第6章梯度校正参数辩识方法 [1]...

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确定性过程
0
过程
h( k )
置
y (k )
T h ( t ) h ( t ), h ( t ), , h ( t ) 1 2 N T 1 , 2 , , N
6
若过程参数的真值记作 0
则
y(t ) h (t )0
T
在离散时间点可写成
30
第二类问题 测量噪声w(k)中有一部分分量与h(k)是相关 的。
动态环节
h (( k )) h k
wd ( k ) wd ( k ) w (k ) wmm (k )
r ( kr )( k )
s (k )s (k )
+ +
系统参数
xx (k )) (k x x( (k k) )
y (( k )) y k
或者
R(k )
cI h(k )
2
20
最佳权矩阵的选择（Lyapunov最佳权矩阵）
R (k )

1
2 ( k ) h i i (k ) i 1 N
diag[1 (k ), 2 (k ), , N (k )]
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注意 权矩阵 R ( k ) 的作用是控制各输入分量对参数估 计的影响程度； ~ ~ θ 若 θ(k )与 h(k ) 正交，或k大于一定的值后 (k )与 h(k )正交，则得不到全局稳定性，即 k 时， ~ θ(k ) 不趋于零。


则
x ( k ) h( k ) s ( k ) z ( k ) h (k ) w(k )
27
现在的问题
利用输入输出数据 x(k ) 和 z (k ) 确定参数
在 k 时刻的估计值 (k )
1 2 J ( ) | ( , k ) | min (k ) (k ) 2
8
现在的问题
如何利用输入输出数据 h(k ) 和 y (k )

确定参数
在 k 时刻的估计值 (k )
1 2 J ( ) | ( , k ) | min (k ) (k ) 2
使准则函数
式中
( , k ) y (k ) h (k )
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解决上述问题的方法
~ （a） V [ θ(k ), k ] 0
~ （b） V [ θ(k ), k ] 0
~ （c）当 θ (k )
~ ，对于所有的 θ (k ) 0
；
；
~ ，对于所有的 θ (k ) 0
~ ~ ~ （d）V[ θ, k ] θ(k 1), k 1] V [ θ(k ), k ] 0 ˆ V[
z (k ) y (k ) w(k ) xi (k ) hi (k ) si (k ),
i 1,2,, N
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其中

w(k ) 和 si (k ) 为零均值的不相关随机噪声
2 si , i j E{si (k ) s j (k )} 0, i j
[ y (k ) h (k ) (k )]h(k )



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式可写成
(k 1) (k ) R(k )h(k )[ y(k ) h (k ) (k )]
- 确定性问题的梯度校正参数估计递推公式





其中权矩阵的选择至关重要，它的作用是用来控制 各输入分量对参数估计值的影响程度。
可以是梯度校正法，通俗地说最速下降法
J ( ) 沿着 的负梯度方向不断修正 ( k ) 值
直至 J ( ) 达到最小值
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梯度校正参数辨识方法的参数估计递推形式可 以由下式给出
(k 1) (k ) R(k ) grad [ J ( )] |



(k )


