人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
式(或因数)的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用
a2 = ，
把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
又∵
表示ab算术平方根，
∴
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
.
知识讲解
归纳总结
二次根式的乘法法则:
⋅ = ⋅ ≥ 0, ≥ 0 .
在本章中，如果没
有特别说明，所有的
字母都表示正数．
根指数
被开方数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
（3）3 2 × 2 10 × 5 = 6 2 × 10 × 5=6×10=60.
（4）因为 > 0， > 0,
所以
=
1

3
⋅ 62
1
⋅ 62 =
3
23 2 =
2 2 ⋅ 2 = 2.
随堂训练
6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a、b.
已知 = 8， = 12，求S.
3
3
2 × 3 × 5 = ( 2 × 3) × 5 = 6 × 5 = 30.
归纳：(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法
法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，
即
a b k a b k （a .0, b 0, k 0)
知识讲解
问题
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根
号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0, b 0
知识讲解
例3
比较大小(一题多解):
1 2 5与3 3；
解：(1)方法1：
∵ 2 5= 22 × 5= 20 ， 3 3= 32 × 3= 27 ，
且20＜27， ∴ 20＜ 27，即 2 5＜3 3 .
方法2：
∵ 2 5＞0,3 3＞0,
2
2 5 =22 ×
2
2
5 =20， 3 3 =32 ×
2
2
且20＜27， 2 5 ＜ 3 3 ，2 5＜3 3.
2
3 =27，
知识讲解
(2) − 2 13与 − 3 6.
解：(2) −2 13= − 22 × 13= − 52 ，
大.也可以采用平方法.
知识讲解
练一练
1.计算 ： 2 × 8 的结果是 ( B )
A. 10
B.4
2.下面计算结果正确的是
C. 7
D.2
(D )
A. 4 5 × 2 5 = 8 5
B. 5 3 × 4 2 = 20 5
C. 4 3 × 3 2 = 7 5
D. 5 3 × 4 7 = 20 21
3.计算： 6 × 15 × 10 = ____.
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
新课导入
问题引入
站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，
它们近似地符合公式为 = 8
ℎ
5
.
ℎ
5
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 =
20 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
解：1 = 8 20 = 16 5 m .
解：S = ab = 8 × 12
＝ 8 × 12
＝
4
＝4 6.
2
×2×3
随堂训练
7.已知
7 = , 70 = , 试着用a、b表示
解： ∵ 7 = , 70 = ,
7 × 70 = 490 = 4.9 × 100
= 4.9 × 100 = 10 4.9，
∴ = 10 4.9,
1
∴ 4.9 =
系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第
一宇宙速度v1.
第一宇宙速度v1可以表示为 .
新课导入
问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要
的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= 2v1，请结合问题1
用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.
第二宇宙速度v2可以表示为 2 · .
(2) 3 + 6 2 + 9 2 ≥ 0, ≥ 0
解：（1） 532 − 282 =
53 − 28)(53 + 28
= 53 − 28 × 53 + 28 = 25 × 81 = 45.
（2） 3 + 6 2 + 9 2 =
+ 3
2
= ( + 3) .
归纳：当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或
完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.
知识讲解
例5 计算： (1) 14 × 7; (2) 3 5 × 2; (3) 3 ×
解：（1） 14 × 7= 14 × 7= 72 × 2=7 2;
（2）3 5 × 2 10=6 5 × 10=30 2;
第 十六章 二次根式
二次根式的乘除
（第1课时）
学习目标
1
理解二次根式的乘法法则.（重点）
2
会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根
的性质进行简单运算.（难点）
新课导入
问题引入
问题1
运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速
度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入
环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关
30
知识讲解
2 积的算术平方根的性质
一般地，
⋅ = （a≥0，b≥0）
反过来：
= ⋅ （a≥0，b≥0）
这个性质常称为“积的算术
平方根的性质”
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根
的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
知识讲解
例4
化简：
（1） 16 × 81；（2） 42 3 （ ≥ 0， ≥ 0）．
思考 若已知地球半径R≈ 6371 km及重力加速度≈10m/s2，
要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
知识讲解
1 二次根式的乘法
计算下列各式:
(1) 4
6
2
3
× 9 =___×___=___;
4
(2) 16 × 25 = ___×___=____;
5 20
5
30
(3) 25 × 36= ___×___=____;
知识讲解
练一练
1. 计算： （1）
−144 × −169 ；
1
4
（2）
（1）
解：
2 ⋅ 83 .
提示：
= ⋅
中，a、b必须
是非负数.
−144 × −169 ；
＝ 144 × 169＝ 144 × 169＝12 × 13＝156；
1
（2）
4
2 ⋅
83 ＝
1
4
2 ⋅
83
1
1
4
1
（4） ⋅ 62 （ > 0， > 0）.
3
随堂训练
5.解：（1）2 3 × 5 21
= 2 × 5 × 3 × 21 = 10 32 × 7 = 30 7.
18
（2）3 3 × (−
)
4
1
=3× −
× 3 × 18
4
3
3
9
2
=− × 3 ×6 =− ×3× 6 =−
6.
4
4
4
随堂训练
第 十六章 二次根式
二次根式的乘除
（第2课时）
学习目标
1
理解二次根式的除法法则.（重点）
2
会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.（难点）
新课导入
知识回顾
二次根式的乘法法则:
一般地，二次根式的乘法法则是
⋅ = ⋅ ≥ 0, ≥ 0 .
注意：a，b都必须是非负数.
被开方数
−3 6= − 32 × 6= − 54 .
∵52＜54，∴
∴
52＜ 54 ，
两个负数比
较大小，绝
.
对值大的反
而小
− 52＞ − 54 ， 即−2 13＞ − 3 6.
归纳：比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方
数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方
数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也
观察两者有什么关系？
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
36 = 25 36.
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
你能证明这个猜
测吗？
猜测：
⋅ = ⋅ ≥ 0, ≥ 0 .
知识讲解
求证：
a
a b a 0, b 0 .
b
证明：根据积的乘方法则，有
⋅
2
=

