高数一基础知识

高数一基础知识
高数（一）的预备知识
第一部份 代数部份 （一）、基础知识：
1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。

2．绝对值：a
a a
⎧=⎨-⎩
a a ≥∠
3．乘法公式
（a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
a 3+
b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)
4.一元二次方程
（1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：
22
40,40,0,b ac b ac ⎧∆=-〉⎪∆=-=⎨⎪∆〈⎩
有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根
（3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2+px+q=0
设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则；
1212p q
x x x x +=-⎧⎨
⋅=⎩
（4）十字相乘法： （二）指数和对数
1．零指数与负指数：0(1)0,1;
1(2)n
n
a a x x -⎧≠=⎪⎨=⎪⎩
则 2．根式与分数指数：
（1）1
n
n
a a = （2）
m n m n
a a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）;
(1)x y x y a a a +⋅=
(2)()m n m n a a ⋅=
(3)x y x y a a a -÷=
(4)()n n n a b a b ⋅=⋅
4．对数：设,x
a N X N =则称为以a 为底的对数
,
记作：log a n =X,
lnX ，lgX;
5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N
(2) log
log log a a M
M N N
=- (3) log log x
a a N x N =⋅ (4)换底公式：
log log log a b a N
N b =
（5）
log ln ,aN x a N e x =⇒= （三）不等式
1．不等式组的解法：
（1）分别解出两个不等式，例2153241
X X
X X -<-⎧⎨
->-⎩
（2）求交集 2、绝对值不等式 （1）;X a a X a ≤⇒-≤≤ （2）;
X a X a X a ≥⇒≥≤-或
3、1元2次不等式的解法：
（1）标准形式：2
00ax bx c ++≥≤（或）
（2）解法：
0122⎧⎪⎨⎪⎩ 解对应的一元次方程 判解：
0a a ⎧⎪
⎨⎪∆⎩
①若与不等式同号，解取根外；
②若与不等式异号，解取根内；
③若无根（＜），则a 与不等式同号；
例：（1）2
560;
x
x -+≥ （2）2
320;
x
x -+＜
（四）函数
1、正、反比例函数：y kx = ， 1
y x
=
2、1元2次函数：2
y ax bx c
=++ （a ≠0）
顶点：
2
424b ac b a a
-（-,）
； 对称轴：
2b
x a
=-
； 最值：
244ac b y a
-=
；
图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数：n y x = （n=1,2,3）；
4、指数函数：x
y a = （x e ）；
5、对数函数：y=ln x
第二部分 三角
（一）角的概念 1、正角、负角
(二)三角变换 1．倒数关系
sin α·csc α=1 tan α·cot α=1 sec α·cos α=1
sec α=1cos α csc α=1sin α cot α=1
tan α 2. 平方关系的
22sin cos 1
αα+=
22tan 1s ee αα
+=
22cot 1csc αα
+=；
3．诱导公式：
（1）同名函数的：—α，1800±α，3600±α，K ·360+α的三角函数值等于角α的三角函数值；符号采用把X 当作锐角时原角所在象限原函数的符号。

（2）余函数的：900±α，2700±α的三角函数值等于角X 余函极值；符号采用把α当作锐角时，原角所在象限函数的符号。

（三）两角和与两角差的三角函公式sin 22sin cos ααα=⋅ 2
2
2
2
2
cos cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
αβ
↑=
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ
+=⋅++=⋅-⋅
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin ββ
αβαβαβαβαβαβ
↓--=-⋅-=-⋅以代
（四）半角公式
1cos 1cos sin
;cos 2
222
α
ααα
-+=±
=
（五）反三角函数
arc sinX 主值,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦； arc cosX 主值 []0,π arc tanX 主值,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
； arc cotX 主
值
()0,π；
（六）几种基本函数的图象（用五点式作草图）
1．Y=sinX (T=2 π )
2. y=cosX (T=2 π )
3. y=tanX (T=π )（恒增）
4． y=cotX (T=π )(恒减)
第三部分 （平面解析几何） 1． 直线方程
（1） 点斜式：设直线过点（X 0，Y 0），且斜底为K ，
则有：0
()y y k x x -=-
（2） 两点式：设直线过点（X 0，Y 0）（X 2，Y 2），则有：
11
2121
y y x x y y x x --=
--
2． 两条直线平行与垂直的条件： （1） 若平行：K 1=K 2；
（2） 若垂直：K 1·K 2=—1即互为负倒数。

3． 圆锥曲线：
（1） 圆：设圆心为（X 0，Y 0），半径为r,则有
2
22
()()x x y y r -+-=
000,0
x y ↓==
则有 2
22
x y r +=
（2） 椭圆
10中心在原点，关于X 轴对称
22
221x y a b
+=，关系：2
22,,,b
c a a b c
+=
20
中心原点，关于y 轴对称：22
22
1x y b a +=
30椭圆的面积 s= 2,(a b
ab s a ππ=−−−→=若圆)
(3)双曲线：
22
222221,,,,,,,,x y a b c a b c a b
+=+=
（4）抛物线 10 y 2=2px
20 y 2= - 2px 30 x 2= - 2py。