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权矩阵R (k ) 的作用是用来控制各输入分量 对参数估计的影响程度的，一般地，我们 选择权矩阵的形式为 只要适当选择 (k ) ，就能控制各输入分量 对参数估计值的影响。例如，如果选择 i (k ) i ,0 1; i 1,2,, N 意味着输入分量 hi 1 (k ) 对参数估计值的影 响较 hi (k )弱，显然这种情况 hN (k )对参数估 计值的影响最小。如果选择
.
第6 章 梯度校正参数辩识方法
1
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
引言 确定性问题的梯度校正参数辨识方法 随机性问题的梯度校正参数辨识方法 状态方程的参数辨识 差分方程的参数辨识 随机逼近法
2
6.1 引言
最小二乘类参数辩识递推算法
新的参数估计值=老的参数估计值+增益矩阵× 新息 梯度校正参数辨识的递归算法的结构如同上式，但其基本 思想与最小二乘类算法不同，它是通过沿着如下准则函数 的负梯度方向，逐步修正模型参数估计值，直至准则函数 达到最小： 1 2 J( θ) ˆ ( θ, k ) ˆ min θ( k ) θ ( k ) 2
y(k ) hT (k )0
其中
h(k ) h1 (k ), h2 (k ), , hN (k )
T
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例如
用差分方程描述的确定性过程
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b1u(k 1) bnu(k n)
可以化成
h ( k ) y ( k 1 ), , y ( k n ), u ( k 1 ), , u ( k n ) a , a , , a , b , b , , b 1 2 n 1 2 n
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证明思路 ~ ˆ(k ) 根据定义，参数估计值的偏差为θ (k ) θ0 θ 可得
~ ~ (k 1) [I R (k )h(k )h (k )] (k )
设标量函数
V [ (k ), k ] m (k )
i 1
~
N
i (k )
i (k )
~2
可以证明V是上述动态方程的Lyapunov 函数，利用 Lyapunov稳定性定理可以证明，当条件（2）、（3） ~ θ 成立时，上述方程在平衡状态 (k ) 0 点上是大范围一 致渐近稳定的。
22
6.3 随机性问题的梯度校正参数辩识方法

随机性问题的提法

确定性问题的梯度校正法与其他辩识方法相比

最大的优点：计算简单
缺点：如果过程的输入输出含有噪声，这种方法不能用


随机性问题的梯度校正法

特点：计算简单，可用于在线实时辩识 缺陷：事先必须知道噪声的一阶矩和二阶矩统计特性

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随机性问题
（1）E{h (k ) w(k )} 0 ；即 h (k )与 w(k )相互独立，
常数矩阵，不必已知；
（3）输入向量的测量噪声 s(k )是零均值，协方差 为 s 的不相关离散随机向量，且与 h(k )和 w(k ) 是统计独立的。即
E{s (k )} 0 E{s (k )s (k )} diag{ s21 , s22 ,, s2N } ˆ s E{s (k ) w(k )} 0 E{h (k )s (k )} 0 (已知)
R (k ) - N 维的对称阵，称作加权阵

grad[ J ( )] - 准则函数 J ( ) 关于 的梯度

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当准则函数 J ( ) 取
式时
d 1 2 grad[ J ( )] | ( , k ) (k ) d 2 (k )
( (k ), k )h(k )

θ 代表模型输出与系统输出的偏 其中 (k ) y(k ) h T (k ) 差。
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本章主要讨论的问题： 确定性问题的梯度校正参数辨识方法； 随机性问题的梯度校正参数辨识方法； 梯度校正参数辨识方法在动态过程辨识 中的应用； 随机逼近法。
4
6.2 确定性问题的梯度校正参数辩识方法
~ 时，有 V [ θ(k ), k ] ；
~ 所有的 θ(k ) 0
定满足。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，对
。
由定理给定的条件可知（a）、（b）和（c）一
权矩阵的选择
一般的选择
c R(k ) N diag[1 (k ), 2 (k ),, N (k )] 2 ( k ) h i i (k ) i 1 0 c 2

使准则函数
其中
( , k ) z(k ) x (k )
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随机性辨识问题的分类 第一类随机性辨识问题 要求测量噪声w(k)是统计独立的
w( k )
h( k ) h( k )
y( (k k) ) y
s(k )
+ s(k ) +
系统参数
x () k) x( k x(k )
+ +
w( k )
ˆ ˆ ˆ(k )] θ(k 1) θ(k ) R (k )h(k )[ y(k ) h (k ) θ
并且权矩阵选取如下形式：
R (k ) c(k )diag[1 (k ), 2 (k ), , N (k )]
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如果R (k)满足如下条件： (i 1,2,, N ) （1） 0 L i (k ) H （2）N个i (k ) 中至少存在一个 m (k ) ，使得
i
R(k ) c(k )diag[1 (k ), 2 (k ), , N (k )]