特殊四边形练习题
2023年北京中考数学重难题型专题14特殊四边形的计算与证明问题(真题10道+模拟30道)练习版
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题14特殊四边形的计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢以四边形为载体的计算与证明是北京市中考数学常考的一类解答题，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，【例1】垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．BC，连结DE，5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE∠AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF∠AB，OG∠EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE∠ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC 的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在∠ABC中，∠BAC=90∘，AD∠BC，垂足为D，AE∠BC，CE∠DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt∠ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．∠依题意补全图形；∠用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC上，AB∥DE，AE 平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE∠BC，AF∠CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD∠AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF∠AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE∠BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，∠ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC 于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C作CE∠BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∠CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP 交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．BC，27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点A作AE，且AE=12连结DE．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在∠ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA∠AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在∠ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
特殊的平行四边形专题练习
第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形； （3）有一个角是直角的__________是正方形； （4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形．【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的． 【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ； （2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是A．400 B．192C．208 D．304九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；3．对角线互相垂直的矩形是正方形；4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．（1）判定四边形BECF的形状，并证明；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是 A ．对角线互相平分的四边形 B ．对角线互相垂直且平分的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A ．6B ．8C ．12D ．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是 A ．对角线相等，对边平行且相等 B ．一组对边平行，一组对角相等C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D ．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．159．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A ．AD 平分∠MANB ．AD 垂直平分BC C ．∠MBD =∠NCD D ．四边形ACDB 一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
初中数学,特殊的平行四边形同步练习题
特殊的平行四边形同步练习题基础练习题1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是A．对角线互相平分的四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A．6 B．8 C．12 D．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=A．5 B．4 C．3.5 D．35．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是A．斜边长为10 cm B．周长为25 cmC．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为A ．158B ．154C ．152D ．159．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为A ．485cm B ．245cm C ．125cm D ．105cm 10．如图，在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是A ．30B ．24C ．18D ．611．在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则∠EAF 等于A ．60°B ．55°C ．45°D ．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：学-科网（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．能力拓展25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BCC．∠MBD=∠NCD D．四边形ACDB一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．35．如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．（1）求证：AM=CN；（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．真题实战36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连接OH .若OB =4，S 菱形ABCD =24，则OH 的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=1 3 S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．参考答案1. B2. A3. C4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. B 11. A 12. B 13. 2 14. 90 15. 9 16. 617. （18. 15°19. 485（cm ）．20. ∵BC =CD ，∠BCF =∠DCE =90°，CF =CE ， ∴△BCF ≌△DCE ，∴∠FBC =∠EDC . 又∵∠BFC =∠DFG ，∴∠DGF =∠BCF =90°， 即BG ⊥DE ．21. （1）等腰三角形；（2）150° 22. （1）∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∥BC AF ，∴CBE DFE ∠=∠， 又∵DE CE =，DEF BEC ∠=∠， ∴△BEC ≌△FED ，∴BE EF =，又∵CE DE =，∴四边形BDFC 是平行四边形． （2）如图，过D 作DH CB ⊥于H ，∴∠DHB =∠A =∠ABH =90°，∴四边形ADHB 是矩形，∴1BH AD ==， ∵3CB CD ==，∴2CH =，在Rt △CDH 中，∵90CHD ∠=︒，∴22325DH =-= ∴平行四边形BDFC S BC DH =⋅35= 23．（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠ADC =90°，AB =DC =7，BC =AD =12，∴∠BAF +∠AFB =90°， ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF =∠CDF =45°，∴△DCF 是等腰直角三角形， ∴FC =DC =7，∴AB =FC ，∵AF ⊥EF ，∴∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∴∠BAF =∠EFC ， 在△ABF 和△FCE 中，BAF EFCAB FC B C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△FCE （ASA ），∴EF =AF ；（2）BF =BC –FC =12–7=5，在Rt △ABF 中，由勾股定理得： AF 22227574AB BF +=+则EF =AF 7424．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，∠A =∠D =90°. ∵M 为AD 的中点，∴AM=MD ，∴△ABM ≌△DCM . （2）1∶2，理由：∵AB ∶AD =1∶2，∴AB =12AD ． ∵AM =12AD ，∴AB=AM ，∴∠ABM =∠AMB ． ∵∠A =90°，∴∠AMB =45°. ∵△ABM ≌△DCM ，∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，∴四边形MENF是菱形．∵∠BMC=90°，∴菱形MENF是正方形．25．A26．A27．A28．D29．B30．B31．30°32．3.533．①②④⑤34．（1）如图，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；（3）∵AB=BC3∠BAE=30°，∴BE=1，CE31，∵∠EFC=30°，∴CF=3S△CEF=12CE•CF3，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S△AEF=S正方形ABCD–S△ADF–S△AEB–S△CEF=S正方形ABCD–S△AEF–S△CEF，∴S△AEF=12（S正方形ABCD–S△CEF）=2111)(3322-=35．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°，在△AMD和△CNB中，＝＝＝ADM CENAMD CNBAD BC∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMD≌△CNB．∴AM=CN．（2）猜想：当EF=AC时，四边形AECF是矩形．证明：由（1）得△AMD≌△CNB，∴DM=BN．∵BE=DF，∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．在△AMF和△CNE中，＝＝＝MF NEAMF CNE AM CN∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMF≌△CNE．∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．∴AF∥CE且AF=CE．即四边形AECF是平行四边形．又EF=AC，∴四边形AECF是矩形．36．C37．A38．D39．D40．B41．B42．C43．B44．C45．24 546．347．48．（2，﹣3）49．∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．50．∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，EOD FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．51．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形．学-科网（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC·BD=12×4×2=4，故答案为：4．。
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习(解析版)
人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习（解析版）同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC﹨BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD ﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E﹨F分别是BC﹨CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6﹨9﹨x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC 的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…﹨则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC﹨AD分别相交于P﹨Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP﹨△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE﹨CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE﹨EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。
九年级上特殊平行四边形课时练习题及答案
九（上）第一章特殊平行四边形重点题目菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm；一条对角线长为14cm；它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中；错误的是（）A. 菱形是轴对称图形；它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm；8 cm；则菱形的边长为_____；面积为______．5、四边形ABCD是菱形；点O是两条对角线的交点；已知AB＝5；AO＝4；求对角线BD和菱形ABCD的面积.6、如图；在菱形ABCD中；∠ADC=120°；则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm；两条对角线的比为3∶4；求菱形的面积。
8、如左下图；菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O；且AC＝16cm；BD＝12cm；求菱形ABCD的高DH。
9、如右上图；在菱形ABCD中；∠BAD＝80°；AB的垂直平分线交对角线AC于点F；E为垂足；连接DF；则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中；∠A与∠B的度数比为1：2；周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示；在平面直角坐标系中；菱形MNPO的顶点P的坐标是（3；4）；则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5；0）；N（8；4）B．M（4；0）；N（8；4）C．M（5；0）；N（7；4）D．M（4；0）；N（7；4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm；高为1cm；则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图；菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；且AC=8；BD=6；过点O作OH丄AB；垂足为H；则点0到边AB的距离OH=_________．EOB第7题CF DA 15、【提高题】 如图；在菱形ABCD 中；顶点A 到边BC 、CD 的距离AE 、AF 都为5； EF ＝6；那么；菱形ABCD 的边长是_____菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ； AB=5； AO=2； OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如左下图；AD 是△ABC 的角平分线。
特殊的四边形练习题
