菱形的判定和性质

B

C

A

D

O

菱形的判定和性质

一、基础知识

（一）菱形的概念

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 （二）菱形的性质：

1、 具有平行四边形的一切性质；

2、 菱形四条边都相等；

3、 菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

4、 菱形是轴对称图形；

边 角 对角线 对称性 菱形

对边平行； 四边相等

对角相等； 邻角互补

互相垂直平分且

平分对角

轴对称

（三）菱形的判定：

1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3、 四条边都相等的四边形是菱形； （四）菱形的面积

1、可以用平行四边形的面积算（S=

2

1

底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=

2

1

ab)

A

B

C

D

E

二、例题讲解

考点一 ：菱形的判定

例1：下列命题正确的是（ ）

（A ） 一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等

练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形

B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形

C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形

D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形

练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )

A ．DE 是△ABC 的中位线

B ．AA '是B

C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高

D ．AA '是△ABC 的角平分线

A

B

C

D

E

A '

D

B

C

A N

M O

练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？

请说明理由．

变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．

练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说

明四边形AEFG 是菱形．

练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

A

B

C

D

C

A

D B

E

F

G G

E

D

A A

B

C D

F

E

A

B

D

C

F

E

练习3：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。

考点二：菱形的性质

例1：如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，

求证：（1）四边形AFGD 是菱形；

（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。

练习1：如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4， 求：（1）∠ABC 的度数； （2）菱形ABCD 的面积。

F

E D

C

B

A

E

D C

B

A

G

F

E

D C

B

A

例2 ：如图 5，ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，306ACD BD ∠==°，． （1）求证：△ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号）．

练习1：若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A ．

23

cm 2

B ．23cm

C ．22cm

D ．223cm 练习2：若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）

（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm

练习3：已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( )

A ．21㎝

B ．22㎝

C ．23㎝

D ．24㎝

O D

C

B A