概率题目及答案
概率试题及答案初三
概率试题及答案初三【试题一】题目：在一个口袋中，有3个红球和2个蓝球。
如果随机抽取2个球，求抽到至少1个红球的概率。
【答案】解：设抽到至少1个红球为事件A。
首先计算抽到2个蓝球的概率，即事件A的对立事件（没有抽到红球）的概率。
抽到第一个蓝球的概率为2/5，抽到第二个蓝球的概率为1/4（因为已经抽走一个球，剩下4个球）。
所以，抽到2个蓝球的概率为：(2/5) * (1/4) = 1/10。
由于事件A和其对立事件是互斥的，所以抽到至少1个红球的概率为：P(A) = 1 - P(A的对立事件) = 1 - 1/10 = 9/10。
【试题二】题目：掷一枚均匀的硬币两次，求出现至少一次正面的概率。
【答案】解：设掷出正面为事件B。
掷硬币两次，可能出现的结果是：正正、正反、反正、反反。
事件B的对立事件是两次都掷出反面。
掷出两次反面的概率为：(1/2) * (1/2) = 1/4。
由于事件B和其对立事件是互斥的，所以至少出现一次正面的概率为：P(B) = 1 - P(B的对立事件) = 1 - 1/4 = 3/4。
【试题三】题目：在一个班级中有30名学生，其中10名男生和20名女生。
随机选取3名学生，求至少有1名男生的概率。
【答案】解：设至少有1名男生为事件C。
首先计算没有男生，即3名学生都是女生的概率。
选取3名女生的概率为：(20/30) * (19/29) * (18/28)。
所以，没有男生的概率为：(20/30) * (19/29) * (18/28) = 36/145。
由于事件C和其对立事件是互斥的，所以至少有1名男生的概率为：P(C) = 1 - P(C的对立事件) = 1 - 36/145 = 109/145。
【结束语】通过以上三道试题，我们可以看到概率的计算通常涉及到互斥事件和对立事件的概念。
在实际问题中，我们经常需要通过计算对立事件的概率来间接求解事件本身的概率。
希望这些试题能够帮助同学们更好地理解和掌握概率的基本概念和计算方法。
概率全集汇编含答案解析
概率全集汇编含答案解析一、选择题1．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机正在播放动画片B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50C．车辆在下个路口将会遇到红灯D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180【答案】D【解析】【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别判断得出答案．【详解】A、打开电视机正在插放动画片为随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50为随机事件，故此选项错误；C、“车辆在下个路口将会遇到红灯”为随机事件，故此选项错误；D、在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°为必然事件，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．2．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5C．任意写一个整数，它能被2整除D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球【答案】D【解析】【分析】根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案.【详解】A、抛一枚硬市、出現正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为16，故此选项错误；C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为12，故此选项错误；D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是13，符合题意，故选：D.【点睛】此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键.3．下列事件中，是必然事件的是( )A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数B．操场上小明抛出的篮球会下落C．车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯D．明天气温高达30C︒，一定能见到明媚的阳光【答案】B【解析】【分析】根据必然事件的概念作出判断即可解答．【详解】解：A、抛任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A错误；B、操场上小明抛出的篮球会下落是必然事件，故B正确；C、车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯是随机事件，故C错误；D、明天气温高达30C︒，一定能见到明媚的阳光是随机事件，故D错误；故选：B．【点睛】本题考查了必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，熟练掌握是解题的关键.4．（2018•六安模拟）下列成语所描述的是必然事件的是（）A．揠苗助长 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．大海捞针【答案】B【解析】A，是不可能事件，故选项错误；B，是必然事件，选项正确；C，是不可能事件，故选项错误；D，是随机事件，故选项错误．故选B．5．一个不透明的袋子中装有白球4个，黑球若干个，这些球除颜色外其余完全一样．如果随机从袋中摸出一个球是白球的概率为13，那么袋中有多少个黑球（）A．4个B．12个C．8个D．不确定【答案】C【解析】【分析】首先设黑球的个数为x个，根据题意得：4143=x+，解此分式方程即可求得答案．【详解】设黑球的个数为x个，根据题意得：41 43=x+，解得：x=8，经检验：x=8是原分式方程的解；∴黑球的个数为8．故选：C.【点睛】此题考查概率公式的应用．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．6．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（）A．小于12B．等于12C．大于12D．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据概率的意义分析即可．