2022年新高考全国I卷数学真题含参考答案

2022年新高考全国I 卷数学真题一、单选题1．若集合M ={x∣√x <4}, N ={x∣3x ≥1}，则M ∩N =（ ） A ．{x |0≤x <2 }B ．{x |13≤x <2 }C ．{x |3≤x <16 }D ．{x |13≤x <16 }2．若i(1−z)=1，则z +z̅=（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．23．在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =m ⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =n ⃑ ，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3m ⃑⃑ −2n ⃑B ．−2m ⃑⃑ +3n ⃑C ．3m ⃑⃑ +2n ⃑D ．2m ⃑⃑ +3n ⃑4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m 时，相应水面的面积为140．0km 2；水位为海拔157．5m 时，相应水面的面积为180．0km 2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m 上升到157．5m 时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ） A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 35．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．236．记函数f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0)的最小正周期为T ．若2π3<T <π，且y =f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（ ）A ．1B ．32C ．52D ．37．设a =0.1e 0.1,b =19，c =−ln0.9，则（ ） A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．a <c <b8．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A ．[18,814]B ．[274,814]C ．[274,643]D ．[18,27]二、多选题9．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，则（ ） A ．直线BC 1与DA 1所成的角为90°B ．直线BC 1与CA 1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°10．已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y=−1B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA|2D．|BP|⋅|BQ|>|BA|212．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x)，若f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则（）A．f(0)=0B．g(−12)=0C．f(−1)=f(4)D．g(−1)=g(2)三、填空题13．(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用数字作答）．14．写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程________________．15．若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．16．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是________________．四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=1,{S na n }是公差为13的等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+⋯+1a n<2．18．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．19．如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值． 20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．P(B|A)P(B ̅|A)与P(B|A )P(B ̅|A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：R =P(A|B)P(A |B)⋅P(A |B̅)P(A|B̅)； （ⅰ）利用该调查数据，给出P(A|B),P(A|B ̅)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值． 附K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，21．已知点A(2,1)在双曲线C:x 2a 2−y 2a 2−1=1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP,AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan∠PAQ =2√2，求△PAQ 的面积．22．已知函数f(x)=e x −ax 和g(x)=ax −lnx 有相同的最小值． (1)求a ；(2)证明：存在直线y =b ，其与两条曲线y =f(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．参考答案：1．D【分析】求出集合M,N 后可求M ∩N .【详解】M ={x∣0≤x <16},N ={x∣x ≥13}，故M ∩N ={x |13≤x <16 }，故选：D 2．D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅.【详解】由题设有1−z =1i =ii 2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2， 故选：D 3．