1_人大附、人分等人系分班考试试题

6
第一讲 计算、几何考点串讲
考点概述：
一、
计算部分：常见计算问题解题方法：
1. 分组、凑整；（参考题目：本讲例题1）
2. 提取公因数、整体约分；（参考题目：本讲例题4）
3. 等差数列、数列数表；（参考题目：本讲例题1、例7）
4. 繁分数计算；（参考题目：本讲例题3、例4）
5. 换元法；
6. 裂项；（参考题目：本讲例题5）
7. 定义新运算；（参考题目：本讲例题6）
8. 比较大小与估算；
9.
解方程（组）（参考题目：本讲例题2、例6）．
二、 平面几何部分、立体几何部分：
1. 常用几何模型求解图形面积；（参考题目：本讲例题8、例9、例10、例11、例12）
2. 方程方法在几何问题中的应用；（参考题目：本讲例13）
3. 求圆与扇形的面积、周长；（参考题目：本讲例13、例14）
4. 勾股定理的运用；（参考题目：本讲例13）
5. 正方体、长方体体积及表面积求解；（参考题目：本讲例15、16）
6.
圆柱体体积及表面积求解．
本讲主要内容包括：计算问题和几何问题．首先总结一下常考的计算公式和技巧方法． 常用计算公式、方法： 1. 等差数列求和：()11232
n n n +++++=
；
2. 平方求和：()()22221
1231216
n n n n +++
+=++；
3. 立方求和：()()2
22
333
31123124
n n n n ++++
+=++
+=
；
4. 平方差：()()22a b a b a b -=+-；
5. 等比数列求和：()111n a q s q
-=-，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比（1q ≠）；
6. 循环小数化分数：
姓名：_______________ 日期：____年___月___日
6
7. 分数裂项：
()11111n n n n =-++；()11
11n n k n n k k
⎛⎫=-⨯ ⎪++⎝⎭；
整数裂项：Ⅰ、()()()1
1223341123n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=++；
Ⅱ、()()()()()1
123234121234
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=
+++． 8. 换元法．
几何部分：
1. 三角形内的比例关系
（1）等高三角形（图形特征是三角形或梯形被一分为二）
（2）平行线截三角形（中位线，等比例关系）
（3）共边三角形（更准确的说应该是共角三角形）：边长比的乘积等于面积比
（4）燕尾三角形（专门用来解决三角形被交叉线分割的问题）
S 1 a
S 2 b
a
S 2
S 1
a b
S 2
S 1 a
b S 2 S
1
b
B
D
a
c d b
1）
2）
a
b S 1
S 2
S 3
S 4
a b
S 1
S 2
S 3
S 4
a b
S 1
S 2
S 3
S 4
6
2. 四边形内面积比例关系
（1）四边形被内部线段一分为四的情形
（2）沙漏三角中的比例关系
3. 补充知识点：凸多边形内角和公式：n 边形内角和=()2180n ︒-⨯．
4. 立体图形：
（1）正方体的体积与表面积的计算方法．
（2）圆柱与圆锥体积：
S 1
S 2
S 3
S 4
S 3
S 4
S 1
S 2
1）
2
）
b
c d
e
a a
b b
c c
d d
e
e f
f
f
图形
体积
表面积
a
b
c
a
6
典型题目
1. 计算：()()()()713173327533......749325⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=_____________．
2. 解方程组：9991002299110019973011x y x y -=⎧⎨-=⎩，______
______x y =⎧⎨=⎩
．
3. 计算：()10.030.031111
-⨯
+ =__________．
立体图形
体积
侧面展开图
圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．
圆锥的侧面展开图为扇形，半径为母线（不是圆锥的高！），弧长为圆锥底面周长． （注：圆锥侧面展开只需了解，不需掌握）
h
r r
h
6
4. 计算：1111111124681012
198200__________1111515253100
-+-+-+⋅⋅⋅+-
=+++⋅⋅⋅+．
5. （1）24466898100_______⨯+⨯+⨯+
+⨯=．
（2）1111
1=______121231234123100
+++++++++++++…+…+．
6. a b ∆表示a 、b 的差（大减小）的一半．例如：()1224241226∆=-÷=．那么
（1）3523185⎛⎫
∆∆= ⎪⎝⎭
______；（2）若()2071x ∆∆=，则x 为____________．
7. 如图所示数表，那么2013在_____行______列．
11 10 4 3 1 12 9 5
2 1
3 8 6 1
4 7
15
第一行
第一列
6
8. 边长分别为5、7、
10的三个正方形放在一起，则其中四边形ABCD 的面积是____________．
9. 如图，已知13AE AC =，14CD BC =，15BF AB =，试求
