微积分定理和公式
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
微积分基本公式
微积分公式D x sinh -1(ax)=221x a + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x)= 22a a x -coth -1(a x)=22a a x -- sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(a x )=22xa x a+-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C ⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C ⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos βc 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi ΖζzetaΞξxiΧχkhi a bcαβγ R倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0、1 10-1 deci d 分,十分之一0、01 10-2 centi c 厘(或写作「厘」),百分之一0、001 10-3 milli m 毫,千分之一0、000 001 10-6 micro ? 微,百万分之一0、000 000 001 10-9 nano n 奈,十亿分之一0、000 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一0、000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞(或作「费」),千兆分之一0、000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0、000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0、000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
微积分基本公式和基本定理
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
微积分重要公式及概念
当x→+∞时，以下各函数趋势于+∞的速度为：
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , x
由慢到快
当n→∞时
㏑x , xⁿ (n＞0) , a (a＞1) , n! , x
由慢到快
7.积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一个点ξ使∫f(x)dx=f(ξ)(b-a)
2.常见的偶函数：|x| , cosx , x (n为正整数), e , e ……
常见的奇函数：sinx , tanx , 1/x , x , arcsinx , arctanx ,……
3.常见的函数周期：sinx , cosx ,其周期T=2π；
tanx , cotx , |sinx| , |cosx| ,其周期T=π.
4.三个恒等式：a =x ; arcsinx + arccosx = π/2 ; arctanx + arccotx = π/2
5.常用的等价形式：当x→0时，sinx ~ x , arcsinx ~ x , tanx ~ x , arctan x ~ x ,
㏑(1+ x) ~ x , e –1 ~ x , 1-cosx ~ (1/2)x², (1+x) -1 ~ (1/n)x
8.微分中值定理：若函数f(x)满足条件：函数f(x)在x的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
f(x)≤f (x )或f(x)≥f (x ),f(x)在x处可导，则有f′(x )=0
9.洛尔定理：设函数f(x)满足条件：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b)，则
在(a,b)内至少存在一个ξ，使f′(ξ)=0
积分微分公式
积分微分公式摘要：一、引言二、积分与微分的概念1.积分的定义2.微分的定义三、积分与微分的关系1.微积分基本定理2.反函数定理四、积分微分公式1.基本积分公式2.基本微分公式五、实际应用1.物理中的应用2.工程中的应用六、结论正文：一、引言在数学的发展历程中，积分与微分是两个重要的概念。
它们在解决实际问题中发挥着关键作用，如物理、工程等领域。
本文将对积分与微分的关系进行详细阐述，并通过实例介绍它们在实际应用中的价值。
二、积分与微分的概念1.积分的定义积分是对一个函数在某一区间上的累积效果进行度量的方法。
通俗地说，就是求解一个曲线下的面积。
数学上，我们可以用以下符号表示：∫f(x)dx其中，f(x) 表示被积函数，x 表示自变量，∫ 表示积分符号。
2.微分的定义微分是对一个函数在某一点上的变化率进行度量的方法。
用数学符号表示为：f"(x)其中，f(x) 表示被微分函数，x 表示自变量，" 表示微分符号。
三、积分与微分的关系1.微积分基本定理微积分基本定理是积分与微分之间的桥梁。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，那么f(x) 在[a, b] 上的原函数（即微分后的函数）可以表示为：F(x) = ∫f(x)dx此外，微积分基本定理还给出了求解定积分的逆运算方法，即求解原函数（微分后的函数）。
2.反函数定理反函数定理是微积分基本定理的推广。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，并且f(x) 在[a, b] 上单调，那么f(x) 在[a, b] 上存在反函数，且反函数也是可积的。
四、积分微分公式1.基本积分公式基本积分公式是一些常用的积分计算方法，例如：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C其中，n 为常数，C 为积分常数。
2.基本微分公式基本微分公式是一些常用的微分计算方法，例如：(f(x) + g(x))" = f"(x) + g"(x)(cf(x))" = cf"(x)(f(x)g(x))" = f(x)g"(x) + g(x)f"(x)五、实际应用1.物理中的应用在物理学中，积分与微分发挥着重要作用。
微积分基本公式
微积分公式D x sinh -1(a x )= 221x a + cosh -1(a x )= 221ax - tanh -1(a x)= 22a a x -coth -1(a x )=22a a x -- sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(a x )=22x a x a +- ? sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C? cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C? tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C? coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C ? sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ? csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C sin 3θ=3sin θ-4sin 3θcos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ? (3sin θ-sin3θ)→cos 3θ=?(3cos θ+cos3θ) sin x = j e e jxjx 2-- cos x =2jx jx e e -+ sinh x = 2x x e e -- cosh x =2x x e e -+ 正弦定理:αsin a = βsin b =γsin c =2R 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos β c 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β)2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β)tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ?n (n +1)∑=ni i 12= 61 n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [?n (n +1)]2Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -td t = 2⎰∞0t2x-12t e-d t = ⎰∞0)1(ln tx-1 d tβ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x= ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Ααalpha Ιιiota Ρρrhoa b c α β γR倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十10-1 deci d 分，十分之一10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一10-3 milli m 毫，千分之一001 10-6 micro 微，百万分之一000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个分支，主要研究连续变化的函数及其相关性质。