F C D E O 第3题图 第4题图B C O AD特殊的四边形练习题1.如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA OB OC ==， 70ABC ADC ∠=∠=°，则DAO DCO ∠+∠的大小是（ ） A ．70° B ．110° C ．140° D ．150°2.如图，Y ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）． A ．3 B ．6 C ．12 D ．243.如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．A π- C ．π D ．π1-4.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ）A ．352 B ．31 C ．32D ．215.在矩形ABCD 中，1AB AD AF ==，平分DAB ∠，过C 点作CE BD ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ，下列结论中：AF FH =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ）A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④ 6.如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上，小明认为：若MN EF =，则MN EF ⊥．小亮认为：若MN EF ⊥，则MN EF =．你认为（ ）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对B DA BCOE F HM A 'D E A B NC7.如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=°，则A BD '∠的度数为（ ）． A ．15° B．20° C ． 25° D ．30°8.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ）A．．C ．3 D9.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（ ）A ． 8B ．112C ． 4D ．5210.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M N ，分别是AD BC 、边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ，若M N ，分别是AD BC ，边的中点，则A N '= ；若M N ，分别是AD BC ，边上距DC 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '= （用含有n 式子表示）．11.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．A B D CEF MND A C B A ' A DE PBCED FC 1D 1 D 2C 2 DA B12.如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠=°；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠=°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为___________． 13.如图，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝14.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =4AD =42B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △为等腰三角形，则CF 的长等于 ．15.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 90A B ∠+∠=°， 511CD AB ==，，点M N 、分别为AB CD、的中点，则线段MN = ． 16.已知：如图在ABCD Y中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB DC BC 、、的延长线于点E M N F 、、、．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明； （2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？17.已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG=CG ；D BCA FA B C D N ME B MO DNF C A（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）18.如图，ABC △中，AB AC =，P 为底边BC 上任意一点，点P到两腰的距离分别为12r r ，，腰上的高为h ，连接AP ，则ABP ACP ABC S S S +=△△△．即：12111222AB r AC r AB h +=g g g 12r r h ∴+=（定值）．（1）理解与应用如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上的一点，且BE BC =，F 为CE 上一点，FM BC ⊥于M ，FN BD ⊥于N ，试利用上述结论求出FM FN +的长． （2）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即： 已知等边ABC △内任意一点P 到各边的距离分别为123r r r ，，，等边ABC △的高为h ，试证明123r r r h ++=（定值）． （3）拓展与延伸若正n 边形12n A A A L 内部任意一点P 到各边的距离为12n r r r L ，请问是12n r r r +++L 是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．F BD 图①B D E 图②B 图③ AC B P r 1 r 2hDCBAE NF MCAB P r 1r 3 r 2h。
特殊的平行四边形练习题
特殊的平行四边形练习题一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．42．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．3．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）6．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.410．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．811．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE 沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣212．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．二．填空题（共5小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．14．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．15．如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为cm．16．如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为．17．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=50°，则∠APD等于．三．解答题（共13小题）18．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG 至点F使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．19．感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C ﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？21．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．22．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．23．如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．24．如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．25．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．26．如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B 作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH 交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．28．如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG ⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．29．已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB 于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．30．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．特殊的平行四边形练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．2．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．4．（2016•龙岩模拟）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．5．（2016•青山区模拟）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为（）A．（﹣3，5）B．（1，8） C．（﹣3，6）D．（1，9）【解答】解：作BM⊥CD于M，如图所示：∵B（﹣3，1），C（1，4），∴BN=3，BM=3+1=4，CM=4﹣1=3，ON=1，∴BC==5，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=5，∵AB∥y轴，∴点A的坐标为（﹣3，6）；故选：C．6．（2016•高县一模）如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC 上，EF 与CD 交于点M ，得四边形AEMD ，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（ ）A ．﹣4+4B ．4+4C ．8﹣4D ．+1【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，则S △ACD =AD•CD=×2×2=2； AC=AD=2，则EC=2﹣2，∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =ME•EC=（2﹣2）2=6﹣4，∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣（6﹣4）=4﹣4． 故选：A ．7．（2016•扬州二模）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：将△DAF 绕点A 顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF ≌△BAF′，∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，∴∠EAF′=45°，在△FAE和△EAF′中，，∴△FAE≌△EAF′（SAS），∴EF=EF′，∵△ECF的周长为4，∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，∴2BC=4，∴BC=2．故选A．8．（2016•苏州模拟）如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：延长AE交DF于G，如图：∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF=，故选D．9．（2016•桂林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB 上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.4【解答】解：如图，连接CD．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CD，此时，S△ABC即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B．10．（2010•天门校级自主招生）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4 D．8【解答】解：在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG∵∠ABO=90°﹣∠AHB，∠OCG=90°﹣∠OHC，∠OHC=∠AHB∴∠ABO=∠OCG∵OB=OC，CG=AB∴△OGC≌△OAB∴OG=OA=6，∠BOA=∠GOC∵∠GOC+∠GOH=90°∴∠GOH+∠BOA=90°即：∠AOG=90°∴△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）∴AC=16．故选B．11．（2016•平房区模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC 边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F 的长度为（）A．1 B．C．2D．2﹣2【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴S=BA•AB′=2，S△ABE=1，△ABB′∴CB′=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠FCB′=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B′=∠B=45°，∴CF=FB′=2﹣．故选C．12．（2016•夏津县一模）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则正方形的边长为（）A．4 B．3 C．2+D．【解答】解：过点M作MF⊥AC于点F，如图所示．∵MC平分∠ACB，四边形ABCD为正方形，∴∠CAB=45°，FM=BM．在Rt△AFM中，∠AFM=90°，∠FAM=45°，AM=2，∴FM=AM•sin∠FAM=．AB=AM+MB=2+．故选C．二．填空题（共5小题）13．（2016春•柳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC=AB×AC，∴AP×BC=AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10，∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=∴AM=，故答案为：．14．（2017•桂林一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD 边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2﹣2．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴MD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴MC==2，∴A′C=MC﹣MA′=2﹣2．故答案为：2﹣2．15．（2017春•广安月考）如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O交AD于E，则△ABE的周长为10cm．【解答】解：∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点，∵OE⊥BD，∴BE=DE，△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=×20=10（cm），故答案为：10．16．（2016•甘肃模拟）如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则阴影部分的面积为3．【解答】解：∵S △PAB +S △PCD =S ▱ABCD =S △ACD ，∴S △ACD ﹣S △PCD =S △PAB ，则S △PAC =S △ACD ﹣S △PCD ﹣S △PAD ，=S △PAB ﹣S △PAD ，=5﹣2，=3．故答案为：3．17．（2016秋•安丘市校级月考）如图，D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若∠CDE=50°，则∠APD 等于 50° ．【解答】解：由折叠得：∠PDE=∠CDE=50°，∵D ，E 分别为△ABC 的AC ，BC 边的中点，∴DE ∥AB ，∴∠APD=∠PDE=50°，故答案为：50°．三．解答题（共13小题）18．（2016•重庆模拟）如图1，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过B 作BG ⊥AE 于G ，延长BG 至点F 使∠CFB=45°（1）求证：AG=FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．【解答】（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，∵∠CFB=45°∴CH=HF，∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°∴∠BAG=∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，∴△AGB≌△BHC，∴AG=BH，BG=CH，∵BH=BG+GH，∴BH=HF+GH=FG，∴AG=FG；（2）解：∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH=GM，∴BG=GM，∵BM=10，∴BG=2，GM=4，∴AG=4，AB=10，∴HF=2，∴CF=2×=2，∴CM=2，过B点作BK⊥CM于K，∵CK=CM=CF=，∴BK=3，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，∴△BKC≌△CQD∴CQ=BK=3，DQ=CK=，∴QF=3﹣2=，∴DF==2．19．（2016•广水市一模）感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E 是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．【解答】探究：证明：∵根据旋转的性质得：△EBC≌△FDC，∴CE=CF，DF=BE，∵CG平分∠ECF，∴∠ECG=∠FCG，在△ECG和△FCG中∴△ECG≌△FCG（SAS），∴EG=GF，∵GF=DG+DF=DG+BE，∴EG=BE+GD；应用：解：如图3，过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，则∠A=∠B=∠CHA=90°，∵AB=BC，∴四边形ABCH是正方形，∵∠DCE=45°，AH=BC，∴∠DCH+∠ECB=90°﹣45°=45°，∵由已知证明知：△EBC≌△MHC，∴∠ECB=∠MCH，∴∠DCH+∠MCH=45°，∴CD平分∠ECM，∴由探究证明知：DE=BE+DH，在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，设BE=x，则BC=AB=x+8=AH，即x+8=6+10﹣x，x=4，BE=4，AB=4+8=12，BC=AB=12，∴梯形ABCD的面积是×（6+12）×12=108．20．（2017•临沂模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s 的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？【解答】解：根据题意得：CQ=2t，AP=4t，则BP=24﹣4t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，即2t=24﹣4t，解得：t=4，答：当t=4s时，四边形QPBC是矩形．21．（2016•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．22．（2014秋•重庆月考）如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．23．（2013•沙坪坝区校级模拟）如图，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连接EF交BD于点H．（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数；（2）求证：H是EF的中点．【解答】（1）解：设∠CDE=x°，∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°，∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，∴∠deh=x°，∠HEC=2x°，∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，∴5x=180°，x=36°，∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°，∴∠BDC=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BDC=54°；（2）证明：连接AC，GE，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=GC，BG=GD，∴GD=GC，∴G在CD的垂直平分线上，∵DE=CE，∴E在CD的垂直平分线上，∴GE为CD的垂直平分线，∴DM=CM，∵BG=DG，∴GM∥BC，∴∠DGE=∠DBC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDG，∴∠DGE=∠FDG，∴FD∥GE，∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE，∴四边形FDEG是平行四边形，∴H为EF的中点．