人教A版高中数学必修二课件2.3.4平面与平面垂直的性质

2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)两个平面垂直,过一个平面内一点,可作
条直线和
另一个平面垂直.
(2)设平面α ⊥平面β ,点P在平面α 内,过点P作平面β 的垂线
a,直线a与平面α 的位置关系是
.
(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于O,A1C1与B1D1相交
平面与平面垂直的性质定理 观察如图所示的长方体,结合平面与平面垂直的性质定理,探 究下列问题：
探究1：结合图形说明平面α 内的直线与平面β 有什么关系? 提示：平面α内的直线与平面β的位置关系有平行,如 D′C′∥β;有相交,如D′D∩β=D;有在平面β内,如DC⊂β.
探究2：在什么情况下,平面α 内的直线与平面β 垂直? 提示：当平面α内的直线与平面β和平面α的交线垂直时,这 样的直线与平面β垂直.例如,D′D⊥β,C′C⊥β.
用,并归纳平面与平面垂直的性质定理的作用.
1.设平面α ⊥平面β ,在平面α 内的一条直线a垂直于平面β 内的一条直线b,则( ) A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
2．(2013·银川高一检测)已知直二面角α -l-β ，点A∈α ， AC⊥l，C为垂足．点B∈β ，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝ BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
线与另一个平面_垂__直__.
α ⊥β (2)符号语言：_a____
α ∩β =l a⊥l
a⊥β .
(3)图形语言：
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”，错误的打 “×”). (1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直 的直线，必垂直于另一个平面.( ) (2)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线， 一定分别与另一平面垂直.( )
【变式训练】(2013·江苏高考)如图, 在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC, AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F, 点E,G分别是棱SA,SC的中点. 求证：(1)平面EFG∥平面ABC. (2)BC⊥SA. 【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面 垂直再证线线垂直.
【拓展延伸】两个平面垂直的三个常用结论 (1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个 平面的直线在第一个平面内. (2)两个相交平面同时与第三个平面垂直,则交线与第三个平 面垂直. (3)两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直.
类型 一 平面与平面垂直的性质定理的应用 尝试完成下列试题,体会平面与平面垂直的性质定理的应
【证明】如图,在a上任取点Q,过b与 Q作一平面交α于直线a1,交β于直 线a2. 因为b∥α,所以b∥a1. 同理,b∥a2. 因为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合. 又a1⊂α,a2⊂β,所以a1,a2都是α,β的交线,即都重合于a. 因为b∥a1,所以b∥a.而a⊥γ,所以b⊥γ.
3
3.在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ 的交线于B,则PA⊥α,PB⊥β. 因为a=α∩β,所以a⊥PA,a⊥PB. 因为PA与PB相交,又PA⊂γ,PB⊂γ,所以a⊥γ.
【互动探究】题3增加条件“α ,β 又同时平行于直线b”,求 证：b⊥γ . 【解题指南】过b作平面,利用线面平行的性质证明与交线a平 行,再用线面垂直的性质证明线面垂直.
【证明】(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点. 又因为E是SA的中点,所以EF∥AB. 因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC. 又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB, 又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC, 因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC. 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB. 因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.
【解析】1.选C.由题意,a,b都不一定和平面的交线垂直,故都
不一定和另一个平面垂直,A,B都不正确,C正确,D不一定正确.
2.选C.因为α⊥β,AC⊥l,所以AC⊥β,则平面ABC⊥β,在平 面β内过D作DE⊥BC于E,则DE⊥平面ABC,DE的长即为D到平面 ABC的距离,在△DBC中,运用等面积法得DE= 6 .
试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间
的相互转化.
1.已知两个不同的平面α ,β 和两条不重合的直线m,n,有下列
四个结论：(1)若m∥n,m⊥α ,则n⊥α .(2)若m⊥α ,m⊥β ,则
α ∥β .(3)若m⊥α ,m⊥n,n⊥β ,则α ⊥β .(4)若α ⊥β ,
α ∩β =n,m⊥n,则m⊥α ,其中正确结论的个数是( )
【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性 质知(2)正确.(3)m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,又n⊥β,故 α⊥β,正确.(4)错误,m⊥n但m不一定在平面β内,故不一定 垂直于平面α. 2.选A.因为AD⊥AB,AD⊥PA且AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB, 因为BC∥AD,所以BC⊥平面PAB, 所以平面PBC⊥平面PAB.
1.若三个不同的平面α ,β ,γ 满足α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ,β 之
间的位置关系是( )
A.α ∥β
B.α ⊥β
C.α ∥β 或α ⊥β
D.α ∥β 或α 与β 相交
【解析】选D.α,β都和平面γ垂直,都过平面γ的垂线,若都
过同一条直线,则平面α,β相ห้องสมุดไป่ตู้,平面α,β不相交时,则平行,
故选D.
