得11002C 111B B ⎛⎫= +-=-⎪⎝⎭；令2n =，得0101222C C 31113262B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭；令3n =，得012012333310C C 11C 434224B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭同理，可得45678910111115,0,,0,,0,,030423066B B B B B B B B =-====-===；即可得选项AC 正确，B 错误；由上述前12项的值可知，当n 为奇数时，除了1B 之外其余都是0，即210(1)n B n +=≥，也即230,N n B n +=∈；所以D 正确.故选：ACD.12.已知函数()1πsin ,(,)()(2)2ni xf xg x n f x i n ===+∑ ，则（）A.(),40g x n =B.()(),42n ng x f x ++=C.()()()1,0g x nf n f x ++=D.()()(),0g x n nf n f x ++=【答案】ACD 【解析】【分析】首先理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并写出(,4)g x n ，再利用函数()πsin 2xf x =的周期，结合()()()()1234f x f x f x f x +++++++的值，即可判断选项A;代特殊值，判断B ；CD 选项注意2n ≥这个条件，则可判断()nf n 中的()1f n =，则可得*41,N n k k =+∈，这样结合条件和A 的证明，即可判断CD.【详解】1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，()πsin 2x f x = ，函数的周期2π4π2T ==,()()()()1234f x f x f x f x +++++++ππππ3ππsin sin πsin sin 2π222222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcossin cos sin 02222x x x x =--+=，()()()()()41(,4)()1234...4ni g x n f x i f x f x f x f x f x n=∴=+=++++++++++∑00n =⨯=，故A 正确；B.当1n =时，()()()()()11,42,612...6g x g x f x f x f x +==++++++()()ππ12cos sin 22f x f x x x =+++=-，()()11ππππ,42cossin sin cos 2222g x f x x x x ∴++=-+=不恒为0，故B 错误；C.1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑,()()1,g x nf n ∴+中,()1f n =，*41,N n k k =+∈,()()()()()()1,1,4123...42g x nf n g x k f x f x f x k ∴+=++=+++++++，由A 的证明过程可知，相邻四项和为0，所以()()()()π23...422sin 2f x f x f x k f x +++++++=+=-，()()()ππ1,sinsin 022g x nf n f x x x ∴++=-+=，故C 正确；D.()()(),0g x n nf n f x ++=，由C 的证明过程可知，()()(),0g x n nf n f x ++=()()()()()411412413...4141f x k f x k f x k f x k k f x =++++++++++++++++++()()()()()234...42f x f x f x f x k f x =++++++++++()()2sinsin 022f x f x x x ππ=++=-+=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并会展开，但重点考查三角函数的周期，利用周期求和，问题就会迎刃而解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为__________.【答案】25##0.4【解析】【分析】小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡，将所有情况列表排列可得答案.【详解】按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，小颖小星小颖小星小颖情形一紫情形二蓝紫情形三蓝蓝紫情形四蓝蓝蓝紫情形五蓝蓝蓝蓝紫其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为25.故答案为：25.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过点O 的直线与C 交于点A ，记直线OA ，FA 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1=3k 2，则|FA |=__________.【答案】52##2.5【解析】【详解】首先设直线OA 为1y k x =，与抛物线方程联立，并根据123k k =，求得点A 的坐标，利用两点间距离求FA .【点睛】设过原点的直线OA 为1y k x =，联立1214y k xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或12144x k y k =⎧⎨=⎩，即()2114,4A k k ，()0,1F ，所以2121414k k k -=，因为123k k =，所以21114134k k k =⨯，解得：164k =±，则32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52FA =.故答案为：5215.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面PAB ⊥平面PCD ,则P ABCD -体积的最大值为__________.【答案】43【解析】【分析】先做PE CD,PF AB ⊥⊥交,CD AB 于点,E F ,PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,根据线面垂直的判定定理证明CD OE ⊥,即OE BC ∥,同理可得OF BC ∥,即EF BC ∥,且2EF BC ==,再根据面面垂直的性质定理得PE PF ⊥,再设各个长度,在直角三角形PEF 中得到等式进行化简,即可得关于OP 的式子,进而求得体积的表达式,求得最值即可.【详解】解:由题过点P 做PE CD,PF AB ⊥⊥分别交,CD AB 于点,E F ,过P 做PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,画图如下:PO ⊥ 平面ABCD ,PO CD ∴⊥,,PE CD PO ⊥⊂ 平面POE ,PE ⊂平面POE ,CD \^平面POE ,CD OE ∴⊥,底面ABCD 是边长为2的正方形,,CD BC ∴⊥OE ⊂ 平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,OE BC ∴ ,同理可得:OF BC ∥,故,,O E F 三点共线,且有EF BC ∥,2EF BC ==,设平面PAB ⋂平面PCD l =,,AB CD AB ⊂ ∥平面PAB ,CD ⊂平面PCD ,l AB CD ∴∥∥,,PE CD PE l ⊥∴⊥ ,平面PAB ⊥平面PCD ,平面PAB ⋂平面PCD l=PE ∴⊥平面PAB ,PF ⊂ 平面PAB,PE PF ∴⊥,不妨设(),,,2,02PE x PF y OF m OE m m ====-≤≤,224x y ∴+=①,且22222OP PF OF PE OE =-=-,即()22222y m x m -=--,化简即:2244y x m -=-②,联立①②可得:222,42y m x m ==-,22222OP y m m m ∴=-=-,∴四棱锥P ABCD -的体积1223V =⨯⨯=,()02m ≤≤,当1m =时,max 43V =,故P ABCD -体积的最大值为43.故答案为:4316.若函数()e sin x f x a x =-，()e sin x g x a x x =-，且()f x 和()g x 在[]0,π一共有三个零点，则=a __________.【答案】sin1e 或4π2e 2-【解析】【分析】考虑a<0，0a =，0a >三种情况，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，求导得到导函数，根据公切线计算得到1π4x =，π4e 2a -=，再根据a 的范围讨论零点的个数，计算得到答案.【详解】当a<0时，()e sin 0xf x a x =<-，()e sin 0xg x a x x -=<，不成立；当0a =时，()sin f x x =-，()sin g x x x =-，在[]0,π上有0，π两个零点，不成立；当0a >时，()00f a =≠，(]0,πx ∈时，()e sin 0xf x a x ==-，即e sin x a x =；()00g a =≠，当(]0,πx ∈时，()e sin 0xg x a x x -==，即e sin xa x x=，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，则()1e xF x a '=，()2cos F x x '=，()()32e 1x a x F x x -'=当()1e xF x a =，()2sin F x x =相切时，设切点为()11,x y ，则1111e sin e cos x x a x a x ⎧=⎨=⎩，解得1π4x =，π42e 2a -=；当[)0,1x ∈时，()30F x '<，函数单调递减；当(]1,πx ∈时，()30F x '>，函数单调递增.画出()2sin F x x =，()3e xa F x x=的简图，如图所示：()2sin F x x =，()3e xa F x x =最多有两个交点，故()g x 最多有2个零点，当π4e 2a ->时，()f x 没有零点，()g x 最多有2个零点，不成立；当π42e 2a -=时，()f x 有1个零点，π432π2e π12π2F F ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 有2个零点，成立；现说明π42e 1π<，即π44e π<，构造函数，()44e x h x x =-，[]3,3.5x ∈，()()334e 44e x x h x x x '=-=-，设()31e x h x x =-，()21e 3x h x x '=-，设()22e 3xh x x =-，()2e 6x h x x '=-，设()3e 6xh x x =-，()3e 60x h x '=->恒成立，故()3e 6xh x x =-单调递增，()()333e 630h x h >=-⨯>，故()22e 3xh x x =-单调递增，()() 3.52223.5e3 3.50h x h <=-⨯<，故()31e x h x x =-单调递减，()()3313e 30h x h <=-<，故()h x 函数单调递减，()()343π34e 34e 810h h <=-=-<，故π42e π<，当4π2e 20a -<<，()f x 有2零点，()g x 有2个零点，若1x =是一个零点，则有两个零点重合，满足，此时sin1ea =.综上所述：sin1e a =或π42e 2a -=故答案为：sin1e 或4π2e 2-【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，解题的关键是将函数的零点问题转化为交点问题，利用公切线解决参数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设（X ，Y ）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（a i ，b j ），其中i ，j ∈N *.记p ij =P （X =a i ，Y =b j ）是随机变量（X ，Y ）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：Y ，求（X ，Y ）的联合分布列.【答案】(),X Y 32103---182--38-1-38--018---【解析】【分析】易知(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，A 盒中的卡片数一旦确定则B 盒中的卡片数就唯一确定了，利用二项分布考查A 盒中的卡片数为0，1，2，3时的概率即可.【详解】由题意，(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，且330103303122131113C ,C 2828p p p p ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),X Y 的联合分布列为：(),X Y 32103---182--38-1-38--18---18.