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =2(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ )， 所以CB ⃑⃑⃑⃑⃑ = 3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3n ⃑ −2m ⃑⃑ =−2m ⃑⃑ +3n ⃑ ． 故选：B ． 4．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为MN =157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．5．D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率P=21−721=23.故选：D.6．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A7．C【分析】构造函数f(x)=ln(1+x)−x，导数判断其单调性，由此确定a,b,c的大小.【详解】方法一：构造法设f(x)=ln(1+x)−x(x >−1)，因为f ′(x)=11+x −1=−x1+x ， 当x ∈(−1,0)时，f ′(x)>0，当x ∈(0,+∞)时f ′(x)<0，所以函数f(x)=ln(1+x)−x 在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增， 所以f(19)<f(0)=0，所以ln109−19<0，故19>ln109=−ln0.9，即b >c ，所以f(−110)<f(0)=0，所以ln 910+110<0，故910<e −110，所以110e 110<19，故a <b ，设g(x)=xe x +ln(1−x)(0<x <1)，则g ′(x)=(x+1)e x +1x−1=(x 2−1)e x +1x−1,令ℎ(x)=e x (x 2−1)+1，ℎ′(x)=e x (x 2+2x −1)，当0<x <√2−1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)=e x (x 2−1)+1单调递减， 当√2−1<x <1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)=e x (x 2−1)+1单调递增， 又ℎ(0)=0，所以当0<x <√2−1时，ℎ(x)<0，所以当0<x <√2−1时，g ′(x)>0，函数g(x)=xe x +ln(1−x)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e 0.1>−ln0.9，所以a >c 故选：C. 方法二：比较法解： a =0.1e 0.1 ， b =0.11−0.1 ， c =−ln(1−0.1) ， ① lna −lnb =0.1+ln(1−0.1) ， 令 f(x)=x +ln(1−x),x ∈(0,0.1], 则 f′(x)=1−11−x =−x1−x <0 ， 故 f(x) 在 (0,0.1] 上单调递减，可得 f(0.1)<f(0)=0 ，即 lna −lnb <0 ，所以 a <b ； ② a −c =0.1e 0.1+ln(1−0.1) ， 令 g(x)=xe x +ln(1−x),x ∈(0,0.1], 则 g′(x)=xe x+e x−11−x =(1+x)(1−x)e x −11−x，令 k(x)=(1+x)(1−x)e x −1 ，所以 k′(x)=(1−x 2−2x)e x >0 ，所以 k(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 k(x)>k(0)>0 ，即 g′(x)>0 ，所以 g(x) 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 g(0.1)>g(0)=0 ，即 a −c >0 ，所以 a >c. 故 c <a <b. 8．C【分析】设正四棱锥的高为ℎ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径R =3,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为ℎ， 则l 2=2a 2+ℎ2，32=2a 2+(3−ℎ)2, 所以6ℎ=l 2，2a 2=l 2−ℎ2所以正四棱锥的体积V =13Sℎ=13×4a 2×ℎ=23×(l 2−l 436)×l 26=19(l 4−l 636)， 所以V ′=19(4l 3−l 56)=19l 3(24−l 26)， 当3≤l ≤2√6时，V ′>0，当2√6<l ≤3√3时，V ′<0， 所以当l =2√6时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643， 又l =3时，V =274，l =3√3时，V =814,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]. 故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以V =43a 2ℎ=23(6ℎ−ℎ2)ℎ=13(12−2ℎ)ℎ×ℎ⩽13×[(12−2ℎ)+ℎ+ℎ3]3=643(当且仅当ℎ=4取到)，当ℎ=32时，得a =√3√2，则V min =13a 2ℎ=13(√3√2)2×32=274;当l =3√3时，球心在正四棱锥高线上，此时ℎ=32+3=92，√22a =3√32⇒a =√3√2V 1=13a 2ℎ=13(√3√2)2×92=814<643，故该正四棱锥体积的取值范围是[274,643]. 9．