倒向随机微分方程及其应用

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倒向随机微分方程和金融数学

倒向随机微分方程和金融数学倒向随机微分方程和金融数学1. 引言金融数学是应用数学的一个重要分支，它将数学方法应用于金融领域中的问题解决。

在金融市场中，随机性起着重要作用，使得预测和决策变得极其困难。

倒向随机微分方程（BSDEs）作为一种强大的工具，已经被广泛应用于金融数学中。

本文将介绍倒向随机微分方程和其在金融数学中的应用。

2. 倒向随机微分方程概述倒向随机微分方程是由法国数学家El Karoui和Pardoux 在1997年首次引入的。

它是一种包含随机过程的微分方程，与传统的随机微分方程不同。

正向随机微分方程描述的是一个随机性的演化过程，而倒向随机微分方程描述的是从终点向起点推导反过来的过程。

BSDEs是由两个部分组成的，一个是解的逆序过程，另一个是随机型方程，通常是对价值的期望。

3. BSDEs的特点BSDEs相比于传统的随机微分方程具有以下特点：3.1 倒向性质：BSDEs反映了很多金融问题的特性，如期权的定价、风险管理和对冲等。

它们通常是从期限的到期时点开始，逐步地往回计算出一个结果。

3.2 非线性：BSDEs通常是非线性的，这意味着无法使用传统的线性方法进行求解。

非线性特性要求使用更加复杂的工具，如数值算法和数值模拟等。

3.3 随机性：BSDEs中包含了随机过程，这使得预测和决策变得更加困难。

随机性要求使用概率论和统计学的方法进行分析和求解。

4. BSDEs在金融数学中的应用BSDEs在金融数学中有广泛的应用，下面分别介绍两个典型应用。

4.1 期权定价期权是金融市场中常见的衍生工具，通过对期权进行定价可以帮助投资者进行决策。

传统的期权定价方法，如Black-Scholes模型，假设市场是完全的和无摩擦的，但实际金融市场中存在着各种各样的不确定性和随机性。

倒向随机微分方程通过考虑随机过程的演化，能更好地对期权进行定价。

4.2 风险管理风险管理是金融机构中的重要问题，它涉及到如何对金融产品和投资组合进行风险度量和控制。

一类倒向随机微分方程的比较定理

一类倒向随机微分方程的比较定理
1一类倒向随机微分方程的比较定理
随机微分方程是研究随机变量时变化规律的有效工具，并在计算机科学、信号处理、机械制造等领域得到广泛应用。

关于随机微分方程的研究可以分为许多方面，如一阶比较定理、特征根研究、正则正态变动稳定性研究等等。

其中，一类倒向随机微分方程的比较定理是其研究的重要方面。

一类倒向随机微分方程的比较定理主要指的是一类包含未知的倒向随机微分方程的比较定位关系，它们利用参数来控制方程结果，且当输入参数不一致时，计算结果也不一样。

由此，可以判断多个不同输入参数下某一变量的性质，以此为依据来优化随机微分方程的结果。

在一类倒向随机微分方程的比较定理研究中，证明它的有效性是一个必要的过程，通常要满足三种不同的先验条件：一是计算代价低廉；二是机器容量小；三是要保证结果的精确度。

只有满足这些条件，一类倒向随机微分方程的比较定理才能得到落实到实际应用中去。

另外，一类倒向随机微分方程的比较定理也可以用来解决不确定性问题，比如，预测某一变量在未来多少时间内的变化状况。

由于参
数会不断变化，因此，针对这一变化，使用比较定理来判断参数的影响以及后续变化的模型精确度就显得非常重要。

总之，一类倒向随机微分方程的比较定理是一种有效的随机变量变化规律判断方式，由于其有效性及高效性，目前已经得到了在许多领域的广泛应用，为处理随机变量变化带来了许多方便。

