84年高考数学题

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2024年高考数学全国甲卷理科真题试卷附详解

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.l.设5z i =+,则()i z z +=()A.10iB.2iC.10D.2-2.集合1,2,3,4,9{}5,A =,{|}B x A =,则()A C A B = ()A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为()A.12B.0C.52-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =()A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.135B.137C.2D.36.设函数22sin ()1x e xf x x+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.237.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为()A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.1+B.1-C.32D.19.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则()A.3x =-是a b ⊥的必要条件B.3x =-是//a b 的必要条件C.0x =是a b ⊥的充分条件D.1x =-+是//a b 的充分条件10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ= 下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥③若//n α且//n β,则//m n④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥.其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2960,4B b ac ︒==,则sin sin A C +=()A.32B. C.72D.3212.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为()A.1B.2C.4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比=V V 甲乙____________.15.已知1a >且8115log log 42a a -=-,则a =_______.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.(12分)如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====FB =,M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程.(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.(12分)已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若2a =-,求()f x 的极值.(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1.ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程.(2)设直线,:(x t l t y t a =⎧⎨=+⎩为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知实数,a b 满足 3.a b + (1)证明:2222a b a b+>+(2)证明:2222 6.a b b a -+-∣∣∣∣2024年全国甲卷理科数学参考答案一、选择题.l.A【解析】因为5z i =+,所以()(55)10i z z i i i i +=-++=,故选A.2.D【解析】因为1,2,3,4,9{}5,A =,{|}{1,4,9,16,25,81}B x A ==所以{}()2,3,5A C A B = ,故选D.3.D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图由5z x y =-可得1155y x z =-即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-则该直线截距取最大值时,z 有最小值此时直线1155y x z =-过点A 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭则min 375122z =-⨯=-.故选D.【解析】因为510S S =,所以788,0S S a ==,又因为51a =,所以公差1817,733d a a d =-=-=,故选B.5.C 【解析】1221||82||||106F F c e a PF PF ====--,故选C.6.A【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+即该切线方程为13y x -=,即31y x =+令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.7.B 【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可排除D.故选:B.【解析】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,3tan 13⇒α=-所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭故选:B.9.C【解析】对A,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±,即必要性不成立,故B 错误;对D,当1x =-+时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.10.A对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确故选:A.11.C 【解析】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin 2A C +=.故选:C.12.C因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()22:25C x y ++=设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB最小1,PC AC r ===,此时24AB AP ====.故选:C 二、填空题.13.【答案】5由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.14.【答案】64【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12 h r r ==-甲)12h r r==-乙所以((2121163143S S hV hV hS S h++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为:4.15.【答案】64【解析】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-,整理得()2225log60log aa--=2log1a⇒=-或2log6a=,又1a>所以622log6log2a==,故6264a==故答案为:64.16.【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A120=种设前两个球的号码为,a b,第三个球的号码为c,则1322a b c a b+++-≤故2()3c a b-+≤,故32()3c a b-≤-+≤故323a b c a b+-≤≤++若1c=,则5a b+≤,则(),a b为:()()2,3,3,2,故有2种若2c=,则17a b≤+≤,则(),a b为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4故有16种当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=故所求概率为56712015=.故答案为:715三、解答题.(一)必考题:共60分.17.【小问1详解】根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯因为3.841 4.6875 6.635<<所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=用频率估计概率可得0.64p =又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18.【小问1详解】当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =．当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-而140a =≠,故0n a ≠,故13nn a a -=-∴数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-(21)31n n T n ∴=-⋅+.(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.【答案】（1）证明见详解（2）13【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDECD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE 【小问2详解】如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =结合（1）BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF==所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3B M E,()(),BM BF ==()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =得113,1y z ==,即)m =则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即22222303230x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩,令23x =,得223,1y z ==-即()3,3,1n =- ,1111cos ,131313m n m n m n ⋅===⋅⋅,则43sin ,13m n =故二面角F BM E --的正弦值为4313.20.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故3b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=故()()422Δ102443464120k k k =-+->,故1122k -<<又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故22223325252Q y y y x x --==--所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.21.【答案】（1）极小值为0,无极大值.（2）12a ≤-【小问1详解】当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++设()()()1ln 1,01a xs x a x x x+=-+->+则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数故()()00s x s >=,即()0f x '>所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍综上,12a ≤-.(二)选考题.22.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【小问1详解】由cos 1ρρθ=+,将xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4故直线的参数方程可设为222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,则)()212121,21s s a s s a +=--=-且()()22Δ818116160a a a =---=->,故<1a12AB s s ∴=-=2==,解得34a =.法2:联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +-+-=()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-则AB ==2=解得34a =23.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b+≥+>+【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

史上最难的1984全国高考理科数学试卷

/ 10 编者说明 1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，这也是1984年数学得分很低的原因之一。答：.84或 2.函数)44(log25.0xx在什么区间上是增函数？答：x＜-2. 3．求方程21)cos(sin2xx的解集答：},12|{},127|{ZnnxxZnnxx 4．求3)2||1|(|xx的展开式中的常数项答：-20 5．求1321limnnn的值答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设,0,1,0,0)(xxxH当当画出函数y=H(x-1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(的曲线解（1）（2）
/ 10 编者说明 1984年的第六题，考查解析几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以 0,04)2(22pqqp 由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz，长轴长=2a=.2222qcb 2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx 设d为点M到y轴的距离，则d=1 根据21||dMF及两点间距离公式，可得 1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10， 34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值

84年数学高考试题

高考数学试卷一、单选题1.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A ．120B ．35C ．310D ．9102.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.2525 5 D.511.已知点()1,0A-,()4,0B-,()4,3C-，动点P,Q满足12PA QAPB QB==,则CP CQ+的取值范围是（）A.[]1,16B.[]6,14C.[]4,16D.3,35二、填空题12.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上的人数为（）．13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.足尖虽未遍及美景,浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中12AB AA==,114A B=，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．三、解答题15.已知椭圆() 2222:10y xa ba bΓ+=>>的离心率为22，其上焦点F与抛物线2:4x y K =的焦点重合．（1)求椭圆Γ的方程；（2)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A,B,同时交抛物线K 于点C,D （如图1所示,点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3)若过点F 的直线交椭圆Γ于点A ，B ,过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E ，G （如图2所示).试求四边形AEBG 面积的最小值．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cosC b cosA acosB ⋅=⋅+(1)求角C ；(2)若9a =，1cos 3A =-，求边c17.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y ）2的值.。