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接B 1C 、BC 1，因为DA 1//B 1C ，所以直线BC 1与B 1C 所成的角即为直线BC 1与DA 1所成的角，因为四边形BB 1C 1C 为正方形，则B 1C ⊥ BC 1，故直线BC 1与DA 1所成的角为90°，A 正确；连接A 1C ，因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，则A 1B 1⊥BC 1， 因为B 1C ⊥ BC 1，A 1B 1∩B 1C =B 1，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ， 又A 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥CA 1，故B 正确； 连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O ，连接BO ，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，C 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则C 1O ⊥B 1B ， 因为C 1O ⊥B 1D 1，B 1D 1∩B 1B =B 1，所以C 1O ⊥平面BB 1D 1D ， 所以∠C 1BO 为直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角， 设正方体棱长为1，则C 1O =√22，BC 1=√2，sin∠C 1BO =C 1O BC 1=12，所以，直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为30∘，故C 错误；因为C 1C ⊥平面ABCD ，所以∠C 1BC 为直线BC 1与平面ABCD 所成的角，易得∠C 1BC =45∘，故D 正确.故选：ABD 10．AC【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合f(x)的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，f ′(x )=3x 2−1，令f ′(x )>0得x >√33或x <−√33， 令f ′(x)<0得−√33<x <√33， 所以f(x)在(−∞,−√33)，(√33,+∞)上单调递增，(−√33,√33)上单调递减，所以x =±√33是极值点，故A 正确；因f(−√33)=1+2√39>0，f(√33)=1−2√39>0，f (−2)=−5<0，所以，函数f (x )在(−∞,−√33)上有一个零点， 当x ≥√33时，f (x )≥f (√33)>0，即函数f (x )在(√33,+∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B 错误；令ℎ(x)=x 3−x ，该函数的定义域为R ，ℎ(−x )=(−x )3−(−x )=−x 3+x =−ℎ(x )， 则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心， 将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象， 所以点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心，故C 正确； 令f ′(x )=3x 2−1=2，可得x =±1，又f(1)=f (−1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y =2x −1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y =2x +3，故D 错误. 故选：AC.11．BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得1=2p ，所以抛物线方程为x 2=y ，故准线方程为y =−14，A 错误；k AB =1−(−1)1−0=2，所以直线AB 的方程为y =2x −1，联立{y =2x −1x 2=y，可得x 2−2x +1=0，解得x =1，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx −1，P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)， 联立{y =kx −1x 2=y，得x 2−kx +1=0，所以{Δ=k 2−4>0x 1+x 2=k x 1x 2=1，所以k >2或k <−2，y 1y 2=(x 1x 2)2=1，又|OP|=√x 12+y 12=√y 1+y 12，|OQ|=√x 22+y 22=√y 2+y 22，所以|OP|⋅|OQ|=√y 1y 2(1+y 1)(1+y 2)=√kx 1×kx 2=|k|>2=|OA|2，故C 正确； 因为|BP|=√1+k 2|x 1|，|BQ|=√1+k 2|x 2|，所以|BP|⋅|BQ|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2>5，而|BA|2=5，故D 正确. 故选：BCD 12．BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f(x)，因为f (32−2x)为偶函数，所以f (32−2x)=f (32+2x)即f (32−x)=f (32+x)①，所以f (3−x )=f (x )，所以f(x)关于x =32对称，则f(−1)=f(4)，故C 正确；对于g(x)，因为g(2+x)为偶函数，g(2+x)=g(2−x)，g(4−x)=g(x)，所以g(x)关于x =2对称，由①求导，和g(x)=f ′(x)，得[f (32−x)]′=[f (32+x)]′⇔−f ′(32−x)=f ′(32+x)⇔−g (32−x)=g (32+x)，所以g (3−x )+g (x )=0，所以g(x)关于(32,0)对称，因为其定义域为R ，所以g (32)=0，结合g(x)关于x =2对称，从而周期T =4×(2−32)=2，所以g (−12)=g (32)=0，g (−1)=g (1)=−g (2)，故B 正确，D 错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C （C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A 错误. 故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g(x)周期为2，关于x =2对称，故可设g (x )=cos (πx )，则f (x )=1πsin (πx )+c ，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为f(32−2x)，g(2+x)均为偶函数，所以f(32−2x)=f(32+2x)即f(32−x)=f(32+x)，g(2+x)=g(2−x)，所以f(3−x)=f(x)，g(4−x)=g(x)，则f(−1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f′(x)，且函数f(x)可导，所以g(32)=0,g(3−x)=−g(x)，所以g(4−x)=g(x)=−g(3−x)，所以g(x+2)=−g(x+1)=g(x)，所以g(−12)=g(32)=0，g(−1)=g(1)=−g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．