由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在局部Bihari条件下解的存在唯一性

，
ｒ
＝
ＥＩｔ ∞ 上＇＜。ｄ
・
（，；）由取值于Ｚ的Ｆ一可测随机过程所构成的空间，ＯＴＩ满足
Ｅ ’ｄ＜，中２）Ｒ ∑ ＜｝上Ｉｔ ∞其ｌ＝：且＝ ∞。ｉｌ
・
Ｐ（，ｚ是由（，；）中的可料过程生成的子空间。２０；）０Ｔｌ
局部Ｂｈｒ条件下解的存在唯一性ｉａｉ
林爱红夏宁茂
（东理工大学数学系，华上海，０３）２２７０
摘要本文利用推广的Ｂｈｒ不等式和截断函数，明了由ｖｉａｉ证ｙ过程驱动的倒向随机微分方程在局部Ｂ－ｉ
ｈｒ条件下解的存在唯一性。我们先给出在某种较弱的条件下，ａｉ方程在局部区间［，上解的存在唯一性，
此外，注意到Ｌｐｃｉ条件是个要求较高的条件，ｉｓｈｔｚ在实际中往往不易得到满足，必要对有
此进行放松，例如放松为局部Ｌｐｃｉ条件，ｉｒ条件，ｉｈｚｓｔＢｈｉａ单调条件等，有兴趣的读者可参考［８
一
ｌ］的文章。为引入本文即将给出的条件，们着重考虑以下学者的研究成果。龚光鲁在０等我
１引言
１９９０年，ａｏｘ和Ｐｎ［］Ｐｒｕｄｅｇ１利用鞅表示定理证明了由Ｂｏｎ运动驱动的倒向随机微分ｒｗ方程（简称ＢＤｓＳＥ）
．
１
＾ｌ
—
Ｊ（ｙｚ）＋Ｊ，＝，５ＩＩ，，ｄＺ
ｔ０１ ∈［，］
（．）１１

高维倒向重随机微分方程的比较定理及其应用

∗ Partially supported by Foundation for University Key Teacher by Ministry of Education of China, National Natural Science Foundation of China grant 10201018 and Doctor Promotional Foundation of Shandong grant 02BS127.
(H2) There exist constants C > 0 and 0 < α < 1 such that for any (ω, t) ∈ Ω × [0, T ], (y1 , z1 ), (y2 , z2 ) ∈ Rk × Rk×d , |f (t, y1 , z1 ) − f (t, y2 , z2 )|2 ≤ C (|y1 − y2 |2 + z1 − z2 2 ) g(t, y1 , z1 ) − g(t, y2 , z2 ) 2 ≤ C |y1 − y2 |2 + α z1 − z2 2 Given ξ ∈ L2 (Ω, FT , P ; Rk ), we consider the following BDSDE:

Comparison Theorems of the multi-dimensional BDSDEs and Applico Shi Yufeng Shandong Art and Design School of Mathematics and School of Mathematics and Academy Jinan 250014, China Statistics Shandong Economic System Sciences Shandong University, Jinan 250100, China University, Jinan 250100, China E-mail:byhan01@ zhubo207@ yfshi@

levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题

倒向随机微分方程是随机微分方程理论中的一个重要分支，它在金融工程、生物医学、信号处理等众多领域都有着广泛的应用。

而对于一些过程驱动的倒向随机微分方程相关问题，研究者们一直在不断地进行探索和研究。

本文将从levy 过程驱动的倒向随机微分方程相关问题展开讨论。

一、levy 过程介绍levy 过程是随机过程理论中的一种重要类型，它具有独立增量和稳定性等特点。

在金融数学中，levy 过程被广泛应用于模拟股票价格和衍生品的定价等领域。

而在倒向随机微分方程的研究中，levy 过程也扮演着重要的角色。

二、倒向随机微分方程的基本概念倒向随机微分方程是倒向随机过程的一个重要表达形式，它在金融数学、信号处理、生物医学等领域都有广泛的应用。

倒向随机微分方程的基本概念包括随机微分方程、倒向随机过程、条件期望等。

三、levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立在实际应用中，我们需要具体的数学模型来描述levy 过程驱动的倒向随机微分方程。

在这一部分，我们将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程模型的建立方法，包括数学原理和实际应用案例。

四、levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解对于levy 过程驱动的倒向随机微分方程，其数值求解是一个重要的研究方向。

本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程的数值求解方法，包括传统的数值方法和近年来的一些新的数值算法。

五、levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的应用金融工程是levy 过程驱动的倒向随机微分方程的一个重要应用领域。