【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币是随机事件，正面朝上的概率是1 2∴抛掷第100次正面朝上的概率是1 2故答案选：B【点睛】本题主要考查概率的意义，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．7．下列事件中是确定事件的为( )A．两条线段可以组成一个三角形 B．打开电视机正在播放动画片C．车辆随机经过一个路口，遇到绿灯 D．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数【答案】A【解析】A. 两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，也是确定事件，故本选项正确；B. 打开电视机正在播放动画片是随机事件，故本选项错误；C. 车辆随机经过一个路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项错误；D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故本选项错误。
概率题目及答案
一、概率公式的题目1、已知()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃====+-⋃+-2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃解：()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。
3、已知随机变量(1)XP ，即X 有概率分布律{}1(0,1,2)!e P X k k k -===，并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。
求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。
解：（1）()(){}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-（3）()()(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+=4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())()()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨==+-=0.660.750.60.50.60.58==+-5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
高考真题数学概率题及答案
高考真题数学概率题及答案高考真题中的数学概率题常常是考生们的心头之患，因为涉及到概率的计算和推断，考生们往往感到头疼。
在这里，我为大家整理了一些高考真题中常见的数学概率题及答案，希望能帮助大家更好地应对考试。
题目一：某班有30名学生，其中10名喜欢篮球，8名喜欢足球，6名喜欢羽毛球，3名以上三项兼喜的学生只有两名，问至少有多少名学生喜欢至少一项球类运动？
解答：设喜欢至少一项球类运动的学生有x名，根据题意可列出方程：10+8+6-x=30-2，解得x=22，因此至少有22名学生喜欢至少一项球类运动。
题目二：甲、乙、丙三人开车到达目的地的概率分别是0.6、0.7和0.8，求至少有一个人到达目的地的概率。
解答：根据概率的互补性，至少有一个人到达目的地的概率为1-三人都没有到达的概率，即1-(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=1-0.4*0.3*0.2=0.976，所以至少有一个人到达目的地的概率是0.976。
题目三：已知随机事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，且事件A与事件B相互独立，求事件A与事件B至少有一个发生的概率。
解答：由事件A与事件B相互独立可知，事件A与事件B至少有一个发生的概率为1-(1-0.4)(1-0.3)=1-0.6*0.7=0.58，所以事件A与事件B至少有一个发生的概率为0.58。
通过以上题目的解答，我们可以看到，数学概率题并不是难到无法解决的问题，只要掌握了基本的概率知识和解题技巧，就能在考试中得心应手。
希望以上内容能对大家有所帮助，祝愿大家在高考中取得优异的成绩。
高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案一、选择题1.答案：B2.答案：C3.答案：A4.答案：D5.答案：C6.答案：A7.答案：B8.答案：D9.答案：C10.答案：B11.答案：A12.答案：C13.答案：B14.答案：D15.答案：A二、填空题1.答案：0.252.答案：0.93.答案：0.154.答案：25.答案：0.046.答案：137.答案：0.3338.答案：0.849.答案：0.62510.答案：0.8三、解答题1.答案：设事件A为随机抽取的球为红球，事件B为随机抽取的球为蓝球。
根据条件概率公式，P(A|B) = P(AB)/P(B)。
已知P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，P(AB) = 0.24，代入公式可得P(A|B) = 0.24/0.4 = 0.6。
所以，答案为0.6。
2.答案：设事件A为选手射中靶心，事件B为选手准确报告靶心位置。
根据全概率公式，P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) +P(A|B3)P(B3)。
已知P(A|B1) = 0.8，P(A|B2) = 0.6，P(A|B3) = 0.4，P(B1) = 0.3，P(B2) = 0.4，P(B3) = 0.3，代入公式可得P(A) = 0.8*0.3 + 0.6*0.4 + 0.4*0.3 = 0.62。
所以，答案为0.62。
3.答案：设事件A为选手拿到奖品，事件B为选手答对问题。
根据条件概率公式，P(A|B) = P(AB)/P(B)。
已知P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(AB) = 0.24，代入公式可得P(A|B) = 0.24/0.6 = 0.4。
所以，答案为0.4。
4.答案：设事件A为抽取的学生是男生，事件B为抽取的学生是高中生。
根据全概率公式，P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2)。
已知P(A|B1) = 0.6，P(A|B2) = 0.4，P(B1) = 0.7，P(B2) = 0.3，代入公式可得P(A) = 0.6*0.7 + 0.4*0.3 = 0.54。
概率基础测试题及答案解析