历年高考数学试题

历年高考数学试题向量一、选择题，在每小题给出的四个选择题只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a = （1,2）,b （一2,-4）,1 c 1= Y '5,若（a + b ）• c =则a 与c 的夹角为（） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知向量凡b ，且分=a + 2b,BC = -5^ + 6b , CD = 7a-2B,则一定共线的三点是（）4 .若l 〃l=l,lBl=2,c = + + b ，且。

la ，则向量a 与b 的夹角为（） (A )30°(B )60°(C )120°(D )150°5 .已知向量a W e ,|e |=1满足：对任意t £七恒有|@—土3|三|@—3|.则( ) A. a ±eB. a ±(a —e )C. e ±(a —e )D. (a +e )±(a —e )6 .已知向量a = (1,2),b (-2,-4),l c 1=、5若(a + b )• c =-,则a 与C 的夹角为( )2A.30°B.60°C.120°D.150°7 .设向量a 二( — 1, 2), b= (2,—1),则(a ・b) (a +b)等于( ) A. (1, 1)B. (—4, —4)C. -4D. (—2, —2)8 .若l 〃l=l,lBl=2,c = + + b ，且。

La ，则向量a 与b 的夹角为() (A )30°(B )60°(C )120°(D )150°9 .已知向量0= (—2, 2), b= (5, k).若|a +b|不超过5,则k 的取值范围是( )A.[—4,6]B.[—6,4]C.[—6,2]D.[—2,6]th1.L..10 .点。

史上最难的1984全国高考理科数学试卷

创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是（ C ）（A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ）（A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值（ B ）（A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）是整数但不一定是偶数（D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是（ A ）（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4编者说明1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。

题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，这也是1984年数学得分很低的原因之一。

答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1）（2）编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。

1983-1988年高考数学试题全国卷

1983年试题(理工农医类)一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)两条异面直线,指的是(A)在空间内不相交的两条直线.(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.(D)不在同一平面内的两条直线.【】(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.(C)两条重合直线. (D)一个点.【】(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.【】【】【】(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.四、计算行列式(要求结果最简):六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面MAB.八、已知数列{a n}的首项a1=b(b≠0),它的前n项的和S n=a1+a2+…+a n(n≥1),并且S1,S2,…,S n,…是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).(1)证明a2,a3,…,a n…,(即{a n}从第2项起)是一个等比数列.九、(1)已知a,b为实数,并且e<a<b,其中e是自然对数的底,证明ab>b a.(2)如果正实数a,b满足ab=b a,且a<1,证明a=b.1983年试题(理工农医类)答案一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.(1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.解:(1)图形如右所示.交点坐标是:O(0,0),P(1,-1).(2)曲线名称是:圆.图形如下所示.三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.所以3名代表中至少有1名女同学的选法有所以3名代表中至少有1名女同学的选法有四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.解法一:把第1列乘以sinϕ加到第2列上,再把第3列乘以(-cosϕ)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得解法三:把行列式按第2列展开,得解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.显然r=│z│≠0.因为这就是所求的实数t的取值范围.以下同解法一的后半部分.六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB ⊥SC(据三垂线定理).连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因DM在这平面内,所以AB⊥DM.∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图).因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面SDC.因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.以下同证法一,故SC⊥截面MAB.证法三:连结DM,DS.因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM⊥SC.从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC.从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及简单三角方程的解法.解法一:以椭圆焦点F1为极点,以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系.解法二:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组以下同解法一.解法三:以椭圆中心为原点,F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).解方程组解得以下同解法一.解法四:同理,设│F1N│=y,则│F2N│=6-y.以下同解法一.八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.(1)证明:由已知条件得S1=a1=b.S n=S1p n-1=bp n-1>(n≥1).因为当n≥2时,S n=a1+a2+…+a n-1+a n=S n-1+a n,所以a n=S n-S n-1 =bp n-1-bp n-2=bP n-2(p-1)(n≥2).因此a2,a3…,a n,…是一个公比为p的等比数列.(2)解法一:当n≥2时,且由已知条件可知P2<1,因此数列于是因此九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.同证法一,证得b<1.因此a=b.因此a=b.1984年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是(C)X=Y(D)X≠Y【】(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么(A)F=0,G≠0,E≠0(B)E=0,F=0,G≠0(C)G=0,F=0,E≠0(D)G=0,E=0,F≠0【】(A)一定是零(B)一定是偶数(C)是整数但不一定是偶数(D)不一定是整数【】(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是(A)x∈(0,1](B)x∈(-1,0)【】(A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角(D)是第二象限角【】二、只要求直接写出结果.(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).三、本题只要求画出图形.四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.九、附加题,不计入总分.如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线1984年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)x<-2;(4)-20;(5)0;三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c与b或交于一点或互相平行.(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.所以a,b,c交于一点(即P点).(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.所以a,b,c互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解法一:由原对数方程得cx2+d=1.这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.解法二:原对数方程有解的充要条件是:(1)x>0,cx2+d=1.因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:(5)x≠1,这个不等式仅在以下两种情形下成立:①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0.由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,解法二:同解法一,得q>p2>0.根据实系数一元二次方程的求根公式,得可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行即这就是所求的轨迹方程.七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.a=6,b=8.如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则如图建立坐标系,则内切圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72.解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.内切圆的参数方程为所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而因为0≤α≤2π,所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72.八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.(1)证明:先证明x n>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知再由归纳假设知不等式(x k-2)2>0成立,所以不等式x k+1>2也成立.从而不等式x n>2对于所有的正整数n成立.数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:所以不等式x n>2(n=1,2,…)成立.也可以这样证:对所有正整数n有还可以这样证:由于对所有正整数n有(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x k>2知证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知再由x k>2及归纳假设可得x1>x2>…>x n>x n+1≥3.因此,由上面证明的结论及x1=α可得若x n≤3,则由第(1)小题可知x n+1<x n,从而有x n+1<3.若x n>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>x n>3.由此式及上面证明的结论,可得九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解得1985年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体A′-ABD的体积是【】(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件【】(A)y=x2(x∈R)(B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x(x∈R)(D)y=e sin2x(x∈R)【】(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是【】(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个【】二、只要求直接写出结果.(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.(3)求曲线y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x2)的定义域.三、(1)解方程log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD 内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.五、设O为复平面的原点,Z1和Z2为复平面内的两个动点,并且满足:(2)△OZ1Z2的面积为定值S.求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值.(1)证明不等式对所有的正整数n都成立.八、设a,b是两个实数,A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)│x=,m,y=3m2+15,m是整数},C={(x,y)│x2+y2≤144}是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得(2)(a,b)∈C同时成立.九、(附加题,不计入总分)已知曲线y=x3-6x2+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.1985年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D;(2)A;(3)B;(4)C;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(2)π;(3)(0,0);(4)64(或26);(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得因为log0.25a=-log4a,上式变成由此得到解这个方程,得到x1=0,x2=7.检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0,x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2.但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.综合(i),(ii),得出原不等式的解集是四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想象能力和综合运用知识的能力.解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.又已知0°<θ<90°,所以解法二:同解法一,得∠PQR=β.设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,PR=asinα,在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα²sinθ.又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.于是asinα=acosα²sinθ,tgα=sinθ,在△PMQ中,应用正弦定理得五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵活运用知识的能力.解法一:设Z1、Z2和Z对应的复数分别为z1、z2和z,其中z1=r1(cosθ+isinθ),z2=r2(cosθ-isinθ).由于Z是△OZ1Z2的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z1+z2=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2cos2θ+4r1r2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ=(r1-r2)2+4r1r2cos2θ.解法二:同解法一,得3z=(r1+r2)cosθ+(r1-r2)isinθ.于是│3z│2=(r1+r2)2cos2θ+(r1-r2)2sin2θ.又已知△OZ1Z2的面积为S,且r1为三角形边长,r1>0,以及sin2>θ(因六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得将上述两式代入(1)式,得整理得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),直线QM的方程是x(Y-2)=(y-2)X.由方程组解得直线PM和直线l的交点A的坐标为由方程组解得直线QM和直线l的交点B的坐标为根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:从而得x2-y2+2x-2y+8=0,(*)即又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点M的轨迹方程.七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.(1)证法一:用数学归纳法.假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即当n=k+1时,可得即也成立.从而不等式对所有的正整数n都成立.证法二:直接证明.由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到又因以及因此不等式对所有的正整数n都成立.(2)由(1)及b n的定义知于是八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得(n,na+b)=(m,3m2+15),即由此得出,存在整数n使得na+b=3n2+15,或写成na+b-(3n2+15)=0.这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n2+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,于是当且仅当时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n2≠3,所以上式中等号不可能成立.即d>12.所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n 使得na+b=3n2+15,即b=3n2+15-an.(*)由(2)成立,得a2+b2≤144.把(*)式代入上式,得关于a的不等式(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0.(**)它的判别式Δ=4n2(3n2+15)2-4(1+n)2[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2.但n是整数,n2-3≠0,因而Δ<0.又因1+n2>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)同时成立.解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n 使得3n2-an-(b-15)=0.(*)于是,它的判别式非负,即Δ=a2+12b-180≥0,(**)由(**)得12b-180≥-a2.由(2)成立知a2+b2≤144,(***)即-a2≥b2-144.因此,12b-180≥b2-144,即(b-6)2≤0,由此得出b=6.把b=6代入判别式(**),得出a2≥108,但把b=6代入(***),得出a2≤108,因而必有a2=108.此时,从(*)式可解出所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大值、最小值问题的能力.解:已知曲线方程是y=x3-6x2+11x-6,因此y′=3x2-12x+11.在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是点P处切线方程是设这切线与y轴的截距为r,则根据题意,要求r(它是以x0为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为当0<x0<2时r′>0,因此r是增函数,故r在区间[0,2]的左端点x0=0处取到最小值.即在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.这个最小值是r最小值=-6.1986年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】【】(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S-EFG中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.1986年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(9)D;(10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此, A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2²k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)φ(D)S【】【】(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么(A)│a+b│>│a-b│(B)│a+b│<│a-b│(C)│a-b│<││a│-│b│ (D)│a-b│<│a│+│b│【】(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是【】【】(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(A)直线 (B)圆(C)双曲线(D)抛物线【】【】二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.四、如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.六、设复数z1和z2满足关系式其中A为不等于0的复数.证明:(1)│z1+A││z2+A│=│A│2;七、设数列a1,a2,…,a n,…的前n项的和S n与a n的关系是其中是b与n无关的常数,且b≠-1.(1)求a n和a n-1的关系式;(2)写出用n和b表示a n的表达式;八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.九、(附加题,不计入总分)(2)设y=xln(1+x2),求y′.1987年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D(2)C(3)B(4)A(5)B(6)D(7)B(8)A二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和PD.∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD,三棱锥B-PAD体积同理,三棱锥C-PAD的体积∴三棱锥P-ABC体积∵V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得化简为z(6-z)<0,解得z>6,或z<0. ④①式变形为log28-z>0,∴z<3, ⑤综合④,⑤得z<0,解①，⑥得a的取值范围：0<a<1.六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.解法一:(1)由已知的关系式得∵│z1+A││z2+A│由①证得│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2. ②(2)∵A≠0,由①得z1+A≠0,由此得由②得解法二:(1)由题设所以证得(2)以(1)中的结果代入得解法三:(1)由已知的关系式得令z1+A=r(cosα+isinα),z2+A=s(cosβ+isinβ), 由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.由①得rs[cos(α-β)+isin(α-β)]=│A│2,于是rscos(α-β)=│A│2,sin(α-β)=0,∴cos(α-β)=1,rs=│A│2,而│z1+A││z2+A│=rs,所以证得│z1+A││z2+A│=│A│2.。

