数学八年级上册培优第01讲 三角形
浙教版八年级上培优(1) 认识三角形
浙教版八年级上培优(1) 认识三角形浙教版八年级上培优(1)--认识三角形教育个性化咨询学习计划授课日期：2021年月日学生年级的学科老师给八年级的学科老师发了一条信息。
邵先生在数学教学期间就知道这个三角形，道路崎岖不平，无法阻挡前进的步伐；一路努力，倾注着胜利的信心！教学内容一、知识要点1.三角形的定义2.三角形按边分类：按角度：3.三角形的三边关系4.三角形角度之间的关系5.三角形的三条线和两条线。
例1有四条线段，长度分别为4cm、8cm、10cm和12cm。
选择其中三个形成三角形。
可以形成多少个三角形？例2.认真阅读，并回答下面问题：如图，ad为△abc的中线，s△abd与s△adc相等吗？(友情提示：s△表示三角形面积)解：过a点作bc边上的高h，∵ad为△abc的中线∴bd=dc∵s△abd=11bd?h,s△adc=dc?h22∴s△abd=s△adc(1)用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：_____(2)利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，(只要割线不同就算一种)(3)已知：ad为△abc的中线，点e为ad边上的中点，若△abc的面积为20，bd=4，求点e到bc边的距离为多少？例3如图所示，∠ AOB=90°，c点和D点分别位于射线OA和ob上，CE是射线的平分线∠ ACD，CE的反向扩展与∠cdo的平分线交于点f．（1）什么时候∠ OCD=50°（图1），试着找到∠ F（2）当c、d在射线oa、ob上任意移动时（不与点o重合）（图2），∠f的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠f．已知示例4：如图1所示，线段AB和CD在点O处相交，并连接AD和CB。
我们将图1中的数字称为“图8”解答下列问题：（1）在图1中，请写下∠ A.∠ B∠ C和∠ D直接（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：（3）在图2中，如果∠ d=40°，∠ B=36°，∠ 轻拍∠ BCD分别与m和N相交，试图找到∠ P利用（1）的结论；ap和cp相交于点p，并且与cd、（4）（4）如果∠ D和∠ 图2中的B是任意角度，其他条件不变，两者之间的定量关系是什么∠ P和∠ D和∠ （直接写下结论）例5..如图①,△abc中，dc,bd分别是∠acb和∠abc的平分线，且∠a=α(1)、用含α的代数式表示∠cdb;(2)、若图②中dc为∠acb的外角的平分线，怎样用含α的代数式表示∠cdb?(3)、若把图①中“dc,db分别是∠acb和∠abc的平分线”改成“dc,bd分别是∠acb和∠abc的外角的平分线”，(如图③),怎样用含α的代数式别是∠cdb?知识巩固1.在△abc中，∠a:∠b:∠c=1：2：3，则△abc是（）a.钝角三角形b.锐角三角形c.直角三角形d.不能确定形状2.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底度数是3.已知：如图所示，在△abc中，点d，e，f分别为bc，ad，ce的中且s△abc=4cm，则阴影部分的面积为______cm．22角的点，4.如图，在△abc中e是bc上的一点，ec＝2be，点d是ac的中点，设△abc、△adf、△bef的面积分别为s△abc，s△adf，s△bef，且s△abc＝12，则s△adf－s△bef＝。
八年级上册数学同步培优：第1讲 三角形--提高班
第1讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。
a ﹣b+2c 可看做（a ﹣b+c ）+c ，再判断正负。
【随堂练习】1．（2018•杭州二模）四根长度分别为3，4，6，x （x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A ．组成的三角形中周长最小为9B ．组成的三角形中周长最小为10C ．组成的三角形中周长最大为19D ．组成的三角形中周长最大为162．（2018•芦淞区一模）已知关于x 的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个知识点2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
【典例】1.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若的面积是14，求△ABC 的面积？111A B C【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC 面积的关系。
八年级上册1.1认识三角形
02
证明方法
通过作辅助线，将外角平分线与对边平行线相交，利用平行线的性质和
平行线的交角性质进行证明。
03
应用实例
在解决几何问题时，常常需要利用三角形内外角的关系来确定某些角的
度数或边的长度。
04 三角形的边长关系
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三 边
三角形任意两边之差小于第三 边
三角形三边关系定理的应用： 判断三条线段能否构成三角形
三角形的高、中线与角平分线
高的定义
从三角形的一个顶点垂直 到对边的线段
中线的定义
连接三角形两边中点的线 段
角平分线的定义
将一个角平分为两个相等
面积 = (底 × 高) / 2
面积公式的应用
计算三角形的面积，判断两个三角形是否等面积
3
特殊三角形的面积计算
八年级上册1.1认识三角形
contents
目录
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的内外角和定理 • 三角形的边长关系 • 三角形的实际应用
01 三角形的定义与性质
三角形的定义
由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次连 接而成的图形。
三角形是平面图形中 最简单的多边形。
三角形是具有三条边 的多边形。
三角形中，等角对应等边，即如果两个角相等，则它们所对的边也相等。
02 三角形的分类
按边分类
等边三角形
不等边三角形
三边长度相等的三角形，每个角都是 60度。
三边长度都不相等，三个角也不相等。
等腰三角形
两边长度相等，另一边不等，有两个 相等的角。
按角分类
锐角三角形
01
所有内角都小于90度。
八年级上册数学课外培优教案一(三角形)
八年级培优教案一：三角形一、三角形的认识定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
例题1 下列说法正确的是（）A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形B.等边三角形不是等腰三角形C.等腰三角形是等边三角形D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形例题2已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|a－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.二、与三角形有关的边三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。
例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（）A.3，4，5B.4，4，8C.3，7，10D.10，4，5例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（）A.1<L<9B.9<L<14C.10<L<18D.无法确定课后练习：1、若三角形的两边长分别为5、8，则第三边可能是（）A.2B. 6C.13D.182、等腰三角形的两边长分别为6、13，则它的周长为。
3、等腰三角形的两边长分别为4、5，则第三边长为。
4、已知三角形的两边长为2和4，为了使其周长是最小的整数，则第三边的为。
5、若等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则等腰三角形的底边为（）A.3cmB.7C.7cmD.7cm或3cm6、根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）A.AB=3，BC=4，AC=8B.AB=4，BC=3，∠A=30°C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4D.∠C=90°，AB=67、小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米。
（1）请用含m的式子表示第三条边长.（2）第一条边长能否为10米？为什么？（3）求m的取值范围.三、三角形的高、中线、角平分线例题1 在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（）例题2 如图1，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法错误的是（）A.△ABC中，AD是BC边上的高B.△GBC中，CF是BG边上的高C.△ABC中，GC是BC边上的高D.△GBC中，GC是BC边上的高图1例题3 能将三角形面积平分的是三角形的（）A.角平分线B.高C.中线D.外角平分线课后练习：1、如图2，AD是△ABC的中线，CF是△ACD的中线，且△ACF的面积是1，求△ABC的面积。
八年级数学培优
八年级数学培优Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P)第20讲平行四边形(P)第21讲菱形矩形(P)第22讲正方形(P)第23讲梯形(P)第24讲数据的分析(P)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）BACDEF A ．5对 B ．4对 C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明. 03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】ABCDOFEA CEFBD01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗请说明理由_____________.AFECB DA E第1题图A BCDE BCDO第2题图【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CFBO CF 图DA03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C 和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,E FBACDG第2题图21ABCPQEFD∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中,2AB QCBP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 02的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm 子的宽度是（ ） A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°AECBA 75° C 45° BNM第2题图第3题图D02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A . CB ＝CDB .∠BAC ＝∠DACC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBD第1题图a αcca50° b72°58°C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB方向爬行，P 的速度是s , Q 的速度是s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DAC.Q P.BAEFBDC12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；DBACEFAE BFDC已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . AB ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等F第6题图21A BC E N M 3 21ADEBCFA D EC OA E O BFCD第1题图 B 第2题图第3题图 ABCDA 1B 1C 1D 1AEFCDBAEBDCD . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;ABE DCABCD E ⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
八年级(上)培优班 第01讲 全等三角形
八年级(上)培优班第01讲全等三角形全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．1.判定三角形全等的方法：SAS,ASA,AAS,SSS.2.实际问题中，常将待证的线段相等、角相等、两直线垂直等转化为证明三角形全等，要注意添加适当的辅助线.3.发现或构造全等三角形是利用三角形全等证明问题的关键，一般是从发现两个三角形的对应元素相等入手，逐步发现或推出结论来“凑齐”三角形全等的条件.4.证明一条线段等于两条线段之和，一般有两种基本方法：（1）通过添辅助线“构造”一条线段等于求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证的那一条线段相等；（2）通过添辅助线先在求证的长线段上截取与两条线段中的某一条相等的线段，再证明剩下的部分与两条线段中的另一条相等.走进优高【例1】（江西南昌中考）如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,F是CD的中点，试说明AF⊥CD.A【例2】（诸暨中学提前招生）如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AB=AD，∠BAD=∠CAE=∠CDE.求证：BC=DE. CDFAB E瞄准重高【例1】如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AB，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上).(广州市中考题)思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等．注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应’两字，有“相当”、“相应”的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．【例2】在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是( ) (连云港市中考题)A．1<AB<9 B．3<AB<13 C．5<AB<13 D．9<AB<13思路点拨线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．【例3】(江苏省竞赛题) 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝A C，点Q在CE上，CQ=AB.求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．思路点拨 (1)证明对应的两个三角形全等；(2)在(1)的基础上，证明∠PAQ=90°善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．学力训练1． 如图，AD 、A ′D ′分别是锐角△ABC 和△A ′B ′C ′中BC 、B ′C 边上的高，且AB= A ′B ′，AD ＝A ′D ，若使△ABC ≌△A ′B ′C ′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) (黑龙江省中考题)．2．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列4个论断：①AB=AC ；②AD ＝AE ；③∠B=∠C ；④BD=CE ，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出) ． (海南省中考题)3．如图，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是4．如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BE 和CD 相交于O ，则∠DOE 的度数是．5．如图，已知OA=OB ，OC=OD ，下列结论中：①∠A=∠B ；②DE ＝CE ；③连OE ，则OE 平分∠O ，正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③6．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1＝∠2＝∠3，则DE 的长等于( ) A ．DC B ． BC C ．AB D ．AE+AC (武汉市选拔赛试题)7．如图，AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角形有( )B对A ．5B ．6C ． 7D ．88．如图，把△A BC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ′，A ′B ′交AC 于点D ，已知∠A ′DC=90°，求∠A 的度数．(贵州省中考题)9．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下4个论断：①AB=AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．(荆州市中考题) 已知： 求证：10．如图，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交B C 延长线于M ， 求证：∠M=（∠ACB －∠B ）． (天津市竞赛题)11．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝．12．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ．(河南省竞赛题) 13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交A C 于点F ，给出3个论断：①DE=FE ；②AE ＝CE ；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是．(武汉市选拔赛试题)14．如图，AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB=．2115．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB=c ，AC=b ，则（m+n ）与(b+c)大小关系是( )A ．m+n> b+cB ． m+n<b+cC ．m+n= b+cD ．不能确定16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，下列结论中正确的是( ) (江苏省竞赛题) A ．A B －AD>CB －CD B ．AB －AD ＝CB —CDC ．AB —AD<CB —CD D ．AB －AD 与CB —CD 的大小关系不确定． 17．考查下列命题( )(1) 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；(2) 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； (3) 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等； (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有( )A ．4个B ．3个C ． 2个D ．1个18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC 的度数．(上海市竞赛题)19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 20．如图，已知AB=CD=AE ＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC 的面积．(江苏省竞赛题)2121．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．(武汉市选拔赛试题)参考答案走进优高例1 如右图例2 （1）（2）（3）（4）都不正确.例3 证明△ABC≌△ADE.瞄准重高。