概率基础测试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X>0)等于多少？A. 0.5B. 0.6826C. 0.8413D. 0.5000答案：A解析：标准正态分布的均值为0，标准差为1，对称轴为X=0，因此P(X>0)等于0.5。
2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 1.5B. 3C. 2.7D. 0.3答案：B解析：二项分布的期望值E(X)=np，所以E(X)=10*0.3=3。
3. 一组数据的平均数是5，方差是4，那么这组数据的中位数是多少？A. 4B. 5C. 6D. 无法确定答案：B解析：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数。
在没有具体数据的情况下，无法确定中位数，但根据平均数的定义，可以推断中位数为5。
4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，那么P(X=1且Y=1)等于多少？A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.6答案：A解析：由于X和Y相互独立，所以P(X=1且Y=1)=P(X=1)*P(Y=1)=0.5*0.3=0.15。
5. 一组数据的样本容量为100，样本均值为50，样本方差为25，那么这组数据的标准差是多少？A. 5B. 10C. 20D. 25答案：A解析：标准差是方差的平方根，所以标准差=√25=5。
6. 已知随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，那么P(X=3)等于多少？A. 0.182B. 0.273C. 0.409D. 0.546答案：B解析：泊松分布的概率质量函数为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，代入λ=4和k=3，计算得到P(X=3)=e^(-4)4^3/3!=0.273。
7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,1)，那么P(0.5<X<0.6)等于多少？A. 0.1B. 0.05C. 0.15D. 0.2答案：B解析：均匀分布的概率等于区间长度，所以P(0.5<X<0.6)=0.6-0.5=0.1，但因为题目中区间长度为0.1，所以答案为0.05。
概率计算机考试题目及答案
概率计算机考试题目及答案一、单选题1. 关于概率的定义，以下哪个选项是正确的？A. 概率是表示一个事件发生可能性大小的数值。
B. 概率是表示一个事件发生次数的频率。
C. 概率是表示一个事件发生的时间点。
D. 概率是表示一个事件发生的原因。
答案：A2. 在一个标准的扑克牌中，红心的总数是：A. 12B. 13C. 14D. 15答案：B3. 掷一个骰子，出现偶数的概率是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/2答案：D4. 在一个罐子里有10个红球和20个绿球，随机取出一个球，红球的概率是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：C5. 在一个餐厅，某项特定菜品的顾客满意度调查结果显示，满意度为70%。
若随机选择3个顾客，并且他们的满意度是独立的，那么恰好有2个顾客满意的概率是：A. 0.063B. 0.189C. 0.324D. 0.567答案：B二、填空题1. 一个标准扑克牌中，概率抽到黑桃的牌是______。
答案：1/42. 甲、乙两个人分别从10支不同颜色的球中随机选取一支，用概率表示乙先选中红球的概率是______。
答案：1/103. 用4枚硬币抛掷，恰好出现2枚正面和2枚反面的概率是______。
答案：3/84. 从1至20共20个数字中，随机选择一个数字，概率选到奇数是______。
答案：1/2三、计算题1. 从1至10共10个数字中，随机选择3个数字，计算恰好选到3个奇数的概率。
解答：首先，计算总的可能选择数，即C(10, 3) = 120。
然后，计算选到3个奇数的选择数，即C(5, 3) = 10。
所以，恰好选到3个奇数的概率为10/120 = 1/12。
2. 有4个红球和3个蓝球，从中随机抽取3个球，计算至少抽到1个红球的概率。
解答：首先，计算总的可能选择数，即C(7, 3) = 35。
然后，计算一个红球也不抽到的选择数，即C(3, 3) = 1。
所以，至少抽到1个红球的概率为1 - 1/35 = 34/35。
小学数学概率练习题及答案
小学数学概率练习题及答案概率是数学中一个非常重要的概念，对于小学生来说，通过练习概率题目可以培养他们的逻辑思维和数学思维能力。
下面是一份小学数学概率练习题及答案，希望对你有所帮助。
一、选择题1. 已知一副扑克牌，共有52张牌，其中红心牌有13张，请问随机从中抽取一张牌，抽到红心牌的概率是多少？A. 1/2B. 2/13C. 1/4D. 1/132. 一只箱子里有5个红球和3个蓝球，随机从箱子中取出一个球，抽到红球的概率是多少？A. 3/8B. 1/2C. 2/5D. 3/53. 一枚硬币抛掷两次，求出现至少一次正面的概率。
A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 1/3二、填空题1. 一枚骰子抛掷一次，出现奇数的概率是____。
2. 一张从52张牌中随机抽取的扑克牌是红心的概率是____。
3. 从一个有30人的班级中随机抽取一人，抽到一个男生的概率是____。
三、解答题1. 一个装有5个红球和4个蓝球的盒子，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
2. 一枚硬币抛掷3次，求抛掷中恰好两次正面的概率。
四、应用题1. 某班级有30个学生，其中有10个男生和20个女生，学生随机排队，求第一个出场的是男生并且第二个出场的是女生的概率。
2. 集合A含有4个元素，集合B含有6个元素，随机从集合A和集合B中各取一个元素，求取到的两个元素都是奇数的概率。
答案：一、选择题1. D. 1/132. C. 2/53. C. 3/4二、填空题1. 1/22. 1/23. 1/2三、解答题1. 抽到红球的概率为 5/9。
2. 抛掷中恰好两次正面的概率为 3/8。
四、应用题1. 第一个出场的是男生并且第二个出场的是女生的概率为 10/30 * 20/29 = 100/87 ≈ 1.15。
2. 取到的两个元素都是奇数的概率为 (2/4) * (3/6) = 6/24 = 1/4。
概率经典测试题附答案解析
【解析】
【分析】
根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.