DEF ABC 三角形的面积
三角形的面积
的值________．
10. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，ADBE 是平行四边形，它的面积等于8，三角形BCE 的面积是2，
那么三角形CDE 的面积是________．
11. 如图，E 是矩形ABCD 的边BC 的三等分点，BD 与AE 的交点为F ．那么图中阴影部分与矩形ABCD
的面积之比是_________．
12. 如图，D 为BC 边中点，E 、F 是AC 边的两个三等分点，那么三角形ABC 被分成的六部分中，面积最
大的两块图形的面积比是_______．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D E
E
A
C
D
B
F
A
B
C
D
E
F
6
13. 如图，直角三角形的三条边长度为6，8，10，它的内部放了一个半圆，那么图中阴影部分的面积是
________．
14. 如图所示，直线上有一个半径为3cm 的60度扇形，它的一条半径AC 恰好与直线垂直．现在让它沿
顺时针方向滚动，直到半径AC 与直线重叠为止．那么弧BC 扫过区域面积是________平方厘米．
15. 右图是一个544⨯⨯的长方体，若上面有214⨯⨯、215⨯⨯、214⨯⨯的穿透的洞，则剩下部分的体积
为_______．
16. 如图所示，右图是某个立体图形的平面展开图，其中正方形的边长为6 cm ，则这个立体图形的体积是
_____．
6
8
10
B
A
C
6
第二讲 应用题考点串讲一
考点概述
一、
本讲涉及应用题分类：
1、基本应用题、和差倍问题；（参考题目：本讲例1、例
2、例
3、例4） 3、分数、比例应用题；（参考题题目：本讲例5、例6、例7、例8、例13）
4、浓度与经济问题；（参考题题目：本讲例9、例10、例11）
5、复杂应用题；（参考题题目：本讲例12、例14、例15）
二、 常用解题方法：
1、线段图解应用题；
2、列表法解应用题；
3、倒推法解应用题；
4、比例方法解应用题；
5、列方程解应用题；
6、各种方法的综合运用；
典型题目
1. 一次10分钟的知识竞赛，小明每分钟能做15道题，但做3道错一道，而且他做2分钟要休息1分钟，
那么小明这次竞赛做对了____________道题．
2. 妈妈买来一箱桔子，若每天比计划多吃一个，则比计划少吃2天；若每天比计划少吃一个，则计划的
时间过去后，还剩12个，那么这一箱桔子共________个．
3. 甲、乙、丙三所小学人数的总和为1999，已知甲校学生人数的两倍，乙校学生人数减3，丙校学生人
数加4都是相等的．问甲、乙、丙各校学生人数是________．
姓名：_______________ 日期：____年___月___日
6
4.今年，小明的年龄是祖父年龄的，几年后，小明的年龄是祖父年龄的，又过几年以后，小明的年
龄是祖父年龄的．祖父今年是________岁．
5.甲、乙、丙三种物都是由锌铜铁三种元素组成，它们分别含有锌铜铁的比为2:3:1，2:4:3，1:2:1．现
在把他们合出5:9:5的新合金570千克．那么，甲、乙、丙各需要________、________、________千克．
6.有一篮鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个鸡蛋和余下的，第三
人拿走3个鸡蛋和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，那么共有________个鸡蛋，________个人．
7.张、王、李、赵4人联合为灾区捐款，张捐的钱是王、李、赵总和的，王捐的钱是张、李、赵总和
的，李捐的钱是张、王、赵总和的，赵捐了9元钱，张、王、李各捐_____、_____、_____元．
8.周末到了，小光和小明一起去动物园．每张门票的价格是35元，如果两张门票都由小光来付，则小
光余下的钱是小明的；如果两张门票都由小明来付，则小明余下的钱是小光的；如果两人各付一张门票的钱，那么两人剩下的钱相差________元．
6
9.有大、小两瓶酒精溶液，重量比为3:2，其中大瓶中溶液的浓度为8%．现在把这两瓶溶液混合起来，
得到的酒精溶液浓度恰好是原来小瓶酒精溶液浓度的2倍．那么原来小瓶酒精溶液的浓度是________．
10.某容器中装有盐水．老师让小明倒入5％的盐水800克，以配成20％的盐水．但小明错误地倒入了800
克水．老师发现后说不要紧，你再将第三种盐水400克倒入容器，就可以得到20％的盐水了．那么第三种盐水的浓度是________．
11.某种商品由于进货价降低了15%，使得利润率提高了21%．那么现在的利润率是________．
（注：如果原来利润率是10%，提高21%后，利润率变成31%．）
12.一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进3
个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球．那么共有________人参加测验．
6
13.某学校开学时招入的学生中，男、女生人数比为8:7．开学一周后，补录了40名学生，使得男、女