八年级上册数学同步培优：第1讲 三角形--提高班
第1讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。
a ﹣b+2c 可看做（a ﹣b+c ）+c ，再判断正负。
【随堂练习】1．（2018•杭州二模）四根长度分别为3，4，6，x （x 为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则（ ）A ．组成的三角形中周长最小为9B ．组成的三角形中周长最小为10C ．组成的三角形中周长最大为19D ．组成的三角形中周长最大为162．（2018•芦淞区一模）已知关于x 的不等等式组至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个知识点2 三角形的中线 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线． 三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。
【典例】1.如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，若的面积是14，求△ABC 的面积？111A B C【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC 面积的关系。
人教版八年级上册数学培优精编讲义
三角形面积（讲义）一、知识点睛1．三角形相关概念：（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的____________．（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．在△ABC 中，作出AC边上的高线．________即为所求．（4）三角形的相关定理：180⎧⎪︒⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和是；角直角三角形两锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．面积问题：（1）处理面积问题的思路：①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理面积问题方法举例：①利用平行转移面积：如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．②利用等分点转移面积：两个三角形底相等时，面积比等于_____之比，高相等时，面积比等于_____之比．二、精讲精练1．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（）A ．5B ．6C ．7D ．103．△ABC 的三边分别为4，9，x ．（1）求x 的取值范围；（2）求△ABC 的周长的取值范围；（3）当x 为偶数时，求x ；（4）当△ABC 的周长为偶数时，求x ；（5）若△ABC 为等腰三角形，求x ．第2题图4．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①，②都正确B．①，②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确5．如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD 中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能7．如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE 的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．第7题图第8题图8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE，若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积是__________．9．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK 上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．第9题图10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数是_______个．第10题图第11题图11．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A ，B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是_______个．12．如图，AD 是△ABC 的边BC 上的中线，点E 在AD 上，AE =2DE ，若△ABE 的面积是4，则△ABC 的面积是_______．第12题图第13题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．14．如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的一点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF S △BEF =（）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图所示，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =_______．第14题图第15题图16．如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．第16题图第17题图17．如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_____________．18．如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．19．如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．三、回顾与思考_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________【参考答案】【知识点睛】1.（1）线段，在三角形内部，重心；（2）线段，在三角形内部，内心；（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部；作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转移法；（2）②对应高，对应底【精讲精练】1．B2．C3．（1）5＜x＜13（2）18＜x＜26（3）6，8，10，12（4）7，9，11（5）9 4．C5．AF，CE，CE，BE，DC，AC6．C7．28．25cm29．1610．6 11．512．1213．214．B15．1 16．3，1517．144cm218．55cm219．2三角形面积（作业）1.现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A，B间的距离不可能是（）A．20米B．15米C．10米D．5米第2题图第3题图3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高4.在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能5.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_______个．6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为．第6题图第7题图7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，那么阴影部分的面积是．8.已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，那么△ABC的面积是．第8题图第9题图9.两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S△EDC=6，S△BEC=18，则△AEB的面积是，△AED的面积是．10.如图所示，在□ABCD中，点E是AD的中点，点F在边CD上，CF=2DF，若□ABCD的面积为12，则△EDF的面积是_______．第10题图第11题图11.四边形ABCD与AEFG均为正方形，△ABH的面积为6cm2，图中阴影部分的面积是______________．12.多项式4x2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有________个，分别是______________________________．13.已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥DG．【参考答案】1．A2．D3．C4．B5．56．87．1cm28．309．6；210．111．6cm212．5；-4，-4x2，x4，-8x，8x13．证明略三角形面积（随堂测试）1.现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.如图，一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC的面积是________________．第2题图第3题图3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则点C的个数是_______个．（在图中标出点C的位置）4.如图，在□ABCD中，点E，F分别是是AB，BC的中点，连接EF，若□ABCD的面积是8cm2，则△BEF的面积是________．【参考答案】1．C2．25cm23．104．1cm2三角形综合应用（讲义）一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：1.三角形中的隐含条件是：_____________________________________________________；_____________________________________________________；_____________________________________________________．2.角平分线出现时采用______________解决问题．3.高线出现时考虑__________或__________．4.中线、周长一起出现时，考虑________和________的关系．二、精讲精练1.下列五种说法中：①三角形的三个内角中至少有两个锐角；②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余，正确的有___________________________________．2.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=55°．将纸片一角折叠使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______．第2题图第3题图3.如图，一个五角星的五个角的和是________．4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．5.如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，则∠AEC=________；如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α，∠ABC=β，则∠AEC=_________________．图①图②6.探究：（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，猜想∠P和∠A有何数量关系？（2）如图②，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想 P和∠A有何数量关系？（3）如图③，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，猜想∠P和∠A有何数量关系？图①图②图③7.如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．（1）∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数为____________；（2）∠BOD和∠COE的数量关系是________________．第7题图8.在锐角△ABC中，BD和CE是两条高，相交于点M，BF和CG是两条角平分线，相交于点N，如果∠BMC=100°，求∠BNC的度数．9.等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为__________．10.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为________．11.等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为________________．12.已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是________________．13.如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是____________．14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=____________；（2）若AB=2，BC=3，则AC:AD=____________．第14题图第15题图15.如图所示，在△ABC中，若AB=2cm，AC=3cm，BC=4cm，AD，BF，CE为△ABC的三条高，则这三条高的比AD:BF:CE=____________________．16.如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 是BC 边上任意一点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）若AB =8，△ABC 的面积为14，则PD +PE 的值是多少？（2）过点B 作BF ⊥AC ，求证：PD +PE =BF ．三、回顾与思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】【知识点睛】1.三角形中的隐含条件：1．三角形内角和是180°；2．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；3．三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边．2.设元3.互余，面积4.边长，周长【精讲精练】1．①③⑤2．130°3．180°4．360°5．35°；12（α+β）6．（1）∠P =90°+12∠A（2）∠P =12∠A（3）∠P=90° 12∠A7．（1）90°（2）∠BOD=∠COE8．130°9．5cm或7cm10．3cm11．5cm或353cm12．213．22cm14．（1）245（2）3:215．3:4:616．（1）72（2）略三角形综合应用随堂测试题姓名________5.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=．6.如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=65°，∠D=45°，则∠F的大小是________．第1题图第2题图7.等腰三角形周长为14cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为5cm，则此等腰三角形的底边长为___________．8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，其中∠A=40°，∠B=72°，求∠FDE．【参考答案】1．180°2．55°3．434．16°三角形综合应用（作业）1.满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B +∠A =∠CB ．∠A :∠B :∠C =2:3:5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______________．3.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =__________．第3题图第4题图4.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若∠CAB 与∠CBA 的平分线相交于点O ，则∠AOB =__________．5.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 与外角平分线CE 的反向延长线相交于点D ，若∠A =30°，则∠D =________．第5题图第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点F 在DA 的延长线上，FE ⊥BC ，∠B =40°，∠C =70°，则∠DFE =__________．7.等腰三角形的周长为21cm ，其中一边长为6cm ，则该等腰三角形的底边长为__________．第2题图8.