力的合成和分解解题技巧

F F F O 力的合成与分解解题技巧
一． 知识清单：
1．力的合成
（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。

力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简
化成三角形定则。

由三角形定
则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是
|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2
（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之与，最小值可能为零。

2．力的分解
（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

（2）两个力的合力惟一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解。

（3）几种有条件的力的分解
①已知两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

②已知一个分力的大小与方向，求另一个分力的大小与方向时，有唯一解。

③已知两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。

④已知一个分力的大小与另一个分力的方向，求这个分力的方向与另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

（4）用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：
①当已知合力F的大小、方向与一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。

如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα
②当已知合力F的方向与一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα
③当已知合力F的大小与一个分力F1的大小时，另一个分
力F 2取最小值的条件是：已知大小的分力F 1与合力F 同方向，F 2的最小值为｜F －F 1｜
（5）正交分解法：
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。

用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
②把各个力向x 轴、y 轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x 轴上的各分力的代数与F x 合与在y 轴上的各分力的代数与F y 合
④求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=
合力的方向：tan α=
合合x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）
3. 物体的平衡 （1）平衡状态：静止：物体的速度与加速度都等于零。

匀速运动：物体的加速度为零，速度不为零且保持不变。

（2）共点力作用下物体的平衡条件：合外力为零即F 合＝0。

（3）平衡条件的推论：当物体平衡时，其中某个力必定与
余下的其它的力的合力等值反向。

二． 解题方法：
1、共点力的合成
⑴同一直线上的两个力的合成
①方向相同的两个力的合成
②方向相反的两个力的合成
⑵同一直线上的多个力的合成 通过规正方向的办法。

与正方向同向的力取正值，与正方向相反的力取负值，然后将所有分力求与，结果为正表示合力与正方向相同，结果为负表示合力方向与正方向相反。

⑶互成角度的两个力的合成
⑷当两个分力F1、F2互相垂直时，合力的大小2221F F F +=合 ⑸两个大小一定的共点力，当它们方向相同时，合力最大，合力的最大值等于两分力之与；当它们的方向相反时，它们的合力最小，合力的最小值等于两分之差的绝对值。

即2121F F F F F +≤≤-合
⑹多个共点力的合成
①依次合成：F1与F2合成为F12，再用F12与F3合成为F123，
F F
F 合= F 2-
F F
F 合=F 1+F 2
遵循平行四边形定则：以两个分力为邻边的
再用F123与F4合成，……
②两两合成：F1与F2合成为F12，F3与F4合成为F34，……，再用F12与F34合成为F1234，……
③将所有分力依次首尾相连，则由第一个分力的箭尾指向最后一个分力箭头的有向线段就是所有分力的合力。

⑺同一平面内互成120°角的共点力的合成
①同一平面内互成120°角的二个大小相等的共点力的合力的大小等于分力的大小，合力的方向沿两分夹角的角平分线
2、有条件地分解一个力：
⑴已知合力与两个分力的方向，求两个分力的大小时，有唯一解。

⑵已知合力与一个分力的大小、方向，求另一个分力的大小与方向时，有唯一解。

⑶已知合力与两个分力的大小，求两个分力的方向时，其分解不惟一。

3、用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律：
⑴当已知合力F 的大小、方向与一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。

如图所示，F2
的最小
F
F F
值为：F2min=F sin α
⑵当已知合力F 的方向与一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F 垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sin α
⑶当已知合力F 的大小与一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是：已知大小的分力F1与合力F 同方向，F2的最小值为｜F －F1｜
有两种可能性。

⑷已知合力、一个分力的大小与另一个分力的方向，求这个分力的方向与另一个分力的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

有四种可能性。

4、用正交分解法求合力的步骤：
⑴首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
⑵把不在坐标轴上的各个力向x 轴、y 轴上投
影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为
正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、
负号表示了被正交分解的力的分力的方向
F F F F
F
F
⑶求在x 轴上的各分力的代数与F x 合与在y 轴上的各分力的代数与F y 合
⑷求合力的大小 22)()(合合y x F F F +=
合力的方向：tan α=
合合x y F F （α为合力F 与x 轴的夹角）
5、受力分析的基本方法： 1、明确研究对象：在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体（整体）。