本文将介绍levy 过程驱动的倒向随机微分方程在金融工程中的具体应用案例，包括股票价格模拟、期权定价等方面。

总结：本文从levy 过程驱动的倒向随机微分方程的基本概念出发，介绍了其在数学模型建立、数值求解和金融工程中的应用。

通过对相关问题的探讨和研究，有望为该领域的进一步发展提供有益的参考和借鉴。

希望本文对相关领域的研究者和从业人员有所帮助。

倒向随机微分方程和金融数学

倒向随机微分方程和金融数学倒向随机微分方程和金融数学随机微分方程是一种用来描述随机过程演化的数学工具，它在金融数学中扮演着重要角色。

本文将探讨倒向随机微分方程及其在金融数学中的应用。

一、倒向随机微分方程的基本概念倒向随机微分方程是由Yong等人于1999年提出的，它是对正向随机微分方程的一种推广。

与正向随机微分方程描述系统的演化方式不同，倒向随机微分方程描述的是系统的过渡概率密度函数的演化。

倒向随机微分方程可用于解决很多实际问题，尤其在金融数学中有着广泛的应用。

二、倒向随机微分方程的数学表达式倒向随机微分方程可以表示为如下形式：dX_t = a(X_t,t)dW_t - b(X_t,t)dt其中，W_t是标准布朗运动，a(X_t,t)和b(X_t,t)是给定的函数。

这个方程描述了一个随机过程X_t的轨迹在每个时刻的微小变化。

通过求解这个方程，我们可以得到随机过程的过渡概率密度函数。

三、倒向随机微分方程在金融数学中的应用1. 期权定价倒向随机微分方程在金融工程领域中被广泛应用于期权定价模型。

通过建立包含倒向随机微分方程的随机微分方程，可以计算出期权价格的理论值。

这对于投资者制定交易策略、管理风险具有重要意义。

2. 风险管理倒向随机微分方程还可以用于风险管理领域，特别是对于金融市场中的风险溢价定价和风险度量具有重要作用。

通过倒向随机微分方程建模，可以获得金融资产的风险价值，帮助投资者更好地控制投资风险。

3. 投资组合优化倒向随机微分方程可以用于建立投资组合优化模型，帮助投资者根据市场波动性和风险溢价水平确定最佳投资组合。

通过求解倒向随机微分方程，可以找到最优投资策略，实现投资组合的稳健增长。

四、倒向随机微分方程的挑战与展望倒向随机微分方程的研究还存在一些挑战。

首先，倒向随机微分方程的数值解具有很高的计算复杂度，需要运用高效的数值方法来解决。

其次，倒向随机微分方程的参数估计问题也是一个研究热点，如何准确地估计随机微分方程中的参数仍然是一个有待深入研究的问题。

倒向随机微分方程的理论_发展及其应用_周少甫

应用数学M ATHE M ATIC A APP LIC AT A2002,15(2):9～13倒向随机微分方程的理论、发展及其应用Ξ周少甫1,黄志远2,张子刚3(1.华中科技大学经济学院,湖北武汉430074;2.华中科技大学数学系,湖北武汉430074;3.华中科技大学管理学院;湖北武汉430074)摘要:本文全面综述了倒向随机微分方程理论的出现、发展、应用及研究现状,介绍了作者博士论文的主要工作.关键词:金融数学;倒向随机微分方程;随机微分效用;正—倒向随机微分方程中图分类号:O211.63 AMS(2000)主题分类:60H30文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)022*******一般认为金融学从一门描述性的科学向金融数学的转变始于Harry Markowitz[1]在1952年的开创性工作,他为现代有价证券的组合理论奠定了基础,他的理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”.许多学者进一步发展了他的理论.下一步重要的发展是1964年Sharpe[2]和1965年Lintner[3]提出的资本资产定价模型(C APM)及1976年R oss[4]把C APM模型扩展成套利定价模型(APT).1973年,Fisher Black和Myron Schole[5]发展了“期权及公司债务的定价”,提出了第一个完整的期权定价模型.同一年,R obert Merton[6]发表了“计算期权合理价格的理论”.这些里程碑式的成果,引发了第二次“华尔街革命”,在理论和实践中都有特别重要的意义.Fisher Black和Myron Schole的期权定价模型提出之后,金融数学以前所未有的的速度发展.许多现代的数学工具,如随机微积分[7,8,9],鞅方法,凸分析[10],随机最优控制,多元统计分析,数学规划[11,12],现代计算方法等在金融理论与实践中起着关键作用.许多经济学家和数学家都为金融数学的发展作出了贡献.他们中的佼佼者不少已先后获得了诺贝尔经济学奖。

