2019届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(文)试卷(word版)

2018-2019学年度第一学期七调考试高三年级数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B2.已知复数z满足，则A. B. 1 C. D. 5【答案】C3.已知，，，(为自然对数的底数)，则（）A. B. C. D.【答案】B4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（）A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【答案】D5.在等差数列中，，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（）A. 3B.C. 4D.【答案】A7.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，，且的最小值为，则等于（）A. B. 5 C. D. 4【答案】C8.已知，则的值为A. B. C. D.【答案】B9..一个空间几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为( ）A. B. C. D.【答案】B10.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D11.在斜中，设角，，的对边分别为，，，已知，若是角的角平分线，且，则（）A. B. C. D.【答案】B12.（原创，中等）已知函数，若且满足，则的取值范围是（ )A. B. C. D.【答案】A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．【答案】14.已知，满足约束条件，若的最大值为，则__________．【答案】15.已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则__________．【答案】16.已知双曲线C：（a＞0，b＞0），圆M：．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最小值时，C的实轴长为________．【答案】4三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，∴．又，∴，∴．∴∴【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.等边三角形的边长为6，为三角形的重心，过点且与平行，将沿直线折起，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2)【解析】 【分析】由已知条件证得平面，，得证运用等体积法求出点到平面的距离 【详解】(1)因为为三角形的重心，所以，因为，所以， 因为平面平面,平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以, 因为为三角形的重心，所以， 因为平面,所以平面； (2)等边三角形的边长为，为三角形的重心，由可知，同理即解得【点睛】本题主要考查的是线面垂直的判断与求点到平面的距离，解题的关键在于等体积法的运用，在证明线面垂直时注意折叠后的面面垂直性质运用19.为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数与每棵作物的产量之间的关系进行了研究，收集了块试验田的数据，得到下表：技术人员选择模型作为与的回归方程类型，令，相关统计量的值如下表：由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程中的，求关于的回归方程；（3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数为何值时，单位面积的总产量的预报值最大？（计算结果精确到）附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据残差图发现10号与其它编号的数据差异明显，故可疑数据的编号为10；（2）先去掉10号的数据，然后分别求出与，即可得到关于的线性回归方程，进而得到关于的回归方程；（3）先求出的表达式，然后利用基本不等式可以求出最大值。

【详解】（1）可疑数据为第组（2）剔除数据后，在剩余的组数据中，，所以，所以关于的线性回归方程为则关于的回归方程为（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值当且仅当时，等号成立，此时，即当时，单位面积的总产量的预报值最大，最大值是.【点睛】本题考查了线性回归方程的知识，考查了基本不等式求最值，属于中档题。

20.已知椭圆:过点和点.（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点,,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】试题分析：由已知求得，把点的坐标代入椭圆方程求得的值，进而得到椭圆的方程；假设存在实数满足题设，联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于求得的范围，再由根与系数的关系求得的中点的坐标，进一步求得，结合，可得，由斜率的关系列式求得的值，检验即可得到结论解析：（Ⅰ）椭圆:过点和点,所以,由,解得,所以椭圆:;（Ⅱ）假设存在实数满足题设,由,得,因为直线与椭圆有两个交点,所以,即,设的中点为,分别为点的横坐标,则,从而,所以,因为,所以,所以,而,所以,即,与矛盾,因此,不存在这样的实数,使得.点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，在解题过程中设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用中点坐标求出中点坐标，利用垂直列出方程来求解参量的值，本题的关键在于运用垂直求解，较为基础。

21.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在零点，证明：.【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）.【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调区间；（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证【详解】（1）解：函数的定义域为，因为，所以．所以当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数．所以在上是增函数，在上是减函数．（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解．令，则．设函数，所以在上单调递增．又，所以在上存在唯一的零点．故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以，因为在上有解，所以，即．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式成立，考查了利用导数研究函数的零点问题，涉及了求函数导数，函数零点存在性定理的应用等知识；从哪里入手，怎样构造，如何构造适当的函数，是解决此类问题的关键一步.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线，的公共点为.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）若点分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求四边形的面积.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程，将曲线C2化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由C1方程可知曲线是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线AB 上，进一步求出直线CD（即直线C1C2）的方程，再求出O到直线CD的距离，则四边形ACBD的面积可求．【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线C1的普通方程C1：x2+y2﹣2y=0． (1)将曲线C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得x2+y2﹣4x=0． (2)由（1）﹣（2）化简得y=2x，即为直线AB的方程，故直线AB的斜率为2；（Ⅱ）由C1：x2+y2﹣2y=0知曲线C1是以C1（0，1）为圆心，半径为1的圆，由C2：x2+y2﹣4x=0知曲线C2：是以C2（2，0）为圆心，半径为2的圆．∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，∴当|CD|取最大值时，圆心C1，C2在直线CD上，∴直线CD（即直线C1C2）的方程为：2x+y=2．∵O到直线CD的距离为，即|AB|=又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+，∴四边形ACBD的面积．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．23.设的最小值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析:（Ⅰ）根据绝对值定义将函数化为三段，分别求出各段上的最小值，最后取三个最小值的最小值，作为的值；（Ⅱ）根据条件可得所求式子中两个分母的和为定值4，利用1的代换方法，将式子转化：，最后根据基本不等式求最值.试题解析:解：（Ⅰ）当时，当时，当时，当时，取得最小值（Ⅱ）由题意知当且仅当时，即等号成立，的最小值为.。