2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一上学期期末联考数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高一
上学期期末联考数学试题
一、单选题 1．满足条件∪{1}={1，2，3}的集合
的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，根据集合的运算可知，当集合中，只有两个元素时，此时
；当集合中，只有三个元素时，此时
,所以集合的个数为两
个，故选B ．
【考点】集合的并集．
2．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项. 【详解】
因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，则tan 0α<，cos 0α<， 所以sin tan cos 0ααα=>， 则可知角α的终边在第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下： 第一象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x >>>； 第二象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x ><<； 第三象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <<>； 第四象限：sin 0,cos 0,tan 0x x x <><. 3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
1
x y x -=-与1y x =+
B ．1y =与0y x =
C ．1y =
与1y x =-
D ．y x =与log (01)x
a y a a a =>≠且
【答案】D 【解析】【详解】 A 中两函数定义域不同； B 中两函数定义域不同； C 中两函数对应关系不同；
D 中两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数， 故选D.
4．若点(),P x y 是330o 角终边上异于原点的任意一点，则y
x
的值是（ ）
A B ．
C ．3-
D ．
3
【答案】C
【解析】利用三角函数的定义以及诱导公式可求出y
x
的值. 【详解】
由三角函数的定义可得()tan 330tan 36030tan 303
y x ==-=-=-
o o o o 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5．函数lg 1
x y -=的定义域是（ ） A ．(]
1,2 B ．()1,2
C ．()2,+∞
D ．(),2-∞
【答案】B
【解析】根据对数真数大于零、偶次根式被开方数非负、分母不为零列不等式组解出x 的取值范围，即可得出该函数的定义域. 【详解】
由题意可得10
20
x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，因此，函数lg 1x y -=的定义域是()1,2.
故选：B. 【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉几条常见的求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.
6．下列函数中，周期为π，且在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减的是（ ）
A ．sin 3y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．1cos
2
y x = C ．sin 2y x = D ．cos 2y x =
【答案】D
【解析】求出各选项中函数的周期，并判断出各选项中函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性，可出得出结论. 【详解】
对于A 选项，函数sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为2π，当02
x π
≤≤
时，
53
3
6x π
π
π≤+
≤
，该函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不单调； 对于B 选项，函数1cos
2y x =的最小正周期为4π，当02
x π≤≤时，1024x π
≤≤，
该函数在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减；
对于C 选项，函数sin 2y x =的最小正周期为π，当02
x π
≤≤
时，02x ≤≤π，
该函数在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不单调； 对于C 选项，函数cos 2y x =的最小正周期为π，当02
x π
≤≤
时，02x ≤≤π，
该函数在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减. 故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数周期的求解，以及在某区间上单调性的判断，解题时要充分利用正弦函数或余弦函数的基本性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题. 7．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2
【答案】B
【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B
8．若θ是ABC ∆的一个内角，且1
sin θcos θ8
=-，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3- B ．
3 C ．52
-
D ．
5 【答案】D
【解析】试题分析：θ是ABC ∆的一个内角,
，又
，所以有
，故
本题的正确选项为D.
【考点】三角函数诱导公式的运用.
9．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1
C ．－1
D ．－3
【答案】D 【解析】【详解】
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1
∴f （1）=2+2-1=3．
∴f （-1）=-f （1）=-3． 故选D ．
10．若3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【答案】D
【解析】利用对数的运算性质以及换底公式，结合对数函数的单调性可得出a 、b 、c 三个数的大小关系. 【详解】
()333log 6log 321log 2a ==⨯=+Q ，同理51log 2b =+，71log 2c =+，
lg7lg5lg30>>>Q ，lg 20>，lg 2lg 2lg 2
lg 3lg 5lg 7
∴
>>，即357log 2log 2log 2>>， 因此，a b c >>. 故选：D. 【点睛】
本题考查对数的大小比较，涉及对数的运算性质、对数函数的单调性，考查推理能力，属于中等题.
11．把函数y ＝sin(x ＋
π
6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)，再将图象向右平移π
3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π
4
C ．x ＝π
8 D ．x ＝π4
【答案】A
【解析】把函数y ＝sin(x ＋
π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π
3个单位长度得
πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π
2
，选A.
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数
sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π
π+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数
cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π
π+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数
cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.
12．已知关于x 不等式0ax b +>的解集为(),1-∞，则不等式02
ax b
x ->-的解集为（ ）
A ．{}
12x x -<< B ．{
1x x <-或}2x > C ．{}12x x << D ．{
2x x >或}1x <
【答案】A
【解析】由题意可得知关于x 的方程0ax b +=的根为1，且有0a <，从而可将不等式化为
1
02
x x +<-，解此不等式即可. 【详解】
由题意可得知关于x 的方程0ax b +=的根为1，则0a b +=，得=-b a ，且有0a <， 不等式
02ax b x ->-即为02ax a x +>-，即1
02
x x +<-，解得12x -<<. 因此，不等式02
ax b
x ->-的解集为{}12x x -<<. 故选：A. 【点睛】
本题考查分式不等式的解法，同时也考查了利用一次不等式的解求参数，考查运算求解能力，属于中等题.