1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析理工农医类试题（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y ⊂⊃2．如果圆x 2+y 2+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（）（A ）F=0，G≠0，E≠0. （B ）E=0，F=0，G≠0. （C ）G=0，F=0，E≠0. （D ）G=0，E=0，F≠0.3.如果n 是正整数，那么的值（）)1]()1(1[812---n n （A ）一定是零（B ）一定是偶数（C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数4.大于的充分条件是（）)arccos(x -x arccos （A ）（B ）（C ）（D ）]1,0(∈x )0,1(-∈x ]1,0[∈x ]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足那么（）,sin 12sin 2cosθ-=θ-θ2θ（A ）是第一象限角（B ）是第三象限角（C ）是第二象限角（D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数在什么区间上是增函数？ )44(log 25.0++x x 3．求方程的解集 21)cos (sin 2=+x x 4．求的展开式中的常数项3)2||1|(|-+x x 5．求的值1321lim +-∞→n nn 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设画出函数y=H(x-1)的图象⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当2．画出极坐标方程的曲线)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行五．（本题满分14分）设c,d,x 为实数，c≠0，x 为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时1log)(-=+x xd cx 求出它的解六．（本题满分16分）1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平0≠p 022=+-q pz z 面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）21七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为,b,c ，且c=10，a ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的34cos cos ==a b B A 最大值与最小值八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{x n },其中x 1=,求证：a a )2,1()1(221=-=+n x x x n nn 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x a n n 那么如果3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=时，点P 的速度为V 43π求这时点M 的速度文史类试题（本试卷共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k 1）π，k 是整数}之间的关系是（）±（A ）X Y （B ）X Y （C ）X=Y （D ）X≠Y⊂⊃2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象（）（A ）关于y 轴对称（B ）关于原点对称（C ）关于直线x+y=0对称（D ）关于直线x-y=0对称3复数的三角形式是（）i 2321-（A ）（B ）（C ）（D ）)3sin()3cos(π-+π-i 3sin 3cosπ+πi 3sin 3cos π-πi 65sin3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）（A ）一条直线不相交（B ）两条直线不相交（C ）任意一条直线都不相交（D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为（）（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数，求x 的取值范围0)32(log 5.0>-x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值4.求的值)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 5．求的展开式中x 的一次幂的系数6)12(xx -6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数的图象2)1(1+=x y四．（本题满分12分）已知等差数列,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的a 数列cb a 1,1,1五．（本题满分14分）把化成三角函数的积的形式(要求结果最简）α-β-α-422cos sin 2sin 411六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程理工农医类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）x ＜-2.（3）.84ππ或},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=（4）-20 （5）0 （6）!647⋅P 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.解:四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.∵α∩β=c,α∩γ=b,从而c 与b 或交于一点或互相平行.(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a.所以a,b,c 交于一点(即P 点).(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.所以a,b,c 互相平行.五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) )((3) ,0(2) ,0(1) ,01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知，所以c≠0，可得1)(=+x d cx x 2=+dcx .12cd x -=又由及x ＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中1)(=+x d cx x 0>+xdcx 再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：1(=+xdcx x .1≠x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5) 1,x (1) ,02c d x 由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：.01>-cd①c＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1;②c＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc -≠1从而，当c ＞0,d ＜1且时，或者当c ＜0,d ＞1且时，原方程有解，它的解d c -≠1d c -≠1是cd x -=1六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.解：1.因为p,q 为实数，，z 1,z 2为虚数，所以0≠p 0,04)2(22>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称，所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,焦距离=2c=|z 1-z 2|=,2212212|4)(|p q z z z z -=-+长轴长=2a=.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为，21所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的，21从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1根据及两点间距离公式，可得21||=d MF 22222312(1)(2)(,9()4(2)1223x y x y -+-=-+-=即这就是所求的轨迹方程七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.解：由，运用正弦定理，有a bB A =cos cos .2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A ABB A =∴=∴=因为A≠B，所以2A=π-2B，即由此可知△ABC 是直角三角形由c=10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，.12)6810(21=++所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P 的坐标为(x,y),则2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-因为P 点在内切圆上，所以，40≤≤x S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα=-+++++-++++=-因为，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72πα20<≤八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x 1=知不等式当n=1时成立a a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式x n ＞20)2(2>-k x 21>+k x 对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x 所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立再证明由条件及x n >2(n=1,2,…）知).2,1(11=<+n x x nn 因此不等式也成立,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x x nn （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有所以）,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x ).2,1(11 =<+n x xnn 2．证一：用数学归纳法x 1=≤3知不等式当n=1时成立a 假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知2>k x 22111111112(1)(22(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也2>k x k k x 2121+≤+成立，从而不等式对所有的正整数n 成立1212-+≤n n x 证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211-++=+k k k x x x 2>k x k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+3．证：先证明若这是因为.43,31<>+k k k x x x 则.431311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当时，有则由第1小题知34lg 3lgan >,31≥+k x .3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=可得a ,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立34lg 3lgan <九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.解：作CD⊥AM，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，AC 的长为，x AP 3232=半径OC=1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM∽△DCM，DCDMAP AM =∴而.)43()843(2,,43])32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(222v dt dy M v dtdx x dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y x x y xy x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=--=∴=--=点的速度代入上式得时当解得文史类参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)C;(2)D;(3)A;(4)C;(5)A.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.（1）（2）（3）m=0,x=-..223<<x ππ84或21（4）1 （5）240 （6）!647⋅P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形解：四．（本题满分12分）证：如果成等差数列，那么cb a 1,1,1,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即又因为,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以由以上两式，可知a .0≠-=-c b b a .11ca =两边都乘以c ，得=c.a a 但由数列,b,c 的公差不为零，知≠c，这就得出矛盾a a 从而cb a 1,1,1五．（本题满分14分）六．（本题满分14分）解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE⊥AB，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥七．（本题满分14分）解：设1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即1=2.a a 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为2,3, ….根据题意，a a 数列{n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为a 12.12-⨯=n n a 根据题意，设两边取常用对数，得122.121=⨯-n 84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品x y 2.12⨯=的产量超过12万台答：略八．（本题满分15分）1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0.解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以解得m=-1,或m=14.01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理当m=-1时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;52=r 当m=14时，圆的半径，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.55=r。