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，114,AC AB AC ⋅==（1）求四面体ACB 1D 1体积的最大值；（2）若二面角B -AC -D 1的正弦值为53，求ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积.【答案】（1）23；（2）2.【解析】【分析】（1）根据数量积和余弦定理得到214AC AB a ⋅==，即2a =，然后根据1AC =得到222b c +=，最后利用不等式求四面体11ACB D 体积的最大值即可；（2）根据二面角的定义得到1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，然后根据二面角1B AC D --的正弦值为53列方程得到()()221100c c --=，1c =，最后求体积即可.【小问1详解】设AB a =，BC b =，1BB c =，且111cos AC AB AC AB CAB ∠⋅=⋅⋅，由余弦定理得：22211211142AC AB B CAC AB AC AB a AC AB +-⋅=⋅⋅==⋅，则2a =，又1AC ==222b c +=，且11222223323ACB Db c V bc +=⨯= ，当且仅当1b c ==时等号成立，即四面体11ACB D 23；【小问2详解】过点D 作AC 的垂线，垂足为E ，连接1D E ，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且AC DE ⊥，又1DE DD D =I ，1,DE DD ⊂平面1DED ，所以AC ⊥平面1DED ，且1D E ⊂平面1DED ，所以1AC D E ⊥，即1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，记二面角1B AC D --的平面角为θ，则二面角1D AC D --的平面角为πθ-，所以11sin 3DD D Eθ==，则()()221100c c --=，且22c <，所以1c =，且111122ABCD A B C D V bc -==，所以1111ABCD A B C D -的体积为2.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为直径的三个圆的面积依次为1S ，2S ，3S .已知123S S S A B +-=+.（1）若π4C =，求ABC 的面积；（2）若ABC的面积为3，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）34（2）【解析】【分析】（1）由已知条件123S S S A B +-=+和π4C =可得到2223a b c +-=，根据余弦定理可求得2ab =，即可由面积公式求得ABC 的面积；（2）由已知得()2ππcos C ab C-=，从而可得π02C <<，由面积公式可得πtan πC S C -=，构造函数()πtan πC f C C -=确定其在π02C <<上单调性，由特殊值π33f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可得π3C =，83ab =，结合基本不等式得263c ≥，463a b +≥=，从而可求得ABC 周长的最小值.【小问1详解】解：记ABC 的面积为S ，因为()222123π3ππ44S S S a b c A B C +-=+-=+=-=，所以2223a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，所以2222cos 3a b c ab C +-===，则322ab =，所以1123sin 2224S ab C ===；【小问2详解】解：因为()222123ππ4S S S a b c A B C +-=+-=+=-，得()2224ππC a b c -+-=又由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=，所以()2π0πcos C ab C-=>，所以cos 0C >，则π02C <<，又1πsin tan 2πC S ab C C -==，设()πtan πC f C C -=，π02C <<所以()221πsin 2tan π20ππcos πcos C CC C f C C C---=-+=>'，所以()f C 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且ππππ3tan 3π33f -⎛⎫== ⎪⎝⎭π3C =，所以83ab =则22282cos 3ab C a b c =+-=，所以2228882333c a b ab =+-≥-=，即3c ≥，且3a b +≥=，当且仅当3a b c ===时，取等号，所以ABC 周长a b c ++的最小值2633⨯=.20.已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1=1，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，{}1n n b b +-是公差为2的等差数列．（1）若b 2=2，求{a n }，{b n }的通项公式；（2）若2N b *∈，2n b a a ，证明：121113n b b b +++<L ．【答案】（1）3222n a n n n =-+；2(1)1n b n =-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知求得n n a nb =，121n n b b n +-=-，通过累加法求得2(1)1n b n =-+，进而求得n a ；（2）根据已知求得n a ，构造()322222254f b b b b =-+，求导后得()20f b ' ，结合2N b *∈得21b a a，又21b a a ，从而求得21b =，进而证得结论．【小问1详解】解：因为111,n n a a b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以n na nb =，即n n a nb =，且211b b -=，所以121n n b b n +-=-，累加得211n b b n +-=，所以2(1)1n b n =-+，则3222n n a nb n n n ==-+；【小问2详解】解：因为1223n n b b n b +-=+-，累加得21122n b b n n nb +-=-+，所以()22441n b n n n b =-++-，则()322441n a n n n n n b =-++-，则23212221,254b a a b b b ==-+，令()()3222222N 254f b b b b b *=-+∈，且()222261040f b b b =-+' ，所以21b a a，且21b a a ，所以21b =，所以233n b n n =-+，且22121,3332n b b b n n n n ===-+>-+，从而()22111113333221n n b n n n n n n =<=--+-+-- ，所以()1211113331n n b b b n +++<-<- ，当1n =时，1113,2n b =<=时，121123b b +=<，所以121113nb b b +++<L ．21.已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的准线方程为12x =±，C 的两个焦点为F 1，F 2.（1）求b ；（2）若直线l 与C 相切，切点为A ，过F 2且垂直于l 的直线与AF 1交于点B ，证明：点B 在定曲线上.【答案】（1）b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的准线方程计算c ，再求b 即可；（2）先以A 点坐标表示直线l 的方程，进而表示出直线1AF 和2BF 的方程，联立表示出B 点坐标，再表示出1AF 的长度，列出关于A 点坐标的方程，最后代换成B 点坐标表示，即可求得B 点的轨迹方程.【小问1详解】由题可知，21a =，又双曲线C 的准线方程为12x =±，所以2112a c c ==，则2c =，所以b ==【小问2详解】由（1）知22:13y C x -=，设点()()()0012,,2,0,2,0A x y F F -，首先证明：00:13y y l x x -=，并将l 斜率不存在的情况舍弃，即01x ≠±,联立2213y x -=消去x 得：22002330y y y x -+-=，且()2200Δ44330y x =--=，所以00:13y y l x x -=，即00033x y x y y =-，所以直线()()002100:2,:232y y F B y x F A y x x x =--=++，联立直线21,F B F A ，解得0000222,1212x y B x x ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且0022112x x -≠-+，注意到()()22221000221AF x y x =++=+，从而220000112122x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即22000022412124x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，也即220000222241212x y x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以点B 的轨迹方程为22(2)4x y ++=，其中1x ≠-，即点B 在定曲线22(2)4x y ++=上.22.已知函数()()2ln ,2ln 2a f x ax x g x x =+=+.（1）若()()f x g x ≥，求a 的取值范围；（2）记()f x 的零点为12,x x （12x x <），()g x 的极值点为0x ，证明：1024e x x x >.【答案】（1）44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数()()()h x f x g x =-，然后分类讨论，即可得到a 的取值范围（2）()f x 和()g x 分别求导，求出()g x 的极值点0x 的关系式，()f x 单调区间，()f x 零点所在区间，即可证明.【小问1详解】记()()()21ln 202a h x f x g x x ax x ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，①当2a 时，取102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，不符条件；②当2a >时，()()221122122a a x ax ax x h x x x ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭=='，令()0,()0h x h x ''<>，∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以11ln210224a a h ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44ln212ln2a ++ ，则a 的取值范围为44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭；【小问2详解】∵()22a g x x='+，令()0g x '=，则00,4e e 4a x x a =-=-，且()12f x ax x '=+，令()()0,0f x f x ''><，∴()f x在⎛ ⎝单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭单调递减，且111ln 0222f a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，∴102a e-<<，取1x =，则()10f a =<，∴121x x <<<<，取1e x a=-，则2111ln e e e f a a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记1,02e t t a=-<<，在()ln e t t t ϕ=-中，()11e 0e e t t t t ϕ-'=-=>，∴()t ϕ在()0,e 单调递增，∴()()e e ln e 0e t ϕϕ<=-=，即222211111ln 0()e e e e e f f x x a a a a a x ⎛⎫⎛⎫-=+-<=⇒->⇒>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵121x x <<<<∴1221x x x >从而10221e 4e x a x x x >>-=.【点睛】本题考查构造函数，求导，考查单调区间的求法，具有很强的综合性.。