生人数比变为17:15．由于特殊原因，第二周有几个同学不能来上学，但是又加入了若干学生，这时总人数比上一周增加10人，男、女生人数比是7:6，已知开学招生人数少于1000人．那么开学时该学校招收学生________人．
14.学校组织老师进行智力竞赛，共20道题，答对一题得5分，不答不给分，答错扣2分．已知所有老
师的总分为600多分，且男老师总分为女老师总分的2倍多1分，答对总题数为答错总题数的3倍少1题．又知每人恰有1道或2道题未答．那么男老师的总分为________分．
15.雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天
除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有_____、_____、_____张．
6
第三讲 应用题考点串讲二
考点概述
一、 工程问题：（参考题目：本讲例1、例2、例3）
1. 基本工程问题；
2. 工作效率或工作总量发生变化的情况（牛吃草问题等）；
3. 轮流工作的（找周期）问题．
二、行程问题中的．类型很多这里给大家列举一下：
1. 基本行程问题：=⨯=÷=÷路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度．
2. 相遇问题：（参考题目：本讲例题4）
=⨯路程和速度和相遇时间；=÷速度和路程和相遇时间；=÷相遇时间路程和速度和．
3. 追击问题：（参考题目：本讲例5、例10）
4.
=⨯路程差速度差追及时间；=÷速度差路程差追及时间；=÷追及时间路程差速度差．
5. 火车问题：
Ⅰ、火车过桥：=+路程车长桥长；
Ⅱ、火车过人问题：（1）人站立不动：过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长．
（2）人迎向火车：过人的速度为人与火车的速度之和，路程为火车的车长．
（3）人背向火车：过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长．
Ⅲ、快车追上并超过慢车：路程差等于两车的车长之和． 两车相遇并错车：路程和等于两车的车长之和． 6. 流水行船问题：（参考题目：本讲例7）
=+=-顺水速度船速水速；逆水速度船速水速；
2=+÷船速（顺水速度逆水速度）；2=-÷水速（顺水速度逆水速度）．
7. 环形路线问题：（参考题目：本讲例11）
从同一点出发反向而行：相遇的路程和为环形路线一圈的长度． 从同一点出发同向而行：追及的路程差为环形路线一圈的长度． 在环形问题中，运动总是呈现出很强的周期性． 8. 多次往返运动问题；
从两端出发，相向而行：相遇的路程和为1，3，5，7，……个全程．
姓名：________________ 日期：____年___月___日
6
从两端出发，相向而行：追及的路程差为1，3，5，7，……个全程． 从同一端点出发，同向而行：相遇的路程和为2，4，6，8，……个全程． 从同一端点出发，同向而行：追及的路程差为2，4，6，8，……个全程． 特别地：在端点处相遇，既算迎面相遇也算追及．
9. 时钟问题；（参考题目：本讲例8）
时钟问题的时针和分针速度：
10. 平均速度问题；（参考题目：本讲例9）
平均速度=总路程÷总时间
11. 变速问题；（参考题目：本讲例6、例9）
对于变速问题，画出线段图，然后进行分段比较并结合行程中的正反比是常用的解题方法； 12. 复杂行程（往返接送、间隔发车等）；（参考题目：本讲例12、例13、例14）
注：行程问题的出题形式，往往是以上多方面的综合．
典型题目
1. 一项工程，甲队15天干完，乙队30天干完．两队合干4天后，由甲队单独干，还要______天干完．
2. 灌满一个水池，只打开A 管要8小时，只打开B 管要10小时，只打开C 管要15小时．开始时只打开
A 管和
B 管，中途关掉A 管和B 管，然后打开
C 管，前后共用了10小时15分灌满了水池．那么C 管打开了________小时．
分针 时针
用角度来表示 6度/分 0.5度/分 用格数来表示
1格/分
格/分
时针速度始终都是分针的
分针速度始终是时针的12倍
6
3.甲、乙、丙、丁四名打字员承担一项打字任务．若由这4人中的某人单独完成全部打字
任务，则甲需42小时，乙需28小时，丙需28小时，丁需21小时．
（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么需要________小时完成；
（2）如果按甲、乙、丙、甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打字，每轮中甲、乙、丙每人各打1小时，那么需要________小时完成；
（3）从甲、乙、丙、丁四人中挑出三人来按第（2）题的方式打字，并允许适当调整每轮中三人打字的先后顺序，最少需要________小时完成．
4.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，他们计划在距A地3
5
处相遇，但中途甲休息了15秒钟，结果
乙比计划多走36米才相遇，那么甲速为_______米/秒．
5.蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10分钟前
我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了10分钟，遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍，那么兔子速度是乌龟速度的________倍．