等腰三角形周长为17cm，一腰上的中线将三角形分为两个三角形，这两个三角形的周长差为4cm，则此等腰三角形的底边长为__________．9.如图，在△ABC中，若AB=2cm，BC=4cm，则△ABC的高AD与CE的比是__________．10.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠DAC及∠BOA的度数．11.如图，在△ABC 中，AD为∠BAC的角平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于E．CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法中正确的有_____________________．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF边CF上的高；⑤BG是△ABD的中线．12.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由.【参考答案】1．C2．270°3．360°4．135°5．15°6．15°7．6cm或9cm 8．3cm或253cm9．12 10．30°；120°第12题图第9题图第10题图第11题图11．③④⑤12．∠AED=∠C，证明略平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）一、知识点睛1．如果两个角的和是____，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是____，那么称这两个角互为补角；①_____或_____的余角相等，②_____或_____的补角相等．2．对顶角：____________________________________________；③对顶角____．3．④三角形的内角和为_____，⑤直角三角形两锐角_____．已知：如图，△ABC．求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．证明：_____，______________________________，∵MN∥BC∴∠B=∠1，∠C=∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠BAC+∠B+∠C=180°（）二、精讲精练1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOD=50°，则∠BOC的度数是______．第1题图第2题图2．如图，∠COD为平角，AO⊥OE，∠AOC=2∠DOE，则有∠AOC=_______．3．已知：如图，OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD:∠AOC=5:2，则∠AOC=_____，∠BOD=_______．4．‘如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则∠A的余角是_______和________，∠ACD=∠_______，∠BCD=∠______．5．如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D，F，若∠AED=140°，则∠C=，∠BDF=，∠A=．第5题图第6题图AE BD，∠1=110o，∠2=30o，则∠C=______．6．已知：如图，//7．已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2，若∠E=46°，则∠F的度数是多少？8．已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．求证：BE∥CF．证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD()∴______=______=90°（垂直的性质）∵∠1=∠2()∴∠EBC=∠BCF()∴___∥___()9．已知：如图，∠1＋∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C.证明：∵∠1＋∠2=180°（）∠1＋∠DFE=180°（）∴_____=______（）∴∥（）∴∠3=∠ADE（）∵∠3=∠B（）∴∠ADE=∠B（）∴___∥___（）∴∠AED=∠C（）10．已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A.证明：∵∠1=∠2（）∠1=∠DGF（）∴∠2=∠DGF（）∴____∥_____（）∴∠D=∠FEC（）∵∠C=∠D（）∴∠FEC=∠C（）∴DF∥AC（）∴∠F=∠A.（）三、回顾与思考___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ _____________________________________【参考答案】一、知识点睛1．90°；180°；同角；等角；同角；等角．2．具有公共顶点且角的两边互为反向延长线；相等．3．180°；互余；如图，过点A作BC的平行线MN；两直线平行，内错角相等；1平角=180°；等量代换．二、精讲精练第9题图第10题图1．50°2．60°3．60°；150°4．∠ACD，∠B；∠B；∠A5．50°；40°；80°6．40°；7．46°；8．已知；∠ABC，∠BCD；已知；等角的余角相等；BE，CF；内错角相等，两直线平行；9．已知；1平角=180°；∠2，∠DFE，同角的补角相等；AB，EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；DE，BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．10．已知；对顶角相等；等量代换；CE，BD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．平行线与内角和的综合应用（随堂测试）1．已知：如图，AD与AB，CD交于A，D两点，EC，BF 与AB，CD交于E，F，且∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．证明：∵∠1=∠2（）∠CGD=∠1（）∴______=______（等量代换）∴CE//BF（）∴_____=∠3（）又∵∠B＝∠C（）∴∠3＝______（）∴____//_____（）∴______=______（）第1题图2．已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB（）∴∠EFB=∠AED=90°（垂直的性质）∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∠BAD+∠ADE=90°（）第2题图∵∠B=∠ADE（）∴∠BEF=∠BAD（）∴______∥______（）【参考答案】1．已知；对顶角相等；∠CGD，∠2；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；已知；∠B；等量代换；AB，CD；内错角相等，两直线平行；∠A，∠D，两直线平行，内错角相等．2．已知，直角三角形两锐角互余；已知；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．平行线与三角形内角和的综合应用（作业）1.如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，∠AOF =3∠FOB ，∠AOC =90°，则∠EOC =．第1题图第2题图2.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =55°，∠1=25°，则∠DBE =________．3.如图，∠1+∠2=180°，∠3=90°，则∠4=______.4.如图，D 是△ABC 边BC 上的一点，∠1=∠B ，若∠ADC =60°，则∠BAC =_______．解：∵∠B +∠C ＋∠BAC =180°（）∠1+∠C ＋∠ADC =180°（）∵∠1=∠B （）∴∠BAC =∠ADC （等式的性质）∵∠ADC =60°（）∴∠BAC =________（）第4题图5.已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB =180°．证明：作BC 的延长线CE ，过点C 作CD ∥AB ，∵CD ∥AB ∴∠A =∠1（）∠B =∠2（）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A +∠B +∠ACB =180°（）6.已知：如图，AB ∥CD ，∠BAE =∠DCE =45°．求证：∠E =90°．证明：∵AB ∥CD ()∴______+______=180°()∵∠BAE =∠DCE =45°()∴∠1+45°+∠2+45°=______即∠1+∠2=_______()∴∠E =180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°()7.已知：如图，∠1=∠ACB ，∠2=∠3．求证：CD ∥HF .证明：∵∠1=∠ACB （）∴____∥____（）∴∠2=____（）∵∠2=∠3（）∴∠3=____（）∴____∥____（）第6题图第5题图第7题图【参考答案】1．45°；2．30°；3．90°；4．60°，三角形三个内角的和是180°三角形三个内角的和是180°；已知；已知；60°；等量代换．5．两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；1平角=180°；等量代换．6．已知；∠BAC，∠ACD，两直线平行，同旁内角互补；已知；180°，90°，等式的性质；三角形三个内错的和等于180°；7．已知；DE，BC；同位角相等，两直线平行；∠DCB，两直线平行，内错角相等；已知；∠DCB，等量代换；CD，HF，同位角相等，两直线平行．三角形的外角（讲义）一、知识点睛1._________________________组成的角，叫做三角形的外角．2.三角形外角定理：三角形的一个外角等于____________________________________．已知：如图，∠2是△ABC的一个外角．求证：∠2=∠A+∠B证明：如图，∵∠A+∠B+∠1=180°（）∠1+∠2=180°（）∴∠2=∠A+∠B（）二、精讲精练11．已知：如图，AC∥ED，∠C=25°，∠B=35°，则∠E的度数是（）A．60°B．85°C．70°D．50°第1题图第2题图12．已知：如图，在△ABE中，D是边BE上一点，C是AE延长线上一点，连接CD，若∠BDC=140°，∠B=35°，∠C=25°，则∠A=．13．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．14．如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =_____，∠BEC =_____．第4题图第5题图15．已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ，∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．16．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC ，BF 平分∠ABC ，它们相交于点O ，∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =____，∠AED =_____，∠BOE =______．17．已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．第6题图第7题图18．已知：如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求∠ACD 的度数．解：∵AB∥CE（）∴∠ABE=_______（）∵∠E=30°（）∴∠ABE=_______（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠ABC=2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∠A=50°（）∴∠ACD=______+______=______+______=_______（）19．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，且∠ADE=∠C，求证：∠AED=2∠EDB证明：∵∠ADE=∠C（）∴_____∥_____（）∴∠EDB=∠DBC（）∵BD平分∠ABC（）∴∠EBD=∠DBC（角平分线的定义）∴∠EDB=∠EBD（）∵∠AED是△BDE的一个外角（）∴∠AED=_____+_____=2∠EDB（）20．已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，∠ADE=∠B，DE交AC于点F，连接CE．求证：∠EFC=2∠FDC．第8题图第9题图第10题图【参考答案】一、知识点睛1．三角形的一边与另一边的延长线；2．和它不相邻的两个内角的和；三角形三个内角的和为180°；1平角=180°；等式性质．二、精讲精练1．A2．80°；3．75°；4．95°，80°；5．145°；6．20°，85°，55°；7．证明：如图，∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC=2∠EAD（角平分线定义）∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠B+∠C=2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠EAD=∠B（等式性质）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）8．已知；∠E，两直线平行，内错角相等；已知；30°，等量代换；已知；已知；∠A，∠ABC，50°，60°，110°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；9．已知；DE，BC，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；外角的定义；∠EBD，∠EDB，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；10．证明：如图，∵∠B=∠ADE（已知）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）∵CD平分∠ACB（已知）∴∠DCB=∠FCD（角平分线的定义）∴∠FDC=∠FCD（等量代换）∵∠EFC是△DFC的一个外角（外角的定义）∴∠EFC=∠FDC+∠FCD=2∠FDC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）几何证明每日一题（三角形的外角）1．已知：如图，直线AD与直线EB、FC分别相交于点G，H，若∠BEF+∠CFE=180°，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．2．已知：如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A=50°，求∠BOC的度数．3．已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，DE的延长线交BC的延长线于点F．若∠ACB=50°，∠DFB=30°，∠ADF=80°，求∠A的度数．∠BAC且AD平分∠EDF，若∠CFD=75°，则∠BED的度数为多少？若∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG的度数．【参考答案】1.证明：如图，∵∠BEF+∠CFE=180°（已知）∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BGH+∠CHG=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BGH是△ABG的一个外角（外角的定义）∴∠BGH=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠CHG是△CHD的一个外角（外角的定义）∴∠CHG=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠BGH+∠CHG=180°（等式性质）2.证明：如图，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（已知）∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB（角平分线的定义）∵∠A=50°（已知）∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A=115°（三角形的三个内角的和等于180°）3.解：如图，∵∠ADF是△BDF的一个外角（外角的定义）∴∠ADF=∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ADF=80°，∠DFB=30°（已知）∴∠B=50°（等式性质）∵∠ACB=50°（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-50°-50°=80°（三角形的三个内角的和等于180°）4.证明：如图，∵AD平分∠BAC且AD平分∠EDF（已知）∴∠FAD=∠EAD，∠FDA=∠EDA（角平分线的定义）∴∠FAD+∠FDA=∠EAD+∠EDA（等式性质）∵∠CFD是△ADF的一个外角（外角的定义）∴∠CFD=∠F AD+∠FDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BED是△ADE的一个外角（外角的定义）∴∠BED=∠EAD+∠EDA（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BED=∠CFD（等量代换）∵∠CFD=75°（已知）∴∠BED=75°（等量代换）5.证明：如图，∵∠ACF是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠A+∠B（已知）∴∠D=∠ACF（等量代换）∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）∴∠FEG=∠BFE（两直线平行，内错角相等）∵∠BFE=75°（已知）∴∠FEG=75°（等量代换）∵∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-75°-35°=70°（三角形的三个内角的和等于180°）三角形的外角（随堂测试）1．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠A=30°，∠EGD=70°，求∠E 的度数．解：∵_____∥______（）∴∠EFB=______（）∵∠EGD=70°（）∴∠EFB=_______（）∵∠EFB是△AEF的一个外角（）∴∠EFB=_______+_______（）∵∠A=30°（）∴∠E=______-________=______-________=_______（）2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=30°，∠BDC=60°，求∠BDE的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=____+______（）∵∠A=30°，∠BDC=60°（）∴∠ABD=____-______=____-______=______（）∵BD是∠ABC的平分线（）∴∠DBC=∠ABD=_______（）∵DE∥BC（）∴∠BDE=______=_____（）【参考答案】1．