数学专业考研复习资料线性代数重点知识点整理
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点全归纳线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性映射。
它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
下面将对线性代数的主要知识点进行全面归纳。
1.矩阵及其运算：矩阵是线性代数的基本概念之一，由若干行和列组成的方阵。
常见的矩阵运算有加法、减法、数乘、矩阵乘法和转置等。
2.向量及其运算：向量是一个有序数组，具有大小和方向。
常见的向量运算有加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。
3.线性方程组：线性方程组是线性代数的核心内容之一、包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
解线性方程组的方法有高斯消元法、克莱姆法则和矩阵求逆等。
4.向量空间与线性变换：向量空间是线性代数的基本概念之一，包含零向量、加法和数乘运算。
线性变换是一种保持向量空间结构的映射。
5.基与维度：基是向量空间的一组线性无关向量，可以由基线性组合得到向量空间中的任意向量。
维度是向量空间中基的数量。
6.线性相关与线性无关：向量组中的向量线性相关指存在非零的线性组合，其系数不全为零。
如果向量组中的向量线性无关，则任何线性组合的系数都为零。
7.线性变换与矩阵：线性变换可以用矩阵表示，矩阵的列向量表示线性变换作用于基向量上后的结果。
矩阵乘法可以将多个线性变换组合为一个线性变换。
8.特征值与特征向量：对于一个线性变换，如果存在一个非零向量，使得它在该线性变换下只发生伸缩而不发生旋转，那么这个向量称为该线性变换的特征向量，对应的伸缩比例为特征值。
9.二次型与正定矩阵：二次型是线性代数中的重要概念，是一个关于变量的二次函数。
正定矩阵是指二次型在所有非零向量上的取值都大于零。
10.内积与正交性：内积是向量空间中的一种运算，它满足线性性、对称性和正定性。
正交性是指两个向量的内积为零，表示两个向量互相垂直。
11.正交变换与正交矩阵：正交变换是指保持向量长度和向量之间夹角的变换。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的行向量和列向量两两正交，并且长度为112.奇异值分解与特征值分解：奇异值分解将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，另外两个是对角矩阵。
考研数学线性代数复习要点
考研数学线性代数复习要点对于考研数学中的线性代数部分，掌握好复习要点至关重要。
线性代数在考研数学中占据着重要的地位，其特点是概念多、定理多、符号多、运算规律多，并且前后知识的联系紧密。
以下是为大家梳理的线性代数复习要点。
一、行列式行列式是线性代数中的基础概念，其计算方法和性质是必须要熟练掌握的。
1、行列式的定义要理解行列式的定义，特别是二阶和三阶行列式的计算方法。
对于高阶行列式，可以通过行列式的性质将其化为上三角行列式或下三角行列式来计算。
2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质，如行列式转置值不变、两行（列）互换行列式变号、某行（列）乘以常数加到另一行（列）行列式不变等。
这些性质在行列式的计算中经常用到。
3、行列式按行（列）展开定理掌握行列式按行（列）展开定理，能够将高阶行列式降阶计算。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，需要重点掌握。
1、矩阵的运算包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算。
要特别注意矩阵乘法的规则和性质，以及矩阵乘法不满足交换律这一特点。
2、矩阵的逆理解逆矩阵的定义和存在条件，掌握求逆矩阵的方法，如伴随矩阵法和初等变换法。
3、矩阵的秩掌握矩阵秩的定义和求法，了解矩阵秩的性质。
矩阵的秩在判断线性方程组解的情况等方面有重要应用。
4、分块矩阵了解分块矩阵的概念和运算规则，能够灵活运用分块矩阵解决一些复杂的矩阵问题。
三、向量向量是线性代数中的重要概念，与线性方程组和矩阵的秩密切相关。
1、向量的线性表示理解向量线性表示的概念，掌握判断向量能否由一组向量线性表示的方法。
2、向量组的线性相关性掌握向量组线性相关和线性无关的定义和判定方法，这是线性代数中的重点和难点。
3、向量组的秩理解向量组的秩的概念，掌握求向量组秩的方法。
4、向量空间了解向量空间的基本概念，如基、维数等。
四、线性方程组线性方程组是线性代数的核心内容之一，在考研中经常出现。
1、线性方程组的解掌握线性方程组有解、无解和有唯一解、无穷多解的判定条件。
考研数学线性代数重点整理
考研数学线性代数重点整理一、矢量空间矢量空间是线性代数的基础概念，它描述了一组对象（称为矢量）的性质及其之间的运算规则。
以下是矢量空间的一些重要性质和定义：1. 定义：矢量空间是满足以下8个条件的集合V，其中两个运算（加法和乘法）满足特定的性质。
2. 加法：对于任意的矢量u和v，它们的和u+v也是V中的一个矢量。
3. 加法交换律：对于任意的矢量u和v，有u+v = v+u。
4. 加法结合律：对于任意的矢量u、v和w，有(u+v)+w = u+(v+w)。
5. 加法单位元：存在一个称为零矢量的特殊矢量0，对于任意的矢量v，有v+0 = 0+v = v。