随机预设时间的倒向随机微分方程和在违约风险中的应用翻译

随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用大学数学系，中国，250100Shige Peng ,Xiaoming Xu概要在本文中，我们所关心的是随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用。

这些由布朗运动决定的方程就像相互独立的鞅出现在一个违约设置。

我们证明了这些方程有独特的解决方案和一个相对于他们解的比较定理。

作为应用，关于相关零和随机微分对策问题我们得到了有关鞍点策略关键词：倒向随机微分方程，随机默认时间，比较定理，零和随机微分对策1介绍信用风险是一种最根本的，最古老和最危险的财务风险。

特别是在最近几年得到了不止一次的密切关注。

信用风险研究最广泛的形式是违约风险，特别是在金融合同中一个人将要履行的责任和他相关于合同的义务不符合的风险。

许多人，别莱茨基，贾罗，Jeanblanc，Kusuoka 等等，都在研究这个项目。

在一个违约市场,噪声是由布朗运动B以及一个命名为预设时间的随机时间τ决定。

关于时间τ我们可以得到两种信息：一个来源于资产价格，由τβ产生定义为Fτ，一个来源于默认时间，由随机过程Hτ≤定义为Hτ。

这里应该注意的是一般而言，随机时间τ并τ：1{}t不是一个F-stopping时间。

我们所需要考虑筛选叫做扩大筛选G ：= F∨ H.。

我们应该怎么处理这类事件呢？一般而言，我们构建一个过程Γ，命名这个F -风险过程为τ通过设Γt ：= −ln[1−P(τ ≤ t)],这里P 历史的概率测度。

然后，通过Mt := Ht − Γt ∧τ定义的过程M ，就是一个独立的G -鞅。

假设Γ是绝对连续的，则存在一个F -adapted 过程λ，叫做强度过程，则0tt s ds γΓ=⎰。

通过知名的Kusuoka 鞅表示定理，其中规定，任何ζ方可积鞅可被表示成关于B 和M 积分的和。

我们知道在一个违约设置中，B 和M 是十分重要的。

在研究违约设置中的效用最大化问题时，Bielecki et al 和Lim -Quenez 得出结论，价值函数是一个二次驱动程序。

时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分方程

在金融数学、控制系统等领域，时间不相容问题指的是随机控制策略与期望收益之间存在矛盾，无法同时达到最优的问题。该问题具有广泛的应用背景，如投资组合管理、风险管理等。解决该问题对于提高策略的有效性和稳定性具有重要意义。
要点二
弱形式的正倒向随机微分方程（ Weak FBSDE）
FBSDE是一种描述金融市场动态的随机微分方程，其中正向过程描述资产价格的变化，而倒向过程描述风险溢价的变化。Weak FBSDE是FBSDE的一种弱形式，适用于更广泛的市场环境。研究Weak FBSDE的解的性质对于理解和预测市场动态具有重要意义。
缺乏有效的数值方法
对于这类问题的数值求解方法的研究还比较薄弱，还没有形成一套有效的数值求解方法，这使得许多问题无法通过数值模拟或计算得到解决。
研究趋势与展望
01
发展新的理论框架
未来的研究将致力于构建一个系统性的理论框架，以便更好地理解和解决时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分方程。
时间不相容性是指随机控制问题的未来状态和过去状态之间存在依赖关系。在正倒向随机微分方程中，这种依赖关系表现为未来状态依赖于过去状态和未来的随机干扰。
VS
正倒向随机微分方程是一种描述时间不相容的随机控制问题的数学模型，其中过去状态和未来状态之间存在双向的依赖关系。
弱形式正倒向随机微分方程对时间不相容性的描述
时间不相容的随机控制问题和弱形式的正倒向随机微分
方程
2023-10-29
contents
目录
• 引言 • 时间不相容随机控制问题 • 弱形式的正倒向随机微分方程 • 时间不相容性与弱形式正倒向随机微分方
程关系 • 时间不相容性与弱形式正倒向随机微分方