AB，CD，已知；∠EGD，两直线平行同位角相等；已知；70°，等量代换；外角的定义；∠A，∠E，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠EFB，∠EAB，70°，30°，40°，等式性质．2．外角的定义；∠ABD，∠A，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；∠BDC，∠A，60°，30°，30°，等式性质；已知；30°；角平分线的定义；已知；∠DBC，30°，两直线平行内错角相等．三角形的外角（作业）1．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AC上一点，延长BC到点D，连接DE．若∠1=115°，∠A=40°，∠2=35°，则∠3=_______．3．如图，AB∥CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠E=40°，∠CGE=110°，则∠A=_______．第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE是∠BAC的平分线，若∠B=70°，∠C=30°，则∠BAD=_______，∠AED=_______．5．如图，在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，AD⊥BC，BE是∠ABC的平分线，AD，BE相交于点F，求∠AFB的度数．解：∵∠C=60°，∠BAC=50°（）∴∠ABC=180°-_____-∠C=180°-50°-60°=70°（）∵BE是∠ABC的平分线（）∴∠EBD=12∠ABC=35°（角平分线的定义）∵AD⊥BC（）∴∠ADB=90°（垂直的性质）∵∠AFB是△BDF的一个外角（）∴∠AFB=______+_______=______+_______=________（）6．填写下列解题过程中的推理根据：如图，在△ABC中，∠A=40°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDC=70°，求∠C的度数．解：∵∠BDC是△ABD的一个外角（）∴∠BDC=∠A+∠ABD（）∵∠A=40°，∠BDC=70°（）∴∠ABD=______（）∵BD平分∠ABC（）∴∠ABC=2∠ABD（角平分线的定义）∴∠ABC=60°（）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-______-______=______（）7．已知：E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．第6题图第5题图【参考答案】1．C；2．40°；3．30°；4．20°，70°；5．已知；∠BAC；三角形三个内角的和等于180°；已知；已知；外角的定义；∠FDB；∠FBD；90°；35°；125°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；6．外角的定义；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；已知；30°；等式性质；已知；等式性质；40°；60°；80°；三角形三个内角的和等于180°；7．证明：如图，∵∠AFE是△FEB的一个外角（外角的定义）∴∠AFE=∠E+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠D=∠E+∠B（已知）∴∠AFE=∠D（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）全等三角形性质及判定（讲义）一、知识点睛1.由_____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“__________”表示．2.三角形有关定理：三角形两边之和____________第三边，两边之差___________第三边．3._____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“__________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．4.全等三角形的判定定理：______________________________．二、精讲精练1.作出下图三角形的高线．第1题图第2题图2.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，____________，__________，对应角∠B=∠DEF，________，_________．3.如图，△ACO≌△BCO，对应边AC=BC，___________，__________，对应角∠1=∠2，__________，__________．第3题图第4题图4.如图，△ABC≌△DEC，对应边___________，___________，___________，对应角_______________，_______________，______________．5.如图，若AD=CB，AB=DC，则_________≌__________，理由是___________________；若∠B=∠D，∠BCA=∠DAC，则_________≌________，理由是___________．第5题图第6题图6.如图，AD，BC相交于点O，若AO=DO，BO=CO，则__________≌___________，理由是________________．7.如图，AO=BO，若加上一个条件_____________________，则△AOC≌△BOC，理由是_________________________．第7题图第8题图8.如图，∠1=∠2，若加上一个条件____________________，则△ABE≌△ACE，理由是_______________．9.如图，AD，BC相交于点O，∠A=∠C，若加上一个条件_______________，则△AOB≌△COD，理由是___________．10.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D ．①②③都带去第9题图11.如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是____________或____________或____________．第11题图第12题图12.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，如果∠__________=∠____________，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13.如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是__________，因此DF =__________．14.已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．15.已知：如图，AB ＝CD ，AB //DC ．试猜想AD 和BC 相等吗？并说明理由．第13题图第14题图第15题图16.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：CD DE．第16题图三、回顾与思考________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】一、知识点睛1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“△”表示．2．三角形有关定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示．全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS．二、精讲精练1．略2．AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，∠ACB=∠F3．AO=BO，CO=CO，∠A=∠B，∠ACO=∠BCO4．AB=DE，AC=DC，BC=EC，∠A=∠D，∠B=∠E，∠ACB=∠DCE5．△ADC，△CBA，SSS，△ADC，△CBA，AAS6．△AOB，△DOC，SAS7．AC=BC，SSS（其它答案合理也可以）8．BE=CE，SAS（其它答案合理也可以）9．AO=OC，ASA（其它答案合理也可以）10．C11．AC=AE，∠B=∠D，∠C=∠E12．∠A=∠D，EF，CF13．△BCE，SAS，CE14．证明：在△ADC和△AEB中A AAC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（公共角）（已知）（已知）∴△ADC ≌△AEB （ASA ）15．解：AD =BC ，理由如下：∵AB ∥DC ∴∠ABD =∠CDB 在△ABD 和△CDB 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD ABD CDBBD DB （已知）（已证）（公共边）∴△ABD ≌△CDB （SAS ）∴AD =CB （全等三角形对应边相等）16．解：∵AD 平分∠BAC∴∠CAD =∠EAD ∵DE ⊥AB ∴∠DEA =90°∵∠C ＝90°∴∠DEA =∠C 在△CAD 和△EAD 中C DEA CAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）∴△CAD ≌△EAD （AAS ）∴CD =ED （全等三角形对应边相等）全等三角形性质及判定（每日一题）姓名_________ 1.已知：如图，DF=CE，AD=BC，∠D=∠C．求证：△AED≌△BFC．2.已知：如图，在等边三角形ABC中，∠C=∠ABD=60°，AB=BC=AC，点D，E分别为BC，AC边上一点且AE=CD，连接AD，BE相交于点F．求证：△ABD≌△BCE．3.已知：如图，AB=CD，AC=BD．求证：12∠=∠．4.如图，在正方形ABCD，DEFG中，AD=CD，DE=DG，∠EDG=∠ADC=90°，连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．考答案】1．证明：如图，∵DF =CE ∴DF -EF=CE -EF 即DE =CF在△AED 和△BFC 中AD BCD CDE CF （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BFC （SAS ）2．证明：如图，∵AC =BC AE =CD∴AC -AE =BC -CD 即CE =BD在△ABD 和△BCE 中AB BCABD CBD CE （已知）（已知）（已证）=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△BCE （SAS ）3．证明：如图，在△ABC 和△DCB 中AB CD AC BDBC BC （已知）（已知）（公共边）=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠ABC =∠DCB ，∠ACB =∠DBC ∵∠1=∠ABC -∠DBC ∠2=∠DCB -∠ACB ∴∠1=∠24．证明：如图，（1）∵∠EDG ＝∠ADC∴∠EDG +∠ADG=∠ADC +∠ADG 即∠ADE ＝∠CDG 在△ADE 和△CDG 中AD CDADE CDGDE DG （已知）＝（已证）（已知）=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE =CG （2）AE ⊥CG ∵∠ADC =90°∴∠GCD +∠CND =90°∵△ADE ≌△CDG ∴∠EAD ＝∠GCD ∵∠ANG ＝∠CND ∴∠EAD +∠ANG =90°∴∠AMC =90°即：AE ⊥CG全等三角形性质及判定（随堂测试）1.已知：如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，______________，_______________，对应角∠ABC=∠DEF，_______________，_______________．第1题图第2题图2.如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，若加上一个条件_______________，则△ABC≌△ADE，理由是_________．3.已知：如图，A，F，C，D在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．求证：EC=BF．【参考答案】1.AC=DF BC=EF∠A=∠D∠C=∠F2.AE=AC SAS或者∠B=∠ADE ASA或者∠C=∠E AAS3.证明略全等三角形性质及判定（作业）1.作出下图三角形的高线．2.如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第2题图第3题图3.如图，△ABC≌△DEF，对应边AB=DE，_____________，___________，对应角∠B=∠DEF，___________，__________．4.如图，点B，C，F，E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，若加上一个条件______________________，则△ABC≌△DEF，理由是_______________．。
人教版八年级培优课堂讲义 第01讲 认识三角形(无答案)
第01讲认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1B．2C．3D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【变式题组】01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCBC D (第2题图)C＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+12∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________. °，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝12(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.【变式题组】01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )(例6题图)E DA．5个B．6个C．7个D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个04．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，△A＝42°，△B与△C的三等分线，分别交于点D、E，则△BDC的度数是______________.10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜△、△之间来回反射，已知△α＝55，△γ＝75°，△β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知: △1＝△2，△3＝△4，△BAC＝63°，则△DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，△DAE＝13△BAC，求△BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2△A＝3△B，且△C－30°＝△A+△B，则△ABC是()(第13题图)D ECA．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形B．C．02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，△A＝50°，高BE、CF交于O点，则△BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分△DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分△DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若△A＝30°，△DFE＝75°.(1)求证: △DFE＝△A+△D+△E；(2)求△E的度数；。
八年级(上)培优讲义：第1讲-三角形的初步知识(1)
第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。
（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。
5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。
(2)直角三角形两锐角互余。
(3)同位角相等。
(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。
9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。
2024年浙教版八年级上册数学期末培优复习第1招全等三角形中的常见模型
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分类训练
【点拨】
∵∠ BEC ＝∠ CFA ＝∠β，∠β＝90°，∠ ACB ＝
90°，
∴∠ BEC ＝∠ AFC ＝90°，∠ BCE ＋∠ ACF ＝90°，
∴∠ CBE ＋∠ BCE ＝90°，∴∠ CBE ＝∠ ACF .
∠＝∠，
在△ BCE 和△ CAF 中，ቐ∠＝∠，
【解】 AC ⊥ BD .
理由如下：∵∠ AMD ＝∠ ABM ＋∠ BAM ，∠ BAM ＝
∠ BAO ＋∠ OAC ，
∴∠ AMD ＝∠ ABM ＋∠ BAO ＋∠ OBD ＝∠ OBA ＋
∠ BAO .
∵∠ AOB ＝90°，∴∠ OBA ＋∠ BAO ＝90°，
∴∠ AMD ＝90°，∴ AC ⊥ BD .
＝，
∴△ ABD ≌△ CAE ( AAS ).
∴ BD ＝ AE ， AD ＝ CE . ∴ AD ＋ AE ＝ BD ＋ CE ，
∴ DE ＝ BD ＋ CE ，∴ BD ＝ DE － CE .
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分类训练
4. CD 是经过∠ BCA 的顶点 C 的一条直线， CA ＝ CB ， E ，
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典例剖析
(1)证明：∵∠1＝∠2，∠ ADE ＝∠2＋∠ BDE ＝∠1＋∠ C ，
∴∠ BDE ＝∠ C .
∠＝∠，
在△ AEC 和△ BED 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ AEC ≌△ BED ( AAS ).