13．-28【分析】(1−yx )(x+y)8可化为(x+y)8−yx(x+y)8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为(1−yx )(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，所以(1−yx )(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−yxC85x3y5=−28x2y6，(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-2814．y=−34x+54或y=724x−2524或x=−1【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x +by +c =0， 于是√1+b 2=1，√1+b 2=4.故c 2=1+b 2①，|3+4b +c|=|4c|.于是3+4b +c =4c 或3+4b +c =−4c ， 再结合①解得{b =0c =1 或{b =−247c =−257或{b =43c =−53， 所以直线方程有三条，分别为x +1=0，7x −24y −25=0，3x +4y −5=0. (填一条即可) [方法二]：设圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径为r 1=1， 圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心C(3,4)，半径r 2=4， 则|OC|=5=r 1+r 2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x +1=0符合题意；又由方程(x −3)2+(y −4)2=16和x 2+y 2=1相减可得方程3x +4y −5=0， 即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为4x −3y =0， 直线OC 与直线x +1=0的交点为(−1,−43)， 设过该点的直线为y +43=k(x +1)，则|k−43|√k 2+1=1，解得k =724，从而该切线的方程为7x −24y −25=0.(填一条即可) [方法三]：圆x 2+y 2=1的圆心为O (0,0)，半径为1，圆(x −3)2+(y −4)2=16的圆心O 1为(3,4)，半径为4， 两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为l 时，因为k OO 1=43，所以k l =−34，设方程为y =−34x +t(t >0) O 到l 的距离d =√1+916=1，解得t =54，所以l 的方程为y =−34x +54，当切线为m 时，设直线方程为kx +y +p =0，其中p >0，k <0， 由题意{√1+k 2=1√1+k2=4 ，解得{k =−724p =2524，y =724x −2524当切线为n 时，易知切线方程为x =−1， 故答案为：y =−34x +54或y =724x −2524或x =−1.15．(−∞,−4)∪(0,+∞)【分析】设出切点横坐标x 0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x 0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵y =(x +a)e x ，∴y ′=(x +1+a)e x ，设切点为(x 0,y 0),则y 0=(x 0+a )e x 0,切线斜率k =(x 0+1+a )e x 0, 切线方程为：y −(x 0+a )e x 0=(x 0+1+a )e x 0(x −x 0), ∵切线过原点，∴−(x 0+a )e x 0=(x 0+1+a )e x0(−x 0),整理得：x 02+ax 0−a =0,∵切线有两条，∴Δ=a 2+4a >0,解得a <−4或a >0, ∴a 的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞), 故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞) 16．13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =c a=12，∴a =2c ，∴b 2=a 2−c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2−12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为√33，斜率倒数为√3， 直线DE 的方程：x =√3y −c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2−12c 2=0，整理化简得到：13y 2−6√3cy −9c 2=0， 判别式Δ=(6√3c)2+4×13×9c 2=62×16×c 2， ∴|DE |=√1+(√3)2|y 1−y 2|=2×√Δ13=2×6×4×c 13=6，∴ c =138， 得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为|DF 2|+|EF 2|+|DE |=|DF 2|+|EF 2|+|DF 1|+|EF 1|=|DF 1|+|DF 2|+|EF 1|+|EF 2|=2a +2a =4a =13. 故答案为：13.17．(1)a n =n (n+1)2(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得S n a n=1+13(n −1)=n+23，得到S n =(n+2)a n3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n+2)a n3−(n+1)a n−13,进而得：a nan−1=n+1n−1，利用累乘法求得a n =n (n+1)2，检验对于n =1也成立，得到{a n }的通项公式a n =n (n+1)2；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n=2(1−1n+1)，进而证得.