在微积分中，有许多重要的公式在各个方面被广泛应用。
下面给出了微积分的一些重要公式。
1.极限公式（1）a^0=1，a≠0（2）lim(x→0) sinx/x = 1（3）lim(x→∞) (1+1/x)^x = e（4）lim(x→∞) (1+1/n)^nt = e^t（5）lim(x→0) (1+x)^1/x = e（6）lim(x→∞) (1+1/x)^x = e2.微分公式（1）dy/dx (x^n) = nx^(n-1)（2）dy/dx (a^x) = a^x ln(a)（3）dy/dx (e^x) = e^x（4）d/dx (ln(x)) = 1/x（5）d/dx (sinx) = cosx（6）d/dx (cosx) = -sinx（7）d/dx (tanx) = sec^2x（8）d/dx (cotx) = -csc^2x（9）d/dx (secx) = secx tanx（10）d/dx (cscx) = -cscx cotx3.积分公式（1）∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C，n≠-1（2）∫a^x dx = a^x/ln(a) + C（3）∫e^x dx = e^x + C（4）∫1/x dx = ln，x， + C（5）∫sinx dx = -cosx + C（6）∫cosx dx = sinx + C（7）∫sec^2x dx = tanx + C（8）∫csc^2x dx = -cotx + C（9）∫secx tanx dx = secx + C（10）∫cscx cotx dx = -cscx + C4.导数规则（1）(f+g)’=f’+g’（2）(af)’ = af’，a为常数（3）(f×g)’=f’×g+f×g’（4）(f/g)’ = (f’g - fg’)/g^2，g≠0（5）(fog)’=f’og×g’，o表示复合函数（6）(f^n)’ = nf^(n-1) f’，n为常数5.积分规则（1）∫(f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx（2）∫(af) dx = a∫f dx，a为常数（3）∫(f × g) dx = ∫f dx ∫g dx - ∫f’ dx ∫g dx + C，C 为常数（4）∫(1/f) dx = ∫1/f dx（5）∫f’(x) dx = f(x) + C，C为常数以上是微积分中的一些公式，它们在求解问题和推导定理时都起到了重要的作用。
微积分的基本定理
微积分的基本定理微积分是数学的重要分支和基石，广泛应用于物理、工程学、经济学和其他各种领域。
微积分的基本定理是微积分中最基本的一条公式，它用于计算定积分和求导数，是微积分计算的基础。
定积分是将函数在一定区间内的面积进行求和的过程。
而求导是计算函数的变化率，也就是斜率的过程。
微积分的基本定理连接了这两种计算方法。
基本定理分为两部分：第一部分，也被称为牛顿-莱布尼茨公式，描述了一个定积分的值可以通过函数的原函数来计算：∫a~b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是函数f(x)的原函数，a和b是积分区间的端点。
第二部分是求导和积分的关系，它描述了函数f(x)和它的原函数F(x)之间的对应关系：d/dx ∫a~x f(t)dt = f(x)这意味着，积分与求导是互逆的操作。
如果我们首先用函数f(x)在区间[a, x]上的面积来定义函数F(x)，那么F'(x) = f(x)。
也就是说，如果我们知道函数f(x)的积分，那么就可以计算出它的导数。
基本定理是微积分的基础之一，它允许我们对复杂的函数进行计算。
例如，我们可以用基本定理来计算一个函数的平均值、最大值和最小值。
这些计算在数学模型、数据分析和工程中都非常有用。
此外，基本定理还允许我们计算偏导数。
如果一个函数有多个自变量，那么我们需要对其中一个自变量求偏导数。
基本定理可以用于计算偏导数，从而得到函数在某个变量上的变化率。
基本定理的重要性还体现在物理中。
如果我们想计算一个物体的速度或加速度，我们需要知道其位置或速度随时间的变化率。
基本定理允许我们计算这些变化率，从而在物理学中得到非常有用的结果。
微积分的基本定理是微积分中最基本的定理之一，它连接了定积分和求导两个计算方法，为微积分提供了基础。
基本定理的应用非常广泛，既包括学术领域，也包括实际应用中。
熟练掌握这个定理是理解微积分和充分利用微积分的关键。
微积分基本公式和基本定理
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式 ，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复 杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时 ，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学 问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的 核心定理，它提供了计算定积分的简 便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意 在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大 简化了定积分的计算过程，是微积分学 中的重要内容。
微积分常用公式及运算法则上
微积分常用公式及运算法则上微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
在学习微积分的过程中，掌握常用的公式和运算法则是非常重要的。
下面是微积分中常用的公式和运算法则的详细介绍。
一、常用公式1.导数公式（1）常数的导数：若c为常数，则d/dx(c)=0。
（2）乘方函数的导数：若y=x^n，则dy/dx=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数：若y=e^x，则dy/dx=e^x。
（4）对数函数的导数：若y=ln(x)，则dy/dx=1/x。
（5）三角函数的导数：（a）若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)。
（b）若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)。
（c）若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。
（d）若y=cot(x)，则dy/dx=-csc^2(x)。
（e）若y=sec(x)，则dy/dx=sec(x)tan(x)。
（f）若y=csc(x)，则dy/dx=-csc(x)cot(x)。
2.积分公式（1）不定积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
（2）定积分：若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b]f(x)dx是f(x)在[a, b]上的定积分。
3.常用等式（1）和差化积：(a+b)(a-b)=a^2-b^2（2）完全平方差：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2（3）二次方程的根：若ax^2+bx+c=0(a≠0)有实根，则判别式D=b^2-4ac≥0。