6.A、B两地相距90千米，甲、乙分别从A、B同时出发相向而行，在离A点40千米的地方相遇．如果
甲在出发半小时后增速到原来的1.5倍，他们在AB的中点相遇，那么原来甲的速度为________千米/时．
7.一艘轮船从甲地道乙地每小时航行60千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度是80千米/小时，
则返回时每小时应航行___________千米．
6
8.现在是下午6点整，再过________分钟，分针可以平分时针与刻度9之间所夹的钝角．
（列方程求解）
9.从甲到乙的路程分为上坡、平路和下坡三段，各段路程的长度之比为5:4:3，某人走这三段路程的速
度比为3:4:6，已知他走平路时速度为5千米/时，全程是4.5千米，那么走完全程要用_______分钟，平均速度是_______千米/时．
10.如图，在一条直线上有A、B、C、D四个点成等距排列，甲、乙、丙分别位于A、B、C三地，甲开
车、乙骑车、丙步行同时出发去D．结果甲、乙、丙三人分别花了10分钟、20分钟、30分钟到达D 地．某天早上甲、丙计划同时从8：00出发去D，他们在CD段的某处相遇了，为了能使三人同时到达这个地点，乙的出发时间是_______：_______．
A B C D
11.在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向
奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了________米．
6
12.甲、乙、丙三人步行的速度都是每小时7.2千米，他们有一辆时速为每小时36千米的摩托车，该车最
多可载两人．他们三人都要到57.6千米外的某地去，他们最快需要______小时到达．
13.100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到
达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是______小时．（上、下车所用的时间不计）
14.小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面而来，如果步
行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路迎面而来．已知任意两辆332路骑车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是步行速度的3倍，那么如果小明坐332车到人大附中的话，每隔_______分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来．
6
第四讲 数论、数字谜问题考点串讲
考点概述：
一、数的整除性相关知识：（参考题目：本讲例1、例2、例3）
定义：如果整数a 除以整数b （0b ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．
如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．
基本性质：（注意：下面这些性质在考试题目中的运用往往是很隐蔽的，注意自己体会一下．
1. 尾数判断法： （1） （2） （3）
2. 数字求和法
3. 奇偶位差法
4. 三位截断法
二、质数合数：（参考题目：本讲例4、例5、例6）
定义：质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它
数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数． 1. 短除法：分解质因数的基本方法．
2. 姓名：_______________
日期：____年___月___日
6
我们用比这个数小的质数分别去除需要判断的数．
例如，我们要判断197是不是质数，只需要试很少的几个就能判断：比197大且最接近的平方数是222515=，因此只要用2、3、5、7、11、13去除197，如果都不能整除就一定是质数．再比如要判断2011是不是质数，只需要验算45以内的质数即可，因为45452025⨯=比2011大且最接近．
3. 不用短除法，而用横式快速分解质因数．
例题：三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个连续自然数的和等于多少？ 4. 100以内质数表要倒背如流，并且牢记2是唯一的偶质数．
三、约数与倍数：（参考题目：本讲例7、8）
1. 定义：约数又叫因数．如果一个数A 能被B 整除，那么B 就是A 的约数，A 为B 的倍数．
例如，6能被1，2，3，6整除，那么1，2，3，6都是6的约数，同时，6也是1，2，3，6的倍数．这里特别注意，每个数至少有两个约数：1和它本身，同时1也是这个数最小的约数，它本身是这个数最大的约数．
2. 最大公约数与最小公倍数：a ，b 的最大公约数记为()a b ,；a ，b 的最小公倍数记为[]a b ,．
3. 约数个数的计算方法：
例如：要求405000的约数个数，首先把405000分解质因数：344405000235=⨯⨯，
4.