【详解】（1）∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S 1a 1=1,又∵{Sn a n}是公差为13的等差数列，∴S n a n=1+13(n −1)=n+23,∴S n =(n+2)a n3,∴当n ≥2时，S n−1=(n+1)a n−13，∴a n =S n −S n−1=(n+2)a n3−(n+1)a n−13,整理得：(n −1)a n =(n +1)a n−1, 即a nan−1=n+1n−1,∴a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an−1a n−2×a na n−1=1×31×42×…×nn−2×n+1n−1=n (n+1)2，显然对于n =1也成立， ∴{a n }的通项公式a n =n (n+1)2；（2）1a n=2n (n+1)=2(1n −1n+1),∴1a 1+1a 2+⋯+1a n=2[(1−12)+(12−13)+⋯(1n −1n+1)]=2(1−1n+1)<218．(1)π6； (2)4√2−5．【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos(A +B)=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出；（2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B −5，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos(A +B)=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6；（2）由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2，而sinB =−cosC =sin(C −π2)，所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ，所以B ∈(0,π4),C ∈(π2,3π4)所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．(1)√2 (2)√32【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABB 1A 1，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设点A 到平面A 1BC 的距离为h ， 则V A−A 1BC =13S △A 1BC ⋅ℎ=2√23ℎ=V A 1−ABC =13S △ABC ⋅A 1A =13V ABC−A 1B 1C 1=43，解得ℎ=√2，所以点A 到平面A 1BC 的距离为√2；（2）取A 1B 的中点E ,连接AE ,如图，因为AA 1=AB ，所以AE ⊥A 1B , 又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1=A 1B ， 且AE ⊂平面ABB 1A 1，所以AE ⊥平面A 1BC ， 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，由BC ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE ⊥BC ，BB 1⊥BC ， 又AE,BB 1⊂平面ABB 1A 1且相交，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，所以BC,BA,BB 1两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =√2，所以AA 1=AB =2，A 1B =2√2，所以BC =2， 则A (0,2,0),A 1(0,2,2),B (0,0,0),C (2,0,0),所以A 1C 的中点D (1,1,1)， 则BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,1)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,0),BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0), 设平面ABD 的一个法向量m ⃑⃑ =(x,y,z )，则{m ⃑⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x +y +z =0m ⃑⃑ ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =2y =0 ， 可取m ⃑⃑ =(1,0,−1)，设平面BDC 的一个法向量n ⃑ =(a,b,c )，则{n ⃑ ⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a +b +c =0n ⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2a =0 ， 可取n ⃑ =(0,1,−1)， 则cos ⟨m ⃑⃑ ,n ⃑ ⟩=m⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |m ⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=√2×√2=12，所以二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32.20．(1)答案见解析(2)（i ）证明见解析；(ii)R =6；【分析】(1)由所给数据结合公式求出K 2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R . 【详解】（1）由已知K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200(40×90−60×10)250×150×100×100=24，又P(K 2≥6.635)=0.01，24>6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为R =P(B|A)P(B ̅|A)⋅P(B̅|A )P(B|A )=P(AB)P(A)⋅P(A)P(AB ̅)⋅P(A B̅)P(A )⋅P(A )P(A B )， 所以R =P(AB)P(B)⋅P(B)P(A B )⋅P(A B̅)P(B̅)⋅P(B ̅)P(AB ̅) 所以R =P(A|B)P(A |B)⋅P(A |B̅)P(A|B ̅)， (ii)由已知P(A|B)=40100，P(A|B̅)=10100，又P(A |B)=60100，P(A |B ̅)=90100， 所以R =P(A|B)P(A |B)⋅P(A |B̅)P(A|B ̅)=621．