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初二上册数学直升班培优讲义学生版第1讲 三角形的初步认识
模块一 三角形中的基本概念定 义示例剖析三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ABC △”，读作“三角形ABC ”．ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示．BAC cb a顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b （AC ） 顶点C 的对边c （AB ）三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.B ACA ∠，B ∠，C ∠是ABC △的内角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图，BAD ∠，ACF ∠，CBE ∠是ABC △的外角.BDCEFA模块二三角形的边和角1．三角形的边2．三角形的角模块三 三角形中三条重要的线段定 义示例剖析三角形的角平分线：①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．②性质：三角形的三条角平分线交于一点．B AC D线段AD 为ABC △的一条角平分线三角形的中线：①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．②性质：三角形的三条中线交于一点．B C DA线段AD 为BC 边上的中线三角形的高：①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点．总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点．B ACD 线段AD 为BC 边上的高（1）木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB 和CD ），这样做的根据是（ ） A ．矩形的对称性 B ．矩形的四个角都是直角 C ．三角形的稳定性 D ．两点之间线段最短（2）试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ） A ．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B ．一个等腰三角形一定不是锐角三角形 C ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形模块一 三角形的基本概念ACBD（1）两根木棒的长分别是7cm 和10cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是a cm ，则a 的取值范围是___________．（2）下列不能构成三角形三边长的数组是（ ） A ．|2|-、|3|-、|4|-B ．12、13、14 C ．21a +、221a +、231a +D ．25、212、213（3）（七中育才半期）有3cm 、6cm 、8cm 、9cm 的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（1）已知三角形中两边长为2和7，若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_____．（2）a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c b c a c a b -+-----+= ．（1）若三角形的周长为60，求最大边的范围．（2）设m 、n 、p 均为自然数，足m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长的三角形有多少个?（1）（青羊区期末）如图5-1，一个60︒角的三角形纸片，剪去这个60︒角后，得到一个四边形，则12∠+∠的度数为（ ）A ．240︒B ．180︒C ．160︒D ．120︒（2）如图5-2，ABC △中，D 为BC 上点，12∠=∠，34∠=∠，120BAC ∠=︒，则DAC ∠的度数 ．BAC D 1243图5-1 图5-2（3）若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 ．已知：如图，ABC △中，70A ∠=︒，48ABC ∠=︒，BD AC ⊥于D ，CE 是ACB ∠的平分线，BD 与CE 交于点F ，求CBD ∠、EFD ∠的度数．如图，由图7-1的ABC △沿DE 折叠得到图7-2，图7-3，图7-4. （1）如图7-2，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由； （2）如图7-3，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由； （3）如图7-4，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，无需说明理由．A DB EC 12 AD BE C 12A DB EC 12A DB EC 12 图7-1 图7-2 图7-3 图7-4（1）（嘉祥半期）如图，在ABC △中，12∠=∠，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F为AB 上的一点，CF AD ⊥于H ．下列判断正确的有（ ） A ．AD 是ABE △的角平分线B ．BE 是ABD △边AD 上的中线C ．CH 为ACD △边AD 上的高D ．AH 为ABC △的角平分线 模块三 三角形中三条重要的线段A B CD FE 12GHBA C D EF（2）下列说法正确的是（ ）A ．三角形的角平分线、中线和高都是线段B ．直角三角形只有一条高线C ．三角形的中线可能在三角形的外部D ．三角形的高的交点在三角形内部（1）如图，CH 、AD 分别为ABC △的高与中线，若ABD △的面积为2，3AB =，则CH =_________．（2）已知ABC △的高为AD ，70BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数为______． （3）在ABC △中，AB AC =，AC 边上的中线BD 把ABC △的周长分成12cm 和15cm 两部分，则三角形的各边的长为_____________．（1）如图10-1，BO 、CO 分别是ABC △中ABC ∠和ACB ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________（直接写出结论）； （2）如图10-2，BO 、CO 分别是ABC △两个外角CBD ∠和BCE ∠的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．（3）如图10-3，BO 、CO 分别是ABC △一个内角和一个外角的平分线，则BOC ∠与A ∠的关系是____________________，请证明你的结论．2D BO ACE BA C图OD图10-1 图10-2 图10-3HD C B A不等边三角形ABC 的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．（1）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A ．三角形的稳定性B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短（2）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）． A ．1cm ，2cm ，5cm B ．4cm ，5cm ，9cm C ．5cm ，8cm ，15cm D ．6cm ，8cm ，9cm（3）下列线不能组成三角形的是（ ） A ．2，2，3， B ．2，3，4 C ．32，42，52 D ．222123(0)a a a a +++≠，，（1）若三角形的三边长为3，4，x ，则偶数x 的值有 ．（2）已知三角形的两边为8、10，则周长l 的范围为 ．（3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011，则三角形的第三边是 ．（4）已知a 、b 、c 为三角形的三边长，化简||||||a b c a b c a b c ++-----+= ．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？模块一 三角形的边和角C BA（1）ABC △中，4B C A ∠=∠=∠，则A ∠=________．（2）在ABC △中，若15B A ∠-∠=°，60C B ∠-∠=°，则C ∠= ．（3）如图，ABC △的高CD 、BE 相交于O ，如果55A ∠=︒，那么BOC ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．105︒ C ．125︒ D ．135︒（1）下列命题错误的是（ ）A ．三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形B ．三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角C ．三角形的中线、高线和角平分线都在三角形内部D ．三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性模块二 三角形中三条重要的线段第12题OE DCB A（2）如图，BD 和CE 是ABC △的高，BD 和CE 交于H ，已知25DBC ∠=°，40ECB ∠=°，则A ∠= ．（1）如图6-1，ABC △中，80ABC ∠=︒，50ACB ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠．则BPC ∠的度数______________．（2）如图6-2，点M 是ABC △两个内角平分线的交点，点N 是ABC △两个外角平分线的交点，如果:3:2CMB CNB ∠∠=，则CAB ∠的度数为（ ） A ．36︒ B ．42︒ C ．54︒ D ．60︒（3）如图6-3所示，ABC ∠，ACB ∠的内角平分线交于点O ，ABC ∠的内角平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，ABC ∠与ACB ∠的相邻外角平分线交于点E ，且60A ∠=︒，则BOC ∠=______，D ∠=_______，=E ∠_______．MNCB AOE DCBA图6-1 图6-2 图6-3HED CBA。
初二上册数学直升班培优讲义学生版第1讲三角形的初步认识
J定义示例剖析三角形的定义：由三条不在冋一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形•三角形具有稳定性•表示法及读法：三角形用付号△ 表示，顶点疋A、B、C的三角形记作“ △ ABC ”读作“三角形ABC” △ ABC的三边有时也用a, b, c表示.△B a C顶点A的对边a ( BC) 顶点B的对边b (AC) 顶点C的对边c (AB)三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角•△B CA ,B ,C 疋△ ABC 的内角三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角•如图，BAD , ACF , CBE是厶ABC的外角•E第1讲三角形的初步认识三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角三角形（按角分类）锐角三角形：三个内角都是锐角‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角三角形不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）. 直角三角形不等边三角形△等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:直角三角形：有一个内角是直角 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形）.等腰三角形等边三角形三角形（按角分类） 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形三角形 不等边三角形：三条边都不相等（按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角二角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形等边三角形三角形 按角分类）直角三角形：有一个内角是直角锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角 锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等 按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形直角三角形不等边三角形三角形的分类:注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角.三角形的三个内角中， 最大的一个内角是锐角 （直 角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形 或钝角三角形） .等腰三角形 等边三角形三角形 按角分类） 直角三角形：有一个内角是直角 锐角三角形：三个内角都是锐角 ‘ 钝角三角形：有一个内角是钝角锐角三角形 三角形 不等边三角形：三条边都不相等按边分类）等腰三角形：有两条边相等的三角形 锐角三角形 直角三角形 不等边三角形。
人教版八年级培优课堂讲义 第01讲 认识三角形(无答案)-word文档
第01讲认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【变式题组】01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCBC D (第2题图)C＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+12∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________. °，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝12(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.【变式题组】01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )(例6题图)E DA．5个B．6个C．7个D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个04．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝13∠BAC，求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是() (第13题图)D ECA．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形B．C．02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.则∠P＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A＝30°，∠DFE＝75°.(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E；(2)求∠E的度数；。
走进重高_培优讲义__数学__八年级__上册_(浙教版)
基础巩固篇第一讲认识三角形思维导图重难点分析重点分析：1. 三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接而成的图形，是最简单、最基本的几何图形，是学习其他几何图形的基础.2.三角形的边的性质有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这一性质可用“两点之间线段最短”来说明，若三角形的两边长分别为a和b，那么第三边长c的取值范围是|a-b|<c<a+b.3.三角形的角的性质有：三个内角的和为180°，三个外角的和为360°，每个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.三角形按边可以分为等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)和不等腰三角形，按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.难点分析：1.判断三条线段能否组成三角形时，一般先确定最长的一条线段，然后将另外两条线段的和与最长的一条线段作比较，如果两条线段的和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角形，反之则不能.2.三角形角的性质主要是关于角的等量关系，常应用于角度计算，解题时要注意把已知角和未知角统一到一个三角形中.例题精析例1、有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？思路点拨：四条线段中选三条线段共有4种选法，可以将每种情况列举出来，再根据三角形的三边关系进行判断，如果两条较短线段的和大于最长线段，则可以组成三角形.解题过程：有3种情况可以组成三角形：①12 cm，10 cm，8 cm；②12 cm，10 cm，4 cm；③10 cm，8 cm，4 cm.方法归纳：判断三条线段能否组成三角形分两步：(1)确定最长的一条线段；(2)检验两条较短线段的和是否大于最长的线段.易错误区：四条线段中选三条共有四种选法，用枚举法将各种情况列举出来，注意不重不漏.例2、如图，在△ABC 中，点D 为△ABC 内一点，已知∠BDC=100°，∠1=30°，∠2=20°，求∠A 的度数.思路点拨：要求∠A 的度数，只需要求出∠ABC+∠ACB 的度数.根据∠BDC=100°，利用三角形的内角和定理可求出∠DBC+∠DCB 的度数，从而可求得∠ABC+∠ACB 的度数.解题过程：∵∠BDC=100°，且∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=80°.∴∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+∠1+∠2=130°.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=50°.