在解决比较复杂的问题时，灵活的选取研究对象可以使问题简洁地得到解决。

研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施于研究对象的力（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施于外界的力。

2、隔离研究对象，按顺序找力。

把研究对象从实际情景中分离出来，按先已知力，再重力，再弹力，然后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有摩擦力），最后其它力的顺序逐一分析研究对象所受的力，并画出各力的示意图。

3、只画性质力，不画效果力
画受力图时，只按力的性质分类画力，不能按作用效果画力，否则将重复出现。

受力分析的几点注意
⑴牢记力不能脱离物体而存在，每一个力都有一个明确的施力者，如指不出施力者，意味着这个力不存在。

⑵区分力的性质与力的命名，通常受力分析是根据力的性质确定研究对象所受到的力，不能根据力的性质指出某个力后又从力的命名重复这个力
⑶结合物理规律的应用。

受力分析不能独立地进行，在许多情况下要根据研究对象的运动状态，结合相应的物理规律，才能作出最后的判断。

三． 经典例题
例1. 用轻绳AC 与BC 吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°与60°，如图所示。

已知AC 绳所能承受的最大拉力为150N ，BC 绳所能承受的最大拉力为100N ，求能吊起的物体最大重力是多少？
解析：对C 点受力分析如图：可知T A :T B :G ＝2:1:3
设AC 达到最大拉力T A ＝150N ，
则此时T B ＝N N N T A
1006.863503<== ∴AC 绳子先断，则此时：
G ＝
说明：本题主要考查力的平衡知识，利用力的合成法即三角形法解决。

例2. 如图所示，轻绳AO 、BO 结于O 点，系住一个质量为m 的物体，AO 与竖直方向成α角，BO 与竖直方向成β角，开始时（α＋β）＜90°。

现保持O 点位置不变，缓慢地移动B 端使
绳BO 与竖直方向的夹角β逐渐增大，直到BO 成水平方向，试讨论这一过程中绳AO 与BO 上的拉力大小各如何变化?（用解析法与作图法两种方法求解）
解析：以O 点为研究对象，O 点受三个力：T 1、T 2与mg ，如下图所示，由于缓慢移动，可认为每一瞬间都是平衡状态。

（1）解析法
x 方向：T 2sin β－T 1sin α＝0，（1）
y 方向：T 1cos α＋T 2cos β－mg ＝0。

（2）
由式（1）得
T T 12=sin sin βα
· （3） 式（3）代入式（2），有
sin cos sin cos βαα
βT T mg 220+-=，化简得 T 2＝)sin(sin βαα
+mg （4）
讨论：由于α角不变，从式（4）看出：
当α＋β＜90°时，随β的增大，则T 2变小；
当α＋β＝90°时，T 2达到最小值mgsin α；
当α＋β＞90°时，随β的增大，T 2变大。

式（4）代入式（3），化简得
T 1＝αβαβαβαββαααβcos sin sin cos cos sin sin )sin(sin ·sin sin +=+=+ctg mg mg mg 。

由于α不变，当β增大时，T 1一直在增大。

（2）作图法
由平行四边形法则推广到三角形法则，由于O 点始终处于平衡状态，T 1、T 2、mg 三个力必构成封闭三角形，如图（a ）所示，即T 1、T 2的合力必与重力的方向相反，大小相等。

由图（b ）看出，mg 大小、方向不变；T 1的方向不变；T 2的方向与大小都改变。

开始时，（α＋β）＜90°，逐渐增大β角，T 2逐渐减小，当T 2垂直于T 1时，即（α＋β）＜90°时，T 2最小（为mgsin α）；然后随着β的增大，T 2也随之增大，但T 1一直在增大。

说明：力的平衡动态问题一般有两种解法，利用平衡方程解出力的计算公式或作图研究，但需要指出的是作图法一般仅限于三力平衡的问题。

例3. 光滑半球面上的小球（可是为质点）被一通过定滑轮的力F 由底端缓慢拉到顶端的过程中（如图所示），试分析绳的拉力F 与半球面对小球的支持力F N 的变化情况。

