历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编(附答案)

历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(导数及其应用)汇编
【2023年真题】
1. （2023·新高考II 卷 第6题） 已知函数()ln x f x ae x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ） A. 2e
B. e
C. 1e -
D. 2e -
2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选） 已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） A. (0)0f = B. (1)0f =
C. ()f x 是偶函数
D. 0x =为()f x 的极小值点
3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选）若函数2()ln (0)b c
f x a x a x x
=++≠既有极大值也有极小值，则( ) A. 0bc >
B. 0ab >
C. 280b ac +>
D. 0ac < 4. （2023·新课标I 卷 第19题） 已知函数
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)证明：当0a >时，3()2ln a+.2
f x >
5.（2023·新高考II 卷 第22题）(1)证明：当01x <<时，2x x sinx x -<<；
(2)已知函数2()(1)f x cosax ln x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.
【2022年真题】
6.（2022·新高考I 卷 第7题）设0.10.1a e =，1
9
b =，ln 0.9
c =-，则( ) A. a b c <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. a c b <<
7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）已知函数3()1f x x x =-+，则( )
A. ()f x 有两个极值点
B. ()f x 有三个零点
C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线
8.（2022·新高考I 卷 第15题）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是__________. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）曲线ln ||y x =经过坐标原点的两条切线方程分别为__________，__________.
10.（2022·新高考I 卷 第22题）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.
(1)求a ；
(2)证明：存在y b =直线，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列.
11.（2022·新高考II 卷 第22题）已知函数().ax x f x xe e =-
(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性;
(2)当0x >时，()1f x <-，求实数a 的取值范围; (3)设*n N ∈
ln(1).n ++
>+
【2021年真题】
12.（2021·新高考I 卷 第7题）若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A. e b a <
B. e a b <
C. 0e b a <<
D. 0e a b <<
13.（2021·新高考I 卷 第15题）函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为__________. 14.（2021·新高考II 卷 第16题）已知函数
，函数()f x 的图象在点
()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
||
||
AM BN 取值范围是__________.
15.（2021·新高考I 卷 第22题）已知函数()(1ln ).f x x x =-
(1)讨论()f x 的单调性.
(2)设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11
2.e a b
<
+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题）已知函数2()(1).x f x x e ax b =--+
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.
①21,222
e a b a <>…； ②1
0,2.2
a b a <<
…
【2020年真题】
17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）已知函数1()ln ln .x f x ae x a -=-+
(1)当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若()1f x …，求a 的取值范围.
参考答案
1. （2023·新高考II 卷 第6题） 解：由题意，1
()0x
f x ae x
'=-
…对(1,2)x ∀∈恒成立， 1x a xe ∴…
，由于1
()x
g x xe =在(1,2)单调递减，
1
()(1)g x g e
∴<=，
1.a e ∴…
故答案选：.C
2.（2023·新课标I 卷 第11题）（多选）
解：选项A ，令0x y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =⨯+⨯，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =⨯+⨯，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==-，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =-⨯-+-⨯-，则(1)0f -=， 再令1y =-，则22()(1)()(1)f x f x x f -=-+-，即()()f x f x -=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =+， 而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC
3.（2023·新课标II 卷 第11题）（多选） 解：因为2()ln (0)b c
f x a x a x x
=+
+≠，所以定义域为(0,)+∞， 得23
2()ax bx c f x x
'
--=，由题意知2
20ax bx c --=有两个不相等的正解12,.x x 则
，易得0.bc <
故选.BCD
4. （2023·新课标I 卷 第19题） 解：(1)()1x f x ae '=-，
当0a =时()10f x '=-<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减， 当0a <时0x ae <，()0f x '<，()f x 在(,)-∞+∞单调递减，
当0a >时，令()0f x '=，=-ln x a ，(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减. (ln ,)x a ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增， 故当0a …时()f x 在(,)-∞+∞单调递减，
当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，在区间(ln ,)a -+∞单调递增.
(2)由(1)知当0a >时， () f x 在区间(,ln )a -∞-单调递减，
在区间(ln ,)a -+∞单调递增.故，
令
，
221
()a g a a -'=，令()0g a '=，
因为0a >，故2
a =
，
() g a 在区间(0,
2
单调递减，在区间(,)2+∞单调递增，
，即 >?