2
⋅

2
= .
⋅ 就是ab算术平方根.
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
知识讲解
1 二次根式的除法
计算下列各式:
(1)
(2)
(3)
4
9
16
25
36
49
2
2
3
3
___÷___=____;
4
9
=
2
3
_____;
4

5
5
4
___÷___=____;
4
16
= _____;
5
25
6
6 7

___÷___=____;
7
6
36
7
49 = _____.
解：（1） 16 × 81 = 16 × 81
＝4×9＝36；
（2） 42 3 = 4 ⋅ 2 ⋅ 3
=2 ⋅ ⋅ 2 ⋅
=2 .
(2)中4a2b3含有像4，a2，
b2，这样开的尽方的因
数或因式，把它们开方
后移到根号外.
知识讲解
练一练
化简：(1) 532 − 282 ;
也可以说成：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a，b都必须是非负数.
知识讲解
典例讲解
例1
计算: (1) 3 × 5;
1
(2)
× 27;
3
解：(1) 3 × 5 = 15;
1
× 27 = 9 = 3；

(3) 2 × 3 × 5.
可先用乘法结合
律，再运用二次根式
的乘法法则
2
1
× 27 =
新课导入
ℎ
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 5 = 40
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：2 = 8 40 = 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水
平线的距离是原来的多少倍？

解： 2
1
=
16 10
.
16 5
二次根式的除法该
怎样算呢？
2
2
归纳:当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式
的法则计算，即 · =
≥ 0, ≥ 0 .
知识讲解
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
a
b
c
n
abc n a 0, b 0, c 0, , n 0
例2
你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算3a2·2a3= 6a5 .
计算:（1）2 3 × 3 7； （2）4 27 × −
解: （1）2 3 × 3 7 = 2 × 3
提示：可类比
上面的计算哦
1
3 .
8
3 × 7 =6 21.
1
1
（2）4 27 × −
3 = 4× −
8
8
1
9
27 × 3 = − × 9 = − .
2.下列运算正确的是
A. 2 18 3 5 6 80
B.
52 32
52
C.
(4) (16)
D.
52 32
32 5 3 2
4
16 (2) (4) 8
52 32 5 3 15
随堂训练
3. 计算：
3 5；
（1） 3 × 15 = ______