有限域有限域的结构有限域特征
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j() = qj , Fqm , 0 j m1.
证明 验证j 是Fqm的Fq-自同构 说明0, 1,…, m1两两不同 若是Fqm的Fq-自同构，则{0, 1,…, m1}
19
Fqm的Fq-自同构 定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0, 1,…, m1, 其
j() = qj , Fqm , 0 j m1.11Leabharlann Fp上n次不可约多项式的存在性
定理 记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运 算是循环群.
证明
设
q
3，q
1
r re1 e2
12
r en n
.
多项式 x(q1)/ri 1在 Fq 中至多有(q1)/ri 个根
记 不是 的根, 令 .
i
x(q1)/ ri 1
i
(q1) / riei i
q = pn, F是xq x在Fp上的分裂域. S = {aF | aq a =0} S = F.
4
Characterization of Finite Fields 唯一性 定理 设F 是q = pn元有限域, 则 F 是同构于xq x在Fp上的
分裂域. q元有限域记为Fq
5
子域的存在唯一性 定理 设q = pn , 若E是Fq的子域，则|E | = pm, 其中m是n 的正因子；反之 ，若m是n的正因子，则Fq 有唯一的 pm元子域。
{0, 1,…, m1}是循环群，生成元为1 Gal(Fqm/Fq) = {0, 1,…, m1}
20
谢谢
例： F230的全体子域
6
设 f(x)是Fp上的 n次不可约多项式 Fp[x]中的同余关系
a(x) b(x) mod f(x) f(x) | a(x) b(x) over Fp 任意给定的g(x) Fp[x]与Fp[x]中某个次数小于n的多项式
（包括0）同余 g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或deg(r(x)) < n
x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x ,
) x3 + x2 +1}, +, mod f(x)
F2[x]/(x4 + x(+x21+) x) F+ (x3 +x +1) = x3 +x2 +1
(x2 + x) (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+1
g(x) r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
pn
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 7
设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式 F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 多项式的加 : g(x) + h(x)
14
不可约多项式的根
元素 Fqn在Fq上的极小多项式 : 首一, 不可约 设 f(x)是Fq上的n次不可约多项式， 是 f(x)在Fq扩域上
的根 (问: 是否有重根?)
f(x)的全体根 , q, q2,…, qn1 Fq()是qn元有限域, Fq() Fqn 是 f(x)的分裂域
Fq上的n次不可约多项式的分裂域同构 Fqn
有限域有限域的结构 有限域特征
有限域的特征 特征的含义 无零因子含幺环的特征: 0 或者素数 素域： Q 和 Z/(p) = {0,1,…, p 1} 定理 设F 是域, P 是 F 的素域. 若char F = p, 则 P Z/(p). 若char F = 0, 则 P Q. 有限域的特征是素数 无限域的特征一定是 0 吗？
15
共轭元
设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则, q, q2,…, qm1称为关
于Fq的共轭元。
注：设Fqm, 则关于Fq的共轭元两两不同当且仅当
在Fq上的极小多项式次数等于m。
注：若d 是m的因子, 关于Fq共轭元的不同元素为, q, q2,…, qd1 , 每个元素重复m/d 次.
16
共轭元
定理 设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则关于Fq的共轭元在
乘法群Fq*中有相同的阶。
推论 若Fqm是Fqm中的本原元，则关于Fq的共轭元
都是Fqm中的本原元。
17
Fqm的Fq-自同构 若是Fqm的自同构并且对于aFq 有(a) = a, 则称是 Fqm的Fq-自同构。
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Fqm的Fq-自同构 定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0, 1,…, m1, 其
2
有限域的元素个数 特征为 p的有限域F 都是Fp上的有限（维数）扩张。 |F | = pn, n = [F: Fp].
任意给定素数 p和正整数n, 是否一定存在 pn元有限域？ 如何构造有限域？
3
有限域的存在性与唯一性 存在性
定理 对每个素数 p和每个整数n, 存在 pn元有限域. 证明
ord(i) =
r ei i
ord(12n) = q 1
12
本原元（ primitive element ） 乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
13
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张。 推论 存在Fp上的n次不可约多项式。
9
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式 g(x) = x4 + x3 +1是F2上的不可约多项式 F2[x]/(f(x)) F2[x]/(g(x)) 能否给出同构映射？（作业）
10
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运 算是循环群.
