专题：电磁感应——等效电路变式)

电磁感应-等效电路

问题引入：设图中的磁感应强度B=1T ，平行导轨宽l =1m ，金属棒PQ 以1m/s 速度紧贴着导轨向右运动，R=1Ω，其他电阻不计。

（1）运动导线会产生感应电动势，相当电源。用电池等符号画出这个装置的等效电路图。

（2）通过电阻R 的电流方向如何？大小等于多少？

解析：（1）画好等效电路。金属棒PQ 向右运动切割磁感线产生感应电动势，PQ 相当于电源，金属棒PQ 、部分导轨及电阻R 构成一个闭合电路，金属棒

PQ 为内电路，电源对外电路供电，闭合电路的等效电路如图所示。

（2）确定等效电源的电动势大小，判断等效电路中内外电

路的电流的方向。由法拉第电磁感应定律知金属棒切割磁感线产

生的感应电势大小为:v v Blv E 1111=⨯⨯==，由楞次定律或右

手定则知PQ 棒中感应电流的方向是由Q 流向P ，P 为等效电源的

正极，Q 为负极。由闭合电路欧姆定律有，流经电阻R 的电流大

小为：A A R E r R E I 11

1===+=，方向从R 的上端流向下端。 此题为单导体棒在两导轨间运动切割磁感线发生电磁感应现象的

电路分析问题，导体棒等效为电源，电路闭合时导体棒中有感应电流流

过，导体棒受到安培力作用，安培力对导体棒做负功，导体棒的运动状

态发生改变，我们可以从导体棒的运动状态和能量转化两个方面进行深

度探究。

探究一：若金属棒在外力维持下做匀速运动，则水平外力F 为多大？

由于PQ 棒受水平向左的安培力，故要维持金属棒匀速运动所

需外力F 大小与安培力相等，方向水平向右。

F

B ＝BI l ＝1×1×1N ＝1N ，

故外力的大小为1N

探究二：金属棒PQ 的运动状态分析。若金属棒以1m/s 的初

速度向右运动，试分析金属棒的运动状态。金属棒PQ 向右运动切

割磁感线产生感应电动势，在闭合回路中形成了感应电流，其中

金属棒PQ （内电路）中的电流由Q 流向P ，金属棒在磁场中受安培

力F B 作用，由左手定则知F B 的方向水平向左，大小为R

v l B l R Blv B l R E B BIl F B 22====,安培力F B 随v 减小而减小，设金属棒的质量为m ，由牛顿第二定律有F B =ma,加速度的大小为：

m R

v l B m F a B 22==,加速度a 随v 减小而减小，因此，金属棒作加速度及速度均减小的变减速运动，最终加速度和速度同时为零。

探究三：闭合回路中能量的转化与守恒分析。能量守恒定律是一个普遍适用的定律,同样适用于电磁感应现象。图中金属棒PQ 向右切割磁感线的过程中,必须克服安培力做功,做多少

功就有多少机械能转（PQ 的动能）化为电能（电阻R 的内能）。棒的初动能202

1mv E k ＝，通过安培力做功转化为电能，再通过电流做功将电能转化为R 的内能，回路中产生的焦耳热为

202

1mv Q ＝ 。 另外，此题中水平导轨平面处在匀强磁场中，导体棒不受外力作用但有初速度，因此结合题中条件，我们还可以从导轨平面、导轨平面所处的磁场及导体棒所受外力等方面进行变式训练，以达到提升解题能力的目的。

题型变换一：加外力作用

变式一（加外力F ）：若例题中导轨放在水平面上，平行导轨无限长，金属棒初速度为零，在恒定的外力作用下向右运动，已知F=2N ，金属棒的质量m=1kg,求金属棒的稳定运动速度。

解析：结合前面对PQ 的运动状态分析可知，金属棒在外力F 和安培力F B 的共同作用下运动（受力分析如图所示），由牛顿第二定律有： m

R v l B F a m a R v l B F l R Blv B F l R E B F BIl F m a F F B 2222,

-==-=-=-=-=-得，

由上式知，当v 增大时安培力也增大，但加速度逐渐减小，金属棒作加速度减小速度增大的加速度运动，当v=0时加速度最大，a=F/m,当安培力F B =F 时,a=0，速度达到最大值v m ，金属棒以稳定的速度作匀速度直线运动。即022=-R

v l B F m ，得22l B FR v m =

方向水平向右。 代入数据得v m =2m/s 。

变式二（加摩擦力f ）：若在变式一中，金属棒运动过程与

水平导轨之间有摩擦，PQ 所受的摩擦阻力为其重力的0.1倍，

求金属棒稳定运动的速度。（g=10m/s 2）

解析：对金属棒PQ 进行受力分析可知，金属棒在外力F 和安培力F B 、摩擦阻力ｆ的共同作用下运动（受力分析如图所示），由牛顿第二定律有：

由上式知，当v 增大时安培力也增大，但加速度逐渐减小，金属棒作加速度减小速度增大的加速度运动，当a=0，速度达到最大值v m ，金属棒以稳定的速度作匀速度直线运动。即

01.022=--m g R

v l B F m ，

得 2

2)1.0(l B R mg F v m -= 代入数据得v m =1m/s ，方向水平向右。

变式三（用mg 代替F ）：如图所示，沿水平面放着一宽l=50cm 的

U 形光滑金属框架．电路中电R=2.0Ω，其余电阻不计，匀强磁场

B=0.8T ，方向垂直于框架平面向上，金属棒MN 质量为M=30g ，它与框

架两边垂直，MN 的中点O 用水平的绳跨过定滑轮系一个质量为m=20g

的砝码，自静止释放砝码后，电阻R 能得到的最大功率为多少。 解析:由题意分析知,当砝码加速下落到速度最大时,砝码的合外力为零,此时R 得到功率最大,则有mg=BI max l ①

电阻R 的功率 P max =2I max R ②

由式①②得 P max =(mg/B l )R=1.0W

题型变换二：磁场变化

例题：如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF 处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN 沿框架以速度v 向右做匀速运动．t ＝0时，磁感应强度为B 0，此

时MN 到达的位置使MDEN 构成一个边长为l 的正方形．为使MN

棒中不产生感应电流，从t ＝0开始，磁感应强度B 应怎样随时间

t 变化？请推导出这种情况下B 与t 的关系式．

解析：要使MN 棒中不产生感应电流，应使穿过线圈平面的磁

通量不发生变化

在t ＝0时刻 ，穿过线圈平面的磁通量

Φ1＝B 0S ＝B 0l 2

设t 时刻的磁感应强度为B ，此时磁通量为

Φ2＝Bl (l ＋vt )

由Φ1＝Φ2得B ＝

B 0l l ＋vt

. 故 B 随t 减小，B ＝B 0l l ＋vt 题型变换三：轨道变化

一、斜面轨道上运动

例题：如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN 、PQ 平

行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L 。M 、P 两点

间接有阻值为R 的电阻。一根质量为m 的均匀直金属杆ab 放

在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B

的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻

可忽略。让ab 杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。

（1）由b 向a 方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab 杆下滑过程中某时刻的受力示意图；

（2）在加速下滑过程中，当ab 杆的速度大小为v 时，求此时ab 杆中的电流及其加速度的大小；

（3）求在下滑过程中，ab 杆可以达到的速度最大值。

解析：（1）受力如图所示

重力mg ，竖直向下

支持力N,垂直斜面向上

安培力F ，沿斜面向上。