平均场倒向随机微分方程下的随机微分效用

分类号学号M201070073学校代码10487密级硕士学位论文平均场倒向随机微分方程下的随机微分效用学位申请人：陈莹莹学科专业：概率论与数理统计指导教师：王湘君副教授答辩日期：2012.5.19A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirementsfor the Degree for the Master of ScienceStochastic Differential Utility Based onMean-Field Backward Stochastic DifferentialEquationsCandidate:Chen Yingying Major:Probability Theory and Mathematical Statistics Supervisor :Assoc Associate iate Prof Professor essor essorWangWang Xiangjun Huazhong University of Science &TechnologyWuhan 430074,P.R.ChinaMay,2012独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。

对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。

本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

平均场倒向重随机微分方程及其应用

数学年刊A 辑2020, 41(4):409-428DOI: 10.16205/ki.cama.2020.0029平均场倒向重随机微分方程及其应用**本文2018年11月17日收到，2020年8月10日收到修改稿.1山东财经大学数学与数量经济学院，山东省区块链金融重点实验室，济南250014;山东大学金融研究院和数学学院，济南 250100. E-mail: ****************2四川大学数学学院，成都 610065. E-mail: ******************.cn彳通信作者.山东大学金融研究院和数学学院，济南250100. E-mail: *************.cn*本文受到国家重点研发计划(NO.2018YFA0703900),国家自然科学基金(No. 11871309, No. 11671229, No. 11971332, No. 11931011, No. 71871129, No. 11371226, No. 11301298), 山东省自然科学基金(No.ZR2019MA013),山东省高等教育科技计划项目(No. J17KA162)和泰山学者工程专项经费 (No. tsqn20161041)项目的资助.朱庆峰1王天啸2石玉峰彳提要研究了平均场倒向随重机微分方程，得到了平均场倒向重随机微分方程解的存在唯一性.基于平均场倒向重随机微分方程的解，给岀了一类非局部随机偏微分方程解的概率解释•讨论了平均场倒向重随机系统的最优控制问题，建立了庞特利亚金型的最大值原理.最后讨论了一个平均场倒向重随机线性二次最优控制问题，展示了上述最大值原理的应用.关键词平均场，倒向重随机微分方程，非局部随机偏微分方程，最大值原理，线性二次最优控制MR (2000)主题分类 60H10, 60H15, 93E20中图法分类0211.6文献标志码A文章编号 1000-8314(2020)04.0409-201引言为了给出一类拟线性随机偏微分方程(SPDEs)的概率解释，Pardoux 和PengE 引入了如下倒向重随机微分方程(BDSDEs):Yt = £ J f(s, Y s , Z s )ds + j g(s,Ys, Zg) d Bs - ] Z S ^W S , 0 W t W T, 这里关于｛B t ｝的积分是倒向积分，关于｛W t ｝的积分是标准正向积分.事实上，Pardoux 和PengE 开创了用BDSDE 研究SPDE 的新方法，由此得到了 SPDE 的一系列结果(参见文[2-16]及相关文献)•最近倒向重随机系统的最优控制问题引起了广泛的研究兴趣，见文[17-20].1956年，Kac 【2i 】提出了如下McKean-Vlasov 随机微分方程(SDEs):dXf = b(Xt, Ht)dt + t G [0, T], X 。

倒向随机微分方程在期权定价中的应用

倒向随机微分方程在期权定价中的应用倒向随机微分方程在期权定价中的应用摘要：本文以期权定价为研究对象，探讨了倒向随机微分方程在该领域的应用。

首先介绍了随机微积分的基本概念和随机分析中的重要理论，在此基础上引入了倒向随机微分方程的定义和求解方法。

然后，结合Black-Scholes期权定价模型，分别利用倒向随机微分方程和传统方法对欧式看涨期权进行定价并进行比较，结果表明倒向随机微分方程在期权定价中具有优越性。

最后，对倒向随机微分方程在期权定价中的应用前景进行了探讨。

关键词：倒向随机微分方程；期权定价；Black-Scholes模型；随机微积分；随机分析1.引言期权定价是金融领域中的一个重要问题，随着金融市场的不断发展和创新，传统期权定价模型面临越来越多的挑战。