盐城市、南京市2023届高三年级期末考试数学参考答案

盐城市、南京市2022－2023学年度第一学期期末调研测试高三数学参考答案 2023.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．AC 10．BCD 11．BD 12．ACD三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．80 14．13 15．[0，＋∞) 16．q 2；1024注：第14题满足0＜ω≤13都可．四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）因为a 1＝3，所以a 1－2×1－1＝0．由于等比数列中的各项都不可能为0，故数列{a n －2n －1}不是等比数列． ·························· 2分由a n ＋1＝3a n －4n ，得a n ＋1－2(n ＋1)－1＝3(a n －2n －1)．因为a 1－2×1－1＝0，所以a n －2n －1＝0，从而a n ＝2n ＋1． ···································································································· 5分（2）由（1）可得b n ＝(2n －1)·2n (2n ＋1)(2n ＋3)＝2n ＋12n ＋3－2n2n ＋1．····················································· 7分则S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(225－213)＋(237－225)＋…＋(2n 2n ＋1－2n －12n －1)＋(2n ＋12n ＋3－2n2n ＋1) ＝2n ＋12n ＋3－23． ··································································································· 10分18．（本小题满分12分）解：（1）在△APC 中，因为AP ⊥CP ，且AP ＝CP ，所以∠CAP ＝π4．由AC ＝2，可得AP ＝2．又∠BAC ＝π3，则∠BAP ＝π3－π4＝π12．在△APB 中，因为∠APB ＝2π3，∠BAP ＝π12，所以∠ABP ＝π－2π3－π12＝π4，则AB sin 2π3＝2sin π4，解得AB ＝3，从而S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×2×32＝32． ··················································· 5分（2）在△ABC 中，由7＝4＋AB 2－2AB ，解得AB ＝3（AB ＝－1舍去）． ··················································································· 7分令∠CAP ＝α，则在△APC 中AP ＝2cos α．在△ABP 中，∠BAP ＝π3－α，所以∠ABP ＝π－2π3－(π3－α)＝α， ········································ 9分则AB sin ∠APB ＝AP sin ∠ABP ，即3sin 2π3＝2cos αsin α，得tan α＝33． ················································· 11分因为α∈(0，π3)，所以α＝π6，从而AP ＝2×32＝3． ····················································· 12分19．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得x －＝(2＋4＋6＋8＋10)÷5＝6，y －＝(80＋95＋100＋105＋120)÷5＝100，则∑5i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝(2－6)×(80－100)＋(4－6)×(95－100)＋(6－6)×(100－100)＋(8－6)×(105－100)＋(10－6)×(120－100) ＝80＋10＋0＋10＋80＝180，∑5i ＝1(x i －x －)2＝(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2＝16＋4＋0＋4＋16＝40，可得^b＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2＝18040＝92，··········································································· 2分 ^a ＝100－92×6＝73， ·························································································· 3分故y 关于x 的回归直线方程为^y ＝92x ＋73． ···································································· 4分令x ＝12，得^y ＝127， ······························································································ 5分据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3000×127150＝2540人． ················· 6分（2）提出假设H 0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．则K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝150(65×20－55×10)2120×30×75×75＝256≈4.17．································· 10分因为P (K 2≥3.841)＝0.05，而4.17＞3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关． ··································· 12分20．（本小题满分12分）（1）证明：设AC ∩BD ＝O ，在平面P AC 内过点A 作AH ⊥PO ，垂足为H ．因为平面P AC ⊥平面PBD ，平面P AC ∩平面PBD ＝PO ，所以AH ⊥平面PBD ． ······························································································ 3分又BD ⊂平面PBD ，所以BD ⊥AH ．因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥P A ．因为BD ⊥AH ，P A ∩AH ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AH ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ．又因为PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥P C ．………………………………………………………………6分（2）在△ABD 中，由AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，可得BD ＝22．由（1）知BD ⊥AC ，则V P －ABCD ＝13S ABCD ×P A ＝13×12×22×AC ×2＝4，解得AC ＝32， ····································································································· 8分以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系A －xyz ，得A (0，0，0)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，C (3，3，0)，P (0，0，2)，所以平面P AD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，又PD →＝(0，2，－2)，PC →＝(3，3，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧PD →·n 2＝0，PC →·n 2＝0，得⎩⎨⎧2y －2z ＝0，3x ＋3y －2z ＝0，取z ＝3，则x ＝－1，y ＝3，故平面PCD 的一个法向量为n 2＝(－1，3，3)， ······················· 10分则cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－11×1＋9＋9＝－1919， ························································ 11分从而平面P AD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为1919． ·············································· 12分21．（本小题满分12分）解：（1）设C (m ，n )，又A (－2，0)，则由AC ＝5，得(m ＋2)2＋n 2＝5．又m 24＋n 2＝1，解得m ＝0(m ＝－163舍去)． (第20题图)又点C 在x 轴上方，则n ＞0，故n ＝1，从而点C 坐标为(0，1)．因为D 为线段AC 的中点，所以点D 坐标为(－1，12)，故k AC ＝12，k OP ＝k OD ＝－12． ······················································································ 2分方法1由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则直线MN 的方程为y ＝12x ．由于点P ，M 在x 轴上方，则y M ＞0，y P ＞0．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 24＋y 2＝1，解得y M ＝22，则x M ＝2，故M (2，22)，则OM →＝(2，22)．由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24＋y 2＝1，解得y P ＝22，则x P ＝－2，故P (－2，22)，则OP →＝(－2，22)，从而cos ∠POM ＝OP →·OM→|OP →||OM →|＝－2＋122＋12×2＋12＝－35． ··················································· 4分方法2由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则k OM ＝k AC ＝12．又k OP ＝－12，可得∠AOP ＝∠BOM ，则∠POM ＝π－2∠MOB ．因为k OM ＝12，所以tan ∠BOM ＝12，故cos ∠BOM ＝255，从而cos ∠POM ＝cos(π－2∠MOB )＝－cos2∠BOM ＝－(2cos 2∠BOM －1)＝－35． ·················· 4分方法3由于直线MN 过原点且与直线平行AC ，则∠POM ＝＜OP →，OM →＞＝＜OP →，AC →＞＝＜OD →，AC →＞．又OD →＝(－1，12)，AC →＝(2，1)，则cos ∠POM ＝cos ＜OD →，AC →＞＝OD →·AC →|OD →||AC →|＝－2＋121＋(12)2·22＋1＝－35． ····························· 4分（2）设点C (x 0，y 0)，由A (－2，0)可得D (x 0－22，y 02)，则k AC ＝k OM ＝y 0x 0＋2，k OP ＝k OD ＝y 0x 0－2，从而k OM ·k OP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 02x 02－4＝1－x 024x 02－4＝－14． ························································· 6分由于直线OM 的斜率一定存在且不为零，故可设其方程为y ＝kx ，k ＞0由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，解得x 2＝41＋4k 2，y 2＝4k 21＋4k 2，则OM 2＝4＋4k 21＋4k 2． ······································· 8分由k OM ·k OP ＝－14可得k OP ＝－14k ，同理可得OP 2＝1＋16k 21＋4k 2，方法1 则OM 2·OP 2＝4＋4k 21＋4k 2·1＋16k 21＋4k 2． ·················································································· 10分令1＋4k 2＝t ，t ＞1，则OM 2·OP 2＝(t ＋3)(4t －3)t 2＝－9(1t )2＋9·1t ＋4≤254（当t ＝2，即k ＝12时取等号，），又PQ ·MN ＝4OM ·OP ，则PQ ·MN 的最大值为10． ························································· 12分方法2 则OM 2＋OP 2＝4＋4k 21＋4k 2＋1＋16k 21＋4k 2＝5，所以OM ·OP ≤OM 2＋OP 22＝52，当且仅当OM ＝OP ＝102时取等号．又PQ ·MN ＝4OM ·OP ，则PQ ·MN 的最大值为10． ························································· 12分22．（本小题满分12分）（1）解：当x ＞－1时，g (x )＝x ＋1e x ＋x 2－1，则g'(x )＝2x e x (e x －12)． ··········································· 1分令g'(x )＝0，可得x 1＝－ln2＞－1，x 2＝0，列表分析如下：由表可知，g (x )在x ＝0处取得极小值，且g (0)＝0．又g (－1)＝0，从而g (x )的最小值为0． ········································································ 5分（2）证明：由（1）可知，当x ＞－1时，g (x )≥0，即x ＋1e x≥1－x 2(当且仅当x ＝0时取等号)，记h (x )＝1－x 2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f (x )＞h (x )恒成立．又f '(x )＝－xex ，则f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，从而f(x)＞0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立． ······························································8分由于x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，则可得0＜t＜1，不妨设－1＜x1＜0＜x2．又h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，h(0)＝1，不妨设h(x3)＝h(x4)＝t，其中－1＜x3＜0＜x4，则在(－1，0)上，f(x1)＝h(x3)＜f(x3)，可得－1＜x1＜x3＜0，在(0，＋∞)上，f(x2)＝h(x4)＜f(x4)，可得0＜x4＜x2，从而|x1－x2|＞|x3－x4|．由于x3，x4为方程h(x)＝t的两个实根，解得x3＝－1－t，x4＝1－t，则|x3－x4|＝21－t，从而|x1－x2|＞21－t，命题得证．··············································································12分。