对于平方数和约数个数之间的关系，我们有如下的结论：
5. 求最大公约数与最小公倍数的方法： （1）短除法：上面已经提到． （2）分解质因数的方法
344235(31)(41)41100⨯⨯+⨯+⨯=的约数个数是（＋）个
6
（3）辗转相除法：
6.最大公约数、最小公倍数与原数之间的关系：
例如：两个数的最小公倍数是888，最大公约数是37，其中一个数是117，求另一个数是_______．
四、余数问题：（参考题目：本讲例9、例10、例11）
1.求解余数的第一类简便算法：替换求余法
．．．．．
（
（
（
2.求解余数的第二类简便算法：特性求余法（详见：高思学校竞赛数学课本五下第六讲）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例如：一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；
注：“特性求余法”和“替换求余法”相结合，可大大简化余数的计算．
3.求解余数的第三类简便算法：周期求余法
．．．．．．
除以2的余数只有0和1两种，除以3的余数只有0、1、2三种……也就是说除以一个给定的自然数，所得的余数情况是有限的．当把数列中的每一项都对某个数字求余时，所得的余数列往往具有很好的周期性．我们也经常应用这种周期性来解决一些问题．
4.其它求余数问题的方法：
（1)物不知数问题：逐个条件去满足，找到满足所有条件的解．
（2)分解求余法：对于除数是特殊数乘积的情况，可将除数分解为若干个互质特殊数的乘积，分别计算特殊数的余数，再利用物不知数问题的解法，计算出原除数的余数．（3)同余问题：如果两个数除以第三个数是同余的，那么两个数的差是第三个数的倍数．
五、进制问题；
六、数论综合题目；（参考题目：本讲例12）
数字谜问题
一、横式、竖式、幻方、数阵图；（参考题目：本讲例13、例14、例16）
二、数论相关的数字谜、数字谜综合问题．（参考题目：本讲例15）
6
典型题目
1.2112□、2657□、3316□、6397□、7285□、1403□、4538□和8723□这8个五位数的最后一位都被
□卡片遮住，而且这8个五位数依次能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，且这8个被遮住的个位数字两两不同．那么这8个个位数字依次写下来应该分别是_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____．
2.有一个四位数是18的倍数，任意交换它两个数字的位置得到的还是四位数且仍然是18的倍数，这样
的四位数一共有_______个．
3.请从1，2，3，4，5，6，7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数
最大是________．
4.如果一个两位数，它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数，这个两位数是_______．
5.算式14710 (100)
⨯⨯⨯⨯⨯的计算结果，末尾有_______个连续的0．
6.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积末4位都是0，那么这11个数的平均数是_____．
6
7.一个自然数的3次方恰好有100个约数，那么这个自然数本身最少有________个约数．
8.已知n是自然数，那么22009
n+与29
n+的最大公约数最大可以是________．
9.两数相初的商是3，余数是1，如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是193，则被除数是
__________，除数是___________．
10.某正整数被63除商为31，余数为42，那么这个正整数所有质因数的和是_______．
11.三个连续的四位数，其中最小的能被15整除，中间的能被19整除，最大的能被23整除，那么这三
个自然数中最小是________．
12.给出一个多位数，比如123456，我们把从左到右数的第1、3、5位称为奇位，把第2、4、6位称为偶
位，位数增多就以此类推．现把多位数123456789101112……979899100写在纸上，然后从左到右划去奇位上的数字，划完之后得到一个新的多位数，再把这个新的多位数奇位上的数字划去，然后又得到一个新的多位数，接着再把奇位划去……最后得到一个三位数，这个三位数等于_________．
6
13. 在下图所示的写有数字1的加法算式中，不同的汉字代表不同的数字，只有“仁”与“人”代表的数
字相同，那么“仁华学校”代表的四位数字最小可能是____________．
14. 在下图的方格中填入合适的数，使每一行都为完全平方数，则最后结果为____________．
15. 在乘法算式ABCBD ABCBD CCCBCCBBCB ⨯=中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同
的数字，如果9D =，那么A B C ++的值是______．
16. 如图，在6个圆圈中填入2、3、5、7、11、13各一次，并在每个小三
