2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单性质(二)作业北师大版选修1_1

2.3.2 双曲线的简单性质（二）[A.基础达标]1．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝2有且只有一个交点，那么k 的值是( ) A ．±1 B ．± 3 C ．±1，± 3 D ．± 2解析：选C.把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝2，整理得，(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.当1－k 2＝0，即k ＝±1时，y ＝kx ＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k 2≠0时，当y ＝kx ＋2与x 2－y 2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k ＝± 3. 综上可知，满足条件的k 的值为±1，± 3.2．已知双曲线E 的中心在原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b 2＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，因为x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以4b 2＝5a 2，又因为c ＝3，所以a ＝2，b ＝5，故E 的方程为x 24－y 25＝1.3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过左焦点F 1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率为( )A. 3B.5＋1C. 2D ．2＋ 3解析：选A.由题意得P 的横坐标为c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝b 2a ，即P (c ，b 2a )，kF 1P ＝b 2ac －（－c ）＝c 2－a 22ac ＝e 2－12e ＝33得e ＝ 3.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，233)C ．[2，＋∞)D ．[233，＋∞)解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，由题意得，0＜b a ＜tan 30°＝33，即c 2－a 2a ＜33.又因为e ＞1，所以e ∈(1，233)． 5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关 解析：选A.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 29－y24＝1得y 2＝367，则y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4×367.由于k PA ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝y 20＋y 1y 2x 20＋x 1x 2＝y 20－3679（y 204＋1）－4×367＝y 20－36794（y 20－367）＝49，即k PA ·k PB 为定值49，故选A. 6．双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.给定四条直线：①5x －3y ＝0；②x －y－4＝0；③5x －3y －52＝0；④4x －3y ＋15＝0.如果上述直线上存在点P ，使|PF 2|＝|PF 1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．解析：由x 29－y 216＝1，所以a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，c ＝5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点P 满足|||PF 2|－|PF 1|＝6＜10.当直线上存在点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，对于①③两直线的斜率均为53＞43，故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点． 答案：②④ 7．直线l 与双曲线x 22－y 2＝1相交同一支于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，则直线AB 的斜率为________．解析：设l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝kx ＋b消去y 得：(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为l 与双曲线交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故Δ＝8b 2＋8－16k 2＞0，①1－2k 2≠0，由根与系数的关系知：x 1＋x 2＝4kb 1－2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b1－2k2.因为线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，所以有b 1－2k 2＝4kb1－2k 2，得k ＝14，满足①式．当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．答案：148．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为________．解析：因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A 点在双曲线的左支，B 点在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，ca≥2，即e ≥2，所以离心率的最小值为2.答案：29．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为4，且经过点()－3，26.(1)求双曲线C 的方程和其渐近线方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求所有满足条件的k 的取值．解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有2a ＝|（－3＋2）2＋（26－0）2－（－3－2）2＋（26－0）2|＝2，所以a ＝1，由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3. 所以所求双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0.①当3－k 2＝0即k ＝±3时，此时直线l 与双曲线相交于一个公共点，符合题意； ②当3－k 2≠0即k ≠±3时，由Δ＝0得k ＝±7， 此时直线l 与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k 的所有取值为3，－3，7，－7.10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [B.能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：选A.由题意得：b a＝2，左焦点为(－c ，0)在y ＝2x ＋10上，得c ＝5，a ＝5，b ＝2 5.故双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.2．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，所以13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，所以43<e 2≤4，所以233<e ≤2，故选A.3．已知双曲线x 216－y 29＝1，左焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线的右支上，则直线PF 1的斜率的取值范围是________．解析：设直线方程为y ＝k (x ＋5)，和双曲线x216－y29＝1联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋5），①x 216－y29＝1，②将①代入②得(9－16k 2)x 2－160k 2x －400k 2－144＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1602k 4＋4（9－16k 2）（400k 2＋144）＞0，x 1·x 2＝400k 2＋14416k 2－9＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋k 2＞0，k 2＜916， 解得－34＜k ＜34.答案：(－34，34)4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线的准线为y ＝－p2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝c 2.①设抛物线的准线y ＝－p2交双曲线于M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－p 2两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，即x 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 22b 2＝1，解得x ＝±a p 24b2＋1， 所以2a p 24b 2＋1＝2c .②又因为b 2＝c 2－a 2，③所以由①②③，得c 2a 2＝2，所以b 2a 2＝c 2a2－1＝1，解得ba＝1.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，所以b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2.因为点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k 2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直于x 轴时，|PQ |2>24，所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.6．(选做题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足：|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P .(1)求证：PA →·OP →＝PA →·FP →；(2)若l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点E ，D ，求双曲线离心率e 的取值范围． 解：(1)证明：双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，F (c ，0)，所以直线l 的斜率为－ab，所以直线l ：y ＝－ab(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab （x －c ），y ＝bax ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .因为|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，所以x A ·c ＝a 2，所以x A ＝a 2c，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－ab c ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2c ，ab c ，所以PA →·OP →＝－a 2b 2c 2，PA →·FP →＝－a 2b 2c2，则PA →·OP →＝PA →·FP →.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a b （x －c ），b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4b 2cx －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2＝0， 因为点E ，D 分别在双曲线的左右两支上，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＜0，所以b 2＞a 2.所以e 2＞2，所以e ＞ 2.。