0,()?>?0a g a 时恒成立， 即min 3()2ln 2f x a >+
，即当0a >时，3
()2ln a+.2
f x > 5.（2023·新高考II 卷 第22题）
(1)证明：构造函数2()g x sinx x x =-+，
则()12g x cosx x '=-+， 令()()h x g x ='， 则()20h x sinx '=-+>，
所以()h x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0g x g '>'=，
所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即2x x sinx -<；
构造函数()G x x sinx =-，则()10G x cosx '=->，
所以()G x 在(0,1)上单调递增，则()(0)0G x G >=，即sinx x <， 综上，当01x <<时，2x x sinx x -<<；
(2)解：由210x ->，得函数()f x 的定义域为(1,1).-
又()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以只需考虑区间(0,1).
2
2()1x
f x asinax x
'=-+
-， 令()()F x f x ='，则2
2
22
22()(1)x F x a cosax x +'=-+
-， 其中，
①若
，记a <<
时，易知存在0δ>，使得(0,)x δ∈时，
，()
f x ∴'在(0,)δ上递增，()(0)0f x f ∴'>'=，
()f x ∴在(0,)δ上递增，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.
②若
，记a <或a >
存在0δ'>，使得(,)x δδ∈-''时，，
()f x ∴'在(,)δδ-''上递减，
注意到(0)0f '=，∴当0x δ-'<<时，当0x δ<<'时，
，
满足0x =是()f x 的极大值点，符合题意.
③若
，即a =时，由()f x 为偶函数，只需考虑a =
.
此时2
2())1x
f x x '=+
-，(0,1)x ∈时， 22
21
()22(1)011x f x x x x x
'>-+=->--，()f x ∴在(0,1)上递增， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾，舍去.
综上：a 的取值范围为(,).-∞⋃+∞ 6.（2022·新高考I 卷 第7题）
解：0.10.1a e =，0.1
10.1
b =
-，ln(10.1)c =--，
①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈ 则1()1011x f x x x
-'=-
=<--， 故()f x 在(0,0.1]上单调递减，
可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <； ②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-， 令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈
则1(1)(1)1
()11x x
x
x x e g x xe e x x
+--'=+-=
--， 令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->， 所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >=，即()0g x '>，
所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c > 故.c a b <<
7.（2022·新高考I 卷 第10题）（多选）
解：32()1()31f x x x f x x =-+⇒'=-，令()0f x '=得：3
x =±
，
()03f x x '>⇒<-
或3x >；()033
f x x '<⇒-<<，
所以()f x 在(,3-∞-
上单调递增，在(,)33-上单调递减，在(,)3
+∞上单调递增，
所以()f x 有两个极值点(3x =为极大值点，3
x =为极小值点)，故A 正确;
又((1103939f -
=---+=+>，(1103939
f =-+=->， 所以()f x 仅有1个零点(如图所示)，故B 错;
又3()1()()2f x x x f x f x -=-++⇒-+=，所以()f x 关于(0,1)对称，故C 正确;
对于D 选项，设切点00(,)P x y ，在P 处的切线为32
0000(1)(31)()y x x x x x --+=--， 即2300(31)21y x x x =--+，
若2y x =是其切线，则2
03
0312210x x ⎧-=⎪
⎨-+=⎪⎩
，方程组无解，所以D 错. 8.（2022·新高考I 卷 第15题）
解：(1)x y x a e '=++，设切点为00(,)x y ， 故
00
00
(1)x y x a e x =++， 即
0000
()(1).x x x a e x a e x +=++ 由题意可得，方程(1)x a x x a +=++在(,0)(0,)-∞⋃+∞上有两个不相等的实数根.