江苏省盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案解析

高三数学试题第1页（共5页）盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学2022.01(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N ＝A ．[－1，＋ )B ．[－1，0)C ．[0，1]D ．(0，1]2．在等比数列{a n }中，公比为q ，已知a 1＝1，则0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要3．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X ~N (110，100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ|＜σ)≈0.68，P (|X －μ|＜2σ)≈0.95)A ．16B ．10C ．8D ．24．若f (α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f (α)]2＝A ．f (α)B ．f (2α)C ．2f (α)D ．f (α2)5．已知直线2x ＋y ＋a ＝0与⊙C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝A ．－4或2B ．－2或4C ．－1±3D ．－1±66．在平面直角坐标系xOy 中，设A (1，0)，B (3，4)，向量→OC ＝x →OA ＋y →OB ，x ＋y ＝6，则|→AC |的最小值为A ．1B ．2C ．5D ．25高三数学试题第2页（共5页）7．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．1C ．－2－22D ．－2＋228．已知f (x )x －4，x ≤4x －16)2－143，x ＞4，则当x ≥0时，f (2x )与f (x 2)的大小关系是A ．f (2x )≤f (x 2)B ．f (2x )≥f (x 2)C ．f (2x )＝f (x 2)D ．不确定二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若函数f (x )＝cos2x ＋sin x ，则关于f (x )的性质说法正确的有A ．偶函数B ．最小正周期为πC ．既有最大值也有最小值D ．有无数个零点10．若椭圆C ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，则下列b 的值，能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的有A ．b ＝2B ．b ＝3C ．b ＝2D ．b ＝511．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n ∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则A ．P 1＝13B ．P 2n ＜P 2n ＋2C ．P 2n －1＜P 2nD ．P 2n －1＋P 2n ＜P 2n ＋1＋P 2n ＋212．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的角线为l ，BC 的中点为E ，则A ．l ∥BC B ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1第II 卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝(x ＋3)5＋(x ＋m )5是奇函数，则m ＝．ABDCEP(第12题图)高三数学试题第3页（共5页）14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，则cos B 的最小值是．15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数n (n ∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0⋅2k ＋a 1⋅2k －1＋a 2⋅2k －2＋…＋a k ⋅20，其中a 0＝1，当i ≥1时，a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f (n )，则满足k ＝6，f (n )＝3的n 的个数为．16．已知：若函数f (x )，g (x )在R 上可导，f (x )＝g (x )，则f′(x )＝g′(x )．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＋…，则a 0＝，∑=+1011n nn na a ＝．(第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)从①sin D ＝sin A ；②S △ABC ＝3S △BCD ；③→DB ·→DC ＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点D 在△ABC 内，cos A ＞cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若，求△ABC 的面积．注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋4，数列{b n }的首项为b 1＝2．(1)若{b n }是公差为3的等差数列，求证：{a n }也是等差数列；(2)若{a b n}是公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和．高三数学试题第4页（共5页）19．(本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x 1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?参考公式：bˆ＝∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221＝()()()∑∑==---n i ini ii x x y yx x 121，aˆ＝y －x bˆ．P (K 2≥k )0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327高三数学试题第5页（共5页）20．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC ．(1)求证：B 1D ⊥平面ABC ；(2)求直线C 1D 与平面A 1BC 所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)(1)设双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的右顶点为A ，虚轴长为2，两准线间的距离为263．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，已知AP ⊥AQ ，设点A 到动直线l 的距离为d ，求d 的最大值．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，a ∈R ．(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，求证：k ＋2＜x 1＋x 2．A BC 1D(第20题图)A 1CB 1高三数学试题第1页（共18页）盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学2022.01(总分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N ＝A ．[－1，＋ )B ．[－1，0)C ．[0，1]D ．(0，1]2．在等比数列{a n }中，公比为q ，已知a 1＝1，则0＜q ＜1是数列{a n }单调递减的条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D．既不充分又不必要3．某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X ~N (110，100)，高三数学试题第2页（共18页）则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P (|X －μ|＜σ)≈0.68，P (|X －μ|＜2σ)≈0.95)A ．16B ．10C ．8D ．24．若f (α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f (α)]2＝A ．f (α)B ．f (2α)C ．2f (α)D ．f (α2)5．已知直线2x ＋y ＋a ＝0与⊙C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝A ．－4或2B ．－2或4C ．－1±3D ．－1±66．在平面直角坐标系xOy 中，设A (1，0)，B (3，4)，向量→OC ＝x →OA ＋y →OB ，x ＋y ＝6，则|→AC |的最小值为A ．1B ．2C ．5D ．25高三数学试题第3页（共18页）7．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．1C ．－2－22D ．－2＋228．已知f (x )x －4，x ≤4x －16)2－143，x ＞4，则当x ≥0时，f (2x )与f (x 2)的大小关系是A ．f (2x )≤f (x 2)B ．f (2x )≥f (x 2)C ．f (2x )＝f(x 2)D ．不确定二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若函数f (x )＝cos2x ＋sin x ，则关于f (x )的性质说法正确的有A ．偶函数B ．最小正周期为πC ．既有最大值也有最小值D ．有无数个零点高三数学试题第4页（共18页）10．若椭圆C ：x 29＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，则下列b 的值，能使以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点的有A ．b ＝2B ．b ＝3C ．b ＝2D ．b ＝511．若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1，记在数列{a n }的前n ＋2(n ∈N *)项中任取两项都是正数的概率为P n ，则A ．P 1＝13B ．P 2n ＜P 2n ＋2C ．P 2n －1＜P 2nD ．P 2n －1＋P 2n ＜P 2n ＋1＋P 2n ＋2高三数学试题第5页（共18页）12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的角线为l ，BC 的中点为E ，则A ．l ∥BC B ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面PAD D ．l 被球O 截得的弦长为1ABDCEP(第12题图)高三数学试题第6页（共18页）高三数学试题第7页（共18页）第II 卷（非选择题共90分）三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝(x ＋3)5＋(x ＋m )5是奇函数，则m ＝．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，则cos B 的最小值是．高三数学试题第8页（共18页）15．计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作于生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数n (n ∈N *)可以表示成二进制数(a 0a 1a 2…a k )2，k ∈N ，则n ＝a 0⋅2k ＋a 1⋅2k －1＋a 2⋅2k －2＋…＋a k ⋅20，其中a 0＝1，当i ≥1时，a i ∈{0，1}．