【详解】
停在黑色方砖上的概率为： ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.
4．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数2的差不大于1的概率是（）
A． B． C． D．
D、∵ >0,∴ 是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．在2015-2016CBA常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
3．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( )
A． B． C． D．
C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，
∴易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；
D、易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．
13．国家医保局相关负责人3月25日表示，2019年底前我国将实现生育保险基金并入职工基本医疗保险基金，统一征缴，就是通常所说的“五险变四险”.传统的五险包括：养老保险、失业保险、医疗保险、工伤保险、生育保险.某单位从这五险中随机抽取两种，为员工提高保险比例，则正好抽中养老保险和医疗保险的概率是( )
高中数学概率试题及答案
高中数学概率试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里装有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？A. 1/2B. 3/8C. 5/8D. 1/82. 抛一枚硬币两次，出现两次正面的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/8D. 1/163. 一个班级有30名学生，其中10名男生和20名女生。
随机选取一名学生，该学生是女生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/54. 一个骰子连续抛掷两次，两次点数之和为7的概率是多少？A. 1/6B. 1/9C. 1/36D. 2/95. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，不放回地连续取出两个球，取出的都是白球的概率是多少？A. 1/10B. 1/5C. 3/10D. 1/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个事件的概率P(A) = _______，如果这个事件是必然事件。
7. 一个事件的概率P(B) = _______，如果这个事件是不可能事件。
8. 如果事件A和事件B是互斥事件，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B) = _______。
9. 一个事件的概率P(C) = 0.05，它的对立事件P(C') = _______。
10. 如果一个随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n = 10，p = 0.2，那么P(X=2) = _______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有7个白球和3个黑球，不放回地随机取出两个球。
求第一个取出的是白球，第二个取出的是黑球的概率。
12. 在一个班级中，有40名学生，其中20名男生和20名女生。
随机选取两名学生，求至少有一名是女生的概率。
13. 一个工厂生产一批零件，其中有5%的次品率。
如果随机抽取5个零件进行检查，求至少有1个是次品的概率。
14. 一个骰子连续抛掷三次，求至少出现一次6点的概率。
四、综合题（每题10分，共10分）15. 一个盒子里有5个红球和5个蓝球，随机取出两个球。
概率试题及答案
概率试题及答案### 概率试题及答案题目1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子里取出一个球，然后放回。
再取出一个球。
求两次取出的球都是红球的概率。
解答：首先，我们定义事件A为第一次取出红球，事件B为第二次取出红球。
- 事件A发生的概率P(A)为红球数除以总球数，即P(A) = 5/8。
- 由于取出的球放回，事件B发生的概率与事件A相同，即P(B) =5/8。
我们需要计算的是两次事件都发生的概率，即P(A∩B)。
由于这两个事件是独立的，我们可以使用乘法法则计算：\[ P(A∩B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64} \]题目2：一个班级有30名学生，其中有15名男生和15名女生。
随机选取5名学生参加一个活动，求至少有2名男生的概率。
解答：我们可以使用组合来解决这个问题。
首先计算总的选取方式，然后计算没有男生或只有1名男生的选取方式。
- 总的选取方式是从30名学生中选取5名，即C(30, 5)。
- 没有男生的方式是从15名女生中选取5名，即C(15, 5)。
- 只有1名男生的方式是从15名男生中选取1名，从15名女生中选取4名，即C(15, 1) * C(15, 4)。
至少有2名男生的概率是1减去没有男生或只有1名男生的概率：\[ P(\text{至少2名男生}) = 1 - \frac{C(15, 5) + C(15, 1)\times C(15, 4)}{C(30, 5)} \]题目3：一个工厂有3条生产线，每条生产线每天生产1000个产品。
每条生产线每天出现次品的概率是0.01。
求至少有一条生产线出现次品的概率。
解答：我们可以使用对立事件的概念来解决这个问题。
首先计算所有生产线都没有次品的概率，然后用1减去这个概率。
- 每条生产线没有次品的概率是1 - 0.01 = 0.99。
- 所有生产线都没有次品的概率是0.99^3。
高考概率经典解答题及答案
高考概率经典解答题及答案下面是一些经典的高考概率题目及其答案：1. 问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？问题：在一副扑克牌中，从中任意抽取一张牌，求抽到红桃的概率是多少？答案：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
：扑克牌中一共有52张牌，其中红桃有13张。
因此抽到红桃的概率为13/52，即1/4。
2. 问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？问题：有一个包含5只黑球和7只白球的箱子，从中不放回地随机抽取两个球，求抽到一黑一白的概率是多少？答案：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
：抽取第一个球时，有5/12的概率抽到黑球，7/12的概率抽到白球。
抽取第二个球时，则有4/11的概率抽到与第一个球不同颜色的球。
因此，抽到一黑一白的概率为(5/12) * (7/11) + (7/12) * (5/11) = 35/66。