(1)−1； (2)16√29．【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设l:y =kx +m ，P(x1,y1),Q(x2,y2)，再根据k AP+k AQ=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，根据tan∠PAQ=2√2即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积．【详解】（1）因为点A(2,1)在双曲线C:x 2a2−y2a2−1=1(a>1)上，所以4a2−1a2−1=1，解得a2=2，即双曲线C:x22−y2=1．易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立{y=kx+mx22−y2=1可得，(1−2k2)x2−4mkx−2m2−2=0，所以，x1+x2=−4mk2k2−1,x1x2=2m2+22k2−1，Δ=16m2k2−4(2m2+2)(2k2−1)>0⇒m2−1+2k2>0且k≠±√22．所以由k AP+k AQ=0可得，y2−1x2−2+y1−1x1−2=0，即(x1−2)(kx2+m−1)+(x2−2)(kx1+m−1)=0，即2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，所以2k×2m 2+22k2−1+(m−1−2k)(−4mk2k2−1)−4(m−1)=0，化简得，8k2+4k−4+4m(k+1)=0，即(k+1)(2k−1+m)=0，所以k=−1或m=1−2k，当m=1−2k时，直线l:y=kx+m=k(x−2)+1过点A(2,1)，与题意不符，舍去，故k=−1．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,β(α<π2<β)，因为k AP+k AQ=0，所以α+β=π，由（1）知，x1x2= 2m2+2>0，当A,B均在双曲线左支时，∠PAQ=2α，所以tan2α=2√2，即√2tan2α+tanα−√2=0，解得tanα=√22（负值舍去）此时P A与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当A,B均在双曲线右支时，因为tan∠PAQ=2√2，所以tan(β−α)=2√2，即tan2α=−2√2，即√2tan 2α−tanα−√2=0，解得tanα=√2（负值舍去）， 于是，直线PA:y =√2(x −2)+1，直线QA:y =−√2(x −2)+1， 联立{y =√2(x −2)+1x 22−y 2=1可得，32x 2+2(√2−4)x +10−4√2=0，因为方程有一个根为2，所以x P =10−4√23，y P =4√2−53， 同理可得，x Q =10+4√23，y Q =−4√2−53． 所以PQ:x +y −53=0，|PQ |=163，点A 到直线PQ 的距离d =|2+1−53|√2=2√23，故△PAQ 的面积为12×163×2√23=16√29．［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，(0<α<π2)，由tan∠PAQ =2√2，得tan∠PAQ 2=√22， 由2α+∠PAQ =π，得k AP =tanα=√2，即y 1−1x 1−2=√2， 联立y 1−1x 1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53，同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53，故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29. 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线PA,PB 的斜率，从而联立求出点P,Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点P,Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．22．(1)a =1 (2)见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论. （2）根据（1）可得当b >1时，e x −x =b 的解的个数、x −lnx =b 的解的个数均为2，构建新函数ℎ(x)=e x+lnx−2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y= b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【详解】（1）f(x)=e x−ax的定义域为R，而f′(x)=e x−a，若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.g(x)=ax−lnx的定义域为(0,+∞)，而g′(x)=a−1x =ax−1x.当x<lna时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,lna)上为减函数，当x>lna时，f′(x)>0，故f(x)在(lna,+∞)上为增函数，故f(x)min=f(lna)=a−alna.当0<x<1a 时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1a)上为减函数，当x>1a 时，g′(x)>0，故g(x)在(1a,+∞)上为增函数，故g(x)min=g(1a )=1−ln1a.因为f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值，故1−ln1a =a−alna，整理得到a−11+a=lna，其中a>0，设g(a)=a−11+a −lna,a>0，则g′(a)=2(1+a)2−1a=−a2−1a(1+a)2≤0，故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故1−a1+a=lna的解为a=1.综上，a=1.（2）[方法一]：由（1）可得f(x)=e x−x和g(x)=x−lnx的最小值为1−ln1=1−ln11=1.当b>1时，考虑e x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数.