若记a 0，a 1，a 2，…，a k 中1的个数为f (n )，则满足k ＝6，f (n )＝3的n 的个数为．16．已知：若函数f (x )，g (x )在R 上可导，f (x )＝g (x )，则f′(x )＝g′(x )．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e 2x＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ＋…，则a 0＝，∑=+1011n nn na a ＝．(第一空2分，第二空3分)高三数学试题第9页（共18页）四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)高三数学试题第10页（共18页）从①sin D ＝sin A ；②S △ABC ＝3S △BCD ；③→DB ·→DC ＝－4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点D 在△ABC 内，cos A ＞cos D ，AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，若，求△ABC 的面积．注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】高三数学试题第11页（共18页）18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋4，数列{b n }的首项为b 1＝2．(1)若{b n }是公差为3的等差数列，求证：{a n }也是等差数列；(2)若{a b n}是公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和．【解析】19．(本小题满分12分)佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：年度2018201920202021年度序号x 1234不戴头盔人数y125010501000900(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y 与年度序号x 之间的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；(2)交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到右表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?参考公式：bˆ＝∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221＝()()()∑∑==---n i ini ii x x y yx x 121，aˆ＝y －x b ˆ．不戴头盔戴头盔伤亡73不伤亡1327高三数学试题第12页（共18页）P (K 2≥k )0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．【解析】不戴头盔戴头盔总计伤亡7310不伤亡132740总计203050高三数学试题第13页（共18页）20．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝13，AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，平面AB 1C ⊥平面ABC ．(1)求证：B 1D ⊥平面ABC ；(2)求直线C 1D 与平面A 1BC 所成角的正弦值．【解析】A BC 1D(第20题图)A 1CB 1高三数学试题第14页（共18页）21．(本小题满分12分)(1)设双曲线C ：x2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的右顶点为A ，虚轴长为2，两准线间的距离为263．(1)求双曲线C 的方程；(2)设动直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，已知AP ⊥AQ ，设点A 到动直线l的距离为d ，求d 的最大值．【解析】高三数学试题第15页（共18页）法二：高三数学试题第16页（共18页）22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，a ∈R ．(1)求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，求证：k ＋2＜x 1＋x 2．【解析】法一：高三数学试题第17页（共18页）高三数学试题第18页（共18页）。

江苏省盐城中学2023届高三全仿真模拟考试数学试题(含答案解析)

江苏省盐城中学2023届高三全仿真模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．()2π123+7．已知0ε>，,x A ．cos cos x y ≤二、多选题9．2022年11月，国内猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油､鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如下图所示，则下列说法错误的是（）A．猪肉､鸡蛋､鲜果､禽肉､粮食､食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小三、填空题四、双空题五、填空题六、解答题(1)证明：F为PD的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线角的正弦值.条件①：三角形BCF的面积为-的体积为条件②：三棱锥P BCF注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分19．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队，在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：球队胜球队负甲参加22b(1)求 BC的长度；(2)为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道--（B，D在AC两侧），其中AD，CDA D C参考答案：故选：AC.11．ABC【分析】分点A在圆外，圆内（非原点）【详解】当点A在圆外，如下图所示：设=，则连接AQ，则PQ AQ为焦点的双曲线；+=当点A在圆内（非原点），如下图所示，此时QA OQ则此时Q轨迹为以,O A为焦点的椭圆；OQ=当A在坐标原点，如下图所示，此时B，Q重合，则2半径为2的圆；当A 在圆上，由垂径定理，可知Q 点与O 重合，此时Q 的轨迹为点O .故选：ABC 12．BC【分析】对于A ，由题意，作图，根据对称性以及公共点所在区间，可得答案；对于B ，由题意，作图，可得函数在3x x =处相切，可得方程，结合三角恒等式，可得答案；对于C ，根据函数与方程的关系，两函数作差构造新函数，利用导数研究其零点个数，可得答案；对于D ，利用三角函数的值域与周期性，可得答案.【详解】对于A ，当4n =时，如下图，则10x =，4π2πx <<，所以142πx x +<，又()f x 图像关于πx =对称，结合图像有32ππx x ->-，即有32142πx x x x +>>+，故A 错误；对于B ，当3n =时，如下图，易知在3x x =，且()3π,2πx ∈，()f x 与()g x 图像相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，所以1n =时，1k ≥，故C 正确；对于D ，当22023πk =时，由2023π2023π()22f g ⎛= ⎝()f x 与()g x 的图像在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有公共点，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点晴：对于选项A 和D ，处理的关键在于，借助函数图像的对称性和周期性解决问题；对于选项B 和D 13．10【分析】求数据中的四分位数得5n =，利用二项式展开式通项求常数项即可【详解】由题设675% 4.5⨯=，则5n =，所以，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项为2515C (2)(r r r T x -+=当4r =，则4552C 10T ==，即常数项为10.故答案为：1014．23--/32--因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直ABC -中，面ADC 与面ABC 的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需与面DAB 最大即可，而且DCB DAB S S = ；sin DCB DC BC ∠⋅⋅，当π2DCB ∠=时，DBC S △取得最大值向平面ABC 作垂线，设AC 的中点为E 垂足为D ¢，因为2DB =，32EB ED ==，所以由余弦定理知cos BED ∠所以22sin 3DED '∠=，易得63DD '=.所以1361823433612D ABC V -=⨯⨯==.因为12ABD BDC S S == ，34ABC ADC S S ==设内切球的半径为r ，则根据等体积法，有：1113222323412r r ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即323612r r +=，解之得2423r =+，所以其内切球的表面积为224π4π42S r ⎛== +⎝故答案为：()1483π-17．(1)2352n a n n =-+选①，则1102BCF S CF BC =⋅= ，故选②，由1132P BCF B PCF V V BC --==⋅此时，3(0,,1)2E ，(2,3,0)B ，则EB 又(0,1,0)m =是面PAD 的一个法向量，若直线所以32sin ||||||9414EB m EB m θ⋅===++ 19．(1)8b c ==，20d e ==，n =(2)①0.68；②317；③乙球员担当中锋【分析】（1）利用给定的数表求值即可，再计算（2）①利用全概率公式计算即可；②利用条件概率公式计算即可；③利用条件概率公式计算，再比较大小即可判断作答.【详解】（1）由列联表中的数据，222cos 16122BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠=+-所以 12π1π2BC =⨯⨯⨯=，即 BC的长度为(πkm （2）①方案一：因为3tan tan tan tan αβαβ--则()tan tan 31tan tan αβαβ+=--，所以(tan αβ+又()0,παβ+∈，所以2π3αβ+=，记AD a =，CD b =，则在ACD 中，由余弦定理可得即2216a b ab +-=，从而()221631632a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，所以(14时，等号成立；所以新建健康步道A D C --的最长路程为(8km 即新建的健康步道A D C --的路程最多可比原有健康步道②方案二：因为()π2sin sin 3cos 3βαβ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即ππ2sin 2sin 33βαβ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又CDA 为锐角三角形，π02β<<，π02α<<则πππ336β-<-<，5πππ663αβ-<--<，所以22．（1）23b a =--；4a <-，()f x 的单调递增区间为为[1,3]a --；当4a >-时，()f x 的单调递增区间为[3,1]a --；（2）221111e e a -+<<+．。

盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学试题参考答案

盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． D 2． C 3． C4． B5． A6． D7． D8． B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9． CD10． ABC11． AB12． ABD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．－314． 22315． 1516． 1，2011四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分) 解：选①因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ，又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分设BC ＝x ，分别在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22×DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ··············································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选②因为S ΔABC ＝3S ΔBCD ，所以12AB ×AC sin A ＝3×12DB ×DC sin D ，又因为AB ＝6，AC ＝BD ＝4，CD ＝2，所以12×6×4sin A ＝3×12×4×2sin D ，所以sin D ＝sin A ． ······································································································ 2分因为cos A ＞cos D ，A ∈(0，π)，D ∈(0，π)，所以A ＜D ．又因为sin D ＝sin A ，所以D ＋A ＝π，所以cos D ＝－cos A ． ·················································· 4分设BC ＝x ，在△ABC 与△BCD 中由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－x 22×4×6，cos D ＝DB 2＋DC 2－BC 22DB ×DC ＝42＋22－x 22×4×2，所以42＋22－x 22×4×2＝－42＋62－x 22×4×6， ···················································································· 6分解得x 2＝28，所以cos A ＝42＋62－282×4×6＝12． ······································································· 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分选③在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ×DC ×cos D ＝DB 2＋DC 2－2DB →·DC →＝42＋22－2×(－4)＝28． ··················· 4分在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ×AC ＝42＋62－282×4×6＝12． ········································································ 8分因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以S ΔABC ＝12AB ×AC sin A ＝12×6×4×32＝63． ·························· 10分18．(本题满分12分)（1）证明：因为{b n }是公差为3的等差数列，所以b n ＋1－b n ＝3． ····································································································· 2分又因为a n ＝2n ＋4，所以a b n ＋1－a b n ＝(2b n ＋1＋4)－(2b n ＋4)＝2(b n ＋1－b n )＝6，所以{a b n }是等差数列． ································································································ 6分注：写出b n ＝3n －1也得2分．（2）解：因为{a b n}是公比为2的等比数列，首项为a b 1＝a 2＝2×2＋4＝8，所以a b n ＝8×2n －1＝2n ＋2． ··· 8分又因为a b n ＝2b n ＋4＝2n ＋2，所以b n ＝2n ＋1－2， ································································ 10分则数列{b n }的前n 项和S n ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(2n ＋1－2)＝(22＋23＋…＋2n ＋1)－2n ＝2n ＋2－2n －4． ······················· 12分 19．(本题满分12分)解：（1）由表中数据知，x －＝1＋2＋3＋44＝52，y －＝1250＋1050＋1000＋9004＝1050，所以b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑n i ＝1x 2i －n x－2＝9950－1050030－25＝－110， ································································· 2分所以a ^＝y －－b ^x －＝1050－(－110)×52＝1325，故所求回归直线方程为y ^＝－110x ＋1325． ······································································· 4分令x ＝5，则y ^＝－110×5＋1325＝775，故该路口2022年不戴头盔的人数约775人． ···································································· 6分 (2)提出假设H 0：不戴头盔行为与事故伤亡无关．由表中数据得K 2＝50×(7×27－3×13)210×30×40×20＝4.6875＞3.841． ······················································ 9分而P (K 2≥3.841)＝0.05，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关． ······················································· 12分 20．(本题满分12分)（1）证明：因为AB 1＝B 1C ，D 为AC 中点，所以B 1D ⊥AC ． ··················································· 2分又因为平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，B 1D 平面AB 1C ，所以B 1D ⊥平面ABC ． ································································································ 5分（2）解：方法一在平面ABC 内过点D 分别作AB ，BC 的平行线，交AB ，BC 于点E ，F ，由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，以{DE →，DF →，DB 1→}为基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． ···································· 7分因为AB ＝8，BC ＝6，所以AC ＝10，BD ＝5．又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12，得D (0，0，0)，A (3，－4，0)，B (3，4，0)，C (－3，4，0)，B 1(0，0，12)．设点C 1(x ，y ，z )，由BC →＝B 1C 1→，得(－6，0，0)＝(x ，y ，z －12)，即点C 1(－6，0，12)，则AC →＝(－6，8，0)，B 1C →＝(－3，4，－12)，C 1D →＝(6，0，－12)．设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－6x ＋8y ＝0，n ·B 1C →＝－3x ＋4y －12z ＝0，得3x ＝4y ，z ＝0．不妨取x ＝4，得平面AB 1C 的一个法向量为n ＝(4，3，0)． ··············································· 10分设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜n ，C 1D →＞|＝|n ·C 1D →||n |·|C 1D →|＝|6×4＋0×3＋(－12)×0|5·62＋02＋(－12)2＝4525． ····································· 12分方法二设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 的距离相等．过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ．因为BH ⊥AC ，平面AB 1C ⊥平面ABC ，平面AB 1C ∩平面ABC ＝AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面AB 1C ，则BH 为点B 到平面AB 1C 的距离． ················································· 7分在RtΔABC 中，易知d ＝BH ＝6×810＝245． ········································································· 9分由(1)知B 1D ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥BC ．ExA BC C 1A 1B 1(第20题图)D yz F又因为B 1C 1//BC ，所以B 1D ⊥B 1C 1，则ΔDB 1C 1为直角三角形．因为AB ＝8，BC ＝6，AB ⊥BC ，所以AC ＝10，BD ＝5，又因为AA 1＝BB 1＝13，所以B 1D ＝12．又因为B 1C 1＝BC ＝6，所以C 1D ＝62＋122＝65． ························································· 11分设直线C 1D 与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝d C 1D ＝24565＝4525． ······································· 12分方法三设B 1C ∩BC 1＝M ，由BM ＝MC 1知点C 1到平面AB 1C 的距离d 和点B 到平面AB 1C 距离相等．利用等积法V B 1－ABC ＝V B －AB 1C ，求点B 到平面AB 1C 的距离．下同方法二．21．(本题满分12分)解：（1）由虚轴长为2，知b ＝22． ··················································································· 1分由两准线间的距离为263，知a 2c ＝63， ··········································································· 2分所以3a 4＝2c 2＝2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋12)，解得a 2＝1或a 2＝－13（舍），故双曲线方程为x 2－2y 2＝1． ················································· 4分（2）①若动直线l 的斜率不存在，则设l ：x ＝t ，代入双曲线方程可得P (t ，t 2－12)，Q (t ，－t 2－12)，由AP ⊥AQ ，可得 (t －1)2－t 2－12＝0，解得t ＝3或t ＝1(舍)，此时点A 到l 的距离为d ＝2； ························································· 6分 ②若动直线l 的斜率存在，则可设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋t ，代入双曲线方程可得 (1－2k 2)x 2－4ktx －(2t 2＋1)＝0，则x 1＋x 2＝4kt 1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2． ·············································································· 8分由AP ⊥AQ ，知(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0．由y ＝kx ＋t 可知(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，化简可得 (1＋k 2)x 1x 2＋(kt －1)(x 1＋x 2)＋t 2＋1＝0，将x 1＋x 2＝4kt1－2k 2，x 1x 2＝－2t 2＋11－2k 2代入，化简可得 (3k ＋t )(k ＋t )＝0． ··································· 10分若k ＋t ＝0，则直线经过右顶点A ，舍去；故3k ＋t ＝0，即直线经过定点M (3，0)， ········································································ 11分则d ＜AM ＝2．综上①②，d 的最大值为2． ························································································ 12分注：也可建立d 关于k 的函数来求最值，参照评分． 22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝－3ln x ＋x 3＋ax 2－2ax ，得f′(x )＝－3x＋3x 2＋2ax －2a ，所以f′(1)＝0，又f (1)＝－3ln1＋13＋a ·12－2a ·1＝1－a ，所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝1－a ． ································································ 3分（2）由（1）得f′(x )＝x －1x[3x 2＋(2a ＋3)x ＋3]，因为x 1，x 2为函数f (x )的两个不等于1的极值点，不妨设x 1＞x 2＞0，所以x 1＋x 2＝－2a ＋33，x 1x 2＝1， ··················································································· 5分且需满足⎩⎨⎧△＝(2a ＋3)2－36＞0，2a ＋3＜0，所以a ＜－92， ····························································· 6分直线PQ 的斜率为k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝3ln x 1x 2x 2－x 1＋x 22＋1＋x 21＋a (x 2＋x 1)－2a ， ··································· 7分先证： ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2(x 1＞x 2＞0)．证：令x 1x 2＝u ＞1，不等式即证φ(u )＝ln u －2(u －1)u ＋1＞0，所以φ′(u )＝1u －4(u ＋1)2＝(u －1)2u (u ＋1)2＞0，所以φ(u )在(1，＋∞)上递增，所以φ(u )＞φ(1)＝0，故不等式成立． ············································································· 9分所以k ＝3lnx 1x 2x 2－x 1＋(x 2＋x 1)2－2x 1x 2＋1＋a (x 2＋x 1)－2a ＜－6x 2＋x 1＋(x 2＋x 1)2－1＋a (x 2＋x 1)－2a ．令x 1＋x 2＝t ，则a ＝－3t ＋32＜－92，所以t ＞2，则k ＜－6t ＋t 2－1－3t ＋32(t －2)，所以k ＜(t －2)(t 2＋2t ＋3)t －(3t ＋3)(t －2)2＝t －22(－t ＋6t＋1)，因为t ＞2，所以k ＜t －22(－2＋62＋1)＝t －2，故k ＋2＜x 1＋x 2． ··········································· 12分注：也可将k ＋2－(x 1＋x 2)放缩后转化为a 的函数．。