（4）勾股定理：在直角三角形ABC中，设∠C=90°，则a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。
二、运算法则1.四则运算法则（1）加法法则：(f+g)'=f'+g'。
（2）减法法则：(f-g)'=f'-g'。
（3）乘法法则：(f*g)'=f'*g+f*g'。
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分学基本定理及基本积分公式
1．变限定积分
f (t) 在[a, b]上可积，则对 x [a, b]， f (t) 在[a, x]上
可积，即 x f (t )dt ． a
---变上限定积分
1) 变上限定积分是上限的函数
设 f 在[a, b]上可积，
x
( x) a f (t)dt, x [a, b]
(1 x2 ) x2 x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
EXE (4)
1 dx 1 x2
F(x) ex2 (x2 ) 2xex2 ．
一般地，
u(x)
v( x)
f (t) dt f (u( x))u( x) f (v( x))v( x)
．
( x) x f (t)dt ， ( x) f ( x) ．
2) 变上限a 定积分求导
例 2
F(x)
x
( x t) f (t) dt,
结论：若 F ( x)为 f ( x) 的任一原函数， 则(1)F(原 x) 函 C数为的f存( x在) 的性原函数的全体，其中 C 为常数．
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在[a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一
若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
即从一条曲线上下平移而得 3) 基本积分公式
微积分定理和公式
微积分定理和公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT一、函数【定义】 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义】 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义】 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义】 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数. 常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义】 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x y ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义】 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义】 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy 因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义】 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim （k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim . 利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义】 设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作 3．0x x →时的极限【定义】 设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作 4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的. 3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。
微积分定理和公式
一、函数定义 设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D 或记f D 与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.二函数的几何特性 1．单调性1定义 设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增或单增；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.定义 设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.定义 设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇偶函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律： 设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性定义 设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数考纲不要求,除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1a 和图1-1b 所示.三初等函数 1．基本初等函数1常数函数 C y =,定义域为-∞,+∞,图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .2幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在1,+∞内有定义,且图形过点1,1.当α＞0时,函数图形过原点图1-2a b图1-23指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为-∞,+∞.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点0,1.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即xe y =图1-34对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为1,+∞,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点1,0图1-4图1-3 图1-4 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 1f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；2)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明1、2均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在－∞,∞＋上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此1,2均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则1,2均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数定义 设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反函.∈=x x y ,20,+∞的反函数为x y =,而∈=x x y ,2－∞,0的反函数为x y -=图1-2b.3．复合函数定义 已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若ff R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.四隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =不论这个函数是否能表示成显函数,将其代入所设方程,使方程变为恒等式： 其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x exy因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .五分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 都是定义在－∞,＋∞上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限不在考试大纲内,只需了解即可极限是微积分的基础. 一数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义定义 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在. 2．数列极限性质1四则极限性质 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则2a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim k 为任意正整数.3若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.4夹逼定理 设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤.若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim .利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 5单调有界数列必有极限 设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1或n n x x ≥+1,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 二函数的极限 1．∞→x 时的极限 定义 设函数)(x f 在)0(||>≥a ax 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正负方向趋于无穷大,简记+∞→x -∞→x 时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x -∞→x 时以A 为极限,记作3．0x x →时的极限定义 设函数)(x f 在0x 附近可以不包括0x 点有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作4．左、右极限若当x 从0x 的左侧0x x <趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧0x x >趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0三函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B . 2．局部有界性 若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内点0x 可以除外,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,在该邻域内有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝;若A x f x x =→)(lim 0;且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝,则必有A≥0或A ≤0;4．不等式性质若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,且A>B ,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,使)(x f >)(x g .若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0.且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f <)(x g 或)(x f ≤)(x g ,则A ≤B ;5．四则运算 同数列四无穷小量与无穷大量 1．无穷小量的定义定义 若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量;若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量;2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量; 3．无穷小量的运算性质i 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量; ii 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量; iii 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量; 4．无穷小量阶的比较设0)(lim,0)(lim 0==→→x x a x x x x β,5．等价无穷小常用的等价无穷小：0→x 是,)0(~1)1(,1~1,~)1(1,~1≠-+-+-ααααaxx n x x x n x e xx等价无穷小具有传递性,即)(~)(x x βα,又)(~)(x x γβ; 等价无穷小在乘除时可以替换,即)(~)(),(~)(**x x x x ββαα,则)()(lim )()(lim **)()(0x x x x x x x x x x βαβα∞→→∞→→=或或第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算;三、函数的连续性一函数连续的概念 1．两个定义定义 设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,;若)()(lim 00x f x f x x =→,则称0)(x x f 在点连续；若D x f 在)(中每一点都连续,则称0)(x x f 在点右连续;定义 若)()(lim 00x f x f x x =+→,则称0)(x x f 在点右连续; 若)()(lim 00x f x f x x =-→,则称0)(x x f 在点左连续;0)(x x f 在点连续0)(x x f 在⇔点既左连续又右连续;2．连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续;二间断点1．若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→与都存在,且不全等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的第一类间断点; 其中若)(lim 0x f x x →存在,但不等于)(0x f 或)(x f 在0x 无定义,则0x 为)(x f 的可去间断点;若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与都存在,但不相等,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点;2．若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在,则称0x 为)(x f 的第二类间断点;三闭区间上连续函数的性质若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续,又)()(lim ),()(lim b f x f f x f bx x ==-+→→αα,则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续;1．最值定理设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 和最小值m ,即存在],[,21b a x x ∈,使],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且;2．价值定理设)(x f 在],[b a 上连续,且m,M 分别是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的],[M m k ∈,总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使;推论1 设)(x f 在],[b a 上连续,m,M 分别为最小值和最大值,且mM <0,则至少存在一点0)(],,[=∈c f b a c 使;推论1 设)(x f 在],[b a 连续,且0)()(<⋅b f a f ,则一定存在],,[b a c ∈使0)(=c f ; 推论1,推论2又称为零值定理;第二章 导数及其应用一、导数的概念1．