二、填空题
13．如果幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，那么()16f =___________. 【答案】
14
【解析】设()a
f x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
的坐标代入函数()y f x =的解析式，可求出a 的值，从而可得出函数()y f x =的解析式，由此可计算出()16f 的值. 【详解】
设()a
f x x =，由题意可得()1
442a
f ==
，即2122a -=，21a ∴=-，得12
a =-， ()12
f x x -
∴=，因此，()()
11212
2
11616
444
f -
--====
. 故答案为：14
. 【点睛】
本题考查幂函数求函数值，在涉及幂函数的问题时，一般通过待定系数法求出幂函数的解析式，考查计算能力，属于基础题.
14．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝2ab a b ++ ，则不等式x ⊙2x -（）
0< 的解集是____________． 【答案】{}|21x x -<<
【解析】由定义可知，原不等式可化为(2)220x x x x -++-<，解不等式即得解. 【详解】
由定义可知，原不等式可化为(2)220x x x x -++-<，解之得21x -<<. 故答案为：{}|21x x -<< 【点睛】
本题主要考查新定义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
15．设()2
1f x ax bx =++是定义在[]
1,2a -上的偶函数，则()f x 的值域是_______．
【答案】[]3,1-
【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出实数a 的值，再利用二次函数图象的对称轴为y 轴求出b 的值，最后利用二次函数的基本性质可求出该函数的值域. 【详解】
由于函数()2
1f x ax bx =++是定义在[]
1,2a -上的偶函数，则12a -=-，解得
1a =-，
且该二次函数图象的对称轴为y 轴，则02b
a
-
=，得0b =， ()21f x x ∴=-+，[]2,2x ∈-.
可知，二次函数()y f x =的单调递增区间为[]2,0-，单调递减区间为[]0,2，
所以，()()max 01f x f ==，()()()min 223f x f f =-==-. 因此，函数()y f x =的值域为[]3,1-. 故答案为：[]3,1-. 【点睛】
本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了二次函数值域的求解，解题时不要忽略了偶函数定义域关于原点对称这一条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 16．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 【答案】①③
【解析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区
间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，
且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当
2
x π
π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数
()y f x =在,2
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，命题②错误；
对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f
f f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.
因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.
三、解答题
17．已知α
是第三象限的角，且cos 10
α=-
. （1）求tan α的值；
（2）化简并求
()
()cos 2sin sin 2παπαα-⎛⎫-++ ⎪
⎝⎭
的值．
【答案】（1）3；（2）
15
. 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求出tan α的值；
（2）先利用诱导公式将代数式
()
()cos 2sin sin 2παπαα-⎛⎫-++ ⎪
⎝⎭
化简，然后在分式的分子和分
母中同时除以cos α，代入tan α的值，即可求出所求代数式的值. 【详解】
（1）由题意得，α
是第三象限的角，sin α∴==， sin tan 3cos α
αα
∴=
=； （2）原式cos cos 111
2sin cos 2sin cos 2tan 12315
ααααααα-=
====-+--⨯-. 【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，同时也考查了诱导公式以及弦化切思想求值，考查计算能力，属于基础题.
18．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}
123B x m x m =+≤≤+. （1）当1m =时，求A B I ；
（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）{}2A B ⋂=；（2）12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
，
. 【解析】（1）将1m =代入集合B ，可得出集合B ，然后利用交集的定义可求出集合
A B I ；
（2）由A B A ⋃=，可得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，根据B A ⊆列出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】
（1）当1m =时，{}
25B x x =≤≤，{}
12A x x =-≤≤Q ，因此，{}2A B ⋂=； （2）A B A ⋃=B A ⇔⊆.
①当B =∅时符合题意，此时123m m +>+，即2m <-；
②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则1232
11122223212m m m m m m m m ⎧
⎪+≤+≥-⎧⎪⎪
+≥-⇒≥-⇒-≤≤-⎨⎨⎪⎪+≤⎩⎪≤-
⎩
.
综上所述，当A B A ⋃=时，实数m 的取值范围是1,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦. 【点睛】
本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，解题的关键就是对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19．已知函数()22sin 23f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，将()f x 的图象向右平移6
π
个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象． （1）求()g x 的单调增区间； （2）当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域． 【答案】（1）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）[]0,1.
【解析】（1）利用图象变换规律求出函数()y g x =的解析式，即为
()2sin 213g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，然后解不等式()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即
可得出函数()y g x =的单调递增区间； （2）由0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，可求出23x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出函数
()y g x =的值域.