江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知点则与同方向的单位向量为A．B．C．D．2. 给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④3. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（）A．B ．3C．D．4. 已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（）A．B．C．D．5. 已知焦点在x 轴上的双曲线，其中一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D．6. 为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为（）A ．6B ．9C ．12D ．187. 设函数，若，则A ．1或B ．或C ．D ．l 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9. 已知O 为坐标原点，过点的直线l 与圆交于A ，B 两点，M 为A ，B 的中点，下列选项正确的有（）A ．直线l 的斜率k的取值范围是B ．点M 的轨迹为圆的一部分C ．为定值D ．为定值江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(1)江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（）A ．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B ．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C ．样本甲的方差一定大于样本乙的方差D ．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数11. 设O 为坐标原点，直线l 过抛物线C ：的焦点F 且与C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），，l 为C 的准线，，垂足为M ，，则下列说法正确的是（）A．B ．的最小值为C ．若，则D ．x 轴上存在一点N ，使为定值12. 已知是的一个极值点，则（）A．B．C．若有两个极值点，则D ．若有且只有一个极值点，则13. 集合，，则________________.14. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家Ger min alDandelin 利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin 双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为___________.15. 设，则是的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）16. 为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．（1）求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；（2）从这100天中抽取了5天，统计出这5天的日销售量（吨）和当天的最高气温（℃）的5组数据，研究发现日销售量和当天的最高气温具有的线性相关关系，且，，，．求日销售量（吨）关于当天最高气温（℃）的线性回归方程，并估计水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数．参考公式：，．17.在中，内角的对边分别为，已知 .(1)证明：；(2)若，求边上的高.18.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的取值集合.19.设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，证明直线的斜率满足20. 已知函数，．(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围；21. 目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是的．(1)A 省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；(2)B 省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门．①求乙同学同时选择物理科目和化学科目的概率；②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．随机。

江苏省南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试试题理(含解析)新人教A版

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.） 1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则______A B =.2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a=.3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+ 【答案】55.5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = .6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 .考点：余弦定理,基本不等式，向量数量积.12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形， ………4分17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.∴ 直线PA 方程：223()4y y x x k +=-+，∴223(4)4M y x y k=-+-，19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a=时，求函数() ()()g xh xf x=的单调减区间；（3）当0a=时，若()()f xg x≥对任意的x R∈恒成立，求b的取值的集合.问题，而这需要高等数学知识.1(1)(0,1)()x xxxxe ex ex x=='--→→=='20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值. 【答案】（1）(5)3n n n S +=，（2）①1322n n k -=⋅-，②2,3,4. 【解析】试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，……2分数学附加题21.（选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）21.A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =， 12OP =，求PD 的长.21.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵2222M ⎡-⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.21.C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.为对应的普通方程，最后根据圆心到直线距离等于半径求出a 的值. 试题解析：21.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.（必做题）22.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值；（2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 【答案】（1）1，（2）0.23.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B .。