6. 加法逆元：对于任意的矢量v，存在一个称为负矢量的特殊矢量-u，使得v+(-u) = (-u)+v = 0。
7. 乘法定义：对于任意的矢量v和实数c，cv也是V中的一个矢量。
8. 乘法分配律：对于任意的矢量v和实数c和d，有c(dv) = (cd)v。
9. 乘法单位元：对于任意的矢量v，有1v = v。
二、矩阵与线性方程组矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它可以用来表示线性方程组和线性变换。
以下是与矩阵和线性方程组相关的一些重要内容：1. 矩阵定义：将数按矩形排列成的矩形数表称为矩阵，其中行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵运算：矩阵之间可以进行加法和乘法的运算，具体规则如下：- 矩阵加法：对应位置元素相加。
- 矩阵乘法：设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p矩阵，乘法规则为A的行乘以B的列。
3. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，矩阵可以用来表示和求解线性方程组。
对于一个m×n矩阵A、一个n×1矩阵X和一个m×1矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
4. 线性方程组的解：根据矩阵的性质，可以通过高斯消元法、矩阵求逆等方法求解线性方程组。
考研数学三必背知识点：线性代数
线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i >时，我们称21i i 组成一个逆序。
一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i τ 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即TAA =(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。
(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。
(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。
(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。
(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。
(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。
(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A λλλ 21= (9) 齐次线性方程组0=Ax有非零解n A r A <⇔=⇔)(03、行列式行列展开定理 (1) 余子式ijji ijA M +-=)1( (2) 代数余子式ijji ijMA +-=)1(4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。
(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。
(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。
(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。
(5)n阶方阵一般可以有1*,,,-AA A A T 四大基本矩阵运算2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T ==, (2) A B B A BA AB === 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A ==+=+=)(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A ==--4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,AkkA A B AB AA A AA E A A A AA A A A n n -----=======(2)1)(0)(1)(1)()()(***-<⇔=-=⇔==⇔=n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1)1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1-----------=======ABAB A AA AAA AE A AAAA AA(2) 分块矩阵的逆矩阵 ①111---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AO A O OB O B （主对角分块）② 111OA O BB O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（副对角分块） ③11111AC A A C BO B OB-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B C A B -----⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭（拉普拉斯）6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列(2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：α为行矩阵),,(21n a a a ，β为列矩阵),,(21n b b b ， 则βααβααβαβββαβαβαβα1)()()()())(()(-===k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有Λ=-AP P 1，于是1-Λ=P P A n n (3) 若n B r m A r ==)(,)(，则有m A r B A r =≤+)()(且n B r B A r =≤+)()(三、向量1、向量运算：βαβαλβαλβααββαk k k ±=±±±=±±±=±)(),()(,2、线性表示对于向量组s ααα ,,21和向量β，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k αααβ+++= 2211 (1) 若s s k k k αααβ+++= 2211有唯一解，则β能由向量组s ααα ,,21唯一线性表示。
考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵）1．行列式的定义：用2n 个元素ija 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ijM 、代数余子式ijj i ijM A+-=)1(定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：nq q q n a aa⋯=∑21t211-D ）（，t 为nq q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x，，。
考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析
考研数学线性代数重点知识点整理与习题解析一、矩阵的运算矩阵的加法、乘法、转置以及数量乘法等是矩阵运算的基本操作。
矩阵的加法和乘法具有结合律、交换律和分配律等基本性质。
1.1 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，定义为它们对应元素相加所得到的矩阵。
即，如果A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A + B = [a_ij + b_ij]。
1.2 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，它们可以进行乘法运算，记作C = AB。
矩阵C的元素c_ij可以表示为c_ij =∑(a_ik * b_kj)。
其中∑表示求和符号，k表示对应元素的相同下标。
1.3 矩阵的转置对于一个矩阵A，它的转置记作A^T。
即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。
也就是说，矩阵A的行变为转置后矩阵的列，矩阵A的列变为转置后矩阵的行。
1.4 数量乘法一个数与一个矩阵的乘积称为数量乘法。
对于一个数k和一个矩阵A，它们的乘积记作kA。
即，kA = [ka_ij]。
其中ka_ij表示矩阵A中每个元素乘以k所得到的矩阵。
二、线性方程组线性方程组是线性代数的重要内容之一。
解一个线性方程组就是找到一组使得方程组中所有方程都成立的未知数的值。
通常通过矩阵的方法来解线性方程组，有三种常用的解法：高斯消元法、克拉默法则和逆矩阵法。
2.1 高斯消元法高斯消元法是通过矩阵的初等变换将线性方程组化为最简形式，从而求解方程组。
具体步骤如下：1) 将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成增广矩阵；2) 逐行进行初等变换，使得增广矩阵的主对角线元素为1，其他元素为0；3) 对增广矩阵进行回代，求出方程组的解。
2.2 克拉默法则克拉默法则是通过行列式的性质来解线性方程组。
对于一个n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解，且每个未知数的值可以通过求解n个行列式得到。
2.3 逆矩阵法逆矩阵法是通过求解方程AX = B来解线性方程组。
湖南省考研数学复习资料线性代数重点知识梳理
湖南省考研数学复习资料线性代数重点知识梳理线性代数是数学中非常重要的一个分支，它在各个领域中具有广泛的应用。
对于湖南省的考研学生而言，掌握线性代数的重点知识是非常关键的。
本文将针对湖南省考研数学复习资料中的线性代数内容，进行一次全面的梳理和总结。
一、矩阵与行列式1. 矩阵的基本概念与运算矩阵的定义、矩阵的转置、矩阵的加法和乘法等基本概念。
2. 行列式的定义与性质行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算等内容。
3. 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换、初等矩阵的定义与性质。
4. 矩阵的秩与逆矩阵的秩、矩阵的逆及逆的计算等内容。
二、向量空间与线性方程组1. 向量空间及其基础知识向量空间的定义、子空间的性质、线性相关与线性无关等内容。