2024年高考数学(理)试卷(全国甲卷)(解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（）A. 10iB. 2iC. 10D. 2−【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=−+=，则()i 10i z z +=. 故选：A2. 集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9AB =，(){}2,3,5A A B =ð故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（）A. 5B.12C. 2−D. 72−【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ，联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（） A. 2− B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【详解】由105678910850S S a a a a a a −=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d −==−，故151741433a a d ⎛⎫=−=−⨯−= ⎪⎝⎭. 故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)−，点(6,4)−在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（） A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F −、()20,4F 、()6,4−P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积. 【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++−+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos010e 2sin 000310f ++−+⨯'==+，即该切线方程为13y x −=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯−=. 故选：A.7. 函数()()2e esin xxf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D. 故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. 1+B. 1C.2D. 1−【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=−所以11tan =−α，tan 13⇒α=−，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==−α+ ⎪−α⎝⎭，故选：B .9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（） A. “3x =−”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =−”是“//a b ”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥”的充分条件D. “1x =−”是“//a b ”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3−，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b 时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =−时，不满足22(1)x x +=，所以//a b 不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=. 故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++−=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =−，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++−=，即()()120a x b y −++=，令1020x y −=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=−⎩，故直线恒过()1,2−，设()1,2P −，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5 【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r −−+−−−⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x −+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r −−+−−−⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r −和()213r r −，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【答案】4【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台高分别为)12h r r ==−甲，)12h r r ==−乙，所以((212113143S S h r r V h V h S S h ++−====+甲甲甲乙乙乙. 故答案为：4. 15. 已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ______．【答案】64 【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a == 故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +−≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++−≤，故2()3c a b −+≤，故32()3c a b −≤−+≤，故323a b c a b +−≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=. 故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +. 【小问1详解】根据题意可得列联表：可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯−⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na −=−，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a −=⋅−（2）(21)31nn T n =−⋅+ 【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T 【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a −−=+，所以1144433n n n n n S S a a a −−−==−即13n n a a −=−，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a −=−， ∴数列{}n a 是以4为首项，3−为公比的等比数列，.所以()143n n a −=⋅−.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n −−−=−⋅⋅⋅−=⋅,所以123n n T b b b b =++++0211438312343n n −=⋅+⋅+⋅++⋅故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅所以1212443434343n n n T n −−=+⋅+⋅++⋅−⋅()1313444313n nn −−=+⋅−⋅−()14233143n n n −=+⋅⋅−−⋅(24)32n n =−⋅−，(21)31n n T n ∴=−⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E −−的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）13【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz −空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E ，()()3,1,0,3,0,3BM BF =−=−，()2,3BE =，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即()3,3,1m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==−，即()3,3,1n =−，1111cos ,1313m n m n m n ⋅===⋅⋅，则43sin ,13m n =，故二面角F BM E −−的正弦值为13.20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴. 【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=，故()()422Δ102443464120k kk =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k−+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =−+−．（1）当2a =−时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤− 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就12a ≤−、102a −<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】当2a =−时，()(12)ln(1)f x x x x =++−，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++−=+−+++，因为12ln(1),11y x y x=+=−++在()1,∞−+上为增函数，故()f x '在()1,∞−+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x −<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值. 【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+−=−+'+−=−+−>++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=−+−>+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++−++=−=−=−+++'+，当12a ≤−时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=. 当102a −<<时，当210a x a+<<−时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫− ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫− ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫−⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫−⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍. 当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤−. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】（1）221y x =+ （2）34a = 【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值. 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，在1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. 【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为22x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−=2==，解得34a =法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a −+−≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明..【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