化简得，20x ax a +-=，240a a =+> ，解得4a <-或0a >，显然此时0不是根，故满足题意. 9.（2022·新高考II 卷 第15题）
解：当0x >时，点111(,ln )(0)x x x >上的切线为111
1
ln ().y x x x x -=- 若该切线经过原点，则1ln 10x -=，解得x e =， 此的切线方程为.x y e
=
当0x <时，点222(,ln())(0)x x x -<上的切线为()()222
1
ln y x x x x --=
-
若该切线经过原点，则2ln()10x --=，解得x e =-， 此时切线方程为.x y e
=-
10.（2022·新高考I 卷 第22题） 解：(1)由题知()x f x e a '=-，1()g x a x
'=-
， ①当0a …时，()0f x '>，，()0g x '<，则两函数均无最小值，不符题意; ②当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；
()g x 在1(0,a
单调递减，在1
(,)a +∞单调递增；
故min ()(ln )ln f x f a a a a ==-，min 11
()()1ln g x g a a
==-，
所以1ln 1ln a a a a -=-，即1
ln 01
a a a --
=+， 令1
()ln 1
a p a a a -=-
+，则222121()0(1)(1)a p a a a a a +'=-=>++， 则()p a 在(0,)+∞单调递增，又(1)0p =，所以 1.a =
(2)由(1)知，()x f x e x =-，()ln g x x x =-，
且()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；
()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且min min ()() 1.f x g x ==
①1b <时，此时min min ()()1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x = 共有0个交点，不符合题意；
②1b =时，此时min min ()()1f x g x b ===，
故y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； ③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点， 即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1x F x f x e '='=-， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为()0b F b e --=>，(0)10F b =-<，()20b F b e b =->，
(令()2b t b e b =-，则()20b t b e '=->，()(1)20)t b t e >=->
所以()()F x f x b =-在(,0)-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在(0,)+∞上存在且只存在1个零点，设为2.x
其次，证明y b =与曲线和()y g x =有2个交点， 即证明()()G x g x b =-有2个零点，1()()1G x g x x
'='=-， 所以()(0,1)G x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
又因为()0b b G e e --=>，(0)10G b =-<，(2)ln 20G b b b =->，
(令()ln 2b b b μ=-，则1
()10b b
μ'=-
>，()(1)1ln 20)b μμ>=-> 所以()()G x g x b =-在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为3x ，在(1,)+∞上存在且只存在1个零点，设为4.x
再次，证明存在b ，使得23:x x =
因为23()()0F x G x ==，所以2233ln x b e x x x =-=-， 若23x x =，则2222ln x e x x x -=-，即2222ln 0x e x x -+=， 所以只需证明2ln 0x e x x -+=在(0,1)上有解即可， 即()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上有零点，
因为3
1
3312()30e e e e
ϕ=--<，(1)20e ϕ=->，
所以()2ln x x e x x ϕ=-+在(0,1)上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可， 此时取0
0x b e
x =-
则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点， 最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列， 因为120304()()()0()()()F x F x F x G x G x G x ====== 所以100()()(ln )F x G x F x ==，
又因为()F x 在(,0)-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =， 同理，因为004()()()x
F x
G e G x ==，
又因为()G x 在(1,)+∞上单调递增，00x >即01x e >，11x >，所以04x
x e =，
又因为0002ln 0x
e x x -+=，所以0
1400ln 2x x x e
x x +=+=，
即直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
11.（2022·新高考II 卷 第22题）
解：(1)1()(1)()x x x x a f x xe e x e f x xe =⇒=-=-⇒'= 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减; 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
(2)令()()11(0)()(0)0ax x g x f x xe e x g x g =+=-+⇒=厔对0x ∀…
恒成立 又()(0)0ax ax x g x e axe e g ''=+-⇒=
令()()()()(2)ax ax ax x ax ax x h x g x h x ae a e axe e a e axe e ='⇒'=++-=+-，则(0)21h a '=- ①若(0)210h a '=->，即12a >
，00()(0)()(0)lim
lim 00x x g x g g x h x x ++'
→→'-''==>- 所以00,x ∃>使得当
时，有()
0()0()g x g x g x x
'>⇒'>⇒单调递增0()(0)0g x g ⇒>=，矛盾 ②若(0)210h a '=-…，即1
2
a …时，
11
11
ln(1)ln(1)
22
22
()0()x x x x ax ax x ax ax x
x
x g x e axe e e
e e
e
e
e g x +++'++=+-=---=⇒剟在[0,)+∞上单调递减，
()(0)0g x g =…，符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是1.2
a …
(3)求导易得12ln(1)
t t t
t
->>
令
1
1
2ln ln(1
t
n =⇒->⇒>+
1
11231
ln(ln()ln(ln(1)
12
n n
k k
n k n
n
n k n
==
+++
⇒>⇒>=⋅=+
∑
()
ln1
n
++⋅⋅⋅>+，证毕.