随机微积分作为一种新兴的数学工具，被广泛应用于金融工程中。

倒向随机微分方程是一类重要的随机微分方程，具有很好的数学性质和解析性质，在金融领域中也得到了广泛的应用。

2.随机微积分和随机分析随机微积分和随机分析是近年来发展起来的新兴数学分支，它是将微积分和概率论有机结合在一起的一门学科。

随机微积分主要研究随机微分方程和随机偏微分方程等问题，随机分析则是研究随机过程和随机变量等随机现象。

这两门学科在金融领域中的应用非常广泛，例如期权定价、风险管理、投资组合优化等问题。

3.倒向随机微分方程倒向随机微分方程是一类重要的随机微分方程，它是指随机微分方程中时间变量是反演的，即从终端条件开始向初始条件进行求解。

由于其具有良好的数学性质和解析性质，使得其在金融领域中得到了广泛的应用。

目前求解倒向随机微分方程的方法有很多种，例如倒向随机微积分、蒙特卡罗模拟等方法。

4.倒向随机微分方程在期权定价中的应用Black-Scholes模型是一种著名的期权定价模型，它是以欧式看涨期权为例，假设股票价格的随机漂移率服从布朗运动的随机微分方程，通过对该方程进行求解得到期权价格。

倒向随机微分方程在欧式期权中的应用_史正伟

文章编号:1001-2486(2003)05-0094-04倒向随机微分方程在欧式期权中的应用Ξ史正伟,傅一歌(国防科技大学理学院,湖南长沙　410073)摘　要:假设市场为无套利市场,而且市场上只有两种证券:一种是无风险债券;一种是有风险的股票。

通过自筹资策略,得到期权价格所满足的倒向随机微分方程(BSDE ),利用倒向随机微分方程给出欧式期权价格概率表示;并证明欧式期权的完全套期保值性。

关键词:自筹资策略;欧式期权;倒向随机微分方程;G isanov 定理中图分类号:O211163;O29 文献标识码:AThe Application of B ackw ard Stochastic DifferentialEquations to European OptionSHI Zheng 2wei ,FU Y i 2ge(C ollege of Science ,National Univ.of Defense Technology ,Changsha 410073,China )Abstract :Assuming that there is no arbitrage and there are tw o securities traded ,riskless and risky in the market ,by self 2financing strategy we obtain the BSDE option price satis fies ,and then we will get the probability expression formula of the European options ’price by BSDE.We will give the proof of the complete hedging of the European option.K ey words :self 2financing strategy ;option pricing ;BSDE;G isanov theorem近年来,在金融领域,衍生证券变得越来越重要,主要因为金融衍生资产可以作为保值和减小风险的工具,,期权赋予其购买者在预先约定的时间以预先约定的价格买入或卖出某项基础资产的权利,为获得这种权利则必须支付给期权出售者费用,反映出期权的买卖双方对某一权力做出的价值判断,但期权的价格很难从市场中直接反映,因此期权定价一直都是金融数学中的一个重要课题,在金融衍生市场中进行交易的期权大部分是标准期权,即欧式期权和美式期权。

随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用翻译

随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用山东大学数学系，中国济南，250100Shige Peng ,Xiaoming Xu概要在本文中，我们所关心的是随机预设时间的倒向随机微分方程及其在违约风险中的应用。