高考数学应用题及答案

高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。

如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。

答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。

利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。

总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。

由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。

然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。

因此，我们需要考虑实际的生产限制。

由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。

但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。

假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。

因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。

但是，实际中需要考虑生产能力的限制。

2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。

如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。

答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。

历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（学生版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离．2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =．（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD中，ABC∆是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，2AB=，23AD=，90∠=︒．BAD（Ⅰ）求证：AD BC⊥；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．5．（2018•天津）如图，//=，//CD FGEG AD且EG ADAD BC⊥，//AD BC且2=，AD CD且2===．DA DC DG=，DG⊥平面ABCD，2CD FG（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：//MN平面CDE；（Ⅱ）求二面角E BC F--的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60︒，求线段DP的长．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，17BB =E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（教师版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，3CD =，4AD =，15AA =．（1）求直线1A C 和平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面1A MC 的距离．解：（1）依题意：1AA ⊥平面ABCD ，连接AC ，则1A C 与平面ABCD 所成夹角为1ACA ∠，15AA =Q ，22345AC =+=，∴△1ACA 为等腰三角形， 14ACA π∴∠=，∴直线1A C 和平面ABCD 的夹角为4π，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则(0A ，0，0)，(3C ，4，0)，1(0A ，0，5)，(3M ，0，2)， ∴(3AC =u u u r ，4，0)，1(3A C =u u u u r ，4，5)-，(0MC =u u u u r，4．2)-，设平面1A MC 的法向量(n x =r，y ，)z ，由3450420n AC x y z n MC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，可得(2n =r ，1，2)， ∴点A 到平面1A MC 的距离222||10||3212AC n d n ===++u u u r rg r ． 2．（2019•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ∆为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =．（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =，又由BG PG =，得//GH PD ，GH ⊂/Q 平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，//GH ∴平面PAD ．（Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，依题意得DN PC ⊥，又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ⋂平面PCD PC =， DN ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，DN PA ∴⊥，又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ．解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，PCD ∆Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=，又DN AN ⊥，在Rt AND ∆中，3sin DN DAN DA ∠==． ∴直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为3．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．（Ⅰ）证明：EF BC ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．方法一：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥， 1//A F AB Q ，90ABC ∠=︒，1BC A F ∴⊥，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形，由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =，3EG =， O Q 是1A G 的中点，故1152AG EO OG ===2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，在平面ABC 中，过E 作AC 的垂线为x 轴， EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设4AC =，则1(0A ，0，，B，1B，32F ，(0C ，2，0)，32EF =u u u r，(BC =u u u r ，由0EF BC =u u u r u u u rg ，得EF BC ⊥．解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，由（Ⅰ）得(BC =u u u r ，1(0A C =u u u u r，2，-，设平面1A BC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则100BC n y AC n y ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u r r g u u u u r rg ，取1x =，得n =r ， ||4sin 5||||EF n EF n θ∴==u u u r rg u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC35=．4．（2018•天津）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，23AD =，90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥，得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M Q 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故2213DM AD AM =+，AD ⊥Q 平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故2213DN AD AN =+在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得1132cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD 13（Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆Q 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，3CM =，又Q 平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，224CD AC AD =+=，在Rt CMD ∆中，3sin CM CDM CD ∠==． ∴直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为3．5．（2018•天津）如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．（Ⅰ）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA u u u r 、DC u u u r 、DG u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0C ，2，0)， (2E ，0，2)，(0F ，1，2)，(0G ，0，2)，(0M ，32，1)，(1N ，0，2)．设0(,,)n x y z =u u r为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u r u u u rg u u r u u u r g ，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)n =-u u r ；又3(1,,1)2MN =-u u u u r ，可得00MN n =u u u u r u u r g ．又Q 直线MN ⊂/平面CDE ， //MN ∴平面CDE ；（Ⅱ）解：依题意，可得(1,0,0)BC =-u u u r ，(1,2,2)BE =-u u u r ，(0,1,2)CF =-u u u r．设(,,)n x y z =r为平面BCE 的法向量，则0220n BC x n BE x y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，不妨令1z =，可得(0,1,1)n =r ．设(,,)m x y z =r为平面BCF 的法向量，则020m BC x m CF y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g，不妨令1z =，可得(0,2,1)m =r ．因此有cos ,||||m n m n m n <>==r rg r r r r gsin ,m n <>=r r．∴二面角E BC F --；（Ⅲ）解：设线段DP 的长为h ，([0,2])h ∈，则点P 的坐标为(0，0，)h ，可得(1,2,)BP h =--u u u r ，而(0,2,0)DC =u u u r为平面ADGE 的一个法向量，故|||cos ,|||||BP CD BP DC BP DC <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r gsin 60=︒=，解得[0h ，2]． ∴线段DP．6．（2018•浙江）如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．()I 证明：1A A ⊥Q 平面ABC ，1B B ⊥平面ABC ， 11//AA BB ∴，14AA =Q ，12BB =，2AB =，221111()()22A B AB AA BB ∴+-，又221122AB AB BB +2221111AA AB A B ∴=+， 111AB A B ∴⊥，同理可得：111AB B C ⊥，又11111A B B C B =I ， 1AB ∴⊥平面111A B C ．()II 解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交11A C 于D ， AB BC =Q ，OB OC ∴⊥，2AB BC ==Q ，120BAC ∠=︒，1OB ∴=，3OA OC ==，以O 为原点，以OB，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则(0A ，3-，0)，(1B ，0，0)，1(1B ，0，2)，1(0C ，3，1)， ∴(1AB =u u u r ，3，0)，1(0BB =u u u r ，0，2)，1(0AC =u u u u r，23，1)，设平面1ABB 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则100n AB n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，∴3020x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =可得(3n =-r ，1，0)， 1112339cos ,||||213n AC n AC n AC ∴<>===⨯u u u u r r u u u ur g r u u u u r r ．