3. 问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？问题：有标准的六面骰子，投掷两次，求两次投掷的点数之和为7的概率是多少？答案：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
：投掷两次骰子，每次投掷的点数都有6种可能结果。
共有36种不同的点数组合。
其中，和为7的组合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)这6种组合。
因此，两次投掷的点数之和为7的概率为6/36，即1/6。
以上是一些经典的高考概率题目及其答案，希望对您有帮助。
概率论试题及答案
概率论试题及答案概率论作为一门应用广泛的数学学科，研究随机事件的发生概率和规律。
下面将介绍几个概率论试题及它们的答案，帮助读者更好地理解概率论的基本概念和应用。
题目一：骰子问题问题描述：假设有一枚六面骰子，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
现在连续掷骰子20次，求掷出奇数点数的次数大于偶数点数的概率是多少？解答：首先，观察到每次掷骰子的结果只可能是1、2、3、4、5、6这6个数字中的一个。
而奇数有3个（1、3、5），偶数也有3个（2、4、6）。
因此，每次掷骰子奇数点数的概率和偶数点数的概率是相等的，都为1/2。
那么，连续掷骰子20次，奇数点数的次数大于偶数点数的概率可以通过计算二项分布来求解。
记成功事件为掷出奇数点数的次数大于偶数点数的次数，成功的次数可能为11、12、 (20)根据二项分布的公式，可以计算每个可能成功次数对应的概率，并将这些概率相加，即可得到最终的概率。
题目二：抽奖问题问题描述：在一个抽奖活动中，共有100人参与抽奖，每人只能中奖1次。
现在有10个一等奖和20个二等奖，计算一个人中奖的概率。
解答：中奖的概率可以通过计算每个人中奖的概率，并将这些概率相加来求解。
首先，计算一个人中一等奖的概率。
一等奖有10个，参与抽奖的人有100个，因此，一个人中一等奖的概率为10/100=1/10。
接下来，计算一个人中二等奖的概率。
二等奖有20个，中奖概率为20/100=1/5。
最后，将中一等奖和中二等奖的概率相加，并得到一个人中奖的总概率为1/10+1/5=3/10=0.3。
题目三：扑克牌问题问题描述：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，计算抽出来的牌中至少有一张是红桃的概率。
解答：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，抽出来的牌中至少有一张是红桃可以通过计算该事件的对立事件的概率来求解。
设事件A为抽出来的牌中至少有一张是红桃，事件B为抽出来的牌中没有红桃。
首先，计算事件B的概率。
红桃有13张，而一副扑克牌有52张，所以剩下的非红桃牌有39张，抽出5张非红桃牌的概率为C(39,5)/C(52,5)。
概率试题及答案
概率考试题目一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．当事件A 与事件B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）.. ()() . ()(). ()() . ()()A P C P AB B PC P AB C P C P ABD P C P A B ≤≥==⋃2．对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( ).A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)3. 某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁以上的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ ）. A. 0.76 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.54、设0() 1 , 0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则下列结论成立的是（ ）.A. 事件A 和B 互不相容；B. 事件A 和B 互相对立；C. 事件A 和B 互不独立；D. 事件A 和B 互相独立.5．将一枚硬币重复投掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于（ ）.A. -1B. 0C. 1/2D. 16．设1()F x 和2()F x 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使 12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（ ）.. 3, 4 . 0.5,0.5. 0, 1 . 1,0A a bB a bC a bD a b ========7. 设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( ).A. f(x)单调不增B.()1F x dx +∞-∞=⎰ C. ()0F -∞= D. ()()F x f x dx +∞-∞=⎰8. 设在总体2(,)N μσ中抽取样本123,,X X X ,其中μ已知，2σ未知，则下面选项中哪项不是统计量( )A. 3114i i X =∑ B .311ii Xσ=∑ C .223X μ+ D .123min(,,)X X X9. 设X 1,X 2,…X 6是来自正态总体N(0,1)的样本，则统计量X 12+X 22+…+X 62服从（ ）分布A 正态分布B t 分布C F 分布D 2χ分布10. 设X 为随机变量，且()1,()3,E X D X =-=则)]2(3[2-X E =（ ）.A. 6B. 9C. 30D. 36二、填空题（本题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1.设事件A 与B 相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A ⋃B)= .2.已知随机变量X 服从[0,3]上的均匀分布，则()E X = .3.设随机变量X 服从p n ,为参数的二项分布且()12,()6E X D X ==，则参数=p .4. 设X1, X2, ···, X12是来自总体X 的样本，X 是样本均值，若E ( X )=120,()144D X =,则()E X = . 5.随机变量X 和Y 相互独立，且22(10),(5),XY χχ则随机变量105X Y _______.6. 设A,B 为随机事件,A 与B 互不相容,P(B)=0.2,则()P AB =__________.7. 设随机变量X 的分布函数为21,0()0,x e x F x -⎧->=⎨⎩其他，其概率密度为(),f x 则(1)f =_______.8. 已知Cov(,)3,()1,()2,X Y D X D Y ===则(23)D X Y ++=___________. 9. 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,12,,,n X X X 为来自总体的一个样本，2S 为样本方差，且222(1),cS n χσ-则c =__________.10. 设(0,1),()XN x Φ为其分布函数，则(0)Φ=_______.11. 