24．（2013•渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=∠B．（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；（2）求证：BF=EF﹣EM．【解答】解：（1）过点D作DH⊥MC于点H，∵菱形ABCD的周长为8，∴CD=2，∵CD=CM，且∠D=67.5°，∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=，=CM•DH=×2×=；∴S△MCD（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，∴BC=CM，∠2=∠ABC，∵∠1+∠ABC=∠2+∠5∴∠1=∠5在△BNC和△MEC中，，∴△BNC≌△MEC（SAS），∴∠4=∠3，CE=NC，∵AD∥BC，∴∠2=∠BCM=∠ABC，∵∠ECF=∠ABC，∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，在△NCF和△ECF中，，∴△NCF≌△ECF（SAS），∴FN=EF，EF=FB+NB=FB+EM，∴FB=EF﹣EM．25．（2013•重庆模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．【解答】（1）解：在菱形ABCD中，AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB=4，∴等边△ABC底边BC上的高为4×=2，∴菱形ABCD的面积=4×2=8；（2）证明：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，∴∠AE′E=60°，∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=∠AEC﹣60°，又∵∠BE′E=∠AE′B﹣∠AE′E=∠AE′B﹣60°，∴∠BE′E=∠CEF，∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，∴∠ECF=180°﹣60°=120°，又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，∴∠E′BE=∠ECF，在△EE′B和△FEC中，，∴△EE′B≌△FEC（ASA），∴BE=CF，∴BC=CE+BE=CE+CF，∵AB=BC，∴AB=CE+CF．26．（2015•魏县二模）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？【解答】解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=4×1=4厘米，（1分）∵正方形ABCD中，边长为10厘米∴PC=BE=6厘米，（1分）又∵正方形ABCD，∴∠B=∠C，（1分）∴△BPE≌△CQP（1分）②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵△BPE≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC，而BP=4t，CP=10﹣4t，∴4t=10﹣4t（2分）∴点P，点Q运动的时间秒，（1分）∴厘米/秒．（1分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4.8x﹣4x=30，（1分）解得秒．（1分）∴点P共运动了厘米（1分）∴点P、点Q在A点相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在A点相遇．（1分）27．（2015•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H 延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．28．（2013•重庆模拟）如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ADE=15°，过D作DG⊥ED于D，且AG=AD，过G作GF∥AC交ED的延长线于F．（1）若ED=，求AG；（2）求证：2DF+ED=BD．【解答】解（1）在正方形ABCD中，AC⊥BD，∠ADO=45°，∵∠ADE=15°，∴∠EDO=30°∵DE=4，∠EOD=90°，∴OD=6，在Rt△AOD中，AD=12，∴AG=AD=12；（2）延长GF，过C作CM∥AG，交GF的延长线于M，连接DM．∵AC∥GF，即AC∥GM，∴四边形ACMG是平行四边形，∴AG=AD=DC=CM，∠AED=∠DFM=120°，∵∠ADE=15°∴∠DAG=30°，∠GAE=∠CMF=75°，∠ACM=105°，∴∠DCM=60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM=AD，∵∠DMF=∠ADE=15°∴△AED≌△DFM，∴FM=ED，AE=DF又∵AC=GM，即BD=GF+FM=GF+ED 又在RT△GDF中，∠GFD=60°，∴∠DGF=30°，∴GF=2DF，∴BD=2DF+ED．29．（2013•重庆模拟）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA 的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠1=∠2=22.5°，又∵CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又四边形ABCD为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又AC=AB=4∴AP=4，=AP•CD=4×4=8；∴S△APC（2）∵在△PDC和△FBC中，∴△PDC≌△FBC∴CP=CF在CN上截取NH=FN，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB和△BHC中，，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．30．（2013秋•重庆校级期中）在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠BCD=90°，又∵点G为DE中点，∴CG=GE=GD，∴∠GCD=∠GDC，∴∠BCG=∠ADG，在△ADG与△BCG中，，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴GA=GB．（2）证明：如图，过点H作HN⊥BC于N，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB=45°，∴△CHN为等腰直角三角形，∴HN=CN，易得AB∥HN，∴==，∴=，∴∠HBN=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABG=90°﹣30°=60°，∴△ABG是等边三角形，由（1）知GA=GB，∴AD=AG=AB，∴∠AGD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BGM=180°﹣75°﹣60°=45°，∵BM⊥E，∴△BMG是等腰直角三角形，∴BG=BM，∴AG=BM．第41页（共41页）。
特殊平行四边形练习题周日
特殊的平行四边形同步练习题一填空题：1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角 ，对角线 .2.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若100AOB ∠=，则OAB ∠= .3.已知菱形一个内角为120，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为 . 4.矩形的两条对角线把这个矩形分成了四个 三角形.菱形的两条对角线把这个菱形分成了 四个 三角形.正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个 三角形. 5.如图，把两个大小完全相同 的矩形拼成“L ”型图案，则FAC ∠= ,FCA ∠= .6.正方形的边长为a ，则它的对角线长 ，若正方形的对角线长为b ， 它的边长为 .7.边长为a 的正方形，在一个角剪掉一个边长为的b 正方形，则所剩余图形的周长为 .8.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 .顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.8.已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分 线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________.9.正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．10.如同，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且 AE ＝EC .若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点'B 重合，则AC ＝ cm .二.选择题：1.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角 2.下列命题是真命题的是（ ）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C. 有三个角是直角的四边形是矩形D.有三条边相等的四边形是菱形3.从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A.150B. 135C. 120D.1004.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ） ①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④5.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ） A.平行四边形和菱形 B.菱形和矩形 C.矩形和正方形 D.菱形和正方形6.矩形的边长为10cm 和15cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部份， 这两部份的长为（ ）A.6cm 和9cmB. 5cm 和10cmC. 4cm 和11cmD. 7cm 和8cm7.如图，点E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，AF ⊥BE 于点F ，交BD 于点G ， 则下述结论中不成立的是（ ）A.AG=BEB.△ABG ≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG8.顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形 9.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.矩形10. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 三.解答题2. 已知，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于 点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.6.如图，已知点F 是正方形ABCD 的边BC 的中点，CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF. 求证：AF=FG.11. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．BBM BCN CNCNM 图1图2图3AA A DD DBC一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1、如图，E F 、是ABCD 对角线AC 上两点，且AE CF =，连结DE 、BF ，则图中共有全等三角形的对数是（ ）Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对 2、如图，在在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，E F ，是对角线AC 上的两点，当E F ，满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是是平行四边形（ ） Ａ．OE OF = Ｂ．DE BF = Ｃ．ADE CBF ∠=∠ Ｄ．ABE CDF ∠=∠3、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否都为直角D ．测量其中三角形是否都为直角4、如果一个四边形绕对角线的交点旋转90 ，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形一定是（ ） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形5、下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是A Ｂ Ｃ Ｄ6. 已知点(20)A ，、点B （12-，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限7、如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ．下列结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥，④180BAD ABC ∠+∠= ．其中，正确的个数有（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个8、如图，平行四边形ABCD 中，AB 3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是（ ） Ａ．6 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．1010、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设AFC △的面积为 S ，则（ ）Ａ．2S = Ｂ． 2.4S = Ｃ．4S = Ｄ．S 与BE 长度有关12、 已知：如图，正方形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别 为BC 、CD 上的两点，BE=CF ，AE 、BF 分别交BD 、AC 于M 、N 两点， 连结OE 、OF.下列结论，其中正确的是（ ）.中点 中点A B D C A BOF E ABCDO MEN F AC①AE=BF；②AE⊥BF；③OM=ON=12DF ；④CE+CF=22AC .（A ）①②④ （B ）①②（C ）①②③④ （D ）②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）14、已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果点P 是菱形内一点，且PB =PD =2，那么AP 的长为 ．15、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形； ⇒ABCD 是菱形． 三、解答题23、（8分）在矩形纸片ABCD 中，AB =6BC =，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，30BPE ∠=． （1）求BE 、QF 的长； （2）求四边形PEFH 的面积．24、（本小题10分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得结论：①AF=DE ，②AF ⊥DE （不须证明）．（1）如图②，若点E 、F 不是正方形ABCD 的边BC 、CD 的中点，但满足CE=DF ，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图③，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，请先判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．。
中考数学 专题23《特殊四边形》练习题
《特殊四边形》练习题一．选择题1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3.下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF二．填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．8. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为．三．解答题12.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．13．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．15．（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．答案：1.C2.B3.C4.C5.B6.B7. 22.5°8. 2﹣2 9. （4，4）10. 52或53.11. 25()9n a12. 解：（1）∵正方形ABCD∴AD=B A，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ13. （1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，14. （1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=，∵A D=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=×6=2．故答案为2．②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由：连接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为60°．15. 解：（1）如图1，△ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，。
《特殊平行四边形》单元练习题(含答案)