设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，则139sin |cos ,|n AC θ=<>=u u u ur r ．∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值为39．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把DFC ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．（1）证明：由题意，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则12AE AD =，12BF BC =，由于四边形ABCD 为正方形，所以EF BC ⊥．由于PF BF ⊥，EF PF F =I ，则BF ⊥平面PEF ．又因为BF ⊂平面ABFD ，所以：平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）在平面PEF 中，过P 作PH EF ⊥于点H ，连接DH ，由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH EF ⊥，则PH ⊥面ABFD ，故PH DH ⊥．在三棱锥P DEF -中，可以利用等体积法求PH ，因为//DE BF 且PF BF ⊥，所以PF DE ⊥，又因为PDF CDF ∆≅∆，所以90FPD FCD ∠=∠=︒，所以PF PD ⊥，由于DE PD D =I ，则PF ⊥平面PDE ，故13F PDE PDE V PF S -∆=g ，因为//BF DA 且BF ⊥面PEF ，所以DA ⊥面PEF ，所以DE EP ⊥．设正方形边长为2a ，则2PD a =，DE a = 在PDE ∆中，3PE a ，所以23PDE S ∆，故33F PDE V a -=，又因为2122DEF S a a a ∆==g ，所以233F PDE V PH a a -==，所以在PHD ∆中，3sin PH PDH PD ∠==，即PDH ∠为DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：3．8．（2017•上海）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．∴三棱柱111ABC A B C -的体积：1ABC V S AA ∆=⨯112AB AC AA =⨯⨯⨯ 1425202=⨯⨯⨯=．（2）连结AM ，Q 直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5，M 是BC 中点， 1AA ∴⊥底面ABC ，11164522AM BC ==+=， 1A MA ∴∠是直线1A M 与平面ABC 所成角，11tan 55AA A MA AM ∠===， ∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）取AD 的中点F ，连结EF ，CF ，E Q 为PD 的中点，//EF PA ∴，在四边形ABCD 中，//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点， //CF AB ∴，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂Q 平面EFC ， //EC ∴平面PAB ．解：（Ⅱ）连结BF ，过F 作FM PB ⊥于M ，连结PF ，PA PD =Q ，PF AD ∴⊥，推导出四边形BCDF 为矩形，BF AD ∴⊥，AD ∴⊥平面PBF ，又//AD BC ，BC ∴⊥平面PBF ，BC PB ∴⊥，设1DC CB ==，由22PC AD DC CB ===，得2AD PC ==，22413PB PC BC ∴=-=-=，1BF PF ==，12MF ∴=，又BC ⊥平面PBF ，BC MF ∴⊥，MF ∴⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12， 12MF =Q ，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，为12， E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， E ∴到平面PBC 的距离为14，在,2,1,2PCD PC CD PD ∆===中，由余弦定理得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则124sin CE θ==．10．（2017•天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，//AD BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知//AD BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥．在Rt PDA ∆中，由已知，得225AP AD PD += 故5cos AD DAP AP ∠==．所以，异面直线AP 与BC 5．证明：（Ⅱ）因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥．又因为//BC AD ，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD ⊥平面PBC ．解：（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于//AD BC ，//DF AB ，故1BF AD ==，由已知，得2CF BC BF =-=．又AD DC ⊥，故BC DC ⊥，在Rt DPF ∆中，可得5sin PD DFP DF ∠==．所以，直线AB 与平面PBC 5．11．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =．（Ⅰ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示：Q 平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥；AC ∴⊥平面BCK ，BF ⊂平面BCK ； BF AC ∴⊥；又//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =； BCK ∴∆为等边三角形，且F 为CK 的中点； BF CK ∴⊥，且AC CK C =I ；BF ∴⊥平面ACFD ；（Ⅱ）BF ⊥Q 平面ACFD ；BDF ∴∠是直线BD 和平面ACFD 所成的角； F Q 为CK 中点，且//DF AC ； DF ∴为ACK ∆的中位线，且3AC =；∴32DF =；又3BF =∴在Rt BFD ∆中，92134BD =+=，3212cos 21DF BDF BD ∠===；即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为2112．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， N Q 为PC 的中点， //NG BC ∴，且12NG BC =，又223AM AD ==，4BC =，且//AD BC ， //AM BC ∴，且12AM BC =，则//NG AM ，且NG AM =，∴四边形AMNG 为平行四边形，则//NM AG ，AG ⊂Q 平面PAB ，NM ⊂/平面PAB ，//MN ∴平面PAB ；法二、在PAC ∆中，过N 作NE AC ⊥，垂足为E ，连接ME ，在ABC ∆中，由已知3AB AC ==，4BC =，得2224332cos 2433ACB +-∠==⨯⨯，//AD BC Q ， 2cos 3EAM ∴∠=，则sin EAM ∠=，在EAM ∆中， 223AM AD ==Q ，1322AE AC ==，由余弦定理得：32EM ==， 2233()()4122cos 339222AEM +-∴∠==⨯⨯，而在ABC ∆中，2223341cos 2339BAC +-∠==⨯⨯，cos cos AEM BAC ∴∠=∠，即AEM BAC ∠=∠， //AB EM ∴，则//EM 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA AC ⊥，又NE AC ⊥， //NE PA ∴，则//NE 平面PAB ． NE EM E =Q I ，∴平面//NEM 平面PAB ，则//MN 平面PAB ；（2）解：在AMC ∆中，由2AM =，3AC =，2cos 3MAC ∠=，得22222cos 9423253CM AC AM AC AM MAC =+-∠=+-⨯⨯⨯=g g ． 222AM MC AC ∴+=，则AM MC ⊥，PA ⊥Q 底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ⋂平面PAD AD =，CM ∴⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连接NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt PAC ∆中，由N 是PC的中点，得1522AN PC ==，在Rt PAM ∆中，由PA AM PM AF =g g ，得224245542PA AM AF PM ⨯===+g ，45855sin 5252AF ANF AN ∴∠===．∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525．13．（2016•天津）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，6AE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．（1）求证：//FG 平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD 的中点为O ，连接OE ，OG ，在BCD ∆中， G Q 是BC 的中点，//OG DC ∴，且112OG DC ==，又//EF AB Q ，//AB DC ， //EF OG ∴，且EF OG =，即四边形OGEF 是平行四边形，//FG OE ∴，FG ⊂/Q 平面BED ，OE ⊂平面BED ，//FG ∴平面BED ；（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=︒，由余弦定理可得BD =90ADB ∠=︒，即BD AD ⊥，又Q 平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED ⋂平面ABCD AD =， BD ∴⊥平面AED ， BD ⊂Q 平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED ．（Ⅲ）//EF AB Q ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED ⋂平面AED ED =，由（2）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，sin ADE ∴∠=，AH AD ∴=，在Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==，∴直线EF 与平面BED14．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面11A B BA ；（Ⅱ）求证：平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接1A B ，在△1A BC 中，E Q 和F 分别是BC 和1A C 的中点，1//EF A B ∴，又1A B ⊂Q 平面11A B BA ，EF ⊂/平面11A B BA ， //EF ∴平面11A B BA ；（Ⅱ）证明：AB AC =Q ，E 为BC 中点，AE BC ∴⊥， 1AA ⊥Q 平面ABC ，11//BB AA ，1BB ∴⊥平面ABC ，1BB AE ∴⊥，又1BC BB B =Q I ，AE ∴⊥平面1BCB ，又AE ⊂Q 平面1AEA ，∴平面1AEA ⊥平面1BCB ；（Ⅲ）取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ， N Q 和E 分别为1B C 和BC 的中点，NE ∴平行且等于112B B ，NE ∴平行且等于1A A ，∴四边形1A AEN 是平行四边形， 1A N ∴平行且等于AE ，又AE ⊥Q 平面1BCB ，1A N ∴⊥平面1BCB ， 11A B N ∴∠即为直线11A B 与平面1BCB 所成角，在ABC ∆中，可得2AE =，12A N AE ∴==， 1//BM AA Q ，1BM AA =，1//A M AB ∴且1A M AB =，又由1AB BB ⊥，11A M BB ∴⊥，在RT △11A MB 中，2211114A B B M A M =+=，在RT △11A NB 中，111111sin 2A N AB N A B ∠==， 1130A B N ∴∠=︒，即直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小为30︒15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图：（2）作EM AB ⊥，垂足为M ，则： 10EH EF BC ===，18EM AA ==；∴226MHEH EM =-=，10AH ∴=；以边DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： (10A ，0，0)，(10H ，10，0)，(10E ，4，8)，(0F ，4，8)； ∴(10,0,0),(0,6,8)EF EH =-=-u u u r u u u r；设(,,)n x y z =r为平面EFGH 的法向量，则： 100680n EF x n EH y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取3z =，则(0,4,3)n =r ；若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：45sin |cos ,|1805AF n θ=<>==u u u r r g ； ∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为45．。