导数定义定义 设y=fx 在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限存在,则称此极限值为函数y=fx 在x 0点的导数,此时称y=fx 在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导这时称fx 在D 内可导,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=fx 的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2．导数的几何意义若函数fx 在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=fx 在点x 0,y 0处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若fx 在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.3．左、右导数定义 设fx 在点x 0点的左侧邻域内有定义,若极限 存在,则称此极限值为fx 在点x 0处的左导数,记为)(0x f -')(0x f -'=xx f x x f ∆-∆+-→∆)()(lim 000类似可以定义右导数.fx 在点x 0点处可导的充要条件是fx 在点x 0点处的左、右导数都存在且相等,即)()()(000x f x f x f +-'='⇔'存在存在.若fx 在a,b 内可导,且)(a f +'及)(b f -'都存在,则称fx 在a,b 上可导. 4．可导与连续的关系若函数0)(x x f y 在=点可导,则)(x f 在点0x 处一定连续. 此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在可知,)(x f 在0x 点可导, 必有0→∆y ,故)(x f 在0x 点连续.但)(x f 在0x 点连续只说明当0→∆x 时,也有0→∆y ,而当y ∆的无穷小的阶低于x ∆时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导.只有y ∆与x ∆是同阶无穷小,或y ∆是比x ∆高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导. 例如,0||,31===x x y x y 在点连续,但不可导.二、导数的运算1．几个基本初等函数的导数 1.0='=y c y 2.,1-='=a aax y x y3x x x x e y e y na a y x y ='=='=,;1,4.1,1;11,log xy nx y na x y x y a ='=='=2．导数的四则运算 1)(])([x u c x u c '⋅='⋅； 2)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；3)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅；4)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡； 3．复合函数的导数设函数)(x u ϕ=在x 处可导,而函数)(u f y =在相应的点)(x u ϕ=处可导,则复合函数)]([x u f y =在点x 处可导,且dxdudu dy dx dy x x f dxdy⋅='⋅'=或)()]([ϕϕ.4．高阶导数二阶导数若函数 区间a,b 内可导,一般说来,其导数)(x f y '='仍然是x 的函数,如果)(x f y '=' 也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为)(x f 的二阶导数,记为2222)(,),(,dxx f d dx d x f y y ''''. 注 更高阶的导数MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确第三讲 微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法 三、微分1．微分的概念定义 设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.2微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2．微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则 一阶微分形式不变性：设)]([x f y ϕ=是由可微函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成,则)]([x f y ϕ=关于x 可微,且由于du u f dy )('=,不管u 是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u 是自变量,)(u f y '='.若u 是中间变量,x u u f y x u u '⋅'='=则),(.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-.第二种情况是过曲线)(x f y =外一点a,b ,求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠.设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点a,b 代入方程中,有))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为)()(x g y x f y ==与解题方法是设在两条曲线上的切点分别为))(,()),(,(b g b a f a 这两点的切线斜率相等,从而有方程).()(b g a f '=' ①另外过点)(,a f a 的切线方程))(()(a x a f a f y -'=-也过点b,gb ,故有))(()()(a b a f a f b g -'=- ②由①、②求出a,b ,有了切点,切线方程也就可以写出来了. 第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线)()(x g y ax f y ==与在某点处相切,求a 的值与切线方程.则可设切点为))(,(0x g x ,从而有)())(()()(0000x g x x ax f x g ax f '=='=,由两方程联和可得a 的值及切点横坐标0x .即切点))(,(00x g x ,再由第一种情况,写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1．函数的增减性的判定设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在a,b 内可导,若)0)((0)(<'>'x f x f 或,则)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少.反之,若)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少且可导,则)0)((0)(≤'≥'x f x f 或.二者的差异在于有没有等号.2．极值概念与判定定义 设)(x f 在0x 的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x ,都有)(x f ≥)(0x f 或)(x f ≥)(0x f ,则称)(0x f 为极大值或极小值0x 为极大值点或极小值点.需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.1极值存在的必要条件：若)(x f 在0x 点可导,且0x 为极值点,则)(0x f '=0.因此,极值点只需在)(x f '=0的点驻点或)(x f '不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是)(x f '=0或)(x f '不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.2极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高)(x f 在0x 点连续,且)(0x f '=0或)(0x f '不存在.若存在0>δ,使得当),(00x x x δ-∈时,有)(x f >0或)(x f 不存在,当),(00δ+∈x x x 时,有)(x f '<0或)(x f '>0,此时0x 为极大极小值点.)(0x f 为极大极小值.若)(x f '在0x 的左右不变号,则0x 不是极值点.