解析：如图所示，作出小球的受力示意图，注意弹力F N 总与球面垂直，从图中可得到相似三角形。

设球面半径为R ，定滑轮到球面的距离为h ，绳长为L ，据三角形相似得： 由上两式得：绳中张力：F mg L h R
=+ 小球的支持力： 又因为拉动过程中，h 不变，R 不变，L 变小，所以F 变小，
F N 不变。

说明：如果在对力利用平行四边形定则（或三角形法则）运
算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形
对应边成比例等性质求解。

例4. 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O
点为其球心，碗的内表面与碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，
线的两端分别系有质量为m 1与m 2的小球，当它们处于平移状
态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α＝
60°。

两小球的质量比m m 2
1为（ ）
解析：对m 2而言T m g
m g m g ==2213 ∴选A
说明：注意研究对象的选取，利用m 2的平衡得到拉力与
m 2重力的关系，利用m 1的三力平衡得到m 1重力与拉力的关系，
绳拉m 1、 m 2的作用力相等时联系点。

例5. 如图所示，A 、B 是系在绝缘细线两端，带有等量同种
电荷的小球，其中1.0=A m kg ，细线总长为20cm ，现将绝缘细线
通过O 点的光滑定滑轮，将两球悬挂起来，两球平衡时，OA 的
线长等于OB 的线长，A 球依靠在光滑绝缘竖直墙上，B 球悬线
OB 偏离竖直方向 60，求：
（1）B 球的质量
（2）墙所受A 球的压力
解析：对A 受力分析如图，由平衡得
T－m A g－Fsin30°＝0 ①
Fcos30°－N＝0 ②
对B受力分析如图所示，由平衡得
2Fsin30°＝m B g④
由①②③④⑤得
m kg ⑤
2.0
=
B
N N ⑥
732
=
.1
根据牛顿第三定律可知，墙受到A球的压力为1.732N。

⑦说明：注意A、B两的联系点，绳的拉力大小相同，库仑力大小相同，方向相反。

四.达标测试
1. 物体受到三个共点力的作用，以下分别是这三个力的大小，不可能使该物体保持平衡状态的是（）
A. 3N，4N，6N
B. 1N，2N，4N
C. 2N，4N，6N
D. 5N，5N，2N
2. 如图所示，在倾角为α的斜面上，放一个质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则小球对挡板的压力大小是（）
D. mg
A. mg cosα
B. mg tanα
C. mg
cosα
3. 上题中若将木板AB绕下端点B点缓慢转动至水平位置，木板对球的弹力将（）
A. 逐渐减小
B. 逐渐增大
C. 先增大，后减小
D. 先减小，后增大
4. 如图所示，物体静止于光滑水平面M上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO'方向做匀加速运动（F与OO'都在M 平面内），那么必须同时再加一个力F1，这个力的最小值为（）
A. F tanθ
B. F cosθ
C. Fsinθ
D. F
sin
5. 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。

一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10m/s2) （）
A. 50N
B. 503N
C. 100N
D. 1003N
6、（2005 东城二模）如图所示，斜面体放在墙角附近，一个光滑的小球置于竖直墙与斜面之间，若在小球上施加一个竖直向下的力F，小球处于静止。

如果稍增大竖直向下的力F，而小球与斜面体都保持静止，关于斜面体对水平地面的压力与静摩擦力的大小的下列说法：①压力随力F增大而增大；②压力保持不变；
③静摩擦力随F增大而增大；④静摩擦力保持不变。

其中正确的是：( )
A. 只有①③正确
B. 只有①④正确
C. 只有②③正确
D. 只有②④正确
7. 下面四个图象依次分别表示A、B、C、D四个物体的加速度、速度、位移与滑动摩擦力随时间变化的规律。

其中可能处于受力平衡状态的物体是（）
8. 如图所示，质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙面上，F是垂直于斜面BC的推
力，现物块静止不动，则摩擦力的大小为__________。

