微积分定理和公式

欢迎共阅、函数

【定义1.1】设在某一变化过程中有两个变量X和y，若对非空集合D中的每一点x，都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数，记作

x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域，y的取值范围即集合1y|y = f(x),x・D?称为函数的值域•xoy平面上点的集合：(x, y) | y = f (x), x • D :■称为函数y=f(x)的图形.

定义域D (或记D f )与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.

(二)函数的几何特性

1.单调性

(1)【定义1.2】设函数f (x)在实数集D上有定义对于D内任意两点X,, x2，当x, V x2时，若总有f(xj < f(X2)成立，则称f (x)在D内单调递增(或单增)；若总有f(xj V f(X2)成立，则称f (x)在D内严格单增，严格单增也是单增.当f (x)在D内单调递增时，又称f (x)是D内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.

2.有界性

【定义1.3】设函数f(x)在集合D内有定义，若存在实数M > 0,使得对任意x D,都有| f(x)| < M，则称f(x)在D内有界，或称f(x)为D内的有界函数.

【定义1.4】设函数f(x)在集合D内有定义，若对任意的实数M > 0,总可以找到一x D,使得

| f (x) | > M，则称f (x)在D内无界，或称f (x)为D内的无界函数.

【定义1.5】设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意x D,都有f(-x)--f(x)(或 f(-x)=f(x)),则称f (x)为D 内的奇(偶)函数.

奇函数的图形关于原点对称，当f(x)为连续的函数时，f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设fjx) 一f2(x)为奇函数，g1(x),g2(y)为偶函数,则

f'x) 一f2(x)为奇函数；g'x) _g2(x)为偶函数；

f'x) 一g'x)非奇偶函数；

I •

f j(x) g1(x)为奇函数；f j(x) f2(x), g'x) °2(x)均为偶函数. 常数C是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是奇函数了.

利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.

4.周期性

【定义1.6】设函数f(x)d在集合D内有定义，如果存在非零常数T,使得对任意x D恒有f(x f (x)成立,则称f (x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称为f(x)的基本周期，简称周期.

我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y二x -[x]是以1为周期的周期函数.y =[x]与y=x-[x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.

(三)初等函数

1.基本初等函数

(1)常数函数y=C,定义域为(-s ,+x),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.

(2)幕函数y =x‘,其定义域随着的不同而变化.但不论〉取何值,总在(1,+s)内有定义，且图形过点(1,1).当〉> 0时，函数图形过原点(图1-2)

图1-2

(3)指数函数y = ：• x(：. - 0, 1),其定义域为(-g, + x).

当0v v 1时，函数严格单调递减.当〉> 1时，函数严格单调递增.子数图形过点(0,1).微积分中经常用到以e为底的指数函数，即y =e x(图1-3)

(4)对数函数y = log ：.x(： -0，篇胡),其定义域为(1,+g)，它与y三x互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数，记作y=1 nx,称为自然对数.对数函数的图形过点(1,0)(图1-4)

(图1-3)(图1-4)

另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数，不在考纲之内•

对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握，这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要. 例如，设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x (a,b), f " (x) v0.

则⑴f ' (x)在(a,b)内严格单调减少；(2) f (x)在(1,b)上为凸弧，均不充分.

此题可以用举例的方法来说明(1)、(2)均不充分.由初等函数的图形可知，y=-x4为凸弧.y ' =-4x3在(—g g + )上严格单调递减但y" =-12x2<0,因此(1) , (2)均不充分，故选E.此题若把题干改成f 〃(x) < 0,则(1) , (2)均充分，差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.

2•反函数

【定义1.7】设函数y二f(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个y R ,都有惟一确定的

D与之对应,且满足y二f(x) x是一个定义在R以y为自变量的函数，记作

并称其为y = f (x)反函数.

习惯上用x作自变量，y作因变量，因此y = f(x)反函数常记为y = f^(x), R.

函数y二f(x)与反函数y r f'(x)的图形关于直线y=x对称.

严格单调函数必有反函数，且函数与其反函数有相同的单调性十a%y二log a x互为反函.y =x2,x • ［0,+x］的反函数为y = •.. x ,而y =x2,x • (-^ ,0)的反函数为y x (图1-2 (b)).

3•复合函数

【定义1.8】已知函数y二f(u),u・ D f,y R f .又u —(x),x D ：AR ,若D f R f非空，则称函数

为函数y = f(u)与u V:(x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.

4•初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数，初等函数在其定义域内有统一的表达式.

(四)隐函数

若函数的因变量y明显地表示成y = f(x)的形式，则称其为显然函

数.y =x2,y =1 n(3x2 - 1),y = ix2 -1 等.

设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式F(x,y)二0表示,如果存在函数y二f(x) (不论这个函数是否能表示成显函数)，将其代入所设方程，使方程变为恒等式：

其中D f为非空实数集.则称函数y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定的一个隐函数.

如方程.x「y =1可以确定一个定义在［0,1］上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式即

但并不是所有隐函数都可以用x的显函数形式来表示，如e xy x 0因为y我法用初等函数表达，故它不是初等函数.另外还需注意，并不是任何一个方程都能确定隐函数，如x2• y2• 1 = 0.

(五)分段函数

有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数，如都是定义在( —％, + x)上的分段函数.

分段函数不是初等函数，它不符合初等函数的定义.

二、极限(不在考试大纲内，只需了解即可)

二'I

极限是微积分的基础.

(一)数列极限

按照一定顺序排成一串的数叫做数列，如a,a2…务a n称为通项.

1.极限定义

【定义1.9】设数列「a「,当项数n无限增大时，若通项a.无限接近某个常数A,则称数列；收敛于A,或称A为数列忌？的极限,记作

否则称数列：a n匚发散或lim a.不存在.

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2.数列极限性质

(1)四则极限性质设lim ^n二a,|im y n =b,则

(2)lim^^a u lim x n * =a ( k 为任意正整数).

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(3)若lim.X n =a,则数列U?是有界数列.

(4)夹逼定理设存在正整数N o,使得N o时，数列｛x n H yn｝」Zn｝满足不等式Z n兰X n兰y n. 若lim y n二

lim z n = a，则lim 焉=a.

禾利用此定理可以证明重要极限