第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性. 当)(0x f '=0,若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点,若0)(0<''x f ,0x 为极大值点,0)(0=''x f 判别法失效,仍需用第一判别法.3．函数在闭区间a,b 上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点驻点和不可导点,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.第四讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1．概念定义 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧简记为 ；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧简记为,曲线凹、凸的分界点称为拐点.2．凹凸的判定设函数)(x f y =在区间a,b 内二阶可导,若在a,b 内恒有)(x f ''>0或)(x f ''<0,则曲线)(x f y =在a,b 内是凹弧或凸弧.3．拐点的求法与判定拐点存在的必要条件是)(0x f ''=0或)(0x f ''不存在请与极值比较其共性.设)(x f 在a,b 内二阶可导,)(0)(),,(000x f x f b a x ''=''∈或不存在,若)(x f ''在0x 点的左右变号,则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,否则就不是拐点.由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k 个,则这个k 个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内)(x f '不变号,由)(x f '>0或0)(<'x f 判定fx 在该子区间内单调递增或递减,同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.第三章 定积分及其应用一、不定积分1．不定积分概念定义原函数 若对区间I 上的每一点x ,都有 则称Fx 是函数fx 在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数fx 有一个原函数F x ,则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为Fx+C 的形式,其中C 是任意常数.定义不定积分 函数fx 的原函数的全体称为fx 的不定积分,记作⎰dx x f )(.若Fx 是fx的一个原函数,则定义原函数的存在性 在区间I 上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.2．不定积分的性质1积分运算与微分运算互为逆运算. 2⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数3⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3．基本积分公式4．求不定积分的基本方法和重要公式 1直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.2换元积分法 I 第一换元积分法 公式 若⎰+=C u F du u f )()(,则=C u F +)( C x F +))((ϕ. 说明 1°运算较熟练后,可不设中间变量)(x u ϕ=,上式可写作2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x 用x 的可微函数)(x ϕ替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路 不定积分⎰dx x f )(可用第一换元积分法,并用变量替换)(x u ϕ=,其关键是被积函数gx可视为两个因子的乘积且一个因子)())((x x f ϕϕ是的函数是积分变量x 的复合函数,另一个因子)(x ϕ'是)(x ϕ的导数可以相差常数因子.有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.II 第二换元积分法 公式⎰dx x f )( ⎰'dt t t f )())((ϕϕ C t F +)( 说明 第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用用第二换元积分法的思路 若所给的积分⎰dx x f )(不易积出时,将原积分变量x 用新变量t 的某一函数)(t ϕ来替换,化成以t 为积分变量的不定积分⎰'dt t t f )())((ϕϕ,若该积分易于积出,便达到目的;被积函数是下述情况,一般要用第二换元积分法：1°被积函数含根式t b ax b a b ax n n =+≠+令时可以是,)0,0(,求其反函数;作替换)(1b t ax n -,可消去根式,化为代数有理式的积分; 变量替换令)(t x ϕ=变量替换令)(t x ϕ=第一换元法令令第一换元法ux x u ==)()(ϕϕ2°被积函数含根式a e x ±时,令t a e x =±,求其反函数,作替换)(12a t n x ±=可消去根式;被积函数含指数函数)(xxe a 或,有时也要作变量替换：令)(t e t a xx==或,设)1(111nt x nt nax ==或,以消去)(x x e a 或; 3分部积分法 公式⎰⎰'-='或dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(说明 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用; 用分部积分法的思路 I 公式的意义 欲求⎰'dx v u求⎰'.dx u vII 关于选取u 和v '用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为)(x u u =,哪一个因子为)(x v v '='.一般来说,选取u 和v '应遵循如下原则:1°选取作v '的函数,应易于计算它的原函数;2°所选取的u 和v ',要使积分⎰'dx u v 较积分⎰'dx v u 易于计算;3°有的不定积分需要连续两次或多于两次运用分部积分法,第一次选作v '或u 的函数,第二次不能选由v '或u 所得到的v 或v '.否则,经第二次运用,被积函数又将复原.Ⅲ分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.5.求不定积分需要注意的问题1由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如nxe e e xx x 11,,,122-等的原函数就无法用初等函数表示.2对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1．定积分的定义定义定积分 函数)(x f 在区间a,b 上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,其中||max 1i ni x x ∆=∆≤≤.由定积分的定义,可推出以下结论:1定积分只与被积函数和积分区间有关; 2定积分的值与积分变量无关,即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(;3⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(,特别地,⎰=aadx x f 0)(.定积分的几何意义 设)(x f 在a,b 上边续,⎰badx x f )(在几何上表示介于i 轴、曲线y =)(x f 及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号.利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容. 定理可积的必要条件 若函数)(x f 在区间a,b 上可积,则)(x f 在a,b 上有界. 定理可积的充分条件 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则)(x f 在a,b 上可积.定理可积的充分条件 在区间a,b 上只有有限个间断点的有界函数)(x f 在该区间上可积.2.定积分的性质设)(x f ,)(x g 在a,b 上可积 1⎰⎰=baba k dx x f k dx x kf ,)()(为常数;2⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([;3对积分区间的可加性 对任意三个数a,b,c,总有 4比较性质 设],[),()(b a x x g x f ∈≤,则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.