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2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想 象能力. 2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.
平面与平面垂直的性质定理
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且 PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、 平面PAD的位置关系是( ) A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两都垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,
则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A.平行
B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直
D.相交且垂直
【解析】选D.平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,又EF⊥A1B1,故EF⊥ 平面A1B1C1D1.
3.已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =l,点A∈α ,A∉l,直线AB∥l,直
PE 3 BA 3,CE BE2 BC2 3, 2
在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.
(3)在矩形ABCD中,AB∥CD, 因为CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,所以AB∥侧面PCD. 取CD的中点F,连接EF,PF,则EF⊥AB. 又因为PE⊥AB,所以AB⊥平面PEF.又因为AB∥CD, 所以CD⊥平面PEF.所以平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF,垂足为G,则EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF中，EG PE EF 30 为所求.
3.如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC= 2 的矩形,侧面PAB 是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明侧面PAB⊥侧面PBC. (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角. (3)求直线AB与平面PCD的距离.
【解题指南】1.利用线面平行和垂直及面面垂直的性质判断. 2.利用面面垂直的判定定理判断. 3.(1)利用面面垂直的性质定理,只需证BC垂直于交线. (2)取AB的中点E,利用面面垂直找到面的垂线,找到射影和线 面角. (3)取CD的中点F,构造平面PEF,线到面的距离转化为点E到面 的距离,转化为点E到线PF的距离.
PF 5
【技法点拨】
1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化
通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，
即直线与直线垂直
直线与平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的定义
平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直.
平面与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直
2.空间直线、平面平行与垂直的相互转化
以AD为折痕,将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,如
探究3：应用定理若分别去掉以下两个条件,探究定理是否成 立. (1)将条件a⊂α去掉,结论是否成立? 提示：不一定成立,如图让a⊥α,这时也有a⊥l,但a与β不垂 直.
(2)将条件a⊥l去掉,结论是否成立? 提示：不成立,如图直线a⊂α,但a与直线l不垂直,显然a与β 不垂直.
【探究提升】平面与平面垂直的性质定理的关注点 (1)性质定理成立要有两个条件：一是线在面内,二是线垂直 于交线. (2)利用性质定理的关键点：一找,二证.即在其中一个平面内 找到一条直线,然后证明所找直线与交线垂直. (3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.
(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂 直.( ) (4)两个平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平 面内的无数条直线.( )
提示：(1)错误.因为直线不一定在该平面内，故说法错误. (2)错误.该说法注意了直线在平面内，但不能保证这两条直 线都与交线垂直. (3)错误.其中至少一条垂直于交线时，两直线才垂直. (4)正确.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直 于交线的直线及其平行线，有无数条. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
线AC⊥l,直线m∥α ,m∥β ,则下列四种位置关系中,不一定成
立的是( )
A.AB∥m
B.AC⊥m
C.AB∥β
D.AC⊥β
【解析】选D.如图所示：AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m; AB∥l⇒AB∥β.但是AC与β不一定垂直.
4.已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC,D为垂足,
3.(1)在矩形ABCD中,BC⊥AB, 又因为侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB, 所以BC⊥侧面PAB. 又因为BC⊂侧面PBC,所以侧面PAB⊥侧面PBC.
(2)取AB的中点E，连接PE，CE,又因为△PAB是等边三角形,所 以PE⊥AB. 又因为侧面PAB⊥底面ABCD，所以PE⊥底面ABCD. 所以∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.
【技法点拨】平面与平面垂直的性质定理的三条作用 平面与平面垂直的性质定理,是由平面与平面垂直得出直线与 平面垂直的结论,这种直线与平面的位置关系同平面与平面位 置关系的转化,其作用有： (1)证明直线与平面垂直. (2)证明直线与直线平行. (3)作平面的垂线.
类型 二 线线、线面、面面垂直的综合应用
A. 2
B. 3
C. 6
D．1
3
3
3
3．已知α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =a.求证：a⊥γ .
【解题指南】1.依据面面垂直的性质定理,关键看直线是否垂 直于两平面的交线. 2.由已知α⊥β,AC⊥l,推出AC⊥β,再得到面面垂直,利用面 面垂直的性质找到点到面的距离. 3.利用平面与平面垂直的性质定理,在一个平面内作垂直于交 线的直线.
于O1,则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是
.
【解析】(1)此点不论在何位置,在这个平面内过此点只能作 唯一一条直线和交线垂直,此直线垂直于另一个平面,故这样 的直线只有1条. 答案：1 (2)由面面垂直,点P在平面α内,过P的垂线一定在平面α内. 答案：直线a在平面α内 (3)因为平面ACC1A1⊥平面A1B1C1D1,又OO1⊥A1C1.所以OO1⊥平 面A1B1C1D1. 答案：垂直