第一章《特殊平行四边形》单元练习题一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为( B)A．48B．24C．14D．122．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较长的对角线长为( C)A．4.5cm B．4cm C．D．3．已知菱形OABC在下面直角坐标系中的位置如图所示，点(4,0)A，60∠=︒，则点BCOA的坐标为( D)A．(4+，2)B．(6,2)C．(4+，D．(6，4．在四边形ABCD中，//=，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形AB CD，AB AD的是( A)A．AB CD==D．AB BC =B．//AD BC C．BC CD5．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是，则矩形的面积是( C)A．232cm B．2C．2D．26．下列说法正确的有( A)（1）一组对边相等的四边形是矩形；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（4）四条边都相等的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．47．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是( A) A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8．将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知(1,0)DA-，(1,1)C，若绕点(0,0)B-，(0,1)顺时针旋转这个正方形，旋转角为135︒，则旋转后点B的坐标B'为( C)A．(1,1)B．(2,0)C．，0)D．(1,1)-9．如图，以Rt ABC∆的斜边BC为一边在ABC∆的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为AB=，AO=，那么AC的长等于( A)O，连接AO，如果3A．5B．．6C．7D．810．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线a b，则点P绕点E顺时针旋转90︒AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(,)得到的对应点P'的坐标是( D)A．(,)-D．(,0)ba bb a C．(,0)a b a-B．(,)二．填空题（共8小题）11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，=或OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则ABCD应满足的条件是AB AD ⊥（写出一种即可）．AC BD12．如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为24．13．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，1AB =，45ABE ∠=︒，则BC14．如图，在ABCD 中，再添加一个条件 AC BD = （写出一个即可），ABCD 是矩形（图形中不再添加辅助线）15．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 矩形 ．16．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5BC =，12AC =，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD AC ⊥，过M 作ME CB ⊥于点E ，则线段DE 的最小为13．17．如图所示，直线经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF a ⊥于点F ，DE a ⊥于点E ．若5DE =，3BF =，则EF 的长为 8 ．18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0,4)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为(12,8)．三．解答题（共8小题）19．如图，在菱形ABCD中，DE AB⊥，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求A∠的度数；（2）如果4AB=，求对角线AC的长．解：连接AC，BD（1）四边形ABCD是菱形AD AB∴=E是AB中点，DE AB⊥AD DB∴=AD DB AB∴==ADB∴∆是等边三角形60A∴∠=︒（2）四边形ABCD是菱形AC BD ∴⊥，1302DAC DAB∠=∠=︒，AO CO=，DO BO=4==AD BA∴=，AO=DO2AC∴=20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作//BD AB，并交AB的延长线相交于点E，则ACE∆是等腰三角形吗？请说明理由．解：ACE∆是等腰三角形，理由如下：四边形ABCD是矩形，CD AB，∴=，//AC BD即//DC BE，BD CE，//∴四边形DCEB是平行四边形，∴=，BD CE∴=，AC CE∴∆是等腰三角形．ACE21．如图1，ABD∆和BDC∆都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？（2）如图2，将BDC ∆沿射线BD 方向平移到△111B D C 的位置，则四边形11ABC D 是平行四边形吗？为什么？（3）在BDC ∆移动过程中，四边形11ABC D 有可能是矩形吗？如果是，请求出点B 移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）． 解：（1）四边形ABCD 是菱形； 理由如下：ABD ∆和BDC ∆都是边长为1的等边三角形． AB AD CD BC DB ∴====， AB AD CD BC ∴===， ∴四边形ABCD 是菱形；（2）四边形11ABC D 是平行四边形． 理由：11160ABD C D B ∠=∠=︒ 11//AB C D ∴，又11AB C D =，∴四边形11ABC D 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （3）四边形11ABC D 有可能是矩形．此时，1130D BC ∠=︒，1190D C B ∠=︒，111C D = 12BD ∴=，又111B D =， 11BB ∴=，即点B 移动的距离是1．22．在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AC 边的中点，过点A 作//AF BC ，交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）如图1，求证：四边形ADCF 是矩形；（2）如图2，当AB AC =时，取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形)ADCF ．（1）证明：//AF BC ，AFE EDC ∴∠=∠，E 是AC 中点， AE EC ∴=，在AEF ∆和CED ∆中， AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF CED ∴∆≅∆，EF DE ∴=，AE EC =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD BC ⊥， 90ADC ∴∠=︒， ∴四边形ADCF 是矩形．（2）线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC ∆的中位线，又//AF BC ， //AB DE ∴，//DG AC ，//EG BC ，∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形．23．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．（1）证明：四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=︒， CAD DBC ∠=∠， BAD ABC ∴∠=∠，2180BAD ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒， ∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=︒，CO DO =， DH CE ⊥，垂足为H ，90DHE ∴∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒， 90ECO DEH ∠+∠=︒， ECO EDH ∴∠=∠，在ECO ∆和FDO ∆中，90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆， OE OF ∴=．24．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平分线交AM 延长线于点F ．（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（2）如图2，若DA DE =，求证：BF DF +=．解：（1）设BM x =，则2CM x =，3BC x =， BA BC =，3BA x ∴=．在Rt ABM ∆中，E 为斜边AM 中点，2AM BE ∴==．由勾股定理可得222AM MB AB =+， 即22409x x =+，解得2x =． 36AB x ∴==．（2）延长FD 交过点A 作垂直于AF 的直线于H 点，过点D 作DP AF ⊥于P 点． DF 平分CDE ∠， 12∴∠=∠．DE DA =，DP AF ⊥ 34∴∠=∠．123490∠+∠+∠+∠=︒， 2345∴∠+∠=︒． 904545DFP ∴∠=︒-︒=︒．AH AF ∴=．90BAF DAF ∠+∠=︒，90HAD DAF ∠+∠=︒，BAF DAH ∴∠=∠．又AB AD =，()ABF ADH SAS ∴∆≅∆．AF AH ∴=，BF DH =． Rt FAH ∆是等腰直角三角形，∴=．HF AF=+=+，HF DH DF BF DF∴+=．BF DF。
2020年中考数学复习《特殊的平行四边形》专题训练及答案解析
2020年中考数学复习《特殊的平⾏四边形》专题训练及答案解析2020年中考数学专题练习特殊的平⾏四边形⼀、选择题1. (2019·上海)已知ABCD Y ，下列条件中，不能判定这个平⾏四边形为矩形的是( )A.A B ∠=∠ B. A C ∠=∠C. AC BD =D. AB BC ⊥ 2. (2019.杭州)如图，P 是矩形ABCD 内⼀点(不含边界)，设1PAD θ∠=，2PBA θ∠=，3PCB θ∠=，4PDC θ∠=.若80APB ∠=?，50CPD ∠=?，则( )A.1423()()30θθθθ+-+=? B. 2413()()40θθθθ+-+=? C. 1234()()70θθθθ+-+=? D. 1234()()180θθθθ+++=?3. (2019·遵义)如图，P 是矩形ABCD 的对⾓线AC 上⼀点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于点,E F ，连接,PB PD .若2,8AE PF ==，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 10B. 12C. 16D. 184. (2019·威海)矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH.若2,1====，则BC EF CD CE GH的长为( )C. D.A. 1B. 235. (2019·⼗堰)菱形不具备的性质是( )A.四条边都相等B.对⾓线⼀定相等C.是轴对称图形D.是中⼼对称图形6. (2019·淮安)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A. 20B. 24C. 40D. 487. (2019·⼤连)如图，在菱形ABCD中，对⾓线,AC BD相交于点O.若5,6==，则BD的长是( )AB ACA. 8B. 7C. 4D. 38. (2019·⾈⼭)⽤尺规在⼀个平⾏四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )9. (2019·宿迁)如图，菱形ABCD的对⾓线,AC BD相交于点O，E 为边CD 的中点.若菱形ABCD 的周长为16，60BAD ∠=?，则OCE ?的⾯积是( )10.(2019·湘西州)下列说法:①对顶⾓相等;②两直线平⾏，同旁内⾓相等;③对⾓线互相垂直的四边形为菱形;④对⾓线互相垂直平分且相等的四边形为正⽅形.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.(2019·宜昌)如图，正⽅形ABCD 的边长为1，,E F 分别是对⾓线AC 上的两点，EG AB ⊥，EI AD ⊥，FH AB ⊥，FJ AD ⊥，垂⾜分别为,,,G I H J ，则图中涂⾊部分的⾯积为( )A. 1B. 12C. 13D. 1412.(2019·河南)如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿B →→以1 cm/s 的速度匀速运动到点B ，图②是点F 运动时，FBC ?的⾯积y (cm 2)随时间x (s)变化的图象，则a 的值为( ) A.B. 2C. 52D.⼆、填空题13. (2019·株洲)如图，矩形ABCD的对⾓线AC与BD相交点O，AO AD的中点，则PQ的长度=分别为,10,,AC P Q为.14.(2019·成都)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆⼼，以⼤于1AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若==，则矩形的对⾓线AC的长为. 2,3DE CE15. (2019·徐州)若菱形两条对⾓线的长分别是6 cm和8 cm，则其⾯积为cm 2.16. (2019·⼴州)如图，若菱形ABCD的顶点,A B的坐标分别为-，点D在y轴上，则点C的坐标是.(3,0)，(2,0)17. (2019·葫芦岛)如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A的坐标为(2,3)，则点C 的坐标为 .18.(2019·黔西南州)已知⼀个菱形的边长为2，较长的对⾓线长为，则这个菱形的⾯积是 .19.( 2019·双鸭⼭)如图，在ABCD Y 中，添加⼀个条件，使ABCD Y 是菱形.20.(2019·南通)如图，在ABC ?中，,AD CD 分别平分BAC ∠和ACB ∠，//AE CD ，//CE AD .若从三个条件:①AB AC =;②AB BC =;③AC BC =中选择⼀个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是 . (填序号)21. (2019·随州)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，菱形OABC 的边长为2，点A 在第⼀象限，点C 在x 轴正半轴上，60AOC ∠=?.若将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转75o，得到四边形'''OA B C ，则点B 的对应点'B 的坐标为 .22. (2019·荆门)如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过菱形OACD 的顶点D 和边AC 的中点E .若菱形OACD 的边长为1，则k 的值为 .23. (2019·镇江)如图，点,,E F G 分别在菱形ABCD 的边,,AB BC AD 上，13AE AB =，13CF CB =，13AG AD =.已知EFG ?的⾯积等于6，则菱形ABCD 的⾯积等于 .24. (2019·乐⼭)如图，四边形ABCD 是正⽅形，延长AB 到点E ，使AE AC =，连接CE ，则BCE ∠的度数是 .25. (2019·咸宁)如图，将正⽅形OEFG 放在平⾯直⾓坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2,3)，则点F 的坐标为 .26. (2019·上海)对于⼀个位置确定的图形，如果它的所有点都在⼀个⽔平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都⾄少有⼀个公共点(如图①)，那么这个矩形⽔平⽅向的边长称为该图形的宽，铅垂⽅向的边长称为该矩形的⾼.如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB ⽔平放置.如果该菱形的⾼是宽的23，那么它的宽的值是 .27.(2019·武汉)以正⽅形ABCD 的边AD 作等边三⾓形ADE ，则BEC ∠的度数是 .28. (2019·青岛)如图，正⽅形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，AE DF = 2=，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .29. (2019·呼和浩特)如图，在正⽅形ABCD 中，M 是边BA 延长线上的动点(不与点A 重合)，且AM AB <，CBE ?由DAM ?平移得到.若过点E 作EH AC ⊥，H 为垂⾜，则有以下结论:①点M 位置变化，使得60DHC ∠=?时，2BE DM =;②⽆论点M 运动到何处，都有DM =;③⽆论点M 运动到何处，CHM ∠⼀定⼤于135o.其中正确的结论为 . (填序号)30. (2019·江西)在正⽅形ABCD 中，6AB =，连接,,AC BD P 是正⽅形边上或对⾓线上⼀点.若2PD AP =，则AP 的长为 .三、解答题31. (2019·湘西州)如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接,DE CE .(1)求证: ADE BCE ;(2)若6,4AB AD ==，求CDE ?的周长.32. (2019连云港)如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长,CE BA 交于点F ，连接,AC DF .(1)求证:四边形ACDF 是平⾏四边形;(2)当CF 平分BCD ∠时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由.33. ( 2019·河南)如图，反⽐例函数(0)k y x x =>的图象过格点(⽹格线的交点)P .(1)反⽐例函数的解析式为 .(2)在图中⽤直尺和2B 铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满⾜下⾯两个条件:①四个顶点均在格点上.且其中两个顶点分别是,O P ;③矩形的⾯积等于k的值.34. (2019·青岛)如图，四边形ABCD是平⾏四边形，对⾓线AC 与BD相交于点,E G为AD的中点，连接,CG CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证:AB AF=;(2)若AG AB∠=?，判断四边形ACDF的形状，并证BCD=，120明你的结论.35. (2019·⼴东)如图，BD是菱形ABCD的对⾓线，75∠=?.CBD(1)请⽤尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂是为E，交AD于点F;(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接BF，求DBF∠的度数.36.(2019·娄底)如图，在四边形ABCD中，对⾓线, AC BD相交于点O，且AD BC于点,E F.==，过点O作EF BD,OA OC OB OD⊥，分别交,(1)求证: AOE COF;(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.37. (2019·南京)如图，在四边形ABCD中，BC CDC BAD∠=∠.=，2==.求证: O是四边形ABCD内⼀点，且OA OB OD (1) BOD C∠=∠;(2)四边形ABCD是菱形.38. (2019·乌鲁⽊齐)如图，在四边形ABCD中，90∠=?，EBAC 是BC的中点，//⊥于点F.AE DC，EF CDAD BC，//(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若6,10==，求EF的长.AB BC39. (2019·⼴安)如图，四边形ABCD是正⽅形，M为BC上⼀点，连接AM，延长AD⾄点E，使得AE AM=，过点E作=.⊥，垂⾜为F，求证:AB EFEF AM40. (2019·盐城)如图，在正⽅形ABCD中，对⾓线BD所在的直线上有两点,E F满⾜BE DFAE AF CE CF.=，连接,,,(1)求证: ABE ADF;(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由.41. (2019·长春)在正⽅形ABCD中，E是边CD上⼀点(点E不与点,C D重合)，连接BE. [感知]如图①，过点A作AF BE⊥交BC于点F.易证.(不需要证明)ABF BCE[探究]如图②，取BE的中点M，过点M作FG BE⊥交BC于点F，交AD于点G.(1)求证:BE FG=.(2)连接CM，若1CM=，则FG的长为.[应⽤]如图③，取BE的中点M，连接CM.过点C作CG BE⊥交AD于点G，连接,EG MG.若3CM=，则四边形GMCE的⾯积为.42. (2019·潍坊)如图，M是正⽅形ABCD边CD上⼀点，连接⊥于点E，BF AM⊥于点F，连接BE.AM，作DE AM(1)求证:AE BF=;(2)已知2∠的正弦AF=，四边形ABED的⾯积为24，求EBF值.43. (2019·吉林)如图①，在ABC=，过AB上⼀点D中，AB AC作//DE AC交BC于点E，以E为顶点，ED为⼀边，作∠=∠，另⼀边EF交AC于点F. DEF A(1)求证:四边形ADEF为平⾏四边形;(2)当D为AB的中点时，ADEFY的形状为;(3)延长图①中的DE 到点G ，使EG DE =，连接,,AE AG FG ，得到图②，若AD AG =，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由.44. (2019·绍兴)⼩敏思考解决如下问题:原题:如图①，点,P Q 分别在菱形ABCD 的边,BC CD 上，PAQ B ∠=∠，求证: AP AQ =.