【详解】
（1）将函数()22sin 23f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭的图象向右平移6
π
个单位，得到函数22sin 22sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象， 再将所得函数图象向下平移1个单位，得到函数()2sin 213g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭的图象，
()2sin 213g x x π⎛
⎫∴=+- ⎪⎝
⎭.
令()222232k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
解得()51212
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈， 因此，函数()y g x =的单调增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
； （2）04
x π
≤≤
Q ，可得出
523
3
6x π
π
π≤+
≤
，1sin 2123x π⎛
⎫∴≤+≤ ⎪⎝
⎭.
()01g x ∴≤≤，因此，函数()y g x =在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上的值域为[]0,1.
【点睛】
本题考查利用三角函数的图象变换求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的单调区间以及值域的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点
()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当
注意力指数大于62时，学习效果最佳．
（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；
（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）()()(](]21
10800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析
【解析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.
（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】
（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()2
1080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则
()()2
110802
f x x =-
-+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50，
得1278
4050k b k b +=⎧⎨
+=⎩
，即90y x =-+，则函数关系式为
()()(](]21
1080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪
=⎨⎪-+∈⎩
.
（Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()2
11080622
x -
-+>或(]12,40x ∈，9062x -+>. 得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
【点睛】
本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 21．如图为函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R π
ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
∈ ⎪⎝
⎭
的部分图象．
（1）求函数解析式；
（2）若方程()f x m =在,02
p
轾-犏犏臌上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围． 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；（2）(
2,3m ∈-- 【解析】（1）根据图象得到关于,,A ωϕ的方程，解方程即得解；（2）先作出函数
()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在,02
p 轾-犏犏臌上的图象，数形结合分析即得解.
【详解】
（1）由题中的图象知，2A =，43124
T πππ
=-=， 即T π=，所以22T
π
ω=
=， 根据五点作图法，令2212
2
k π
π
ϕπ⨯+=
+，k Z ∈，
得到23
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，∵2
π
ϕ<
，∴3
π
ϕ=
，
∴解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
；
（2）由()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭在,02
p
轾-犏犏臌上的图象如图所示：
当02
x p -
＃，则22333x πππ
-≤+≤， 当2x π=-
时，3y =-512
x π
=-时，2y =-. 所以当方程()f x m =在,02
p
轾-犏犏臌上有两个不相等的实数根时， 观察函数的图象可知，(
2,3m ∈--上有两个不同的实根. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．已知函数()22
x
x a
g x =-
是奇函数． （1）求a 的值；
（2）判断并证明函数()g x 的单调性；
（3）若对任意的[)0,t ∈+∞，不等式()()
2
2
220g t t g t k -+->恒成立，求实数k 的
取值范围．
【答案】（1）1a =；（2）增函数，证明见解析；（3）13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
，
.
【解析】（1）由奇函数的定义()()g x g x -=-，化简变形得出()11202x
x
a ⎛
⎫
-+
= ⎪⎝
⎭
对任意的x ∈R 恒成立，由此可求出实数a 的值；
（2）任取12x x <，作差()()12g x g x -，因式分解后判断()()12g x g x -的符号，得出()1g x 和()2g x 的大小关系，即可证明出函数()y g x =的单调性； （3）由(
)(
)
2
2
220g t t g t k -+->得出(
)(
)2
2
22g t t g k t
->-，利用函数()
y g x =的单调性得出2222t t k t ->-，则232k t t <-对[)0,t ∈+∞恒成立，求出函数
232y t t =-在区间[)0,+∞上的最小值，即可得出实数k 的取值范围.
【详解】
（1）函数()y g x =是奇函数，又x ∈R ，
()()g x g x ∴-=-，即1222222
x x
x x x x a a a ---
=-⋅=-， 整理得()11202x
x a a -+-⋅=，即()11202x x a ⎛⎫
-+= ⎪⎝
⎭
对任意的x ∈R 恒成立， 10a ∴-=，解得1a =；
（2）()1
22x
x
g x =-
是R 上的增函数，理由如下： 在R 上任取12x x <，
()()()()12
1212
12
1
2
2112
121111222222=2222222x
x x x x x x x x x x x x x g x g x +-⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1212
12212
x x x x +⎛
⎫
=-+ ⎪⎝⎭
， ()()()()121212120220x x x x g x g x g x g x <⇒<<⇒-<⇒<.
()1
22
x x g x ∴=-
是R 上的增函数； （3）()()
2
2
220g t t g t k -+->Q ，且函数()y g x =是奇函数，
所以(
)(
)(
)2
2
2
222g t t g t k g k t
->--=-，
Q 函数()y g x =是R 上的增函数，2222t t k t ∴->-，
232k t t ∴<-对[)0,t ∈+∞恒成立，()
2
min
32k t t
∴<- ，
2
211
132333
3t t t ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，
因此，实数k 的取值范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查利用奇偶性求参数，同时也考查了利用定义证明函数的单调性，以及利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。