已知(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度为________. 12. 已知(3)Xπ，则{3}P X ==________.13. 已知X 的概率密度为()f x ，则2Y X =的概率密度为________.14. 已知X 的概率密度为01()0cxx f x <<⎧=⎨⎩其它，则c=________.15. 已知(1,9)XU ，则{6}P X <=________.三、判断题（本题共 5 小题，每小题2 分，共 10分）P ｛X=3｝=0 . ( ) 2. (,)2f x y =可作为随机变量(,)X Y 的密度函数 . ( ) 3. ()()()E X Y E X E Y +=+ . （ ） 4. 随机变量X 和Y 满足Cov(,)0X Y =，则X 与Y 相互独立. （ ） 5.设 {X n} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为μ, 方差为 σ2>0，则当 n充分大时，有lim ()n n i n P y y X μ→∞-≤=Φ⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ . （ ）四、综合题（本题共 1 小题，每小题 30 分，共 30分）1、 求c 的值；2、求{X+Y<4}Ｐ；3、 求X 的边缘分布律； 4、求Z=X+2Y 的分布律； 5、求E （max （X ，Y ））；6、求Y=2时，X 的分布律； 7、判断X 与Y 是否相互独立； 8、求相关系数XY ρ.五、应用题（本题共 1 小题，每小题 10 分，共 10分）20%,30%,50%, 它们生产的产品中分别有5%，4%，2%的次品，将这些产品混在一起，今随机地取一产品，问它是次品的概率是多少?若取出一件是次品，那么这次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？1、A complex-valued sequence converges if and only if both the real part and the imaginary part converge separately.2、This device for representing real numbers geometrically is a very worthwhile aid that helps us to discover and understand better certain properties of real numbers.参考答案及评分标准一、选择题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1、B2、 C3、 D4、D5、A6、 D7、C8、B.29、 D 10、 A二、填空题（本题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）1、 0.72、1.53、 0.54、1205、F(10,5) 6. 0.2 7. 2e -28、21 9、n-1 10、 0.5 11、(,)(-z+y,y)y f x z x dx f d +∞+∞-∞-∞-+⎰⎰或12、 9e -3/2 13、 f(y/2)/2 14. 2 15、 5/8三、判断题（本题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1、√2、 ×3、√4、×5、√四、综合题（本题共 1 小题，每小题 30 分，共 30分）解：1、0.1+0.1+0.1+0.1+c+0.1+0.1+0.1+0.1=1 2分 C=0.2 1分 2、{X+Y<4}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}=0.1+0.1+0.1+0.1+c =0.6Ｐ3分3、X 的边缘分布律为3分4、Z=2X+Y3分 5、=0.1*1+0.1*2+0.1*4+0.1*1+0.2*2+0.1*4+2*0.1+0.1*2+4*0.1=2.4E[max(X,Y)]3分6、 Y=2时，X 的分布列为3分7、P{X=0}*P{Y=1}=0.3*0.3P{X=0,Y=1}≠ 2分故X 与Y 是不相互独立。
高一概率考试题目及答案
高一概率考试题目及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 12. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/263. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：A. 5/8B. 3/8C. 1/2D. 2/34. 一个班级有30名学生，其中男生15名，女生15名。
随机抽取一名学生，抽到男生的概率是：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 15. 一个袋子里有3个白球和2个黑球，随机抽取两个球，两个都是白球的概率是：A. 1/5B. 2/5C. 3/10D. 1/26. 一个袋子里有4个红球和6个黄球，随机抽取两个球，两个都是黄球的概率是：A. 1/5B. 1/10C. 3/10D. 1/27. 抛两枚均匀的硬币，至少一枚正面朝上的概率是：A. 1/2B. 3/4C. 1/4D. 18. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率与抽到蓝球的概率相比：A. 一样大B. 红球大C. 蓝球大D. 不能确定9. 一个袋子里有7个红球和3个黄球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：A. 7/10B. 3/10D. 1/310. 一个袋子里有10个白球和10个黑球，随机抽取两个球，两个都是白球的概率是：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/5二、填空题（每题2分，共10分）1. 抛一枚均匀的骰子，得到6点的概率是______。
2. 一个袋子里有2个红球和8个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是______。
3. 抛两枚均匀的硬币，两枚都是正面朝上的概率是______。
4. 一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是______。
5. 一个袋子里有6个白球和4个黑球，随机抽取两个球，两个都是白球的概率是______。
概率论题目和答案
12.设在一次试验中事件A发生的概率为P现重复进行n次独立试验则事件A至多发生一次的概率为（1-P）nD.(1-P)n+nP(1-P)n-1正确答案:D13.一工人看管3台机床，在1小时内机床不需要照顾的概率分别为，设X为1小时内需要照顾的机床台数（）正确答案:A14.离散型随机变量X，X所有取值为012，且P(X=0)=(X=1)=，P(X=2)=，则P(X3)=( )正确答案:D15.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为3364正确答案:B二、判断题(25分)16.样本量较小时，二项分布可以用正态分布近似。
A.错误B.正确正确答案:A17.抛一个质量均匀的硬币n次，当n为奇数时，正面出现(n+1)/2和(n-1)/2次的概率最大。