方法归纳：本题也可延长BD 或CD 分割△ABC ，然后利用三角形的内角和及外角的性质计算. 易错误区：本题∠DBC 与∠DCB 的度数不能确定，要把它们看成一个整体，即求它们的和.例3、如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，CE 上的中点，且S △BEF =1，求S △ABC .思路点拨：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解题过程：∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE =21S △ABD ，S △ACE =21S △ACD ． ∴S △ABE +S △ACE =21S △ABC .∴S △BCE =21S △ABC ． ∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF =21S △BCE =41S △ABC .∴S △ABC =4S △BEF =4． 方法归纳：本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．易错误区：题中三角形面积的倍半关系比较复杂，注意三角形面积相等的条件．例4、如图:(1)图1是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数；(2)将图1中的点A 向下移到BE 上(如图2)，五个角的和有无变化？说说你的理由；(3)将图2中的点C 向上移到BD 上(如图3)，五个角的和有无变化？说说你的理由.图1图2 图3思路点拨：要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，需要将这些角转化为一个三角形的内角或外角，如图4，根据三角形的外角的性质可得∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D，其他两个图形用同样的方法即可解决.解题过程：(1)如图4，∵∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D.而∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.图4 图5(2)不变，仍为180°，如图5，同（1）可证∠CAD+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D=180°.(3)不变，理由同(2).方法归纳：应用转化的数学思想，将问题转化为三角形的外角和内角的性质问题.易错误区：本题中三个图形虽然有变化，但其中角之间的数量关系没有变化，解题时要抓住图形中的三角形特征.图中角比较多，要注意理清数量关系，不要混淆.例5、将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．图1 图2 图3（1）如图1，若∠A=40°，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB= 度，∠DBC+∠DCB= 度，∠ABD+∠ACD= 度；（2）如图2，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图3，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD，∠ACD，∠A三者之间存在的数量关系．思路点拨：（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A；（3）由（1）（2）的解题思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．解题过程：（1）答案为：140；90；50.（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明：∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°.∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A.（3）∵在△ABC中，∠ABC+∠BCD+∠ACD=180°-∠A,在△DBC中，∠ABD+∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ACD-∠ABD=180°-∠A-90°.∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A．方法归纳：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答本题的关键是沟通外角和内角的关系．易错误区：题（3）直角的位置发生了变化，所以结论与题（2）有区别，要注意图形的变化．探究提升图1 图2例、已知如图1，线段AB，CD相交于点O，连结AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有个；(3)在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；(4)如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)思路点拨：(1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠B+∠C；(2)根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；(3)先根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义可得∠P与∠D，∠B之间的数量关系，进而求出∠P的度数；(4)由（3）可得. 解题过程：(1)∠A+∠D=∠B+∠C(2)6(3)由(1)得，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B，∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，∠PAB-∠PCB=∠B-∠P.又∵AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB.∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D.∴∠P=(40°+36°)÷2=38°.(4)2∠P=∠B+∠D.方法归纳：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力.(1)中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；(2)是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；(3)(4)直接运用“8字形”中的角的规律解题. 易错误区：找基本图形“8字形”是本题难点及易错点，一般可以先确定“8字形”中的其中一个三角形，然后根据“8字型”的特征找另一个与它相对应的三角形.专项训练拓展训练A组1.略2.略3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°，则∠BDC等于( ).A.42°B.66°C.69°D.77°(第3题) (第4题)4.如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板的另外一个角是度.5.略6.略7.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G，若S△ABC=12，则阴影部分的面积是．(第7题) (第8题)8.如图，BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为cm.9.略10.如图所示，已知DF⊥AB于点F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.(第10题)11.如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；（2）过点B作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．(第11题)B组12.略13.如图，△ABC的两条中线相交于点F，若△ABC的面积是45cm2，则四边形DCEF的面积是( ).A.30cm2B.15cm2C.20cm2D.不能确定(第13题) (第14题) (第16题) 14.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是( ).A.60°B.56°C.94°D.68°15.略16.如图，点G是△AFE的两外角平分线的交点，点P是△ABC的两外角平分线的交点，点F，C在AM上，又点B，E在AN上，如果∠FGE=66°，那么∠P= .17.略18.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1，且∠α=50°，则∠1+∠2=；（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α,∠1,∠2之间的关系为；（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α，∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．图1 图2 图3(第18题)走进重高1.【绵阳】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC等于( ).A.118°B.119°C.120°D.121°(第1题) (第2题) (第5题) 2.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（）.A.7B.8C.9D.103.略4.略5.【临海】如图，若∠B=40°，A，C分别为角两边上的任意一点，连结AC，∠BAC与∠ACB 的平分线交于点P1，则∠P1= ，D，F也为角两边上的任意一点，连结DF，∠BFD 与∠FDB的平分线交于点P2……按这样的规律，则∠P2016= ．6.如图是一张三角形纸片ABC，其中∠A=∠C．（1）把△ABC纸片按如图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），∠C与∠1，∠2的关系是 .（直接写出结论）图1 图2 图3(第6题)高分夺冠1.如图，在△ABC 中，已知点P ，Q 分别在边AC ，BC 上，BP 与AQ 相交于点O ，若△BOQ，△ABO，△APO 的面积分别为1，2，3，则△PQC 的面积为（ ）.A.22B.22.5C.23D.23.5 (第1题)2.将长度为25cm 的细铁折成边长都是质数(单位：cm)的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a ，b ，c ，且满足a ≤b ≤c ，则(a ，b ，c)有 组解，所构成的三角形都是 三角形.3.已知△ABC 中，∠A=α.如图1，∠B，∠C 的平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C=90°+21α；如图2，∠B，∠C 的两条三等分角线分别对应交于点O 1，O 2，则∠BO 2C= ；请你猜想，当∠B ，∠C 同时n 等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于点O 1，O 2，…，O ；如图2，∠B，∠C 的两条三等分角线分别对应交于点O 1，O 2，则∠BO 2C=；请你猜想，当∠B ，∠C 同时n 等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于点O 1，O 2，…，O n-1，如图3，则∠BO n-1C= （用含n 和α的代数式表示）．图1图2 图3(第3题) (第4题)4.如图，点D ，C ，G 在同一直线上，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，CF 平分∠ACG，BE 延长线与CF 相交于点F ，若∠BDC=160°，∠A=100°，则∠F= 度.5.已知△ABC 的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD 是△ABC 的BC 边上的中线，则△ABD 的面积（填“＞”“＜”或“=”）△ACD 的面积;（2）如图2，若CD ，BE 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连结AO ，由AD=DB 得：S △ADO =S △BDO ，同理：S △CEO =S △AEO .设S △BDO =x ，S △CEO =y ，则S △ADO =x ，S=x ，S △AEO =y.由题意得：S △ABE =21S △ABC =30，S △ADC =21S △ABC =30，可列方程组为：⎩⎨⎧=+=+30,2y x 30,y 2x 解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE 的面积为 ；（3）如图3，AD ∶DB=1∶3，CE ∶AE=1∶2，请你计算四边形ADOE 的面积，并说明理由．图1图2 图3(第5题)第二讲命题与证明思维导图重难点分析重点分析：1.利用命题的定义来判断语句是否为命题，关键看语句是否为一个判断句，对一个命题，要准确找出命题的题设和结论部分，并写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后写题设，“那么”后写结论.2.判断一个命题是真命题，主要依据已知的定理、公理或相关数学性质，而判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.3.证明一个命题，要根据题意，分析命题的条件和结论，有条理的写出证明过程，证明的每一步都要有依据，这些依据可以是定义、定理、公理、已知等.4.反证法的基本步骤：(1)假设，否定待证命题的结论；(2)推理导出矛盾；(3)肯定原命题的结论.难点分析：1.探求证明的途径，一般有两种思考方法：一种是从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论作比较，直至得到要证明的结论，另一种是从要证明的结论出发，探索要使结论成立的条件，并与已知对照，直至找到所需要并已知的条件.对于比较复杂的证明，常常把这两种思考方法综合运用，称为分析综合法.2.有以下特征的命题宜用反证法证明：(1)结论涉及唯一性；(2)结论涉及“至多或至少”；(3)结论为否定形式；(4)结论涉及无限形式等.3.作辅助线是证明命题常用的手段，要会作简单的辅助线解决证明题.常见的辅助线有：分割图形，作平行线，截长可补短等.例题精析例1、把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.(1)两直线平行，同位角相等；(2)周长相等的两个三角形全等；(3)等角的补角相等.思路点拨：先找出命题的题设和结论，然后改写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”后面跟命题的题设，“那么”后面跟命题的结论.解题过程：(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等.(2)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等.(3)如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.方法归纳：将命题改写成“如果……，那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论. 易错误区：第(3)题的结论是两角相等，所以条件应该是满足何种条件的两角，为了命题的证明方便一般不改写成“如果两个角相等，那么它们的补角相等”.例2、（1）如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，试判断命题的真假：（填“真”或“假”）；（2）若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．思路点拨：（1）利用平行线的判定方法进而判断即可；（2）利用平行线的性质结合判定方法添加合理的条件．解题过程：（1）假（2）添加条件：BE∥DF，则∠EBD=∠FDN．又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN.∴AB∥CD．方法归纳：本题主要考查了命题与定理以及平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．易错误区：注意本题是添加条件而不是修改条件，切不可把原来“∠1=∠2”的条件改掉．例3、在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小胡和小杜分别给出了下列证法.小胡：在△ABC中，延长BC到点D(如图1).∵∠ACD=∠A+∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).图1 图2小杜：在△ABC中，作CD⊥AB于点D(如图2).∵CD⊥AB(已知)，∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定义).∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°(直角三角形两锐角互余).∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等量加等量和相等).∴∠A+∠B+∠ACB=180°.请你对上述两名同学的证法给出评价，并另给出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法.思路点拨：两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导得到的，这种用结论来说明的错误称为“循环论证”，不符合推理论证的逻辑规律.解题过程：评价：两位同学都巧妙地通过作辅助线将问题转化，作辅助线的思路对解题有帮助，但证明过程用到的理论依据是由本命题的结论推导出来的，所以证明方法不正确，陷入了“循环论证”的错误之中. 图3正确的证法如下：如图3，过点A作直线MN，使MN∥BC.∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC(两直线平行，内错角相等).∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°(平角定义)，∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换).