特别地1°若],[,0)(b a x x f ∈≥,则0)(≥⎰badx x f ;2°⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(5⎰-=baa b dx .定理估值定理 若)(x f 在a,b 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.定理积分中值定理 若)(x f 在a,b 上连续,则在a,b 上至少存在一点ξ,使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.上式若写成⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,该式右端称为函数)(x f 在区间a,b 上的平均值. 3.微积分学基本定理定理原函数存在性定理 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则函数 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,即)()()(x f dt t f dx d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰.设)(),(x x ψϕ可导 推论1 设⎰=Φϕadt t f x )()(,则)())(()(x x f x ϕϕ'=Φ'.推论2 设⎰=Φ)()()()(x x dt t f x ϕψ,则)())(()())(()(x x f x x f x ψψϕϕ'-'=Φ'.推论3 ⎰=Φ)()()()(x adt x g t f x ϕ,则)())(()()()()()()()()(x x f x g dt t f x g dt t f x g x x a x a ϕϕϕϕ'+'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ'⎰⎰. 定理牛顿-莱布尼茨公式 若函数)(x f 在区间a,b 上连续,)(x F 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式. 4.计算定积分的方法和重要公式 1直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数)(x f 在积分区间a,b 上必须连续. 2换元积分法公式 设函数)(x f 在区间a,b 上连续,而函数)(t x ϕ=满足下列条件:1°)(t ϕ在区间],[βα上是单调连续函数; 2°b a ==)(,)(βϕαϕ; 3°],[)(βαϕ在t '上连续, 则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.3分部积分法公式 设函数)(),(x v x u 在区间a,b 上有连续的导数,则⎰⎰'-='babadx x u x v a b x v x u dx x v x u )()()()()()(. 用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设⎰⎰=xcbadx x f dt t x f )(,)()(求ϕ,这时,应设dx dv x f u ==),(.4计算定积分常用的公式 1°202241a dx x a aπ=-⎰.2°奇偶函数积分 设],[)(a a x f -在上连续,则 3°⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)(.计算定积分,当积分区间为-a,a 时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换u x -=,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.4°周期函数积分 设)(x f 是以T 为周期的周期函数,则⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(.5°若)(x f 以T 为周期且是奇函数,则第六讲重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积直角坐标系下.5.广义积分 前面引进的定积分⎰badx x f )(有两个特点:积分区间为有限区间;被积函数)(x f 在a,b 上。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，应用广泛，内容繁多。
在这里，我将为您介绍一些微积分中的基本公式和定理。
请注意，这里只是列举一些常用的公式，若要深入学习微积分，请参考相关教材和课程。
1.导数的基本公式：- 常数导数法则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
- 幂函数导数法则：对于幂函数f(x) = x^n ，其中n是常数，则其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
-和差导数法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.基本积分公式：- 反微分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
- 平方差公式：∫(a^2 - x^2)^(1/2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) + a^2sin^(-1)(x/a)) + C。
- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，其中e是自然对数的底数。
- 三角函数积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
3.特殊函数和公式：-泰勒级数展开：函数f(x)在点a处的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...。
- 自然对数函数和指数函数的微分法则：d/dx(ln(x)) = 1/x，d/dx(e^x) = e^x。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
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欢迎共阅、函数【定义1.1】设在某一变化过程中有两个变量X和y，若对非空集合D中的每一点x，都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y与之相对应,则称y是x的函数，记作x称为自变量,y称为因变量,D称为函数的定义域，y的取值范围即集合1y|y = f(x),x・D?称为函数的值域•xoy平面上点的集合：(x, y) | y = f (x), x • D :■称为函数y=f(x)的图形.定义域D (或记D f )与对应法则f是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.(二)函数的几何特性1.单调性(1)【定义1.2】设函数f (x)在实数集D上有定义对于D内任意两点X,, x2，当x, V x2时，若总有f(xj < f(X2)成立，则称f (x)在D内单调递增(或单增)；若总有f(xj V f(X2)成立，则称f (x)在D内严格单增，严格单增也是单增.当f (x)在D内单调递增时，又称f (x)是D内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2.有界性【定义1.3】设函数f(x)在集合D内有定义，若存在实数M > 0,使得对任意x D,都有| f(x)| < M，则称f(x)在D内有界，或称f(x)为D内的有界函数.【定义1.4】设函数f(x)在集合D内有定义，若对任意的实数M > 0,总可以找到一x D,使得| f (x) | > M，则称f (x)在D内无界，或称f (x)为D内的无界函数.【定义1.5】设函数f(x)在一个关于原点对称的集合内有定义，若对任意x D,都有f(-x)--f(x)(或 f(-x)=f(x)),则称f (x)为D 内的奇(偶)函数.奇函数的图形关于原点对称，当f(x)为连续的函数时，f(x)=0,即f(x)的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设fjx) 一f2(x)为奇函数，g1(x),g2(y)为偶函数,则f'x) 一f2(x)为奇函数；g'x) _g2(x)为偶函数；f'x) 一g'x)非奇偶函数；I •f j(x) g1(x)为奇函数；f j(x) f2(x), g'x) °2(x)均为偶函数. 