江苏省盐城市2023届高三三模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 若能被7整除，则x ，n 的一组值可能为（）A ．，B ．，C ．，D ．，2. 已知为双曲线的右焦点，以点为圆心，（为双曲线半焦距）为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3.从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆，将篮球你表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．4. 已知复数，则A ．4B ．3C ．5D ．25. 已知（），则（）A．B．C．D．6. 已知双曲线分别是双曲线C 的左右焦点，且．过点作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若的面积取最大值时，双曲线C 的离心率为（）A ．3B．C ．2D．7. “”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.设，则“”是“”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9. 设实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．10. 定义区间，，，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”，则（）江苏省盐城市2023届高三三模数学试题(1)江苏省盐城市2023届高三三模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．是“函数”B．是“函数”C ．是“函数”，且D ．是“函数”，且11. 已知函数，，则（）A ．函数在上无极值点B．函数在上存在极值点C ．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值D ．若，则的最大值为12. 已知函数在上恰有三个零点，则（）A ．的最大值为B ．在上只有一个极小值点C ．在上恰有两个极大值点D ．在上单调递增13.的内角的对边分别为，若，则___．14. 已知，则__________.15. 二项式的展开式中，常数项是_______；所有项的系数和是_______.16. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京隆重开幕，精彩的冬奥开幕式使中国人的浪漫惊艳世界．某高校为了解同学们是否观看过奥运开幕式，按性别用分层抽样的方法，从该校3000名同学中抽取100名进行调查统计，已知该校男生与女生人数之比为11：9．(1)求男生和女生分别抽取的人数；(2)经过对这100人的调查统计，得到如下2×2列联表：没观看观看总计女生15男生45总计100请将上面的2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“观看奥运开幕式与性别有关”？参考数据：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817.如图，平面，，为矩形，为菱形，且，.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的大小.18. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若存在，使得，求a的取值范围．19. 已知抛物线.(1)直线与交于、两点，为坐标原点.从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.①证明：.②若，求的值；(2)已知点，直线与交于、两点（均异于点），且.过作直线的垂线，垂足为，试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．(1)证明：平面平面．(2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值．21. 已知椭圆C：的焦距为，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，为坐标原点．①若点P在直线上，求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点的坐标；②求证：当的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．。

江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题

一、单选题二、多选题1.等比数列的前项和为，公比为，若，，则A．B ．2C．D ．32.已知正项等比数列满足，若，则（）A．B．C．D．3. 凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（）条对角线．A．B．C．D．4. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．5.A．B．C．D．6. 已知是抛物线上一点，且到焦点的距离与到直线的距离之和为7，则（）A ．4B ．5C ．6D ．6.57. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（）A．B．C．D．8.（）A．B．C．D．9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变10.将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则（）A ．是奇函数B ．的周期为C．的图象关于点对称D．的单调递增区间为江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题三、填空题四、解答题11.设有一组圆，，下列四个命题正确的是（）A ．存在，使得圆与轴相切B ．存在，使得圆与圆有公共点C ．存在一条直线与所有的圆均相交D ．存在，使得圆经过原点12. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则（）A ．满足平面的点的轨迹为线段B ．若，则动点的轨迹长度为C ．直线与直线所成角的范围为D ．满足的点的轨迹长度为13. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是_________________ （写出所有凸集相应图形的序号）.14.数列的前项和为，若，则_____________．15. 已知，，则最小值为___________.16. 设函数，（Ⅰ）若，记函数的极值点个数和的零点个数分别为，，求．（Ⅱ）若函数有两个极值点，求实数的取值范围，17.已知数列的前n 项和为，且满足，.(1)求；(2)证明：对任意的，都有.18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9 510.129.969.9610.019.929.9810.0410. 269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.19.如图，在四棱柱中，平面，底面是矩形，，，，为棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.20. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．21. 在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.。

江苏省盐城市2023届高三三模数学试题(含解析)

江苏省盐城市2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．6B ．76．一般地，设A 、B 分别为函数得唯一的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意一个二、多选题四、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 满足143n n n a ab t +=-+，143n n n b b a t +=--，t ∈R ，n +∈N ，且11a =，10b =.(1)求证：{}n n a b +是等比数列；(2)若{}n a 是递增数列，求实数t 的取值范围.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 为正方形，点D 为棱1BB 的中点，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1AA CD ⊥.(1)求证：1CA CA =；(2)若2AC AB ==，求二面角11C A D B --的余弦值.19．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：参考答案：【详解】1,B A AC ，1A D ，11B A C D ,11A DC 平面1B AC ,与平面A DC 的距离保持不变，取1C D 的中点N ，设正方体的棱长为2，所以直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值为当M 为C 点时，当M 为AB 此时1=6A N ，=2NC ，AC所以()()222623cos =262θ+-⨯⨯2221sin =1cos 3θθ-=.直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值的取值范围是=16．5 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先利用题给条件将()12f xx转化为19．(1)没有99%的把握认为是否为(2)4 7【分析】（1）提出假设0H：论；【点睛】关键点点睛：第二问，联立直线与椭圆，应用韦达定理结合已知关系得到恒等关系求参数，注意验证所得结果.1,+∞22．(1)()-∞(2)(],1()e。

江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题

一、单选题1. 如图所示的四棱锥中，底面与侧面垂直，且四边形为正方形，，点为边的中点，点在边上，且，过，，三点的截面与平面的交线为，则异面直线与所成的角为( )A．B．C．D．2.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3. 若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（）A．B．C．D．4. 复数的平方根是（）A ．或B．C．D．5. 已知（i 为虚数单位），则（）A．B．C．D．6. 某国军队计划将5艘不同的军舰全部投入到甲，乙，丙三个海上区域进行军事演习，要求每个区域至少投入一艘军舰，且军舰A 必须安排在甲区域，则甲区域还有其它军舰的安排方案共有（）A ．14种B ．24种C ．36种D ．50种7. 已知集合，，则（）.A．B．C．D．8. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是6和12，且，则该圆台的体积为（）江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题江苏省南京市、盐城市2023届高三下学期一模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b ，得到的根为或，乙写错了常数c ，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（）A．B．C．D．10. 下列命题正确的是（）A ．已知，若，则B ．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数D ．数据的75百分位数为4711.已知函数，则下列说法正确的有（）A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C ．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象12.设函数则（）A ．是偶函数B ．值域为C ．存在，使得D ．与具有相同的单调区间13.如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.14.已知等差数列的前n项和为，且，则__________．15.直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当__________时，与底面所成角为16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD //AB ，，，．（1）证明：BD 平面PAD ；（2）设平面PAD平面PBC l，平面ABCD G，．在线段上是否存在点M，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17. 亚运聚欢潮，璀璨共此时，2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛，为了解该校学生对本届亚运会有关赛事知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中的值．(2)估计这600名学生成绩的中位数．(3)由频率分布直方图可以认为，这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，试用正态分布知识解决下列问题：①若这次竞赛共有2.8万名学生参加，试估计竞赛成绩超过86.8分的人数（结果精确到个位）；②现从所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过77.8分的人数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．18. 由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．（1）证明：平面；（2）设是的中点，证明：平面平面．19. 已知函数，.(1)若曲线仅在两个不同的点，处的切线都经过点，求证：，或；(2)当时，若恒成立，求的取值范围.20. 已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q．已知，，．(1)求公比q；(2)记第n行的数所成的等差数列的公差为，把，，……所构成的数列记作数列，求数列的前n项和．……………………………………………………21. 记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.。

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