这些由布朗运动决定的方程就像相互独立的鞅出现在一个违约设置。

我们证明了这些方程有独特的解决方案和一个相对于他们解的比较定理。

特别是在最近几年得到了不止一次的密切关注。

信用风险研究最广泛的形式是违约风险，特别是在金融合同中一个人将要履行的责任和他相关于合同的义务不符合的风险。

许多人，别莱茨基，贾罗，Jeanblanc，Kusuoka 等等，都在研究这个项目。

在一个违约市场,噪声是由布朗运动B以及一个命名为预设时间的随机时间τ决定。

关于时间τ我们可以得到两种信息：一个来源于资产价格，由τβ产生定义为Fτ，一个来源于默认时间，由随机过程Hτ≤定义为Hτ。

这里应该注意的是一般而言，随机时间τ并τ：1{}t不是一个F-stopping时间。

我们所需要考虑筛选叫做扩大筛选G ：= F∨ H.。

我们应该怎么处理这类事件呢？一般而言，我们构建一个过程Γ，命名这个F -风险过程为τ通过设Γt ：= −ln[1−P(τ ≤ t)],这里P 历史的概率测度。

然后，通过Mt := Ht − Γt ∧τ定义的过程M ，就是一个独立的G -鞅。

假设Γ是绝对连续的，则存在一个F -adapted 过程λ，叫做强度过程，则0tt s dsγΓ=⎰。

通过知名的Kusuoka 鞅表示定理，其中规定，任何ζ方可积鞅可被表示成关于B 和M 积分的和。

我们知道在一个违约设置中，B 和M 是十分重要的。

在研究违约设置中的效用最大化问题时，Bielecki et al 和Lim -Quenez 得出结论，价值函数是一个二次驱动程序。

倒向随机微分方程理论

倒向随机微分方程理论的一段往事(2008-07-18 22:04:36)转载分类：数学江湖标签：杂谈转自：/文章是中国金融数学届的狂牛的老头子：彭实戈写的，在这里转给大家欣赏。

按：这个文章回顾了倒向随机微分方程理论产生的一段往事，同样是数学上一个让人愉悦的故事。

当年，我和Ｐａｒｄｏｕｘ写的关于倒向随机微分方程简称ＢＳＤＥ理论的那篇文章发表在一个叫《ＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＬｅｔｔｅｒｓ》的“小杂志”上。

那是一个“有心栽花花不开，无意插柳柳成荫”的故事。

ＢＳＤＥ的文章发表于１９９０年，而这项研究的实际完成是在１９８９年４月。

其时我从法国回来，正在复旦大学做博士后１９８８年开始。

数学系的李训经教授在复旦组织了一个每周一次的控制论讨论班，讨论班的一个重点是随机系统的最优控制问题。

当时雍炯敏刚从美国回来，在复旦任副教授，陈叔平在浙大，经常到复旦来参加讨论班。

李老师有两个博士生胡瑛和周迅宇我刚到复旦时，周迅宇还在日本Ｎｉｓｉｏ教授那里，大概属于联合培养，他们都具备了非常好的概率论和随机分析的基础。

我说非常好，是相对于我这个刚从法国著名的Ｐａｒｄｏｕｘ研究团体回来的“洋博士”而言的。

当时从国外回来的“洋博士”还不算多，大家都对我们“另眼相待”。

回国后看到复旦的这些博士生的基础打得如此之牢固，令我十分佩服。

讨论班的学术气氛很热烈，有两个主攻方向：一是无穷维系统最优控制的最大值原理；一是随机最优控制问题，扩散项含时间的随机控制系统最大值原理是当时大家关心的公开难题之一。

那是一个硕果累累的年代，产生了一批令国际同行刮目相看的研究成果，称其为“ＦｕｄａｎＧｒｏｕｐ”。

复旦对于博士后的生活安排得非常周到。

我有一个二室一厅的套间，里面是整套全新的家具。

胡瑛是这里的常客——几乎每天都来。

经常是进门后没说几句话就坐下来，拿出纸和笔来讨论问题，累了就到校园里去散一会儿步，饿了就出去找个饭店或到食堂吃一顿。

我们两个合作写了好几篇文章，当时的主攻方向是广义的和无穷维随机系统的最大值原理。

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。

1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。

非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。

Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。

从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。

在El Karoui和Mazliak[30],Ma和Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。

倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。

但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。

在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。

相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。

出现这一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。

其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。

在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。

这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。

倒向随机方程

倒向随机方程1. 引言倒向随机方程是一类重要的随机微分方程，其在金融学、物理学、生物学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍倒向随机方程的基本概念、求解方法以及一些应用实例。

2. 基本概念2.1 随机微分方程在介绍倒向随机方程之前，我们首先需要了解随机微分方程。

随机微分方程是描述随机过程演化的数学工具，通常由确定性部分和随机部分组成。

一般形式的随机微分方程可以写为：dX t=b(X t,t)dt+σ(X t,t)dW t其中，X t表示时间t时刻的状态变量，b(X t,t)和σ(X t,t)为确定性函数，W t为布朗运动（或称为标准布朗运动）。

这个方程描述了状态变量在时间上的演化，并且受到外部环境的影响。

2.2 倒向随机方程倒向随机方程是一类特殊的随机微分方程，它与正向（或称为前向）随机方程相对应。

正向随机方程描述了系统从初始状态到未来状态的演化过程，而倒向随机方程则描述了系统从未来状态回溯到初始状态的演化过程。

一般形式的倒向随机方程可以写为：dX t=b(X t,t)dt+σ(X t,t)dW t其中，X t表示时间t时刻的状态变量，b(X t,t)和σ(X t,t)为确定性函数，W t为布朗运动。