(1)⼩敏进⾏探索，将点,P Q 的位置特殊化:把PAQ ∠绕点A旋转得到EAF ∠，使AE BC ⊥，点,E F 分别在边,BC CD 上，如图②.此时她证明了AE AF =.请你证明.(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线:如图③，作AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂⾜分别为,E F .请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:4AB =，60B ∠=?，如图①，请你编制⼀个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案.(根据编出的问题层次，给不同的得分)参考答案⼀、1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. B 11. B 12. C⼆、15.13. 2.5 14.2416.-17. (2,3)-18.19. 答案不唯⼀，如：AB BC=20. ②21.22. 23. 27 24.22.5o 25. (1,5)- 26.1813 27. 30o或150o28. 29. ①②③30. 2或三、解答题31. (1)点拨：由AD BCA B AE BE =??∠=∠??=?，可得()ADE BCE SAS .(2) CDE ?的周长是16.32. (1) 点拨：由()FAE CDE ASA ，可得FA CD =. ⼜∵//CD AF ，∴四边形ACDF 是平⾏四边形.(2)2BC CD =33. (1)反⽐例函数的解析式为4y x= (2) 答案不唯⼀，如图，矩形OAPB ，矩形OCDP 即为所求作的图形34. (1) 点拨：由AGF DGC=.，可得AF DC∵四边形ABCD是平⾏四边形，∴AB CD=，∴AB AF=.(2) 四边形ACDF是矩形点拨：由(1)可知四边形ACDF是平⾏四边形.由AGF DGCCF FG=，2=.，可得2AD AG由AG AB是∠=?，AB AF=，120BCD=，可得AFG等边三⾓形，∴AG FG=，∴AD CF=.∴四边形ACDF是矩形35. (1) 如图所⽰，直线EF即为所求(2) 45∠=?DBF36. (1)点拨：由题意得到四边形ABCD 是平⾏四边形，∴EAO FCO ∠=∠，⼜∵OA OC =，OEA COF ∠=∠，∴AOE COF(2) 四边形BEDF 是菱形37. (1)如图，延长线段AO 到点E .由题意可得，2BOD BAD ∠=∠.(2)如图，连接OC .证明OBC ODC .得到12BOC DOC BOD ∠=∠=∠，12 BCO DCO BCD ∠=∠=∠，∵BOD BCD ∠=∠，∴BOC BCO ∠=∠，∴OB CB =，∴OB CB CD OD ===，∴四边形ABCD 是菱形.38. (1)点拨：AE CE =(2)245EF=39. 点拨：EFA ABM40. (1) 点拨：AB ADABE ADF BE DF=∠=∠=(2)点拨：连接AC，交BD于点O.可知OC OA=，OE OF=，AC EF⊥，∴四边形AECF是菱形.41. [探究] (1)点拨如图，过点G作GP BC ⊥于点P.由PGF CBEPG CBFPG ECB∠=∠=∠=∠，得到PGF CBE(2) 2 [应⽤] 942. (1)点拨：由AFB DEAAB DAABF DAE∠=∠=∠=∠，可得ABF DAE(2)213sin EBF∠= 43. (1)点拨：//AD EF(2)菱形。
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特殊四边形的性质与判定练习题题型一矩形的性质例题：1．下列说法正确的是()A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°2．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点表示的数（）A．5.5 B．5 C．6 D．6.53．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝4cm，AD＝4√3cm．（1）判定△AOB的形状；（2）计算△BOC的面积．5．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，在折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG ．变式训练：1．将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 ( )A ．8√33cm 2B ．8 cm 2C ．16√33cm 2D ．16cm 22．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）A ．12cmB ．10cmC ．7.5cmD ．5cm3．矩形一个角的平分线把它的一边分为4 cm 和5 cm 两部分，则这个矩形的周长是( )A ．26 cmB ．27 cmC ．26 cm 或27 cmD ．26 cm 或28 cm4．如图，在平面内，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于（ ）A ．130°B ．115°C ．120°D ．125°5．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．题型二矩形的判定例题：1．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AC=BD3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.4．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．变式训练：1．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB//DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC2．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AC=BD B．△AOB是等边三角形C．AO=CO=BO=DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°3．如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．4．已知，如图，等边△ABC中，AD=DC，BF=FC，△BDE是等边三角形．求证：四边形AEBF是矩形．5．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)请给四边形ABCD只添加一个条件，使四边形ABCD为矩形。
中考数学平行四边形特殊四边形专题练习(基础)
中考数学平行四边形特殊四边形专题练习（基础）一．选择题（共6小题）1．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S＝48，则OH的长为（）菱形ABCDA．4B．8C．D．63．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A．B．C．4D．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（）A．15°B．35°C．45°D．55°5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1B．C．2D．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A．（2，）B．（，2）C．（，3）D．（3，）二．填空题（共24小题）7．如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分别是E，F．则PE+PF＝．8．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，若AC＝10cm，BD＝24cm，则OE的长为cm．9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为．10．如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝CD，连接CE，若AB＝3，BD＝4，则CE 的长为．11．如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AC＝4cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积是．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是边AB、BC的中点，若AB＝5，BD＝8，则△OEF的周长等于．13．如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝2，则对角线BD的长为．14．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD 于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为．15．如图，直线l过正方形的顶点B，点A、C到l的距离分别是2和1，则正方形的边长是．16．如图已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则的值为．17．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝．18．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E是DC边上的中点，连接OE，若OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为．19．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（1，3），则点F的坐标为．20．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且△AEF为正三角形，则BE的长为．21．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD ＝2．则CE＝．22．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在x轴上，顶点B的坐标为（2，3），那么顶点D的坐标是．23．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ＝1，连接AQ、DP交于点O，AQ交CD与点F，DP交BC 于点E，则线段OE的长为．24．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．25．如图，菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD＝1：2，则AO：BO＝，菱形ABCD的面积S＝．26．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝6，AB＝10，则点E的坐标是．28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是．29．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝．30．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则AB＝．三．解答题（共10小题）31．基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF，已知BF＝8，DF＝4，求CD的长．33．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．（1）求证：△ADE≌△BAF；（2）求证：DE﹣BF＝EF；（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．34．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．35．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．36．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别与AD、BC相交于点M、N，与BD相交于点O，连结BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若MD＝2AM，BD＝8，求矩形ABCD的周长．37．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．38．如图菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连结AF、EF．（1）△AEF的形状如何？试证明；（2）若E为BC上的任意一点，F为CD上的点，且∠EAF＝60°，△AEF的形状如何？试证明．39．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，CE，DF交于M，CE与DA的延长线相交于点P，求证：（1）△EBC≌△FCD；（2）CP⊥DF；（3）AM＝AD，40．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．参考答案一．选择题（共6小题）1．D；2．A；3．D；4．C；5．B；6．D；二．填空题（共24小题）7．2；8．6.5；9．；10．；11．12cm 2；12．8；13．6；14．1；15．；16．；17．；18．96；19．（﹣2，4）；20．2﹣；21．1；22．（2，﹣3）；23．；24．（﹣10，8）；25．1：2；4；26．3.4；27．（10，）；28．4.8；29．6；30．4；三．解答题（共10小题）31．；32．；33．；34．；35．；36．；37．25；38．；39．；40．；。
特殊的平行四边形专项练习(含答案)
特殊的平行四边形（含答案）一、选择题（本大题共49小题，共147.0分）1.一个菱形的周长是20cm，两条对角线长的比是4︰3，则这个菱形的面积是()A. 12cm2B. 96cm2C. 48cm2D. 24cm22.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数之比是()A. 3:1B. 4:1C. 5:1D. 6:13.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点，且∠AOG=30°.①DC=3OG；②OG=12BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE=16S矩形ABCD.则结论正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 14.如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为()A. 仅甲正确B. 仅乙正确C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，连接BD，∠DBC等于()A. 25°B. 35°C. 50°D. 65°6.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为()A. 5cmB. 4.8cmC. 4.6cmD. 4cm7.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为()A. 36°B. 27°C. 18°D. 9°8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH等于()A. 4B. 5C. 245D. 4859.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角10.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于()A. 60°B. 50°C. 30°D. 20°11.如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD=30°，∠BEC=90°，EF=4cm，则矩形的面积为()．A. 16cm2B. 8√3cm2C. 16√3cm2D. 32cm212.如图，正方形ABCD中，BE=FC，CF=2FD，AE，BF交于点G，连接AF，给出下列结论：①AE⊥BF;②AE=BF;③BG=43GE;④S四边形CEGF=S▵ABG．其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法错误的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 若AB⊥AC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD=CD，则四边形AEDF是正方形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形14.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中的矩形共有()A. 5个B. 8个C. 9个D. 11个15.如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是()A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形16.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等17.如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四条边的中点，连结EG与FH，交点为O，则图中的菱形共有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个18.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60∘，则花坛对角线AC的长等于()A. 6√3米B. 6米C. 3√3米D. 3米19.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF=CF；④∠EFC=2∠CFD.其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个20.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的12，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的()A. 12B. 14C. 16D. 1821.如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是()A. 甲正确，乙错误B. 甲、乙均正确C. 乙正确，甲错误D. 甲、乙均错误22.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，当AB︰AD的比为()时，四边形MENF是正方形．A. 1︰1B. 1︰2C. 2︰3D. 1︰423.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72∘，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是()A. 108∘B. 72∘C. 90∘D. 100∘24.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是()A. 小青B. 小何C. 小夏D. 小雨25.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为()A. (√3,−1)B. (2,−1)C. (1,−√3)D. (−1,√3)26.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是()A. 1和1B. 1和2C. 2和1D. 2和227.四边形ABCD的对角线AC，BD，下面给出的三个条件中，选取两个，能使四边形ABCD是矩形，①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD，则正确的选法是()A. ①②B. ①③C. ②③D. 以上都可以28.如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A. 2.5B. 3C. 4D. 529.