2. 线性方程组的解的结构齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的结构与性质。
3. 矩阵的秩与线性方程组的解矩阵的秩与线性方程组解的关系、矩阵的秩公式与推论等内容。
4. 矩阵的特征值与特征向量特征多项式、矩阵的特征值与特征向量、对角化矩阵等内容。
三、内积空间与正交变换1. 欧几里得空间与内积空间欧几里得空间和内积空间的定义与性质。
2. 正交变换与正交矩阵正交变换的概念、正交变换的性质、正交矩阵的定义与性质。
3. 对称矩阵和二次型对称矩阵的性质、对称矩阵的对角化、二次型的化简等内容。
4. 规范形与最小二乘规范形的概念与计算、最小二乘解的存在唯一性与性质等内容。
四、线性映射与矩阵的相似性1. 线性映射的定义与性质线性映射的概念、线性映射的性质、线性映射的矩阵表示等内容。
2. 矩阵的相似性矩阵的相似性的定义、相似矩阵的性质与判定等内容。
3. 线性映射的特征值与特征子空间线性映射的特征值与特征子空间的计算与性质等内容。
4. 线性映射的规范形线性映射的规范形的计算、规范形的性质与推论等内容。
以上就是我根据湖南省考研数学复习资料中线性代数的内容，为大家进行的重点知识梳理。
希望这篇文章能为考生们提供一定的参考和帮助，助力大家在考试中取得优异的成绩。
考研数学线性代数必考的知识点
考研数学线性代数必考的知识点一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算二、向量与线性方程组三、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容，既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
四、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵Q使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
考研数学概率以大纲为本夯实基础从考试的角度，大家看看历年真题就发现比较明显的规律：概率的题型相对固定，哪考大题哪考小题非常清楚。
概率常考大题的地方是：随机变量函数的分布，多维分布(边缘分布和条件分布)，矩估计和极大似然估计。
其它知识点考小题，如随机事件与概率，数字特征等。
从学科的角度，概率的知识结构与线性代数不同，不是网状知识结构，而是躺倒的树形结构。
第一章随机事件与概率是基础知识，在此基础上可以讨论随机变量，这就是第二章的内容。
随机变量之于概率正如矩阵之于线性代数。
考生也可以看看考研真题，数一、数三概率考五道题，这五题的第一句话为“设随机变量X……”，“设总体X……”，“设X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本”，无论“随机变量”、“总体”和“样本”本质上都是随机变量。
所以随机变量的理解至关重要。
讨论完随机变量之后，讨论其描述方式。
分布即为描述随机变量的方式。
分布包括三种：分布函数、分布律和概率密度。
其中分布函数是通用的描述工具，适用于所有随机变量，分布律只针对离散型随机变量而概率密度只针对连续型随机变量。
之后讨论常见的离散型和连续性随机变量，考研范围内需要考生掌握七种常见分布。
介绍完一维随机变量之后，推广一下就得到了多维随机变量。
考研数学 线性代数(高等代数)重点知识整理总结
考研线性代数（高等代数）重点知识总结一、行列式（一）行列式概念和性质 1.（奇偶）排列、逆序数、对换逆序数：所有逆序的总数。
2、行列式定义：所有两个来自不同行不同列的元素乘积的代数和。
重点：二、三阶行列式的计算公式3. n 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和，121212(..)12(1)...n n nj j j ijj j nj nj j j a a a a τ=-∑.4.行列式的性质（主要用于行列式的化简和求值）： （1）行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） （2）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
（3）常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
（提公因式） 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
（4）行列式具有分行（列）可加性。
行列式中如果某一行（列）的元素都是 两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变。
余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。
（6）行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(。
定理：①任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值； ②行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0.（7）克莱姆法则：① 非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D ，有唯一解：,(12)j j D x j n D==⋯⋯其中、；② 齐次线性方程组：当系数行列式0D ≠时，则只有零解。
逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零。
③ 如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0。
④ 若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解； 如果方程组有非零解，那么必有0D =。
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点整理
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数是数学中的一个重要分支，也是吉林省考研数学科目中的重点内容之一。
本文将对数学复习资料中线性代数的重点知识点进行整理，以帮助考生更好地复习准备考试。
一、向量空间向量空间是线性代数中的基本概念，也是本科线性代数课程的重点内容之一。
下面是向量空间的一些重要性质和定义：1. 向量空间的定义向量空间是一个满足若干性质的集合，其中包含了向量的加法和数乘运算。
一个向量空间必须满足以下四个条件：封闭性、交换律、结合律和存在零向量。
2. 线性无关性与生成子空间线性无关性是向量空间中一个重要的概念，它描述了向量之间的关系。
线性无关的向量可以生成一个子空间，该子空间称为生成子空间。
生成子空间是向量空间中另一个重要的概念，它由向量组中的所有线性组合构成。
3. 基与维数基是向量空间中一组线性无关的向量，该组向量能够生成该向量空间。
维数是向量空间中基的个数，它描述了向量空间的维度。
二、矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的另一个重要内容，其重点知识点如下：1. 矩阵的基本运算矩阵的加法和数乘运算是矩阵的基本运算，其运算规则与向量的加法和数乘运算类似。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，其运算规则为矩阵乘法的定义。
3. 逆矩阵与转置矩阵逆矩阵和转置矩阵是矩阵运算中的重要概念。
逆矩阵是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵，而转置矩阵是指将原矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
4. 行列式的性质与计算行列式是矩阵中的一个标量，它有许多重要的性质与计算方法，如拉普拉斯展开定理、余子式与代数余子式、Cramer法则等。
三、线性方程组线性方程组是线性代数中的另一个重要内容，它包含有关向量空间、矩阵和行列式的知识点。
下面是线性方程组的相关内容：1. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组是指等号右边全为零的线性方程组，非齐次线性方程组则相反。
对于齐次线性方程组，必定存在零解；而对于非齐次线性方程组，解的存在与唯一性则与矩阵的秩有关。
陕西省考研数学复习资料线性代数重点知识总结
陕西省考研数学复习资料线性代数重点知识总结陕西省考研数学复习资料：线性代数重点知识总结引言：线性代数是数学中的一个重要分支，也是考研数学中的一项重要内容。
对于准备参加陕西省考研数学考试的同学来说，深入理解线性代数的知识点并掌握重点内容是非常关键的。
本文将对线性代数的重点知识进行总结，帮助考生们更好地复习备考。
一、向量空间与线性变换1. 向量空间在线性代数中，向量空间是研究向量及其运算规律的重要概念。
向量空间满足一定的公理：加法封闭性、数乘封闭性、结合律、分配律等。
对于考生来说，要了解向量空间的定义和性质，并能够解决与向量空间相关的基本问题。
2. 线性变换线性变换是一种特殊的变换，它保持向量空间的加法和数乘运算。
对于一个线性变换，应了解其定义、性质和表示方法，同时要能够应用线性变换解决实际问题。
二、矩阵与行列式1. 矩阵基本操作矩阵是线性代数中的重要工具，它能够方便地表示线性变换和线性方程组。
在复习过程中，需要掌握矩阵的基本操作，如矩阵的加法、数乘、乘法、转置等。
2. 行列式理论与性质行列式是线性代数中的重要概念，它具有很多重要的性质和应用。
要复习行列式的定义、计算方法、性质以及与线性方程组的关系等内容，并能够应用行列式解决实际问题。
三、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论中的核心概念。
掌握特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法，对于理解矩阵的本质和解决相关问题具有重要意义。
四、内积空间与正交性1. 内积空间内积空间是线性代数中的重要内容，它通过定义内积运算来研究向量的长度、夹角等性质。
要了解内积空间的定义，以及欧几里得空间、函数空间等内积空间的具体例子。
2. 正交性与正交基正交性是内积空间中的重要概念，它与向量的垂直、线性无关等性质有着密切的关系。
要了解正交性的定义、性质以及正交基的应用，并能够解决相关的计算问题。
五、线性方程组及其解的性质1. 线性方程组的基本概念线性方程组是线性代数的重要研究对象，要了解线性方程组的定义、解集及其性质，以及齐次线性方程组和非齐次线性方程组之间的关系。
(完整版)线性代数知识点全归纳
