立体几何中的轨迹问题

立体几何中有关轨迹问题的探索

山东省平度九中数学组 孔祥朋 266700

立体几何中的轨迹问题，将立体几何与解析几何有机地结合起来，常涉及几何的定义，函数、数形结合、建模、化归等数学思想与方法，综合性强，能力要求高，现就将近年来高考常见的题型总结如下，以便教师在教学中总结题型和解题方法，以利于学生提高能力，开阔思路。

类型一．利用截面图形求轨迹

例题1：正方体ABCD-11B A 11D C ,E,F 分别是A 1A ,C 1C 的中点，P 是C 1C 上的动点（包括端点),过E,D,P 做正方体的截面，若截面为四边形，则点 P 的轨迹为( )

A.线段1c F, B,线段CF, C,线段CF 和一点1c D,线段1c F 和一点C.

【解析】由E 、D 、P 三点确定的平面与平面 B 11C B C 的交线与DE 平行，由此

得，当P 与C 重合时，截面过 B 1B 的中点，当P 上移到F 时，截面过 1B 点，此 :时点P 轨迹为线段CF ；而当截面过1C 时，截面也是四边形。故选 C 。

变式：（13年安徽高考理）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方

体所得的截面记为S 。则下列命题正确的是_________

（写出所有正确命题的编号）。①当102CQ <<

时，S 为四边形②当12CQ =

时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =

时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =④当314

CQ <<时，S 为六边形⑤当1CQ =时，S 的面积为

62 答案:(1) (2)(4)(5)

【点评】截面图形确定后，动点的轨迹也是确定的，此时可采取执果索因的方法，确定动点所位置。

类型二：利用圆锥曲线定义求轨迹。

例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )

A 、直线

B 、圆

C 、双曲线

D 、抛物线

【解析】在侧面 内点这P 到直线 的距离就是P 到点 的距离，因此，满足题意的点P 的轨迹是侧面内到点 的距离与到直线BC 的距离相等的点的集合，所以点P 的轨迹是以 点为焦点，以BC 为准线的抛物线(在侧面 内的部分)。故选D 。

【点评】点在平面内运动的轨迹有直线、圆和圆锥曲线，直线与圆可由图形与定义直接得到，而圆锥曲线的判定方法较多，其中圆锥曲线的统一定义和圆锥曲线可由平面截立体几何图形得到是常用的方法，是由抛物线的定义得到.

类型三．建立坐标系求轨迹。

例题3：正方体ABCD-1A 1B 1C 1D 的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM=3

1，点P 是平

面ABCD 上的动点，且点P 到直线1A 1D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为( )

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.直线

解析：在平面ABCD 内，以AB 为x 轴，A 为原点，建立平面直角坐标系，设点P 坐标为（x ，y ），则M （31，0），依题意得：（2x +1）-(2X -32X+91+2y ）=1，化简得：2y =32x-91。故选B.

点评：动点在运动过程中，有明显的等量与数量关系，可通过建立坐标系求出动点运动的轨迹方程。

类型四：建立函数模型求函数解析式。

例4、如图，动点P 在正方体 ABCD-1

111D C B A 的对角线B 1D 上，过点 P 作垂直于平面B 11D B D 的直线，与正方体表面相交于 MN ．设 BP=X ，MN=Y ，则函数 Y=f(x)的图像大

致是（ ）

解析：因为B 1P =BP 32=

36X,设B 1D 中点为O,则当P ∈BO 时，MN=1M 1N =2B 1P 326X, 当P ∈O 1D 时，MN=1M 1N =2D 1P =326（3-x ），∴y=632x ，x ∈[0，23]，或者y=63

2(3-X),X ∈[23,3].故选B. 【点评】动点在运动过程中，当确定一个量为自变量时，轨迹问题可转化为函数问题，通过建立函数模型求出函数解析式.

以上是我在教学中总结的立体几何中有关求轨迹问题的类型以及解决的方便，当然还有其它一些方面，这就需要我们在教学中不但总结和提高，供同行们商榷。