常数C是偶函数，因此，奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4.周期性【定义1.6】设函数f(x)d在集合D内有定义，如果存在非零常数T,使得对任意x D恒有f(x f (x)成立,则称f (x)为周期函数.满足上式的最小正数T,称为f(x)的基本周期，简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.y二x -[x]是以1为周期的周期函数.y =[x]与y=x-[x]的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.(三)初等函数1.基本初等函数(1)常数函数y=C,定义域为(-s ,+x),图形为平行于x轴的直线.在y轴上的截距为c.(2)幕函数y =x‘,其定义域随着的不同而变化.但不论〉取何值,总在(1,+s)内有定义，且图形过点(1,1).当〉> 0时，函数图形过原点(图1-2)图1-2(3)指数函数y = ：• x(：. - 0, 1),其定义域为(-g, + x).当0v v 1时，函数严格单调递减.当〉> 1时，函数严格单调递增.子数图形过点(0,1).微积分中经常用到以e为底的指数函数，即y =e x(图1-3)(4)对数函数y = log ：.x(： -0，篇胡),其定义域为(1,+g)，它与y三x互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数，记作y=1 nx,称为自然对数.对数函数的图形过点(1,0)(图1-4)(图1-3)(图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数，不在考纲之内•对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握，这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要. 例如，设f(x)在(a,b)区间内二阶可导,对任意x (a,b), f " (x) v0.则⑴f ' (x)在(a,b)内严格单调减少；(2) f (x)在(1,b)上为凸弧，均不充分.此题可以用举例的方法来说明(1)、(2)均不充分.由初等函数的图形可知，y=-x4为凸弧.y ' =-4x3在(—g g + )上严格单调递减但y" =-12x2<0,因此(1) , (2)均不充分，故选E.此题若把题干改成f 〃(x) < 0,则(1) , (2)均充分，差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2•反函数【定义1.7】设函数y二f(x)的定义域为D,值域为R,如果对于每一个y R ,都有惟一确定的D与之对应,且满足y二f(x) x是一个定义在R以y为自变量的函数，记作并称其为y = f (x)反函数.习惯上用x作自变量，y作因变量，因此y = f(x)反函数常记为y = f^(x), R.函数y二f(x)与反函数y r f'(x)的图形关于直线y=x对称.严格单调函数必有反函数，且函数与其反函数有相同的单调性十a%y二log a x互为反函.y =x2,x • ［0,+x］的反函数为y = •.. x ,而y =x2,x • (-^ ,0)的反函数为y x (图1-2 (b)).3•复合函数【定义1.8】已知函数y二f(u),u・ D f,y R f .又u —(x),x D ：AR ,若D f R f非空，则称函数为函数y = f(u)与u V:(x)的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量.4•初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数，初等函数在其定义域内有统一的表达式.(四)隐函数若函数的因变量y明显地表示成y = f(x)的形式，则称其为显然函数.y =x2,y =1 n(3x2 - 1),y = ix2 -1 等.设自变量x与因变量y之间的对应法则用一个方程式F(x,y)二0表示,如果存在函数y二f(x) (不论这个函数是否能表示成显函数)，将其代入所设方程，使方程变为恒等式：其中D f为非空实数集.则称函数y = f(x)由方程F(x,y)=0所确定的一个隐函数.如方程.x「y =1可以确定一个定义在［0,1］上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式即但并不是所有隐函数都可以用x的显函数形式来表示，如e xy x 0因为y我法用初等函数表达，故它不是初等函数.另外还需注意，并不是任何一个方程都能确定隐函数，如x2• y2• 1 = 0.(五)分段函数有些函数，对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数，如都是定义在( —％, + x)上的分段函数.分段函数不是初等函数，它不符合初等函数的定义.二、极限(不在考试大纲内，只需了解即可)二'I极限是微积分的基础.(一)数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列，如a,a2…务a n称为通项.1.极限定义【定义1.9】设数列「a「,当项数n无限增大时，若通项a.无限接近某个常数A,则称数列；收敛于A,或称A为数列忌？的极限,记作否则称数列：a n匚发散或lim a.不存在.n 丫七2.数列极限性质(1)四则极限性质设lim ^n二a,|im y n =b,则(2)lim^^a u lim x n * =a ( k 为任意正整数).n—JpC(3)若lim.X n =a,则数列U?是有界数列.(4)夹逼定理设存在正整数N o,使得N o时，数列｛x n H yn｝」Zn｝满足不等式Z n兰X n兰y n. 若lim y n二lim z n = a，则lim 焉=a.禾利用此定理可以证明重要极限(1 丫lim 1 e (e=2.718是一个无理数).(5)单调有界数列必有极限设数列；有界,且存在正整数N o ,使得对任意n _ N o都有X n d< Xn (或X n・1 _X n ),则数列：X n』的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限(1、lim 1二e (e = 2.718，是一个无理数).. n(二)函数的极限1.时的极限【定义1.10】设函数f (X)在|x|_a (a ■ 0)上有定义，当x—；『：时，函数f(x)无限接近常数A,f '：：、J" ) 1则称f (X)当x —；:：:时以A为极限，记作I当X r「* 或X)-：：时的极限当X沿数轴正(负)方向趋于无穷大，简记X—• •: :( x)-:：)时,f (x)无限接近常数A,则称f (X) 当X—小-'(X-. )时以A为极限，记作3.X—；X0时的极限【定义1.11】设函数f (X)在X。
附近(可以不包括X0点)有定义，当X无限接近X0(X = X0)时，函数f(x)无限接近常数A,则称当X > X0时，f(x)以A为极限，记作4.左、右极限若当X从X0的左侧(x ::：x0)趋于x0时，f(x)无限接近一个常数A,则称A为X—. x0时f (x)的左极限，记作lim f(x) = A.或f (冷—0) = AX T K(T\ \ | •若当x从X0的左侧(X X0 )趋于X0时,f (x)无限接近一个常数A,则称A为X-；X0时f (x)的右极限，记作• Ilim_/(x) = A.或f (x0 +0) = Ax T x广(三)函数极限的性质1 .惟一性若,lim f(x)二A, lim f(x)=B 则A=B.X—iX) X—2.局部有界性若lim f (x) A.则在X0的某邻域内(点X0可以除外)，f(x)是有界的.X—^03.局部保号性若lim f(x)二A.且A>0 (或A v0=,则存在x°的某邻域(点x°可以除外)，在该邻Xio域内有f (X) >0 (或f (x) v0=。
若lim f(x)二A。
且在X。
的某邻域(点X。
可以除外)有f(x) >0 (或f(x) V0=,则必有A >0 x「X o(或A < 0)。
4 •不等式性质若lim f (x) = A,x_X°X^gw，且A>B，则存在X0的某邻域(点X0可以除外) ,使f(x)>g(x).若lim f (x) = A, X—0 lim g(x)=B.且在x°的某邻域(点x°可以除外)有f(x) <g(x)或(f(x) < X >X0g(x))，贝U A< Bo5 •四则运算同数列(四)无穷小量与无穷大量1 •无穷小量的定义i 【定义1.12】若lim f(x) = 0,则称f (x)是x > X0时的无穷小量。