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=2，EC=4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG.现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC//AG；④S△GFC=3.6.其中结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 430.在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是()A. 12B. 16C. 24D. 3231.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是()A. 1B. 12C. √22D. √3232.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A. 8B. 12C. 16D. 3233.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D.下列结论：①OA=BC=2√3；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(2√33,0)．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个34.如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF=CE=1，AB=3，则线段AF的长为()A. 2√5B. 4C. √10D. 3√235.如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√336.如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=()A. 13B. 10C. 12D. 537.下列说法正确的是()A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形38.如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是()A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°39.若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为()A. 4：1B. 5：1C. 6：1D. 7：140.已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()A. OA=OC，OB=ODB. 当AB=CD时，四边形ABCD是菱形C. 当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D. 当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形41.下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是()A. 由②推出③，由③推出①B. 由①推出②，由②推出③C. 由③推出①，由①推出②D. 由①推出③，由③推出②42.菱形不具备的性质是()A. 是轴对称图形B. 是中心对称图形C. 对角线互相垂直D. 对角线一定相等43.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 12544.下列说法正确的有几个()①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个45.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A. 4B. 6C. 8D. 1046.如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为()A. 2√2−2B. √3−1C. 2−√2D. √2−147.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8.则线段OH的长为()A. 125B. 52C. 3D. 548.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3449.菱形的对角线不一定具有的性质是()A. 互相平分B. 互相垂直C. 每一条对角线平分一组对角D. 相等二、填空题（本大题共21小题，共63.0分）50.如图，将两条宽度都为6的纸片重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．51.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为边AD的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于________．52.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是______．53.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．54.菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______．55.如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为(0,0)，(2,0)，(0,1)，则点E的坐标为______．56.如图，在菱形ABCD中，AB=18cm，∠A=60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为______．57.如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(A、C都落在G点)，若GF=4，EG=6，则DG的长为______．58.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE=1，连接AE，∠AOB=60°，AB=2，则AE的长为______．59.菱形ABCD中，∠A=60°，AB=9，点P是菱形ABCD内一点，PB=PD=3√3，则AP的长为______．60.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是(0,4)，则直线AC的表达式是______．61.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则∠AEF=______．62.如图，已知点P(2,0)，Q(8,0)，A是x轴正半轴上一动点，以OA为一边在第一象限内作正方形OABC，当PB+BQ取最小值时，点B的坐标是______．63.已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB=______．64.一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为______ cm2．65.菱形有一个内角为60°，较短的对角线长为6，则它的面积为______．66.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=1，则线段AE的长为______．67.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为______．68.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，求EF的最小值是______．69.如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为______．70.若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为______．三、解答题（本大题共19小题，共152.0分）71.如图，在▵ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．72.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF=DE，连接CF．(1)求证：四边形DBCF是平行四边形；(2)探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．73.如图1，直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ.设运动时间为t秒．(1)AM=______，AP=______.(用含t的代数式表示)(2)当四边形ANCP为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，①使四边形AQMK为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由②使四边形AQMK为正方形，则AC=______．74.如图，在长方形纸片ABCD中，AD//BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．(1)求证：BE=BF．(2)若∠ABE=18°，求∠BFE的度数．(3)若AB=4，AD=8，求AE的长．75.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．(1)四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由．(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论．(3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？76.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．77.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交cm，求AD．DC于点F，AF=25478.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，且BE=DF．求证：▱ABCD是菱形．CE．79.如图，AE=AC，点B是CE的中点，且AD//CE，AD=12(1)若AE=25，CE=14，求△ACE的面积；(2)求证：四边形ABCD是矩形．80.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)在点M移动过程中：①当四边形AMDN成矩形时，求此时AM的长；②当四边形AMDN成菱形时，求此时AM的长．81.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．82.如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD.求证：(1)∠BOD=∠C；(2)四边形OBCD是菱形．83.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．84.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，CF．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．85.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，OA=2，OC=4，点D为x轴上一动点，以BD为一边在BD右侧作正方形BDEF．(1)若点D与点A重合，请直接写出点E的坐标；(2)若点D在OA的延长线上，且EA=EB，求点E的坐标；(3)若OE=2√17，求点E的坐标．86.如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)如果∠A=90°，∠C=30°，BD=6，求菱形BEDF的面积．87.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，OC=3．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；QC是否存在最小值？若存在，求岀(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12这个最小值；若不存在，请说明理由．88.如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．89.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求解．【解答】解：设菱形的对角线长分别为8x cm和6x cm，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知(4x)2+(3x)2=25，解得x=1，故菱形的对角线长分别为8cm和6cm，×8×6=24(cm2).所以菱形的面积为122.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键．先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB：∠B=5：1；故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出AE、OG，然后用a表示出相关的边更容易理解，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG= AG=GE=12AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出③正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，∴OG=AG=GE=12AE，∵∠AOG=30°，∴∠OAG=∠AOG=30°，∠GOE=90°−∠AOG=90°−30°=60°，∴△OGE是等边三角形，故③正确；设AE=2a，则OE=OG=a，由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√(2a)2−a2=√3a，∵O为AC中点，∴AC=2AO=2√3a，∴BC=12AC=12×2√3a=√3a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=√(2√3a)2−(√3a)2=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3a，∴DC=3OG，故①正确；∵OG=a,12BC=√32a，∴OG≠12BC，故②错误；∵S△AOE=12a⋅√3a=√32a2，S ABCD=3a⋅√3a=3√3a2，∴S△AOE=16S ABCD，故④正确；综上所述，结论正确是①③④共3个．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)．【解答】解：甲的作法正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，在△AOE和△COF中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AOE =∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE =CF ，又∵AE//CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形；乙的作法正确；∵AD//BC ，∴∠1=∠2，∠6=∠7，∵BF 平分∠ABC ，AE 平分∠BAD ，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∴∠1=∠3，∠5=∠7，∴AB =AF ，AB =BE ，∴AF =BE∵AF//BE ，且AF =BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AB =AF ，∴平行四边形ABEF 是菱形；故选C ．5.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．直接利用菱形的性质得出∠ABC 的度数，进而得出∠DBC 的度数．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，∴∠ABC=180°−130°=50°，∴∠DBC=12∠ABC=25°．故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR= AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD//BC，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR=AS．∵AR⋅BC=AS⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA=12AC=3cm，OB=12BD=4cm，∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5cm．故选A．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键，解答此题由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD，求出∠EDC=36°，再由角的互余关系求出∠ODC，即可得出∠BDE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=12AC，OD=12BD，AC=BD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADE：∠EDC=3：2，∴∠EDC=25×90°=36°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODC=∠OCD=90°−36°=54°，∴∠BDE=∠ODC−∠EDC=54°−36°=18°．故选C．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴CO=12AC=6，BO=12BD=8，CO⊥BO，∴BC=√BO2+CO2=√62+82=10，∴S菱形ABCD =12AC⋅BD=12×16×12=96，∵S菱形ABCD=BC×AH，∴BC×AH=96，∴AH=9610=485．故选D．9.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了菱形的性质和平行四边形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．【解答】解：A.两组对角分别相等，两者均有此性质，故此选项不正确；B.两条对角线相等，两者均没有此性质，故此选项不正确；C.四个内角都是直角，两者均不具有此性质，故此选项不正确；D.每一条对角线平分一组对角，菱形具有而一般平行四边形不具有此性质，故此选项正确．故选D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形性质和判定，线段垂直平分线性质，菱形的性质的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角．连接BF，根据菱形性质得出AD=AB，∠DCB=100°，∠DCA= 50°，∠DAC=∠BAC=50°，根据线段垂直平分线得出AF=BF，求出∠FAB=∠FBA= 50°，求出∠AFB=80°，证△DAF≌△BAF，求出∠DFA=∠BFA=80°，根据三角形外角性质求出即可．【解答】解：如图，连接BF．∵在菱形ABCD中，∠BAD=100°，∴∠DAC=∠BAC=50°，∠ADC=∠ABC=180°−100°=80°．∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF．∴∠ABF=∠CAB=50°．在△ADF与△ABF中，∵{AD=AB,∠DAF=∠BAF, AF=AF,∴△ADF≌△ABF(SAS)，∴∠ADF=∠ABF=50°，∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=80°−50°=30°．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定及性质，求出矩形的宽是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC，然后判断出△CEF是等边三角形，过点E作EG⊥CF于G，根据等边三角形的性质及勾股定理求出EG，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：作EG⊥BC于G．∵F是BC中点，∠BEC=90°，∴EF=BF=FC，BC=2EF=2×4=8(cm)，∵∠ECD=30°，∴∠BCE=60°，∴△CEF是等边三角形，∴CE=EF=4cm，∠CEG=30°，∴CG=12CE=2cm，则EG=√CE2−CG2=2√3(cm)，∴矩形的面积=8×2√3=16√3(cm2).故选C．12.【答案】C【解析】【分析】此题考查三角形全等的判定和性质、正方形的性质和勾股定理。
