数学八年级上册培优第01讲 三角形

知识导图

第一讲：三角形

概述教学内容

本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用

专题2 三角形角平分线基本模型

专题3 三角形内、外角度转换

专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用

专题讲解

专题1：角形角度转换基本图形的应用

【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．

A

E

C

F

B D

（2012，江岸区期末）

【解析】

【归纳总结】

①题型特征： ②方法与技巧：

练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；

（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．

B

C A

D P

练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．

αB

C

G

E

A

F

D

练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．

A C

D E

F B P

I

专题2：三角形角平分线的基本模型

【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．

A

C B P

A

C B

D

E

P A

C B F

P

图1 图2 图3

（1）求∠P 的度数；

（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？

（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】

【归纳总结】

①题型特征： ②方法与技巧：

练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．

D B

A C

G

E

F

练2．2：

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．

B X Z

Y

A

C

图1

（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．

B X Z

Y

A

C

图2

练2．3：

（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．

C A

B

D

图1

（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？

C A

B

D E

图2

（3）如图3，若∠ACE＝1

3

∠ACD，∠ABE＝

1

3

∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系

为．（写出结论，不必证明）

E C

D 图3

【变式】

已知△ABC中，∠BAC＝100°．

B A

O

B

A

O1

O

图1 图2 图3

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；

（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．

（2014，光谷实验10月月考）

专题3：三角形内、外角度的转换

【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．

（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？

（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？

2

1A

C F

B

E

C'21A

C

F

B

E C'

图1 图2

（2014，江汉区期末）

【解析】

【归纳总结】

①题型特征： ②方法与技巧：

练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；

B

A

C

D

E

（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．

B

A

C

D

E

【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．