角形的中心处写下它3个顶点上3个数的和．那么这些三角形中心处所写数的和被3除的余数是____________．这个总和一共有____________种不同的可能．
仁 华 学 校 ＋ 更 进 1 步 人 大
附
中
人
□ □ × □ □ □ □ □ □ □ □
□
□
6
第五讲 计数、组合数学考点串讲
考点概述：
一、
计数部分：
1. 枚举法、加乘原理、排列组合；（参考题目：本讲例1、例2、例3、例10）
2. 递推计数、对应计数；（参考题目：本讲例7、例8、例9）
3. 结合数论知识的计数综合问题；（参考题目：本讲例4、例5）
4. 结合数字相关知识的计数问题；（参考题目：本讲例6）
二、 组合问题包括：
1. 逻辑推理、统筹对策、抽屉原理、染色问题（参考题目：本讲例题11、例15）
2. 最值问题：（1）满足题目条件的情况不多时，可以用枚举法把可能的情况一一列举出来，再找出
最大值或最小值．（2）两个数的和一定，当它们越接近时乘积越大．（3）极端思考与局部调整也是解决最值问题的常用方法．（参考题目：本讲例题12） 3. 构造论证；（参考题目：本讲例题13、例14）
典型题目
1. 三边长为整数，且最大边长为11的三角形一共有________个．
2. 用3种颜色把一个33 的方格表染色，要求同行和同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有________
种不同的染色法．
姓名：________________ 日期：____年___月___日
6
3.有一个四位数，它与它的逆序四位数和为9999，那么这样的四位数一共有多少个？
4.各位数字之和为33，而且能够被33整除的五位数有________个．
5.从1、2、3、…、9中选取若干互不相同的数字（至少一个），使得其和是3的倍数，共有_____种选
法．
6.+=+=
□□□□□□□□□□，把数字0~9填入左边的方框中，使等式成立．每个数字只能填1次，一共有________种不同的填法．
7.一段楼梯有10级台阶，依次编号1到10．某个人上台阶的规则是在第几级台阶上就可以上这级台阶
的约数个台阶（约数有几个时随便选一个，如：在第6级台阶上时你可以选择往上走1、2、3或6级台阶），那么此人从第一级台阶走到第10级台阶共有________种不同的方法．
6
8.满足下面性质的数称为好数，它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字
差不超过2．例如1346为好数，3579为好数，但1456就不是好数．那么有________个四位好数．
9.把20个相同的球放进4个不同的箱子，要求第一个箱子不少1个球，第2个箱子不少于2个球，第3
个箱子不少于3个球，第4个箱子的球数不少于4个，一共有________种放球法．
10.有时候人们习惯用一个八位数表示日期(年月日)，比如用八位数“20020805”表示日期“2002年8月
5日”．如果某个日期对应的八位数满足：将其各位数字顺序完全反过来形成的八位数与原数相同，那么就称这个日期为“回文日期”．例如“1250年5月21日”就是一个回文日期(与其相对应的八位数为12500521)．
（1）从2000年1月1日到今天，一共有________个回文日期；
（2）从1000年1月1日到2000年1月1日，一共有________个回文日期；
（3）到3000年1月1日为止，最后一个回文日期是______年____月____日．
11.一只蚂蚁从右图中数字塔顶端标有“3”的方格出发往下走，
每步可走到该方格下层的两个方格中的一格，到达最底层为止．假如这只蚂蚁所走过的七格中7个数字都不相同．小蚂蚁所走的最后一格中所标的数字是______．
3
6 1
2 4
3
5 7
4 2
3 2
6 6 4
1 5
7 1 3
7 4
9 6 5
6
1 7
6
12. 北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机
若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地4台，杭州可以支援外地6台．现在决定给汉口6台，重庆8台，深圳6台．若每台计算机的运费如右表，表中运费单位是“万元”．上海、
北京和杭州制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省，最省运费是________万元．
13. 在圆周上任意写上4个1和5个0，我们把下面的过程称之为一次操作；在两个相同的数之间写上0，
在两个不同的数之间写上1，写完后擦掉原有的数字．那么能否经过有限次操作，使得圆周上所有的数字都变为0？并说明你的理由．
14. 能否将1，2，3，……，10排成一行，使得任意相邻三个数之和不大于15？要是16呢？
15. 甲、乙两人做一个游戏：每次从1、3、5、7、9中挑选一个数字，填入到“□□□□”中的某个空
格中，两人交替填写，形成一个没有重复数字的四位数．甲先填，他希望这个四位数是一个质数，而乙希望这个数是一个合数．那么谁有必胜策略？请你说明这个策略．
终点
起点
汉口 重庆 深圳 北京 4 8 11 上海 3 5 9 杭州
4
6
7。