9. 如图所示，已知G A＝100N，A、B都处于静止状态，若A 与桌面间的最大静摩擦力为30N，在保持系统平衡的情况下，B 的最大质量为。

10. 如图，人重500N，站在重为300N的木板上，若绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，整个系统匀速上升时，则人对绳子的拉力为N，人对木板的压力为N。

11. 如图所示，人重300N，物体重200N，地面粗糙，无水平方向滑动，当人用100N的力向下拉绳子时，求人对地面的弹力与地面对物体的弹力？
五．综合测试
1. 两个共点力的夹角θ与其合力F之间的关系如图所示，则两力的大小是（）
A. 1N与4N
B. 2N与3N
C. 2.5N与2.5N
D. 6N与1N
2. 设有五个力同时作用在质点P，它们的大小与方向相当于正六边形的两条边与三条对角线，如图所示。

这五个力中的最小力的大小为F，则这五个力的合力等于（）
A. 3F
B. 4F
C. 5F
D. 6F
3. 如图所示，一个物体A静止于斜面上，现用一竖直向下的外力压物体A，下列说法正确的是( )
A. 物体A所受的摩擦力可能减小
B. 物体A对斜面的压力可能保持不变
C. 不管F怎样增大，物体A总保持静止
D. 当F增大到某一值时，物体可能沿斜面下滑
4. 一物体m放在粗糙的斜面上保持静止，先用水平力F推m，如图，当F由零逐渐增加但物体m仍保持静止状态的情况下，则（）
①物体m所受的静摩擦力逐渐减小到零②物体m所受的弹力逐渐增加
③物体m所受的合力逐渐增加④物体m所受的合力不变
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D.②④
5. 如图所示，质量为M的木楔ABC静置于粗糙水平地面上。

在木楔的斜面上，有一质量为m的物块沿斜面向上做匀减速运动，设在此过程中木楔没有动，
①地面对木楔的摩擦力为零②地面对木楔的静摩擦力水平向左
③地面对木楔的静摩擦力水平向右④地面对木楔的支持力等于（M＋m）g
⑤地面对木楔支持力大于（M＋m）g ⑥地面对木楔的支持力小于（M＋m）g
则以上判断正确的是( )
A. ①④
B. ②⑥
C. ②⑤
D. ③⑤
6. 水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。

一
轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重物，如图所示，若将C 点缓慢向上移动，则滑轮受到绳子作用力的大小与方向变化情况是 （ ）
A. 作用力逐渐变大，方向缓慢沿顺时针转动
B. 作用力逐渐变小，方向缓慢沿顺时针转动
C. 作用力逐渐变大，方向缓慢沿逆时针转动
D. 作用力大小方向都不变
7. 如图所示，A 、B 是两根竖直立在地上的木桩，轻绳系在两木桩不等高的P 、Q 两点，C 为光滑的质量不计的滑轮，当Q 点的位置变化时，轻绳的张力的大小变化情况是（ ）
A. Q 点上下移动时，张力不变
B. Q 点上下移动时，张力变大
C. Q 点上下移动时，张力变小
D. 条件不足，无法判断
8. （2005 海淀二模）如图所示，用绝缘细绳悬吊一质量为m 、电荷量为q 的小球，在空间施加一匀强电场，使小球保持静止时细线与竖直方向成θ角，则电场强度的最小值为（ ）
A.
mg q sin θ B. mg q cos θ C. mg q tan θ D.
mg q cot θ 9. 跳伞运动员与伞正匀速下落，已知运动员体重1G ，伞的重
量2G ，降落伞为圆顶形。

8根相同的拉线均匀分布于伞边缘，每
根拉线均与竖直方向成30°夹角，则每根拉线上的拉力为（ ） A. 1123G B. 12)
(321G G + C. 82
1G G + D. 41
G
10. （2005 天津）如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P 、Q 用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量与摩擦），P 悬于空中，Q 放在斜面上，均处于静止状态。

当用水平向左的恒力推Q 时，P 、Q 仍静止不动，则 （ ）
A. Q 受到的摩擦力一定变小
B. Q 受到的摩擦力一定变大
C. 轻绳上拉力一定变小
D. 轻绳上拉力一定不变
11. （2006 全国（卷二））如图，位于水平桌面上的物块P ，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q 相连，从滑轮到P 与到Q 的两段绳都是水平的。

