二项式定理(通项公式)

⑶ a o+a2+a4+a6=f(1) f(-1)
2 二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
(a b)n二C：a n Caf1"「C：b n,
以上展开式共n+1项，其中c k叫做二项式系数，T k d-C k a n J"b k叫做二项展开式的通项•
(请同学完成下列二项展开式)
(a-b)n =C：a n-叭叫1+||片(-1)k C n k a n±b k+"|+(-1)n C：b n，T“ = (-1)k C：a n」b k
(i+x)n=c：+c n x+in+c：x k+“i+c n x n①
(2x+1)n=C：(2x)n+C；(2x)n r |||+C：(2x)n」+H|C n」(2x)+1
二a n X n• a n」x nJ Jll a n±x nA■ Hla1x - a。

① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到c° ■ c n JU Cn =2n，即二项式系数和等于2n；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即C：+ C；+111 = C：+ C； +| 11 = 2心
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
(1 )对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：二C：」.
1 2 1
13 3】(2)二项式系数C：增减性与最大值：；
1 10 10 5 1
, , 1 (5 15 20 15 ^_?1 n+1 n+1 ■■ i-t i吗壮■
当k 时，二项式系数是递增的；当k 时，二项式系数是递减的. 1
2 2 .................................................................................................................... ..... ….. ...... ....
n n V n T
当n是偶数时，中间一项C n2取得最大值.当n是奇数时，中间两项C n2和C n2相等，且同
时取得最大值.
3. 二项展开式的系数a o, a1, ............................ a2, a s,…,a n 的性质：f( x)= a o+a1X+a2X2+a3X3+a n x n
(1) 80+81 + 82+33 ....... +a n=f(1)
⑵ a。

-a1+a2-a3 ........... +(-1) a n=f(-1)
f (1) _ f (T)
⑷ a1+a3+a5+a7 ............. =
2
例2.已知在 （3 x -
6项为常数项
经典例题
1、“（a b ）n
展开式:
）4的展开式;
【练习1】求（3应一丄）"的展开式
Jx
2. 求展开式中的项
1
3
）n
的展开式中，第 2^x
（1） 求n ； （ 2）求含x 2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项
.求:
【练习2】若展开式中前三项系数成等差数列
（1）展开式中含X的一次幕的项；（2）展开式中所有X的有理项.
3. 二项展开式中的系数
例3.已知（诙十x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大1
992,求（2x ）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项x
［练习3］已知^x-22）n（ n，N*）的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10:
x
1.
3
（1）求展开式中含x2的项；（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项
4、求两个二项式乘积的展开式指定幕的系数
例4. （x2•1）（X-2）7的展开式中，X3项的系数是
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幕的系数
例5 （04安徽改编）（x - _2）3的展开式中,
X
6、求中间项
例6求（J X_*）10的展开式的中间项;
例7（V7 的展开式中有理项共有
项;
VX
例9求（、.X
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（ 00上海）在二项式（X-1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 _________ ；
（2） —般的系数最大或最小问题
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（x-y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 _____________ ；
9、利用“赋值法”及二项式性质 3求部分项系数，二项式系数和
例
11 •若(2x • 3)
=a ° a 1X a ?x 2 - a s X 3 a 4X 4 , 贝U (a ° - a 2 a 。

)2 -(a ’ a 3)2 的值
为
■ Air 匸_r ‘ . I」•. . —. 2004 2 _ _ _ - 2004
【练习1】右(1 —2x) =a0亠a’x亠a2x亠…亠2004x ,
贝V (a°- aj - (a°- a?)-…-(a°- a2004)-
【练习2】设(2x -IT 二a6x6a5x5... - a’x • a。

,则a0| -间| “|a2| - …•a6= ______
A
【练习3】（x2-一）9展开式中x9的系数是______________
2x。