北师大版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形 同步练习题 (含答案)
第一章特殊的平行四边形一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．482．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（）A．6 B．8 C．14 D．284．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．OA＝OC B．BC＝DC C．AD＝BC D．AD＝DC5．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形，其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④6．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN，CN⊥AN，MN为垂足若AB＝a，则DM+CN的值为（）A．a B．a C．D．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为，则AE的长为（）A．B．2 C．1.5 D．8．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 9．正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（）A．4B．32 C．64 D．12810．在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（）A．∠1＝∠2 B．BE＝DF C．∠EDF＝60°D．AB＝AF二．填空题（共10小题）11．已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝23°．则∠FEC＝度．12．在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，则菱形ABCD的面积是．13．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为（写出一个即可）15．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝5时，线段BC的长为．16．如图1，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，我们把的值叫做这个菱形的“形变度”．例如，当形变后的菱形是如图2形状（被对角线BD分成2个等边三角形），则这个菱形的“形变度”为2：．如图3，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF（A、E、F是格点）同时形变为△A′E′F′，若这个菱形的“形变度”k＝，则S△A′E′F′＝．17．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．18．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为cm2．19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．20．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为．三．解答题（共7小题）21．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AB＝，OA＝a，OB＝b，且a，b满足：．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求的值．22．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE ∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．23．已知：AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点EF分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）当∠ABE＝15°时，AB＝1+，求BE．24．同学张丰用一张长18cm、宽12cm矩形纸片折出一个菱形，他沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）求菱形AECF的面积．25．（1）如图1，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在DC上，且∠EAF＝45°，则有BE+DF ＝．若AB＝4，则△CEF的周长为．（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，试判断BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．26．在正方形ABCD的外侧作等腰△ABE，已知∠EAB＝a，连接ED交等腰△ABE底边上的高AF所在的直线于点G．（1）如图1，若a＝30°，求∠AGD的度数；（2）如图2，若90°＜a＜180°，BE＝8，DE＝14，则此时AE的长为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm；P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，求经过多长时间四边形ABQP为矩形？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周长为24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO•BO＝14，∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，故选：D．4．【解答】解：A、若AO＝OC，且BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠BAO＝∠OCD，且∠OAB＝∠OAD∴∠OAD＝∠OCD∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形故A选项不符合题意B、若BC＝DC，BO＝DO∴AC是BD的垂直平分线∴AB＝AD则不能判断四边形ABCD是菱形故B选项符合题意，C、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝BC∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故C选项不符合题意D、∵∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，∴AB＝AD，且BO＝DO∴AC垂直平分BD∴BC＝CD，且AD＝CD∴AB＝AD＝BC＝CD∴四边形ABCD是菱形故D选项不符合题意故选：B．5．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，∴2OG＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△DEG（SAS），△BCO≌△DEG（SAS），△CDO≌△DEG（SAS），△AOD≌△DEG（AAS），△ABG≌△DEG（SAS），△BDG≌△DEG（SAS），∴②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．6．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝a，∴AN平分∠DAB，∴∠DAM＝45°，∴∠CEN＝∠DEM＝45°，∵DM⊥AN，CN⊥AN，∴△DME和△CNE是等腰直角三角形，∴DM＝DE，CN＝CE，∴DM+CN＝（DE+CE）＝CD＝a；故选：C．7．【解答】解：连接BE，如图所示：由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，∴S△BDE＝2S△BOE＝．∴DE•AB＝，又∵AB＝2，∴DE＝，∴BE＝在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝1.5．故选：C．8．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．9．【解答】解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为8，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×8×8＝32，故选：B．10．【解答】解：由正方形的性质知，∠ACD＝∠ACB＝45°，BC＝CD，CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴BF＝FD，同理，BE＝ED，∴当BE＝DF，有BF＝FD＝BE＝ED，四边形BEDF是菱形．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，∴∠BAE＝∠FAC，且AB＝AC，∠B＝∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝∠D＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，又∠AEC＝∠B+∠BAE＝83°，∴∠CEF＝83°﹣60°＝23°．故答案为：2312．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝6，∴∠AOD＝90°，∴OD＝＝8，∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96，故答案为96．13．【解答】解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝10若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴OB＝＝∴AD＝AB﹣2OB＝故答案为：14．【解答】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．故答案为：AB＝AD（答案不唯一）15．【解答】解：由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．故答案为：5．16．【解答】解：如图，在图2中，形变前正方形的面积为：a2，形变后的菱形的面积为：a•a＝a2，∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比：a2：a2＝2：，∵这个菱形的“形变度”为2：．∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比＝这个菱形的“形变度”，S△AEF＝×2×2+×2×2＝4，∵若这个菱形的“形变度”k＝，∴＝，即＝，∴S△A′E′F′＝．故答案为：．17．【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．18．【解答】解：如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2故答案为：2019．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．20．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAF+∠EAD＝90°，∵BF⊥a，DE⊥a，∴∠AED＝∠AFB＝90°∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，∴△AFB≌△DEA，∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，故答案为：8三．解答题（共7小题）21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∵OA＝a，OB＝b，AB＝，∴a2+b2＝5，，∵a，b满足：．∴a2b2＝4，∴ab＝2，∴△AOB的面积＝ab＝1，∴菱形ABCD的面积＝4△AOB的面积＝4；（2）∵a2+b2＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，∴a+b＝3，∴＝．22．【解答】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF，AB＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：连接EF交BC于O，如图所示：∵AD＝7，AB＝DC＝2.5，∴BC＝AD﹣AB﹣DC＝2，∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，EF⊥BC，OB＝BC＝1，OE＝OF，∴△CBE是等边三角形，∠BEO＝30°，∴BC＝EC＝2，∴OE＝OB＝，∴EF＝2，∴菱形BFCE的面积＝BC×EF＝×2×2＝2；故答案为：2．23．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝BC＝CD，且∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°∴AB＝AD＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°∴∠ABD＝∠EBF＝60°＝∠BDC，∴∠ABE＝∠DBF，∠BAD＝∠BDF＝60°，且AB＝BD∴△ABE≌△DBF（ASA）∴BE＝BF，且∠EBF＝60°．∴△BEF是等边三角形（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，作∠GEB＝∠ABE＝15°，∴∠EGH＝30°，GE＝GB，设HE＝x，在Rt△GHE中，∠EGH＝30°∴GE＝2x＝BG，HG＝x，在Rt△AHE中，∠BAD＝60°∴AH＝x，∵AB＝AH+HG+BG＝1+∴x+x+2x＝1+∴x＝∴HE＝∴BH＝∵BE2＝HE2+BH2，∴BE2＝（）2+（）2，∴BE＝24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACE，∵∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACF，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠FAC＝∠FCA，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形．（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC＝CF＝AF，设菱形的边长为a，在RT△ABE中，∵∠B＝90°，AB＝12，AE＝a，BE＝18﹣a，∴a2＝122+（18﹣a）2，∴a＝13，∴BE＝DF＝5，AF＝EC＝13，∴S菱形AECF＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DFC＝216﹣30﹣30＝156cm2．25．【解答】解：（1）延长EB至H，使BH＝DF，连接AH，如图1，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF＝∠ABH，AD＝AB，在△ADF和△ABH中，，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AF＝AH，∴∠FAH＝90°，∴∠EAF＝∠EAH＝45°，在△FAE和△HAE中，，∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF＝HE＝BE+HB，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝EF+CE+CF＝BE+CE+DF+CF＝BC+CD＝2AB＝8．故答案为：EF；8．（2）EF＝BE+DF，理由如下：延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，如图2，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝∠C＝90°，∠EAF＝45°，即∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．26．【解答】解：（1）∵AE＝AB，AF⊥BE，∠EAB＝30°∴∠FAE＝15°∵∠EAB＝30°，∠BAD＝90°∴∠EAD＝120°，且AE＝AD∴∠AED＝∠ADE＝30°∴∠AGD＝∠AED+∠EAF＝45°（2）如图，连接AC，BD交于点O，连接FO，∵四边形ABCD是正方形∴BO＝DO，BD＝AB，∠ABD＝∠ADB＝45°∵AE＝AB，AF⊥BE∴∠AEB＝∠ABE，EF＝BF＝4，且BO＝DO∴FO＝DE＝7，FO∥DE∵AE＝AD∴∠AED＝∠ADE∵∠ABD+∠ADB+∠AED+∠ADE+∠AEB+∠ABE＝180°∴2（∠AEB+∠AED）＝90°∴∠DEB＝45°∵FO∥DE∴∠BFO＝45°，且BM⊥FO∴FM＝BM，∴BF＝BM＝4∴BM＝FM＝4∴MO＝3∴BO＝＝5∴BD＝2BO＝10∴AB＝5＝AE故答案为：527．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝12cm，∴AD＝BC＝12cm．当四边形ABQP为矩形时，AP＝BQ．①当0＜t＜3时，t＝12﹣4t，解得，t＝；②当3≤t＜6时，t＝4t﹣12，解得t＝4；③当6≤t＜9时，t＝36﹣4t，解得t＝；④当9≤t≤12时，t＝4t﹣36，解得，t＝12．综上所述，当t为或4或或12时，四边形ABQP为矩形．。
3特殊的平行四边形-矩形多种类型题
特殊的平行四边形矩形矩形的性质【基础练习】一、矩形性质1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分二、矩形边、对角线1．如果矩形的一边与对角线的夹角为50 ，则两条对角线相交所成的锐角的度数为( ) A．60° B．70° C．80° D．90°2．一个矩形的对角线等于长边的一半与短边的和，则短边与长边的比为。
3、2，则它的一条对角线的长是______．4．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB 的长是（）A．12 B．22 C．16 D．265．矩形的三个顶点坐标分别是（-2，-3），（1，-3），（-2，-4），那么第四个顶点坐标是（）A．（1，-4） B．（-8，-4） C．（1，-3） D．（3，-4）6．如图所示，矩形ABCD的两条对角线交于点O，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对7．矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________8．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别在D′、C′位置，若∠EFB=65°，则∠AED′=_____.9．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.AB CDE FO三、矩形与等腰三角形1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC BD，交于点O，已知120 2.5AOD AB∠==o，，则AC的长为．2．矩形边长为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，则这两部分的长分别为 ( ) A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm3．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线和短边的和为15，则短边的长是，对角线长是。
特殊的四边形练习题