1线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；22、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）33、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11kk k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）4⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；511. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩； ②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数）③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：6若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤； 向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）；9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，A 与B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩；10. 若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关；14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；715. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7.n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数；A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)8第一章 随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。
线性代数各章复习重点汇总
线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。
下面是线性代数各章的复习重点汇总。
1.线性方程组：-线性方程组的基本概念和性质，包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
-线性方程组的解的存在性与唯一性，以及求解线性方程组的方法（高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等）。
-线性方程组的等价关系与等价变换。
2.矩阵与行列式：-矩阵的基本概念和性质，如矩阵的加法、减法、乘法等运算。
-方阵的特殊性质，如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。
-行列式的定义和性质，包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。
3.向量空间：-向量空间的定义和性质，如线性相关性、线性无关性、基、维数等。
-子空间的概念和性质，包括子空间的交、和、直和等操作。
-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。
4.线性变换与矩阵：-线性变换的定义和性质，包括线性变换的特征值、特征向量等。
-线性变换的矩阵表示，以及矩阵与线性变换之间的转换关系。
-线性变换的合成、逆变换等操作，以及线性变换的标准形式（例如，矩阵的对角化）。
5.特征值与特征向量：-特征值与特征向量的定义和性质，包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。
-特征值与特征向量的计算方法，如特征方程的求解、特征值的代入等。
-特征值与特征向量的应用，如对角化矩阵、相似矩阵等。
6.正交性与标准正交基：-向量的正交性和标准正交性的概念和性质，包括向量的点积、向量的夹角等。
-标准正交基的定义和求解方法，如施密特正交化过程等。
-正交矩阵的定义和性质，以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。
以上是线性代数各章的复习重点汇总，希望能够帮助你理清知识重点，并提高复习效率。
祝你取得好成绩！。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
天津市考研数学复习资料线性代数重点知识点整理
天津市考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数是数学中的重要分支，也是天津市考研数学中的一门重要课程。
下面将整理一些线性代数的重点知识点，供大家参考复习。
1. 线性方程组线性方程组是线性代数的基础，其中最常见的形式是n元一次齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
在解线性方程组时，可以通过高斯消元法、矩阵求逆法等方法求解，同时也需要对线性方程组的解空间进行分析。
2. 矩阵与向量矩阵与向量是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示为m行n列的矩形数组，可以进行矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法等运算。