方法归纳：要证明三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角的和是平角，可以通过作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和.平行线是几何证明中常用的辅助线.易错误区：“循环论证”是初学几何证明者比较容易出现的一种错误，即用命题的结论推导得到的性质来证明命题本身，做证明题时对每一步的说理依据要认真考证，以避免出现“循环论证”.例4、如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，∠AEB=∠ABC．图1 图2（1）在图1中，作∠BAC 的平分线AD ，分别交CB ，BE 于点D ，F ，求证：∠EFD=∠ADC；（2）在图2中，作△ABC 的外角∠BAG 的平分线AD ，分别交CB ，BE 的延长线于点D ，F ，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？思路点拨：（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠GAD，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB -∠FAE，∠ADC=∠ABC -∠BAD，进而可得∠EFD=∠ADC．解题过程：（1）∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．（2）探究（1）中结论仍成立．理由：∵AD 平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD．∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD．∵∠EFD=∠AEB -∠FAE，∠ADC=∠ABC -∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．方法归纳：本题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．易错误区：利用三角形外角的性质要注意找准三角形及相应的内角，看清并读懂图形很重要．例5、在△ABC 中，BO 平分∠ABC，点P 为直线AC 上一动点，PO⊥BO 于点O ．图1 图2 图3（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P 与点C 重合时，∠APO= ；（2）如图2，当点P 在AC 的延长线上时，求证：∠APO=21（∠ACB -∠BAC）；（3）如图3，当点P 在边AC 上如图所示位置时，请直接写出∠APO 与∠ACB，∠BAC 之间的等量关系式 .思路点拨：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根据∠APO=∠ACB -∠OCB 计算即可得解；（2）作射线AO ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P ，从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB 和∠BAC 表示出∠2，代入整理即可得解；（3）用∠ACB 和∠BAC 表示出∠OBC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解.解题过程：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC -∠BAC=180°-40°-60°=80°．∵BO 平分∠ABC，∴∠OBC=21∠ABC=20°． ∵PO⊥BO，∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°．∴∠APO=∠ACB -∠OCB=80°-70°=10°．（2）如图4，作射线AO.则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P．∵PO⊥BO，∴∠3+∠4=90°．∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，即∠BAC+∠2+∠P=90°． 图4 ∵BO 平分∠ABC，∴∠2=21∠ABC． ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°-∠BAC -∠ACB．∴∠2=12（180°-∠BAC -∠ACB）．∴∠APO=90°-∠BAC -∠2=90°-∠BAC -21（180°-∠BAC -∠ACB）=21（∠A CB-∠BAC）． （3）∵BO 平分∠ABC，∴∠ABO=12（180°-∠BAC -∠ACB）． ∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）=90°+21（180°-∠BAC -∠ACB）+∠BAC=180°+21（∠BAC -∠ACB），即∠APO=180°+21（∠BAC -∠ACB）． 方法归纳：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难度中等，熟记性质并准确识图是解题的关键．易错误区：本题中涉及的角较多，要准确表示出各角度之间的等量关系，运用三角形外角的性质时要注意对应的角度关系不要混淆．探究提升例、如果一个数能表示成x 2+2xy+2y 2(x ，y 是整数)，我们称这个数为“好数”.(1)判断29是否为“好数”；(2)写出1，2，3，…，20中的“好数”；(3)如果m ，n 都是“好数”，求证：mn 是“好数”.思路点拨：(1)根据x 2+2xy+2y 2=(x+y)2+y 2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”；(2)根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”；(3)设m=x 2+2xy+2y 2，n=p 2+2pq+2q 2，化简得到mn=［(x+y)(p+q)+qy ］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy ，v=q(x+y)-y(p+q)，于是可以判断出mn为“好数”.解题过程：(1)x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2，特征：“好数”就是两个整数的平方和，而29=52+22，故29是“好数”.(2)1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20.(3)m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2.则mn=(x2+2xy+2y2)(p2+2pq+2q2)=［(x+y)2+y2］［(p+q)2+q2］=［(x+y)(p+q)+qy］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q).那么mn=(u+v)2+v2=u2+2uv+2v2，∵x，y，p，q均为整数，∴(x+y)(p+q)+qy，q(x+y)-y(p+q)也为整数.∴u+v，v为整数.∴u，v为整数.∴mn为“好数”.方法归纳：本题是代数证明题，解答本题的关键是掌握“好数”的定义，并能将此定义作为依据利用完全平方式的知识进行推理证明.易错误区：题(3)中代数式的变形是本题难点，要注意正确利用完全平方式对式子进行恒等变形.专项训练拓展训练A组1.略2.下列命题中，正确的是( ).A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B.相等的角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.和为180°的两个角叫做邻补角3.略(第4题)4.如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( ).A.180°B.360°C.540°D.720°5.略6.略7.如图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3= .（第7题）（第8题）8.如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．9.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C.请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.(第9题)10.略11.如图，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.(第11题)B组12.略13.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为( ).A.70°B.75°C.80°D.85°(第13题) (第14题)14.如图，AB⊥AC，CD，BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°.其中正确的结论是( ).A.①③B.②④C.①③④D.①②③④15. 略16.略17.在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.18.探究发现图1 图2 图3(第18题)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？如图1，∠FDC，∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为．探究二：在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，设∠A=α，∠D=β．（1）如图2，若α+β＞180°，求∠F；（用α，β表示）（2）如图3，若α+β＜180°，请在图中画出∠F，并求∠F=；（用α，β表示）（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．走进重高1.略2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则下列∠A，∠1与∠2的数量关系中，正确的是（）.A.∠1=∠2+∠AB.∠1=2∠A+∠2C.∠1=2∠2+2∠AD.2∠1=∠2+∠A (第2题)3.略4.在A，B，C三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为a0，b0，c0，记为G0=（a0，b0，c0）.游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子序在前的盒子中取小球），记为一次操作.若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束，n次操作后的小球数记为G n=（a n，b n，c n）．（1）若G0=（5，8，11），则第次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G0=（1，5，12），则游戏永远无法结束，那么G2016= ．5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数；（2）在△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE 与α，β间的等量关系，并说明理由．(第5题)6.已知△ABC，△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠D=30°．（1）将它们摆成如图1的位置（点E，F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G）.求∠AGD的度数；（2）将图1的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°（0＜n＜180）．①当△DEF旋转到DE∥AB的位置时（如图2），n= ；②若由图1旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为．图1 图2(第6题)高分夺冠1.如图，A，B，C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片(叫移动一次)，被移动的圆片只能放入A，B，C三根立柱之一，且较大的圆片不能叠在较小的圆片上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是( ).A.6B.7C.8D.9(第1题) (第2题) (第3题)2.如图，△ABC内有三个点D，E，F，分别以A，B，C，D，E，F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么这些三角形的所有内角之和为( ).A.360°B.900°C.1260°D.1440°3.如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度.4.(1)阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°.理由：连结A1A4.∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°，∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°，又∵∠A1OA4=∠A5OA6，∴∠1+∠2=∠A5+∠A6.∵∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°，∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°，即S=360°.(2)延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明；②如图3是二环五边形，可得S= ，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n 边形(n≥3的整数)中，S= 度.(用含n的代数式表示最后的结果)图1 图2 图3（第4题）第三讲 全等三角形思维导图重难点分析重点分析：1.能够完全重合的两个三角形全等，全等三角形对应边相等、对应角相等.2.三角形全等的条件有：SAS(边角边)、SSS(边边边)、ASA(角边角)、AAS(角角边).3.角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段两端的距离相等. 难点分析：1.找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角，找对应边、对应角常用的方法有：公共边或公共角一般是对应边或角；对顶角、角平分线、直角等得到的等角一般是对应角；最大(或最小)的边或角是对应边或角；对应边的夹角是对应角，对应角的夹边是对应边；书写全等时顶点字母要对应，便于我们找对应的边和角.2.注意边边角(两边及一角对应相等)不能判定两个三角形全等，这是本节内容的易错点.3.注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确定图形中的全等三角形.例、如图，已知点A ，E ，F ，C 在一条直线上，△AED ≌△CFB ，你能得出哪些结论？(答出5个即可，不需证明)思路点拨：根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等即可解答.参考答案：AD=CB ，AE=CF ，ED=FB ，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，∠EAD=∠FCB 等.方法归纳：本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角、对应边是解答本题的关键.如果再根据全等三角形的判定定理，图形中还能再找出两对全等的三角形.易错误区：要正确找出两个全等三角形的对应边和对应角，除了利用图形直观判断外，还要能应用“△AED ≌△CFB”中字母的对应关系来确定对应边及对应角.例2、如图，已知点B ，F ，C ，E 在同一直线上，并且BF=CE ，∠B=∠E.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF.你添加的条件是： ；(2)添加了条件后，请证明△ABC ≌△DEF.思路点拨：(1)根据全等三角形的判定定理AAS 可以添加条件∠A=∠D；根据ASA 可以添加条件∠ACB=∠DFE，根据SAS 可以添加条件AB=DE ；(2)根据题意可得BC=EF ，再根据全等三角形的判定定理即可证明结论.解题过程：(1)∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE，AB=DE).(2)以添加∠A=∠D 为例证明：∵BF=CE ，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,EF BC E B D A ∴△ABC≌△DEF(AAS).。
初二数学培优讲义第1章+三角形的边+第1关+尖子
第一章三角形的边本章进步目标★★★★★☆Level 5通过对本节课的学习，你能够：1．对三角形的三边关系应用达到【高级运用】级别；2．对三角形的面积计算问题达到【高级运用】级别。
VISIBLE PROGRESS SYSTEM进步可视化教学体系1VISIBLE PROGRESS SYSTEM一天，小优带着几个伙伴在路边竖一根电视天线杆。
天线杆竖起来以后，总是晃来晃去，他们急得团团转。
恰巧小能路过这里，看见了，赶忙过来说：“这又直又高的电视天线杆光这样竖着不稳定，有倒斜的危险。
”“请问，你有什么好办法吗？”小优诚恳地问。
小能说：“用三根绳子从杆子的上方向三个方向拉下来，拉紧以后把绳头固定在地面上，固定在地面上的三点组成一个三角形，天线杆就不会晃了。
”“好！”小优他们很快动手，把绳子拉好。
果然，天线杆不晃动了。
“真行！”“这个办法真灵！”大家一起高兴地围着小能询问这是为什么。
小能笑着说：“因为三角形有一个性质，叫做三角形的稳定性。
你看，木制的房顶、自行车的三角架，还有高压电线架都是三角形的，就是利用这个特性。
”“你真是个能干的设计师。
”小优称赞道。
小能不好意思地说：“不，我们各有所长，要相互学习。
”“哈哈，各有所长，各有所长……”大伙会心地笑了。
2 VISIBLE PROGRESS SYSTEM第一关三角形的三边关系★★★★★☆Level 5本关进步目标★★★☆☆☆你会利用两边长确定第三边的长或周长的取值范围，并根据三角形的三边关系化简代数式；★★★★★☆你会证明线段间的不等关系。