特殊的四边形练习题1．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．42．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．B．C．D．4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（）A．8B．9C．10D．125．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3D．46．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（）A．≤AM＜4B．6≤AM＜8C．≤AM＜8D．3≤AM＜47．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（）cm．A．2B．3C．4D．58．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°9．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．511．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EF A．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④13．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG＝AB；②S四边形ODGF＞S△ABF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③④14．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC ＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．115．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．316．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④17．如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE ＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④18．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON 分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CF2＝2OE2，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④19．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．20．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，BG＝5，则CF的长为．21．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于．22．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，点P为线段AC上的一个动点．（1）填空：AD＝CD＝．（2）过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点．连接PB，在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为．23．如图，∠EOD＝90°，点A、B分别在OE，OD上，∠EAB与∠ABD的角平分线交于点P，PC⊥AB于C，若PC＝2，则OP＝．24．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，连接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，则BD＝．25．如图，AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝18，DC＝6，则△ABC的面积是．26．如图，以△ABC的两边AB，AC为边向形外作正方形ABEF，ACGH，则称这两个正方形为外展双叶正方形．有以下5个结论：①△ABC面积与△AFH面积相等．②过点A作边BC的垂线交FH于点D，则FD＝HD．③O为边BC的中点，OA延长线与HF交于点P，则AP⊥HF且HF＝2AO．④连接FC、HB相交于点R，则FC＝HB且FC⊥HB．⑤连结EG，S为EG的中点，则SB＝SC且SB⊥SC．其中正确的结论是（填序号）．27．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．28．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：BD＝DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．29．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．30．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．31．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A＝°时，四边形BECF是正方形；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．。
2020届初三数学复习 特殊平行四边形 专题练习包含答案
特殊平行四边形1. 下列命题中，正确的是( )A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线相互垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线相互垂直的的平行四边形是菱形2. 下列性质中，句型具有而菱形不一定具有的是( )A. 对角线相等B. 对角线相互平行C. 对角线相互垂直D. 邻边互相垂直3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A．30° B．60° C．90° D．120°6．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( ) ①AC＝5 ②∠A＋∠C＝180°③AC⊥BD④AC＝BDA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )A. 3 B．2 C．2 3 D．48．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C．2 3 D. 39. 下列说法不正确的是( )A. 对角线相互垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 有一个角是直角的平行四边形的是正方形D. 一组邻边相等的矩形是正方形10. 若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2，则其对角线BD的长是( )A. 3B. 3C. 5D. 2 511. 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD12. 如图，四边形ABCD和DEFG是两个边长相等的正方形，连接CE.若∠ADG ＝150°，则∠DCE＝ .13. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：或，使得平行四边形ABCD为菱形．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为．15. 平行四边形ABCD的对角线相较于点O,若AB=5,AC=6,BD=8,则平行四边形ABCD是．16. 若一个菱形的一条边长为4cm,则这个菱形的周长是 cm.17. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,则AC BD,OA OB.(等于；不等于)18. 如图，△ABC中，∠ACB=90°,∠B=55°,D是斜边AB的中点，那么∠ACB=19．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，在四边形ABCD中，若AB＝8，∠ABC ＝60°，则AC＝．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°，其中正确的序号有 .21．菱形AOBC如图放置，A(3，4)，先将菱形向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位，然后沿x轴翻折，最后绕坐标轴原点O旋转90°得到点C的对应点为点P，则点P的坐标为．22. 若某正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是．23. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.24. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.25. 如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F点左侧)，BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．26. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED.求证：EF⊥BD.27. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．28. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P.(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．29．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．30. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．答案：1---11 DACCB BAACC C12. 75°13. AD ＝DC AC⊥BD14. 515. 菱形16. 1617. 等于 等于18. 35°19. 820. ① ② ③ ④21. (－3，1)或(3，－1)22. 823. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝DC ，又∵E，F 为CD ，AD 的中点，∴DF＝12AD ，DE ＝12DC ，∴DF＝DE.又∵∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF(SAS)．24. (1)证明：在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA ，∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB.(2)解：∵∠DAF＋∠ADF＝90°，∠FDC＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠FDC＝30°，∴AD＝2DF.又∵DF＝AB ＝4，∴AD＝2AB ＝2×4＝8.25. (1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB＝OD.由BE∥DF 得∠BEO＝∠DFO. 又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF ，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)解：∵AB⊥A C ，AB ＝4，BC ＝213，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO 中，BO ＝5.∵四边形BEDF 是矩形，∴OE＝OB ＝5.∴点E 在OA 的延长线上，∴AE＝2.26. 证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC 和△ADC 都是直角三角形．又∵E 是AC 的中点，∴BE＝DE ＝12AC. 又∵EF 平分∠BED，∴EF⊥BD.27. 解：设正方形的边长为x.∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC＝2x ，∴AE＝2x ，CB ＝x ，∴S 菱形AEFC ＝AE·CB＝2x·x＝2x 2＝92，解得x ＝±3，依题意舍去x ＝－3，即正方形的边长为3.28. (1)证明：∵正方形ABCD ，∴AD＝BA ，∠BAD＝90 °，即∠BAQ＋∠DAP＝90 °.∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90 °，∴∠BAQ＝∠ADP.∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB＝∠DPA＝90 °，∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ；(2)解：①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.29. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下：由(1)得AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．30. (1)证明：如图①，在▱ABCD中，∵∠D＝60 °，∠DAB＝∠1＋∠2＝120 °.由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠1＝∠2＝∠D＝60 °，∴△DEA和△AD′E是等边三角形，∴DE＝AD′＝AD＝ED′＝1.∵AB＝2，∴D′B＝1.同理EC＝1，∴EC＝D′B＝ED′＝1.∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC∥D′B，∴四边形D′BCE是平行四边形．又∵D′B＝ED′，∴▱BCED′是菱形；①②(2) 解：如图②，BD 的长即为所求，作DG⊥BA 的延长线于点G.∵∠DAB＝120 °，∴∠DAG＝60 °，∵∠G＝90 °，∴∠ADG＝30 °.在Rt△ADG 中，∵AD＝1，∴AG＝12，DG ＝32.∵AB＝2，∴BG＝52. 在Rt△BDG 中，BD 2＝BG 2＋DG 2＝7，∴BD＝7，即PD′＋PB ＝7.。
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特殊四边形练习题
1、（2012湖南益阳）如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连结AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．梯形 2、（2012山东泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点
E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ）
A. 3
B.3.5
C.2.5
D.2.8
3、(2012江苏苏州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE 的周长（ ）
A ． 4
B ． 6
C ． 8
D ． 10
4、2012四川成都）如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．
的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC
A C
D
O
5、 （2012，黔东南州）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连结PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90º，得线段PE ，连结BE ，则∠CBE 等于（ ）
A
D
E O
A、75º
B、60º
C、 45º
D、 30º
6、( 20XX年浙江省宁波市)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为
(A)90 (B)100 (C)110 (D)121
7、（2012安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
8、（2012江苏盐城）如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）.
9、（2012贵州省毕节市）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形
．．．．．。
现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 . 10、（2012贵州铜仁）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．
11、(2012山东省临沂市）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD= 0.
12、(2012山东省聊城）矩形ABCD对角线相交与O，DE//AC，CE//BD.
求证：四边形OCED是菱形.
13、（2012湖北襄阳）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）当AB 与AC 具有什么位置关系时，四边形AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时
菱形AECD 的面积．
14、（2012浙江省温州市）如图，△ABC 中，90B ∠=，AB=6cm,BC=8cm 。
将△ABC 沿射线
BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A,B,C 的对应点分别是D,E,F ，连结AD 。
求证：四边形ACFD 是菱形。
15、（2012浙江省嘉兴市）如图,已知菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB 至点E,使BE=AB,连结CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E =50° ,求∠BAO 的大小.
第19题O
C
D B
16、（2012湖南娄底）如图11，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点.
（1）求证：△MBA ≌△NDC ；
（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由.
图10 A
D
F
17、（2012江苏盐城）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BDC=900，E 为BC 上一点，
∠BDE=∠DBC ．
（1）求证：DE=EC ．
（2）若
AD=12
BC,试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．
18、(2012山东省临沂市）如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）若∠ABC=900
，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形。
19、（2011山东省潍坊市）如图，已知平行四边形ABCD ，过A 作AM ⊥BC 与M ，交BD 于E ，过C 作CN ⊥ＡＤ于Ｎ，交ＢＤ于Ｆ，连结AF 、CE.
（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；
（2）当AECF 为菱形，M 点为BC 的中点时，求AB ：AE 的值。
A
D C B M
N P Q 第23题图
20、(2012重庆)已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC 的长；(2）求证AM=DF+ME 。
21M
F A B
C D
21、（2012四川内江）如图11，四边形ABCD 是矩形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠BCE ，∠AED ＝∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F ．
（1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）当AE ＝2EF 时，判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论．
22、（2012贵州贵阳）如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E,F 分别在BC 和CD 上. （1）求证：CE=CF ；
（2）若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长.
C B
E
F G
图11
A
C
E
第22题图。