2024年天津高考数学真题(含解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试·数学试卷（天津卷）第Ⅰ卷（选择题）参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，线性相关性系数最大的是（）A. B.C.D.4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c>> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，//n α，则m n ⊥B.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A. B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.6B.142+ C.2D.142-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅-=______．11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ，则λμ+=______；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -的值．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB的中点，其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*,2k k ∈≥N ．。

高考数学试题参考(附答案)

高考数学试题参考（附答案）(时间：100分钟总分值：120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的) 1.命题p：假定x2+y2=0(x，yR)，那么x，y全为0;命题q：假定ab，那么1a1b.给出以下四个复合命题：①p且q;②p 或q;③綈p;④綈q.其中真命题的个数是().高考数学试题由查字典数学网搜集整理!!!A.1B.2C.3D.4解析命题p为真，命题q为假，故pq真，綈q真.答案 B2.6+2kZ)是cos 2=12的().A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件解析当6+2kZ)时，cos 2=cos(4k3)=cos 3=12.反之当cos 2=12时，有2=2k3(kZ)=k6(kZ)，或2=2k3(kZ)=k6(kZ)，故应选A.答案 A3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假设x1+x2=6，那么|AB|等于().A.10B.8C.6D.4解析由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9，f(x)在x=-3处取得极值，那么a等于().A.2B.3C.4D.5解析 f(x)=3x2+2ax+3，∵f(-3)=0.3(-3)2+2a(-3)+3=0，a=5.答案 D5.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y 轴交于点A，假定△OAF(O为坐标原点)的面积为4，那么抛物线方程为().A.y2=4xB.y2=8xC.y2=4xD.y2=8x解析 y2=ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-a4)，令x=0得y=-a2.12|a|4|a|2=4，a2=64，a=8.答案 B6.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如下图，那么函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有().A.1个B.2个C.3个D.4个解析在极小值点左近左负右正，有一个极小值点.7.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0，b0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，那么该双曲线的离心率等于().A.3B.2C.5D.6解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax，由于y=x2+1与渐近线相切，故x2+1bax=0只要一个实根，b2a2-4=0，c2-a2a2=4，c2a2=5，e=5.答案 C8.双曲线x2a2-y2b2=1与椭圆x2m2+y2b2=1(a0，m0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是(). A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析双曲线的离心率e21=a2+b2a2，椭圆的离心率e22=m2-b2m2，由e21e22=1，即a2+b2a2m2-b2m2=1，化简，得a2+b2=m2.答案 C9.函数y=xln x在(0，5)上是().A.单调增函数B.单调减函数C.在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减D.在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增解析 f(x)=ln x+x1x=ln x+1(x0).令f(x)=0，得x=1e，在x0，1e上，f(x)0，在x1e，5，f(x)0，应选D.答案 D10.假定0A.2x3sin xB.2x3sin xC.2x=3sin xD.与x的取值有关解析令f(x)=2x-3sin x，那么f(x)=2-3cos x.当cosx23时，f(x)0，当cos x=23时，f(x)=0，当cos x23时，f(x)0.即当0而f(0)=0，f-30.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x 的大小关系与x取值有关.应选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.给出以下结论：①假定命题p：xR，tan x=1;命题q：xR，x2-x+10，那么命题p綈q是假命题;②直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，那么l1l2的充要条件是ab=-3;③命题假定x2-3x+2=0，那么x=1的逆否命题为：假定x1，那么x2-3x+2.其中正确结论的序号为________(把你以为正确的结论的序号都填上).解析关于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p 綈q为假命题，故①正确;关于②，当b=a=0时，有l1l2，故②不正确;易知③正确.所以正确结论的序号为①③.答案①③12.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的规范方程是______________.解析依题意设双曲线的方程x2-y24=(0)，将点(2，2)代入求得=3，所以所求双曲线的规范方程为x23-y212=1.答案 x23-y212=113.曲线y=xx-2在点(1，-1)处的切线方程为________.解析 y=x-2-x(x-2)2=-2(x-2)2，y|x=1=-2，故所求切线方程为y+1=-2(x-1)，即2x+y-1=0.答案 2x+y-1=014.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点区分是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，那么△PF1F2的面积为______.解析∵PF1PF2，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由椭圆方程知a=5，b=3，c=4，|PF1|2+|PF2|2=4c2=64，|PF1|+|PF2|=2a=10，解得|PF1||PF2|=18.△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=1218=9. 答案 9三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)15.(10分)命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e(62，2)，假定命题p、q中有且只要一个为真命题，务实数m的取值范围. 解假定p真，那么有9-m0，即00，且e2=1+b2a2=1+m5(32，2)，即52假定p、q中有且只要一个为真命题，那么p、q一真一假.①假定p真、q假，那么0②假定p假、q真，那么m3或m0，且52故所求范围为：016.(10分)函数f(x)=ax-ln x，假定f(x)1在区间(1，+)内恒成立，务实数a的取值范围.解由f(x)1，得ax-ln x-10.即a1+ln xx在区间(1，+)内恒成立.设g(x)=1+ln xx，那么g(x)=-ln xx2，∵x1，g(x)0.g(x)=1+ln xx在区间(1，+)内单调递减.g(x)即1+ln xx1在区间(1，+)内恒成立，a1.17.(10分)直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.(1)求a的取值范围;(2)假定以AB为直径的圆过坐标原点，务实数a的值.解 (1)由y=ax+1，3x2-y2=1消去y，得(3-a2)x2-2ax-2=0.依题意得3-a20，0，即-6(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1+x2=2a3-a2，x1x2=-23-a2.∵以AB为直径的圆过原点，OAOB，x1x2+y1y2=0，即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0，即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.(a2+1)-23-a2+a2a3-a2+1=0，a=1，满足(1)所求的取值范围.故a=1.18.(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)区分为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x 为销售量(单位：辆).假定该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能取得的最大利润为多少万元?解设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15-m)辆车，那么总利润y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30，所以y=-0.3m+3.06.令y=0，得m=10.2.当010.2时，y0;当10.2故当m=10.2时，y取得极大值，也就是最大值.又由于m为正整数，且当m=10时，y=45.6;当m=11时，y=45.51.故该公司取得的最大利润为45.6万元.19.(12分)设圆C与两圆(x+5)2+y2=4，(x-5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x+5)2+y2=4的圆心为F1(-5，0)，半径为2，圆(x-5)2+y2=4的圆心为F(5，0)，半径为2.由题意得|CF1|=r+2，|CF|=r-2或|CF1|=r-2，|CF|=r+2，||CF1|-|CF||=4.∵|F1F|=254，圆C的圆心轨迹是以F1(-5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24-y2=1.(2)由图知，||MP|-|FP|||MF|，当M，P，F三点共线，且点P在MF延伸线上时，|MP|-|FP|取得最大值|MF|，且|MF|=(355-5)2+(455-0)2=2.直线MF的方程为y=-2x+25，与双曲线方程联立得y=-2x+25，x24-y2=1，整理得15x2-325x+84=0.解得x1=14515(舍去)，x2=655.此时y=-255.当||MP|-|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，- ).高考数学试题由查字典数学网搜集整理!!!。