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？ F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
Fp[x]/(f(x)) F
8
16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
F = ({0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 ,
证明 验证j 是Fqm的Fq-自同构 说明0, 1,…, m1两两不同 若是Fqm的Fq-自同构，则{0, 1,…, m1}
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Fqm的Fq-自同构 定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0, 1,…, m1, 其
j() = qj , Fqm , 0 j m1.11Leabharlann Fp上n次不可约多项式的存在性
定理 记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运 算是循环群.
证明
设
q
3，q
1
r re1 e2
12
r en n
.
多项式 x(q1)/ri 1在 Fq 中至多有(q1)/ri 个根
记 不是 的根, 令 .
i
x(q1)/ ri 1
i
(q1) / riei i
q = pn, F是xq x在Fp上的分裂域. S = {aF | aq a =0} S = F.
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Characterization of Finite Fields 唯一性 定理 设F 是q = pn元有限域, 则 F 是同构于xq x在Fp上的
分裂域. q元有限域记为Fq
5
子域的存在唯一性 定理 设q = pn , 若E是Fq的子域，则|E | = pm, 其中m是n 的正因子；反之 ，若m是n的正因子，则Fq 有唯一的 pm元子域。
{0, 1,…, m1}是循环群，生成元为1 Gal(Fqm/Fq) = {0, 1,…, m1}
20
谢谢
例： F230的全体子域
6
设 f(x)是Fp上的 n次不可约多项式 Fp[x]中的同余关系
a(x) b(x) mod f(x) f(x) | a(x) b(x) over Fp 任意给定的g(x) Fp[x]与Fp[x]中某个次数小于n的多项式
（包括0）同余 g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或deg(r(x)) < n
x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x ,
) x3 + x2 +1}, +, mod f(x)
F2[x]/(x4 + x(+x21+) x) F+ (x3 +x +1) = x3 +x2 +1
(x2 + x) (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+1
g(x) r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
pn
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 7
设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式 F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 多项式的加 : g(x) + h(x)
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不可约多项式的根
元素 Fqn在Fq上的极小多项式 : 首一, 不可约 设 f(x)是Fq上的n次不可约多项式， 是 f(x)在Fq扩域上
的根 (问: 是否有重根?)
f(x)的全体根 , q, q2,…, qn1 Fq()是qn元有限域, Fq() Fqn 是 f(x)的分裂域
Fq上的n次不可约多项式的分裂域同构 Fqn
有限域有限域的结构 有限域特征
有限域的特征 特征的含义 无零因子含幺环的特征: 0 或者素数 素域： Q 和 Z/(p) = {0,1,…, p 1} 定理 设F 是域, P 是 F 的素域. 若char F = p, 则 P Z/(p). 若char F = 0, 则 P Q. 有限域的特征是素数 无限域的特征一定是 0 吗？
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共轭元
设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则, q, q2,…, qm1称为关
于Fq的共轭元。
注：设Fqm, 则关于Fq的共轭元两两不同当且仅当
在Fq上的极小多项式次数等于m。
注：若d 是m的因子, 关于Fq共轭元的不同元素为, q, q2,…, qd1 , 每个元素重复m/d 次.
16
共轭元
定理 设Fqm是Fq的扩张, Fqm, 则关于Fq的共轭元在
乘法群Fq*中有相同的阶。
推论 若Fqm是Fqm中的本原元，则关于Fq的共轭元
都是Fqm中的本原元。
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Fqm的Fq-自同构 若是Fqm的自同构并且对于aFq 有(a) = a, 则称是 Fqm的Fq-自同构。
18
Fqm的Fq-自同构 定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0, 1,…, m1, 其
2
有限域的元素个数 特征为 p的有限域F 都是Fp上的有限（维数）扩张。 |F | = pn, n = [F: Fp].
任意给定素数 p和正整数n, 是否一定存在 pn元有限域？ 如何构造有限域？
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有限域的存在性与唯一性 存在性
定理 对每个素数 p和每个整数n, 存在 pn元有限域. 证明
ord(i) =
r ei i
ord(12n) = q 1
12
本原元（ primitive element ） 乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
13
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张。 推论 存在Fp上的n次不可约多项式。
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16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式 g(x) = x4 + x3 +1是F2上的不可约多项式 F2[x]/(f(x)) F2[x]/(g(x)) 能否给出同构映射？（作业）
10
Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 记有限域Fq的全体非零元Fq* ，则Fq*关于乘法运 算是循环群.
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？ F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
Fp[x]/(f(x)) F
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16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
F = ({0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 ,