向量是一种特殊的矩阵，是一个有序数组，可以表示为n行1列或1行n列的矩阵。
矩阵与向量的运算有着重要的应用，如线性方程组的矩阵表示、线性变换的矩阵表示等。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
通过求解矩阵的特征方程，可以得到矩阵的特征值。
而矩阵的特征向量则是对应于特征值的非零向量。
特征值和特征向量在线性代数中有着广泛的应用，如对角化、相似矩阵的性质等。
4. 线性变换与矩阵的相似性线性变换是线性代数中的重要内容，它是指保持向量加法和数乘运算的函数。
矩阵的相似性是线性代数中的一个重要关系，两个矩阵相似意味着它们表示了相同的线性变换。
矩阵的相似性对于矩阵的特征值、特征向量等性质有着重要的影响。
5. 线性空间与线性相关性线性空间是线性代数中的一个基本概念，它是由向量组成的集合，并满足向量的加法和数乘运算的封闭性。
线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它描述了向量之间的依赖关系。
通过研究向量的线性相关性，可以得到诸如线性方程组的解空间、向量组的秩等重要知识。
6. 内积空间与正交性内积空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个带有内积运算的线性空间。
内积空间中可以定义向量的长度、角度等概念，并且可以通过正交性来描述向量之间的垂直关系。
正交向量组、正交矩阵等概念在线性代数中具有广泛的应用，如最小二乘法、正交变换等。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识梳理
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识梳理在上海市考研数学复习中，线性代数是一个非常重要的考试科目。
掌握线性代数的核心知识，对于考生取得好成绩至关重要。
本文将针对上海市考研数学复习资料，对线性代数的重点知识进行梳理和总结，帮助考生更好地复习备考。
一、矩阵与行列式1. 矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中重要的概念之一。
在考试中，考生需要熟悉矩阵的定义、矩阵的转置、矩阵的加法和乘法等基本运算。
同时，要掌握矩阵的特殊类型，如零矩阵、单位矩阵和对角矩阵等。
2. 行列式的定义与性质行列式是线性代数中重要的工具之一，用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等。
考生需要掌握行列式的定义、计算方法和基本性质，如行列式的展开定理、行列式的性质和行列式的性质等。
二、向量空间与线性相关性1. 向量空间的概念与性质向量空间是线性代数中的核心概念之一，用于描述由一组向量生成的空间。
考生需要掌握向量空间的定义、向量的线性组合、向量空间的性质等基本知识。
2. 线性无关性与线性相关性线性无关性与线性相关性是考核考生对向量空间中向量关系的理解与判断能力。
考生需要掌握线性无关的定义、判断线性无关性的条件和计算线性相关性的方法。
三、线性变换与矩阵1. 线性变换的定义与性质线性变换是研究向量空间之间映射关系的重要内容。
考生需要了解线性变换的定义、线性变换的性质和线性变换的矩阵表示等。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示是线性代数中的核心概念之一，用于将线性变换与矩阵相联系。
考生需要熟悉线性变换的矩阵表示的计算方法和矩阵的秩、矩阵的特征值等。
四、特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义与性质特征值与特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念，具有广泛的应用。
考生需要了解特征值和特征向量的定义、计算方法和相关性质。
2. 对角化与相似矩阵对角化和相似矩阵是矩阵与线性变换中的重要内容，用于简化矩阵的计算与分析。
考生需要了解对角化的条件、对角化的方法和相似矩阵的性质等。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学中也占据着重要的地位。
在备考过程中，对线性代数的重点知识点进行梳理和复习是非常必要的。
本文将从线性代数的基础概念、矩阵与行列式、向量空间、线性变换以及特征值和特征向量等方面，对上海市考研数学复习资料中的线性代数重点知识点进行详细的介绍和总结。
一、基础概念1. 数域与向量空间：数域的定义和性质、向量空间的定义、线性组合与线性相关、线性无关与生成子空间等。
2. 矩阵与行列式：矩阵的定义和性质、矩阵的运算、矩阵的转置、矩阵的秩、行列式的定义和性质、行列式的计算等。
3. 线性方程组：线性方程组的解集、线性方程组的性质、线性方程组的判定定理等。
二、矩阵与行列式1. 矩阵的运算：矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、矩阵的幂等性等。
2. 矩阵的转置：矩阵的转置定义、矩阵转置的性质、矩阵转置的运算法则等。
3. 矩阵的秩：矩阵的秩的定义、矩阵秩的性质、矩阵秩的计算方法、矩阵的秩与线性方程组解的关系等。
4. 行列式的定义和性质：行列式的定义、行列式的性质、行列式的运算等。
5. 行列式的计算：拉普拉斯展开定理、行列式按行（列）展开计算等。