历年高考数学真题电子版

历年高考数学真题电子版本文介绍了历年高考数学真题电子版：一、2019年湖北高考数学真题电子版1. 已知函数y=log2(x+3)+1，则y=2时x=________。

2. 在△ABC中，若∠A=90°，a=2，b=7，c=5，则△ABC的面积为________。

3. 设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4}，则A∪B=________、A∩B=________。

二、2018年北京高考数学真题电子版1. 已知函数y=|2x+1|，x=-3时，y=________。

2. 已知△ABC中，∠=30°，a=3，b=4，D是BC的中点，AD的长等于b的长，△ABC的面积为S，则S=________。

3. 设全集U={1,2,3,4,5,6}, 集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}，则A∪B=________、A∩B=________。

三、2017年江苏高考数学真题电子版1. 已知函数y=(x+1)(x-1)，则y=2时x=________。

2. 已知△ABC中，∠A=45°，a = 1，b = 3，c = 5，△ABC的面积为S，则S=________。

3. 设全集U={1,2,4,5}, 集合A={1,2},B={2,4,5}，则A∪B= ________,A∩B=________。

四、2016年山东高考数学真题电子版1. 已知函数y=lg(x+3)，则y=2时x=________。

2. 已知△ABC中，∠A=60°，a = 3，b = 5，c = 6，△ABC的面积为S，则S=________。

3. 设全集U={1,2,3,4,5,6}, 集合A={1,2},B={3,4,5,6}，则A∪B=________、A∩B=________。

以上就是历年高考数学真题电子版的有关介绍，从这里可以看出，历年高考数学真题电子版涵盖了所有的高考数学考题，全面检验学生们的数学水平。

老高考高考数学试卷

考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则下列说法正确的是（）A. a > 0, b = 0, c < 0B. a > 0, b ≠ 0, c > 0C. a < 0, b = 0, c > 0D. a < 0, b ≠ 0, c < 02. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S5 = 50，则第10项a10的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 253. 函数y = (x - 1)^2 - 4的图像的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = -1C. y = -4D. y = 14. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角C的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/35. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 86. 函数y = log2(x + 1)的图像在直线y = x的上方，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x ≥ 0C. x < 0D. x ≤ 07. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于直线y = x的对称点坐标为（）A. (2, -3)B. (-3, 2)C. (-2, 3)D. (3, -2)8. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 30，则数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 函数y = |x - 1| + |x + 1|的最小值为（）A. 0C. 2D. 310. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 8，则角B的正弦值为（）A. 5/8B. 7/8C. 8/5D. 8/711. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 1时的导数值为（）A. -1B. 0C. 1D. 212. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 3，a3 = 27，则数列的第6项a6的值为（）A. 3B. 9C. 27D. 81二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

1984年高考数学最高分

1984年高考数学最高分1984年高考数学最高分考生取得了650分的优异成绩。

这是一个令人瞩目的成绩，显示了考生在数学学科上的卓越才能和努力。

他通过对基本概念的深刻理解和掌握，善于运用不同的解题方法，解决了各类复杂问题。

这些都是他能够在考试中取得如此高分的原因。

考生在准备高考期间，付出了大量的时间和精力。

他遵循了科学的复习方法，全面复习了数学各个章节的知识点。

同时，他经常做大量的习题，巩固了自己的基础，提高了解题能力。

他还积极参加各类模拟考试和竞赛，增加了对考试形式和题型的了解，锻炼了应试能力。

在考试中，考生展现出了出色的应对能力。

他迅速准确地分析题目，理清思路，选择合适的解题方法。

他有耐心地将复杂题目分解成易解的小问题，并逐步解决。

他注重细节，不放过任何一个关键步骤。

通过他的努力和智慧，他顺利地完成了每一道题目。

这位考生在数学学科上的杰出表现，不仅仅是他个人的成就，也是教育培养的结果。

他受益于学校教育的全面指导和老师们的悉心辅导。

学校为他提供了良好的学习环境和资源，老师们亦时刻鼓励和引领他。

他的成功是他和教育工作者共同努力的结晶。

这位考生的出色表现鼓舞了无数学生和教育工作者。

他的故事告诉我们，只有通过不懈的努力和付出，才能取得优异的成绩。

他证明了数学学科是可以通过适当的学习和方法掌握的。

他的成功鼓励了其他学生和教育者，让他们对自己的能力和教育事业充满信心。

总而言之，1984年高考数学最高分的取得者通过持续的努力和不断的学习提高，展现了在数学学科上的出色才能。

他的故事激励和启发着整个教育界，并代表着多年来数学学生的努力和付出。

2024年高考数学真题试卷(北京卷)

2024年高考数学真题试卷（北京卷）1.第一部分（选择题，共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）．A. B. C. D.3.圆的圆心到直线的距离为（）A. B. C. D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.5.设，是向量，则“”是“或6. B.必要不充分条件D.A.充分不必要条件C.”的（）．充要条件既不充分也不必要条件设函数.已知，，且的最小值为，则7. B.2D.A.1C.（）34生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中生物个体总数.生物丰富度指数d 分别表示河流中的生物种类数与越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A. B. C.D.8.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（）.B.2A.1C.D.9.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B. C. D.10.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）A.， B.， C.， D.，11.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

抛物线 12.的焦点坐标为_______________．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则13.的最大值为_______________．若直线与双曲线只有一个公共点，则．14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的一个取值为_______________的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为_______________量器的高为，升_______________15.．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，16.其中正确结论的序号是_______________为递减数列，则M中最多有1个元素..三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。