A.错误B.正确正确答案:B18.甲、乙二人做如下的游戏：从编号为1到20的卡片中任意抽出一张，若抽到的数字是奇数，则甲获胜，否则乙获胜，这个游戏对甲、乙双方是公平的。
A.错误B.正确正确答案:B19.小概率事件在一次实验中能够认为不会发生，飞机失事就是小概率事件，虽然乘坐飞机有危险，但是人们还是会乘坐飞机旅行。
A.错误B.正确正确答案:B20.任何情况都可以利用等可能性来计算概率。
A.错误B.正确正确答案:A【奥鹏】[东北大学]19春学期《概率论》在线作业2试卷总分:100 得分:100第1题设X、Y的联合分布函数是F(x，y)，则F(+∞，y)等于：A、0；B、1；C、Y的分布函数；D、Y的密度函数。
正确答案:C第2题若P(A)=0B为任一事件，则A、A为空集B、B包含AC、AB相互独立D、AB互不相容正确答案:C第3题如果随机事件A，B相互独立，则有：A、AB=空集；B、P(A)=P(B)；C、P(A|B)=P(A)；正确答案:C第4题从概率论的角度来看，你认为下列生活中的哪一种现象具有合理的成分？A、某同学认为某门课程太难，考试不可能及格，因此放弃了努力学习；B、某人总是用一个固定的号码去买彩票，她坚信总有一天这个号码会中奖；C、某人总是抢先第一个抽签，认为这样抽到好签的可能性最大；D、某足球教练认为比赛时他的衣服颜色与比赛的结果有关，所以总穿着同一件“幸运服”去指挥比赛。
初中数学概率试题及答案
初中数学概率试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 0.2答案：B2. 抛一枚公平的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：A3. 在一个班级中，有50名学生，其中25名男生和25名女生。
随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A二、填空题4. 一个骰子有6个面，每个面上的点数分别是1到6。
掷一次骰子，点数为偶数的概率是____。
答案：1/25. 一个袋子里有10个球，其中3个是白球，7个是黑球。
随机抽取一个球，抽到白球的概率是____。
答案：3/10三、解答题6. 一个袋子里有8个球，其中4个红球和4个绿球。
如果随机抽取两个球，求两个球都是红球的概率。
答案：两个球都是红球的概率为4/8 * 3/7 = 1/7。
7. 一个转盘被分成了8个相等的部分，其中3个部分涂成了红色，5个部分涂成了蓝色。
如果转动转盘一次，求指针停在红色部分的概率。
答案：指针停在红色部分的概率为3/8。
8. 一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。
答案：至少有1名女生的概率为1 - (20/40 * 19/39 * 18/38) =37/38。
以上试题及答案均按照标准数学概率问题进行编排，确保了题目的完整性和答案的准确性。
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一、概率公式的题目1、已知()()()0.3,0.4,0.5,P A P B P AB === 求().P B A B ⋃解：()()()()()()()()0.70.510.70.60.54P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --⋃====+-⋃+-2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求().P A A B ⋃解：()()()()()()()0.220.70.29P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ⎡⎤⋃⎣⎦⋃====+⋃+-。
3、已知随机变量(1)XP ，即X 有概率分布律{}1(0,1,2)!e P X k k k -===，并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。
求：（1）()P A B ⋃； （2） ()P A B -； （3） ()P B A 。
解：（1）()(){}{}111()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -⋃=-⋃=-=-<≥=-==-；（2）(){}{}{}{}1()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-（3）()()(){}{}{}{}{}111,201.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<======<=+=4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())()()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨==+-=0.660.750.60.50.60.58==+-5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统,A B ，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A 为0.92，系统B 为0.93，在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。
解：设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,()()()0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ⋃=+-=+=+=()()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P ABP B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---⨯=====6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为415，刮风（记作事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ⋃。
解：()()()1310(1)71415P AB P A B P B ===； ()()()1310(2)4815P AB P B A P A ===()()()()47119(3)15151030P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=。
二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=1000100100)(2x x x x f ， ， ，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。
解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为设Y 为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~B Y .故有2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X ，它的分布密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0101122x x x x f ，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。