三、向量空间1. 向量空间的定义和性质：向量空间的定义、向量的加法和数乘、向量空间的性质等。
2. 线性组合与线性相关：线性组合的定义、线性相关与线性无关的概念、线性相关矩阵的秩等。
3. 子空间：子空间的定义、子空间的性质、子空间的直和分解等。
4. 基与维数：基的定义、基的性质、维数的概念、维数的计算等。
四、线性变换1. 线性变换的定义和性质：线性变换的定义、线性变换的性质、线性变换的运算性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换的矩阵表示的定义、矩阵表示的性质、矩阵表示的计算等。
3. 线性变换与矩阵的相似性：线性变换与矩阵的相似性的定义、相似矩阵的性质等。
五、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质：特征值和特征向量的定义、特征值和特征向量的性质、特征值的计算等。
山东省考研数学复习资料线性代数重要概念总结
山东省考研数学复习资料线性代数重要概念总结一、向量与矩阵在线性代数中，向量与矩阵是最基本的单位。
向量可以表示为一维数组，矩阵则可以表示为二维数组。
以下是关于向量与矩阵的几个重要概念：1. 向量空间：向量空间是指一组向量的集合，满足加法和数乘运算的封闭性、结合律、分配律等条件。
向量空间可以是实数域或复数域上的。
2. 线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数或复数使得线性组合等于零，则称向量组线性相关；若线性相关的向量组中任意向量都不能表示为其它向量的线性组合，则称向量组线性无关。
3. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
通过行变换或列变换可以将矩阵化为行简化阶梯型，行简化阶梯型的非零行的个数即为矩阵的秩。
4. 线性变换：线性变换是指保持向量的线性组合性质的变换。
线性变换可以由矩阵表示，矩阵的列向量是线性变换后的向量。
二、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，能够帮助我们了解矩阵的性质和变换过程。
以下是关于特征值和特征向量的几个要点：1. 特征值与特征向量：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx成立，则称λ是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征多项式与特征方程：矩阵A的特征多项式等于|A-λI|，其中|A-λI|表示对应的特征方程。
求解特征方程可以得到矩阵的特征值。
3. 特征空间：对于一个特征值λ，所有满足Ax = λx的特征向量x构成的向量空间称为特征空间。
4. 对角化：如果一个n阶矩阵A可以相似对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = D，其中D是对角阵，那么A就可以对角化。
对角化后的矩阵形式简洁，易于计算和分析。
三、向量空间的基与维度向量空间的基和维度是描述向量空间的重要工具。
以下是关于基和维度的几个要点：1. 基：所谓基，是指向量空间中的一组线性无关的向量，可以用这组向量来表示向量空间中的任意向量。
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数学专业考研复习资料线性代数重点知识点
整理
数学专业考研复习资料：线性代数重点知识点整理
一、向量与矩阵
1. 向量的定义和性质
- 向量的表示与运算
- 单位向量和零向量
- 向量的线性相关性
2. 矩阵的定义和性质
- 矩阵的基本运算
- 矩阵的转置和逆矩阵
- 矩阵的秩和行列式
二、线性方程组
1. 线性方程组的概念
- 线性方程组的解和解的存在唯一性
- 齐次线性方程组和非齐次线性方程组
2. 线性方程组的解法
- 列主元消元法
- 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵 - 高斯消元法和高斯约当法
三、线性空间和子空间
1. 线性空间的定义和性质
- 线性空间的子空间和直和
- 基和维数的概念
- 线性空间的同构与等价
2. 子空间的性质与判定
- 线性子空间的交与和
- 维数公式和秩-零化定理
- 子空间的降维与升维
四、线性变换和特征值
1. 线性变换的定义和性质
- 线性变换的表示和运算
- 线性变换的核与像
- 线性变换的矩阵表示和判定
2. 特征值和特征向量
- 特征方程和特征值的求解 - 特征空间和特征子空间
- 相似矩阵和对角化矩阵
五、内积空间和正交变换
1. 内积的定义和性质
- 内积的基本性质和判定
- 正交向量和正交子空间
- 构造内积空间
2. 正交变换和正交矩阵
- 正交变换的性质和表示
- 正交矩阵的特点和运算
- 正交矩阵的对角化和特征值
六、二次型和正定矩阵
1. 二次型的定义和性质
- 二次型的标准形和规范形 - 二次型的正定性和负定性
- 二次型的规约和降维
2. 正定矩阵的定义和性质
- 正定矩阵的判定和运算
- 正定矩阵的特征值和特征向量
- 正定矩阵及其应用
总结：
线性代数是数学专业考研中的重要内容之一。
通过对向量与矩阵、线性方程组、线性空间和子空间、线性变换和特征值、内积空间和正交变换、二次型和正定矩阵等知识点的学习和掌握，能够为考研复习提供有力的理论基础和解题方法。
在复习过程中，需要注重概念的理解、性质的掌握以及应用题的练习，同时注意归纳总结和思维方法的培养。
掌握线性代数的重点知识，对于考研数学的学习和后续的学术研究都具有重要的意义。