3VISIBLE PROGRESS SYSTEM4VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：掌握三角形三边关系定理及推论的应用．1．三角形两条边长分别是3 cm 和10 cm ，周长C 的取值范围是________20<C<26_________cm ．2．三角形的三条边长分别是3a -，1a -，2a +，则a 的取值范围是_________a>6________．3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a b c a b c b a c c b a +-+------+-=________2b -2c _________．三角形的三边关系定理及推论【高级理解】熟记三边关系定理及推论的内容理解不等式的性质关卡1-1三角形的三边关系定理及推论过关指南Tips笔记★★★☆☆☆ 高级理解例题5VISIBLE PROGRESS SYSTEM若一个三角形的两边长分别为5和7，则周长C 的取值范围是_____12>C>2____________；若x 为该三角形最长的边，则x 的取值范围是_________12>x ＞7________．（ D ） A. a ，b ，a b + (0,0)a b >> B. a ，4a +，6a +（0a >） C. a ，3a -，3（3a >） D. 1a +，1a +，2a ()0a >已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边之长，化简：a cbc a b b c a ----+--+=______c -b -a ___________．过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 36VISIBLE PROGRESS SYSTEM学习重点：掌握 “8字”模型和“飞镖”模型中不等关系的证明和对结论的熟练应用．1．如图，四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交于点O ，求证：()12AC BD AB BC CD DA +>+++．∵三角形两边之和大于第三边 ∴在△ABO 中，AO+BO>AB 在△BOC 中，BO+CO>BC 在△COD 中，CO+DO>CD 在△AOD 中，AO+DO>AD2(AO +CO+BO +DO)>AB+BC+CD+DA 2(AC+BD)> AB+BC+CD+DA AC+BD> 1/2（AB+BC+CD+DA ）三角形三边不等关系的证明【高级运用】“8字”模型不等关系的证明“飞镖”模型不等关系的证明不等式的性质关卡1-2三角形的三边不等关系的证明过关指南Tips笔记★★★★★☆ 高级运用例题P ABC ∆PBC ∆ABC ∆8VISIBLE PROGRESS SYSTEM如图所示，AD ，BC 相交于点O ，求证：AB+CD<AD+BC ．AO+BO>AB,CO+DO>CDAO+BO+CO+DO=AD+BC>AB+CD如图所示，已知点P 是ABC ∆内一点，试说明()12PA PB PC AB BC AC ++>++．如图所示，已知点P 是ABC ∆内一点，求证：PA PB PC AB AC BC ++<++．延长BP 交AC 于点D过关练习错题记录Exercise 2错题记录Exercise 1错题记录Exercise 39VISIBLE PROGRESS SYSTEMAB+AD>BP+PD,DC+PD>PC 相加得AB+AC>PB+PC 同理AC+BC>PA+PB AB+BC>PA+PC相加得2（AB+AC+BC ）>2(PA+PB+PC) PA+PB+PC<AB+AC+BC 如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在ABC ∆的内部，连接EB ，EC ，证明：（1）AB CD AC BD +<+；（2）AB AC EB EC +>+．（1） AB<AO+BO,CD<CO+DOAB+CD<AO+BO+CO+DO=AC+BD(2)延长BE 交AC 于点FBE+EF<AB+AF,EC<EF+FC相加得AB+AF+FC>EB+EC 即AB+AC>EB+EC错题记录Exercise 4。
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知识导图第一讲：三角形概述教学内容本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用专题2 三角形角平分线基本模型专题3 三角形内、外角度转换专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用专题讲解专题1：角形角度转换基本图形的应用【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．AECFB D（2012，江岸区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．BC AD P练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．αBCGEAFD练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．A CD EF B PI专题2：三角形角平分线的基本模型【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．AC B PAC BDEP AC B FP图1 图2 图3（1）求∠P 的度数；（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．D BA CGEF练2．2：（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．B X ZYAC图1（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．B X ZYAC图2练2．3：（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C ABD图1（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？C ABD E图2（3）如图3，若∠ACE＝13∠ACD，∠ABE＝13∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系为．（写出结论，不必证明）E CD 图3【变式】已知△ABC中，∠BAC＝100°．B AOBAO1O图1 图2 图3（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．（2014，光谷实验10月月考）专题3：三角形内、外角度的转换【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？21AC FBEC'21ACFBE C'图1 图2（2014，江汉区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；BACDE（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．BACDE【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．ABDCP【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．2：如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．在图中，（1）若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；（2）—般性结论：若∠D 的度数为x ，∠B 的度数为y ，则∠P 的度数为 ．ABDCMP N【例5】如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求证：∠DAE ＝12(∠B －∠C )．BCAD E【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练3．3：如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C＝80°，∠B＝50°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE＝12(∠C－∠B)．（3）如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？BACD E BACDA'E图1 图2专题4：角度的综合和实际应用【例6】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距海里．BCAN【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练4．1：（1）如图，B处在A处的南偏西65°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是（ ）．ACB北南A ．80°B ．75°C ．85°D ．70° （2）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【原题40°，个人认为改为80°更适合．】D ABC E北北（2014，光谷实验10月月考）【例7】如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，BF 交AE ，AD 于点G ，H ，∠C ＞∠ABC ，下列结论：①∠AGB ＝90°＋12∠C ； ②∠C －∠ABC ＝2∠EAD ； ③∠BFC ＋∠AEC ＝180°；④∠AGB ＋∠BHD －∠EAD ＝180°， 其中正确的有（ ）． BACE D GHFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练4．2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝20°，∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点E ，连接AE ，则∠AEC 的度数为（ ）．C DA EA．10°B．30°C．35°D．45°（青山，13－14期中考试）专题5：角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用【例8】如图1，△AOB与△COD是两个可以完全重合的直角三角形，其中A，B，C，D四点均在坐标轴上．（1）如果B（0，一3），S△COD＝9，请写出点A，C，D的坐标；（2）如图2，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数；（3）如图3，M是线段AD上任意一点（不同于点A，D），作MN⊥x轴交AF于点N，作∠ADE与∠ANM 的平分线交于点P，在（2）的条件下，能否求出∠P的度数？说出你的理由，若能求出，请写出解答过程；若不能，请说明理由．图1 图2 图3（2013，江岸区期末）【解析】（1）∵△COD与△AOB完全重合，∴OB＝OD，OC＝OA；∵B（0，一3），∴OB＝3，则OD＝3，∴D（3，0）；∵S△COD＝9＝12·OD·OC，∴OC＝6，∴C（0，6），A（6，0）．（2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，∴设∠CDE＝∠EDA＝x，∠DAF＝∠BAF＝y；∵x＝y＋∠F，而∠OAB＝∠OCD＝2y，∴2x＝2y＋90°，∴x＝y＋45°，∴∠F＝45°．（3）∵DP平分∠EDA，PN平分∠MNA，∴设∠EDP＝∠PDA＝x，∠MNP＝∠PNA＝y，则∠P＝90°－x－y；而∠F＋180°－2x＋180°－2y＋90°＝360°，∴2x＋2y＝90°＋45°＝135°，∴x＋y＝67.5°，∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°．【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练5．1：如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC＝∠OCA；图1（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；图2（3）如图3，若射线OP，CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．图3 （2013，江岸区期末）分级检测 A 级1．画△ABC 的BC 边上的高AD ，下列画法中正确的是（ ）．ACDA BC DD A BCABCDA B C D2．如果在△ABC 中，∠A ＝70°－∠B ，则∠C 等于（ ）． A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°3．多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的值为（ ）．BD ACEA ．15°B ．30°C ．45°D ．25°5．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边边长为奇数，则三角形的周长是 cm ． 6．（1）在△ABC 中，∠C ＝60°，∠A ＝3∠B ，则∠A ＝ ，∠B ；（2）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1∶7，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ； （3）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠A ＝ ，∠B ，∠C ．7．一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为 ．8．如图，△ACD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ，△ABD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ．AB CD9．如图，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，BO ，CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ，则∠BOC ＝ °．BACOD E10．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A BCD EF11．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A B EDF HCG IB 级1．（1）在图1中，猜想∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝ °； （2）试说明你猜想的理由．（3）如果把图1称为二环三角形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1；把图2称为二环四边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1；把图3称为二环五边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1，请你猜一猜，二环n 边形的内角和为 ．（只写结果）BCA 1B 1C 1A AB CDA 1B 1C 1D 1A B DE A 1B 1C 1D 1E 1图1 图2 图32．如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1． （1）分别计算出当∠A 为70°，80°时∠A 1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A 与∠A 1之间的数量关系： （不需证明）； （3）∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于A 2，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4，…，A n ，请写出∠A 6与∠A 之间的数量关系： （不需证明）； （4）如图2，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的平分线交于Q ，求∠Q ＋∠A 1的度数．BC AD A 1B C A DA 1EQ图1 图2课后反馈1．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°2．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为（ ）．21DAB A ．50°B ．80°C ．70°D ．60°3．下列语句中，正确的是（ ）． A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角 C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180°4．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ．215．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）．40°3421BC EAD A ．100°B ．200°C ．280°D ．300°6．如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P ． （1）若∠A ＝70°，∠D ＝60°，求∠P 的度数； （2）试探索∠P 与∠A ，∠D 间的数量关系； （3）若∠A ∶∠D ∶∠P ＝2∶4∶x ，求x 的值．AD COPE F B7．如图1，已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠C ＞∠B ，F 为AE 上一点．且FD ⊥BC 于D ． （1）试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的大小关系；DBCA E F图1（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上时，图1的其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成立？BCAD FE图2下次课必背1．三角形内角和度数：三角形三个内角的和等于180°．外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．基本图形的结论．3．两内角角平分线夹角与顶角的关系、一内角一外角平分线的夹角与顶角的关两外角平分线夹角与顶角的关系．4．三角形中共一个顶点的角平分线与高线夹角、另两个内角的关系． 5．多边形内角和：n 边形内角和＝(n —2)×180°； 外角和：多边形外角和＝360°． 6．从一个顶点引出的对角线条数为n －3，所有对角线条数为(3)2n n ．。