已知Q 与P 之间以与P 与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块的质量都是m ，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F 拉P 使它做匀速运动，则F 的大小为 （ ）
A . 4μmg
B . 3μmg
C . 2μmg
D . μmg
12. 一个质量为m ，顶角为α的直角斜劈与一个质量为M 的木块夹在两竖直墙壁之间，不计一切摩擦，则M 对地的压力为________，左面墙壁对M 的压力为_______。

13. 如图所示，斜面倾角为α，其上放一质量为M 的木板A ，A 上再放一质量为m 的木块B ，木块B 用平行于斜面的细绳系住后，将细绳的另一端栓在固定杆O 上。

已知M ＝2m 。

此情况下，A 板恰好能匀速向下滑动，若斜面与A 以与A 与B 间的动
摩擦因数相同，试求动摩擦因数的大小？
【达标测试答案】
1. B
提示：三力大小如符合三角形三边的关系即可。

2. B
提示：利用三力平衡知识求解。

3. D
提示：力三角形图解法。

4. C
提示：利用三角形求最小值。

5. C
提示：如图受力分析，可知拉力T＝G，根据平行四边形法则，所以两力的合力为100N。

6. A
提示：整体法求出支持力大小为F
(，静摩擦力大小
+)
g
M
m+
为墙对小球的弹力大小，隔离小球求出弹力大小αtg
(+。

mg)
F
7. CD
提示：平衡状态加速度为零，滑动摩擦力可能与其它外力平衡。

8. Fsinα＋mg
提示：物体静止不动，研究竖直方向受力：有重力，向上墙的静摩擦力，F在竖直方向的分力F sinα，向下，所以得到f ＝Fsinα＋mg。

9. 3kg
提示：利用水平绳的拉力大小为30 N 求出。

10. 200，300
提示：整体法4F ＝800，求出绳子对人的拉力F ＝200N ，隔离人N ＋F ＝500。

11. 200N 113.4N
提示：对人而言mg F N =+1，对物体Mg F N =︒+60sin 2。

【综合测试答案】
1. B
提示：N F F N F F 1,5212
1=-=+。

2. D
提示：正中央力为2F ，其余四力合成大小为中央对角线的两倍，力大小4F
3. C
提示：物体A 能静止于斜面上，是由于重力的下滑分力小于最大静摩擦，即mgsinθ<μmgcosθ，得μ>tgθ，此为放在斜面上的物体能否静止的条件。

现增加竖直向下的F 力，相当于物重增大，则物体仍保持静止，但弹力与静摩擦力都会增大。

4. D
提示：物体四力平衡，需正交分解列平衡方程，注意静摩擦力减小到零后会反向。

5. B
提示：物块沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度沿斜面向下，将加速度分解为向左的水平分量与向下的竖直分量。

∴木楔对物块的作用力（即支持力与摩擦力的合力）在水平方向的分量向左，竖直方向的分量向上，但比自身重力要小。

根据牛顿第三定律：物块对木楔的反作用力在水平方向的分量向右——为平衡，所以地面对木楔产生向左的静摩擦力；物块对木楔的反作用力在竖直方向分量向下，但小于mg ，∴地面对木楔的支持力g m M N )(+<。

6. B
提示：抓住绳的拉力大小不变，夹角变大，作图得到。

7. A
提示：Q 点移动时，绳与竖直方向的夹角不变。

8. A
提示：电场力与绳垂直向上时，电场强度最小。

9. A
提示：8T cos30°＝1G 解得：112
3G T =。

10. D
提示：静摩擦力可能沿斜面向上或向下。

11. A
提示：F mg mg T mg T =++=2,μμμ。

12. （M ＋m ）g 、 mgctgα
提示：整体求出g m M N )(+=，左边墙的压力大小等于右边墙
对斜劈的压力大小，隔离斜劈得到右边墙对斜劈的压力大小αmgctg N =1。

13. αμtg 21
= 提示：由αμαμαμαtg 2
1
,cos cos )3(sin 2=+=解得mg g m mg。