与正向随机方程不同的是，在倒向随机方程中，时间是反向流动的。

3. 求解方法求解倒向随机方程是一个复杂且具有挑战性的问题。

目前主要有两种常用的求解方法：数值方法和解析方法。

3.1 数值方法数值方法是通过离散化时间和空间来近似求解倒向随机方程。

常用的数值方法包括欧拉法、Milstein法、Monte Carlo模拟等。

欧拉法是最简单也是最常用的数值方法之一。

它通过将时间和空间离散化为小步长，并使用差分逼近来近似求解倒向随机方程。

欧拉法具有简单易实现、计算效率高的优点，但精度相对较低。

Milstein法是欧拉法的一种改进方法，它在欧拉法的基础上引入了二阶项的近似。

这种改进可以提高数值解的精度，尤其在随机项的系数存在非线性关系时效果更为显著。

倒向随机微分方程及其应用

倒向随机微分方程及其应用
彭实戈
【期刊名称】《国际学术动态》
【年(卷),期】2000(000)004
【摘要】1999年6月3日至4日,在法国的Maine大学召开了第2届倒向随机微分方程及其应用国际学术会议。

我出席了会议并且在会议上作了第一发言。

倒向随机微分方程理论是90年代兴起的研究领域,而与之相对应的正倒向随机微分方程的发展却有40多年的历史,并出现许多优美的数学结果以及在很多方面获得了应用。

倒向方程发展晚得多的主要原因是技术上和思路上存在障碍。

【总页数】2页(P30-31)
【作者】彭实戈
【作者单位】山东大学数学系,济南250100
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.倒向随机微分方程在欧式看涨期权中的应用
2.倒向随机微分方程的研究与应用
3.倒向随机微分方程在原保险定价中的应用
4.正倒向随机微分方程理论及应用
5.正倒向随机微分方程理论及应用
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一类倒向随机微分方程及其反射方程解的存在性的开题报告

一类倒向随机微分方程及其反射方程解的存在性的开题报告摘要：本文主要研究一类倒向随机微分方程（Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs），该类BSDEs具有非线性及呈现随机性的性质。

我们将会对该类BSDEs的一些性质进行分析探索，包括解的存在性、唯一性、连续性等问题，并介绍一些基本的解题方法。

尤其是我们将考虑BSDEs的反射问题，即在BSDEs的解中，路径上不会超过一个预设的障碍函数（Barrier Function）。

关键词：倒向随机微分方程、反射问题、解的存在性、唯一性、连续性、解题方法一、研究背景BSDEs是由弱收敛方法（Weak Convergence）构造出心理物理学中非线性的测量学模型，由于其适用性广泛性，自提出以来得到了广泛的应用和研究。

BSDEs模型中涉及到许多数学工具，如测度论，概率理论，伊藤积分、反演公式（Inverse Formula）等。

由于该类方程具有随机性证明困难、解的存在性复杂等特点，使得该问题成为了近年来概率论研究中的焦点问题之一。

二、主要内容该文将介绍一类具有反射限制的非线性BSDEs的解存在性和唯一性问题，给出这类BSDEs的解的一致性估计和路径连续性，引用最近连续时间BSDEs（Continuous-Time BSDEs）的研究成果，建立该类BSDEs的反射问题，证明该类反射BSDEs解的存在性，得到一类具有时间振荡且非对称交易费用的投资组合问题。

三、对解题方法的探索1. 矩方法（Moment Method）整体矩方法：对于已知稳定解（Steady States）的非线性BSDEs，利用慢速转化方法（Slow-Fast Method），结合HJB方程，引入Feynman-Kac公式，以及传统的逆向随机微分方程（Backward SDEs）解析方法，给出该类方程的矩展开公式。

局部矩方法：对于不知道稳定解的不确定情况下的BSDEs，借助弱对象方法（Weak Object Method），引入瞬时化方法，和传统的滤波算子（Filter Operators）理论，推广整体矩方法，得到该类倒向随机微分方程的局部矩展开公式。