所以{}()()1120.80.80.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=⎰⎰。
3、某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f ，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为32100100)()150(1501502150=-===>=∞+∞+∞+⎰⎰ x dx x dx x f X P p 278)31()32()3(0333=⋅==C Y P32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。
则)32,5(~B Y ，{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。
当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。
制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X 。
多数情况下，可以认为X 服从指数分布。
设它的概率密度函数为：⎩⎨⎧≥<=-0,0,0)(x e x x f xλλ （x 的单位为月） （1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数λ的值。
（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为{}⎩⎨⎧<≥-=≤=-001x x e x X P x F x λ）（ （１）{}34ln 2341(34)0.5,0.0234P X F eλλ->=-===≈解出 （２）{}{}{}787.0122412421202.01202.02402.0===>>=>>⨯-⨯-⨯-e ee X P X P X X P5、设K 在（-1，5）上服从均匀分布，求x 的方程24420x Kx K +++=有实根的概率。
解：要想x 有实根，则()224161620B AC K K ∆=-=-⨯+≥则2K 1K ≥≤-或者，又因为()~1,5K U -，所以{}122P K ≥=。
三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin1x a x F x A B a x aa x a≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，(1) 求系数A ，B ； (2) 求22aa P X ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； (3) 求X 的分布密度。
解：（1）由F(x)在,a a -处的右连续性知⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1202B A B A ππ 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==π121B A （2）122223a a a a P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<<=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭（3）因为)()('x F x f =，则221()0x aa xf x x aπ⎧<⎪-=⎨⎪≥⎩2、设随机变量X 的分布函数为 ()0,arctan ,1,x a x F x A B a x aa x a ≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩，求：（1）常数,A B ； （2）303a P X ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； （3）X 的密度函数()f x 。
解：（1）由分布函数的右连续性知：()()()()0lim lim arctan 4arctan lim 14x a x a x a x F a F x A B A B a a F a A B A B F x a ππ+++→-→-→⎧-===+=-⎪⎪⎨⎪=+=+==⎪⎩，所以1124204A A B B A B πππ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩； （2）()33100333a a P X F F ⎧⎫⎛⎫⎪⎪<<=-= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎭； （3） ()()222,()0,a a x aa x f x F x π⎧-<<⎪+'==⎨⎪⎩其它。
3、设随机变量X 的分布函数为 ()20,0,011,1x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，求：)1(常数A ； )2({}0.30.7P X <<； )3(X 的密度函数()f x 。
解：（1）由分布函数的右连续性知：()()11lim 1x F A F x +→===，所以1A =； （2）{}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=； （3） ()2,01()0,x x f x F x <<⎧'==⎨⎩其它。
4、设随机变量X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-000,22x x e B A x F x 求：（1）系数B A ,； （2）{}9ln 4ln <<X P ； （3）X 的密度函数。
解： (1) 由于()x F 在()∞+∞-,内连续，()()00lim lim 2002==+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-→→++F B A Be A x F x x x 又 ()1lim lim 22==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+∞→+∞→A BeA x F x x x 故1-=B ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-00,122x x e x F x(2) {}9ln 4ln <<X P=()()4ln 9ln F F -=613121=-(3) X 的密度函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-00022x x ex x F x f x ,,5、设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0()0,0.x A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩ ，求：(1)常数A ，B ； (2){11}P X -<<； (3) X 的密度函数()f x 。