设S(x)=e x−x−b，S′(x)=e x−1，当x<0时，S′(x)<0，当x>0时，S′(x)>0，故S(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，所以S(x)min=S(0)=1−b<0，而S(−b)=e−b>0，S(b)=e b−2b，设u(b)=e b−2b，其中b>1，则u′(b)=e b−2>0，故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故u(b)>u(1)=e−2>0，故S(b)>0，故S(x)=e x−x−b有两个不同的零点，即e x−x=b的解的个数为2.设T(x)=x−lnx−b，T′(x)=x−1x，当0<x<1时，T′(x)<0，当x>1时，T′(x)>0，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以T(x)min=T(1)=1−b<0，而T(e−b)=e−b>0，T(e b)=e b−2b>0，T(x)=x−lnx−b有两个不同的零点即x−lnx=b的解的个数为2.当b=1，由（1）讨论可得x−lnx=b、e x−x=b仅有一个解，当b<1时，由（1）讨论可得x−lnx=b、e x−x=b均无根，故若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，则b>1.设ℎ(x)=e x+lnx−2x，其中x>0，故ℎ′(x)=e x+1x−2，设s(x)=e x−x−1，x>0，则s′(x)=e x−1>0，故s(x)在(0,+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e x>x+1，所以ℎ′(x)>x+1x−1≥2−1>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，而ℎ(1)=e−2>0，ℎ(1e3)=e1e3−3−2e3<e−3−2e3<0，故ℎ(x)(0,+∞)上有且只有一个零点x0，1e3<x0<1且：当0<x<x0时，ℎ(x)<0即e x−x<x−lnx即f(x)<g(x)，当x>x0时，ℎ(x)>0即e x−x>x−lnx即f(x)>g(x)，因此若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故b=f(x0)=g(x0)>1，此时e x−x=b有两个不同的根x1,x0(x1<0<x0)，此时x−lnx=b有两个不同的根x0,x4(0<x0<1<x4)，故e x1−x1=b，e x0−x0=b，x4−lnx4−b=0，x0−lnx0−b=0所以x4−b=lnx4即e x4−b=x4即e x4−b−(x4−b)−b=0，故x4−b为方程e x−x=b的解，同理x0−b也为方程e x−x=b的解又e x1−x1=b可化为e x1=x1+b即x1−ln(x1+b)=0即(x1+b)−ln(x1+b)−b=0，故x 1+b 为方程x −lnx =b 的解，同理x 0+b 也为方程x −lnx =b 的解，所以{x 1,x 0}={x 0−b,x 4−b }，而b >1，故{x 0=x 4−b x 1=x 0−b即x 1+x 4=2x 0. [方法二]：由(1)知，f(x)=e x −x ，g(x)=x −lnx ，且f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x)min =g(x)min =1.①b <1时，此时f(x)min =g(x)min =1>b ，显然y =b 与两条曲线y =f(x)和y =g(x)共有0个交点，不符合题意；②b =1时，此时f(x)min =g(x)min =1=b ，故y =b 与两条曲线y =f(x)和y =g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③b >1时，首先，证明y =b 与曲线y =f(x)有2个交点，即证明F(x)=f(x)−b 有2个零点，F′(x)=f′(x)=e x −1，所以F(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，又因为F(−b)=e −b >0，F(0)=1−b <0，F(b)=e b −2b >0，(令t(b)=e b −2b ，则t′(b)=e b −2>0，t(b)>t(1)=e −2>0)所以F(x)=f(x)−b 在(−∞,0)上存在且只存在1个零点，设为x 1，在(0,+∞)上存在且只存在1个零点，设为x 2.其次，证明y =b 与曲线和y =g(x)有2个交点，即证明G(x)=g(x)−b 有2个零点，G′(x)=g′(x)=1−1x ， 所以G(x)(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又因为G(e −b )=e −b >0，G(0)=1−b <0，G(2b)=b −ln2b >0，(令μ(b)=b −ln2b ，则μ′(b)=1−1b >0，μ(b)>μ(1)=1−ln2>0) 所以G(x)=g(x)−b 在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为x 3，在(1,+∞)上存在且只存在1个零点，设为x 4.再次，证明存在b ，使得x 2=x 3:因为F(x 2)=G(x 3)=0，所以b =e x 2−x 2=x 3−lnx 3，若x 2=x 3，则e x 2−x 2=x 2−lnx 2，即e x 2−2x 2+lnx 2=0，所以只需证明e x −2x +lnx =0在(0,1)上有解即可，即φ(x)=e x−2x+lnx在(0,1)上有零点，因为φ(1e3)=e1e3−2e3−3<0，φ(1)=e−2>0，所以φ(x)=e x−2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为x0，令x2=x3=x0即可，此时取b=e x0−x0则此时存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，最后证明x1+x4=2x0，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为F(x1)=F(x2)=F(x0)=0=G(x3)=G(x0)=G(x4)所以F(x1)=G(x0)=F(lnx0)，又因为F(x)在(−∞,0)上单调递减，x1<0，0<x0<1即lnx0<0，所以x1=lnx0，同理，因为F(x0)=G(e x0)=G(x4)，又因为G(x)在(1,+∞)上单调递增，x0>0即e x0>1，x1>1，所以x4=e x0，又因为e x0−2x0+lnx0=0，所以x1+x4=e x0+lnx0=2x0，即直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。