12.（2021·新高考I卷第7题）
解：设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知
x
x
e b
e
x a
-
=
-
，整理得：000
x x x
e b x e ae
--+=有两解，
令()x x x
g x e b xe ae
=--+，
()()x
g x a x e
'=-，易知()
g x最大值为().
g a
即，
解得b
a
e>，
又因为当x趋近正无穷时()0
g x<，
当x趋近负无穷时，()
g x趋近0
b
-<，则0.
b>
综上，a
0b e
<<
故选.D
13.（2021·新高考I卷第15题）
解：已知函数，易知函数定义域为(0,)
+∞，
①：当
1
(0,]
2
x∈时，，
所以
2
()2
f x
x
'=--，在
1
(0,]
2
x∈单调递减，
②当
1
(,)
2
x∈+∞时，，所以
22(1)
()2
x
f x
x x
-
'=-=，
所以()
f x在
1
(,1]
2
x∈单调递减，在(1,)
x∈+∞单调递增，
又因为12ln 2<，所以最小值为1. 故答案为1.
14.（2021·新高考II 卷 第16题） 解：由题意，
，则
，
所以点和点
，12,x
x
AM BN k e k e =-=，
所以12
121,0x
x e e x x -⋅=-+=，
所以，
所以，
同理
，
所以
故答案为：
15.（2021·新高考I 卷 第22题）
(1)解：的定义域为
，
，
由解得1x >， 由
解得01x <<， 在
上单调递增，在
上单调递减；
(2)证明：由ln ln b a a b a b -=-可得
ln ln 11
a b a b b a
-=-， 整理得：11
ln
ln 11a b a a b b -=-，即
，
不妨设1211
,x x a b
==，且120x x <<，
即
，即证明122x x e <+<， 由在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
可得1201x x <<<，
()f x ()f x
先证明122x x +>， 令
，02x <<，
，
在
上单调递增，
又1201x x <<< ，
，
，即
，
由(1)可知在
上单调递减，
212x x ∴>-，即122x x +>；
下面再证明12x x e +<， 不妨设21,x tx = 则1t >，由
可得
，化简1ln ln 11
t t
x t =-
- ， 要证12x x e +<，即证，即证，
即证，即证
， 设
，1t >，
，
令
，1t >， ，
， 在
上单调递减， ，
，
在
上单调递减，
()f
x
，即，
12x x e ∴+<，
故11
2.e a b
<
+< 16.（2021·新高考II 卷 第22题） 解：(1)由函数的解析式可得：， 当0a …时，若，则
单调递减，
若，则单调递增； 当1
02
a <<时，若，则单调递增，
若
，则
单调递减， 若，则
单调递增； 当1
2a =时，在R 上单调递增； 当1
2
a >时，若
，则
单调递增，
若，则单调递减， 若
，则
单调递增；
(2)若选择条件①：
由于2
122
e a <…，故212a e <…，则
，
又((1)0f e
=<，
由(1)可知函数在区间
上单调递增，故函数在区间
上有一个零点.
，
由于212a e <…，故
，
(0,)x ∈+∞(0,)x ∈
+∞
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，()f x 有一个零点. 若选择条件②： 由于1
02
a <<
，故021a <<，则，
当0b …
时，24,42e a ><，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间
上有一个零点. 当0b <时，构造函数，则，
当
时，
单调递减， 当时，单调递增，
注意到
，故
恒成立，从而有：1x e x +…，此时：
，
当x >
，
取01x =
+，则，
即：，
而函数在区间
上单调递增，故函数在区间
上有一个零点.
，
由于1
02
a <<
，021a <<，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，()f x 有一个零点.
17.（2020·新高考I 卷 第21题、II 卷 第22题）
(0,)x ∈
+∞
解：(1)当a e =，()ln 1x f x e x =-+，
1
(),(1)1,(1)1x f x e k f e f e x
'=-='=-=+，
所以切线方程为：1(1)(1)y e e x --=--， 即(1)2y e x =-+，
所以切线在y 轴上的截距为2，在x 轴上的截距为21-e
， 所以三角形的面积1222.211
S e e =
⨯⨯=-- 1ln 1(2)()ln ln ln ln x a x f x ae x a e x a -+-=-+=-+，
要使()1f x …，只需ln 1ln ln 1a x e x a +--+…，
即ln 1ln -1ln a x e a x +-+…，
即ln 1ln ln -1+ln ln a x x e a x x x e x +-++=+…， 令()x g x e x =+，
，()g x 单调递增，
故只需(ln 1)(ln )g a x g x +-…
， 因为()g x 为增函数， 只需证ln 1ln a x x +-…，
即ln ln 1a x x +-…
， 设()ln 1h x x x =+-，
11()1x
h x x x
-'=
-=， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
max ()(1)0h x h ==，
所以ln 0a …
，1a …， 即a 的取值范围为[1,).+∞。