空间点直线平面的位置关系

考
综
点
所得的四边形的四条边可以不在一个平面内，如空间 合
突
训
破 ·
四边形．
练 ·
规
能
律
【答案】 A
总
力 提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基 础
[规律方法] 确定平面的条件
素 能
落
培
实
(1)确定平面的依据是公理2及其推论．
优
(2)判断所给元素(点或直线)是否共面，关键是分析
基
· 素
础
能
落 实
例1 以下四个命题中
培 优
①空间四点中，若任意三点不共线，则这四点不共面；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点
考 点
A、B、C、D、E共面；
综 合
突
训
破ห้องสมุดไป่ตู้
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；练
·
·
规 律
④依次首尾相接的四条线段必共面．
能 力
总
提
结
升
菜单
要
创
点
新
梳
设
理 ·
3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝
计 ·
基
素
础
60°，则β为
落
能 培
实
A．60° B．120°
优
C．30° D．60°或120°
解析 由等角定理可知β＝60°或120°.
考
综
点 突
答案 D
合 训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
点
创 新
梳
设
理
2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则
·
计 ·
基 础
A．α内的所有直线与l异面
素 能
落
培
实
B．α内不存在与l平行的直线
优
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
考
综
点 突
解析 如图，设l∩α＝A，α内直
合 训
破
练
· 线若经过A点，则与直线l相交；若
规
· 能
律 总
不经过点A，则与直线l异面．
突
3
训
破
· 规 律
练
连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
· 能 力
总
提
结
故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为34.
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基
素
础
能
落 实
[规律方法] 找异面直线所成的角的三种方法
培 优
(1)利用图中已有的平行线平移．
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
正确命题的个数是
创 新
梳
设
理
A．0
B．1
C．2
D．3
计
·
·
基 础
【解析】 ①当其中两点确定的直线与另两点确定
素 能
落
培
实 的直线平行时，四点共面，故①不正确．②从条件看 优
出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共
线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时
考
综
点
合
突
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点 梳
四、定理
新 设
理
计
·
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 ·
基
素
础 落
个角 相等或互补 ．
能 培
实
优
[辨析]
2．若a⊂α，b⊄α，则a与b为异面直线，对吗？
考
提示 不对．异面直线是不同在任何一个平面内， 综
实
求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值．
优
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
解析 连接B1M，因为C1D1∥B1A1，
创 新
梳
设
理 ·
所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
计 ·
基
素
础
能
落
培
实
优
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
· 基
因为 A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°，
要
点
梳
理
·
基
础
落 实
相
交
关
系
考 点 突 破
· 规 律 总 结
图形 语言
符号 语言 交点 个数
a∩b＝A 1
菜单
创 新 设 计
· 素 能 培 优
a∩α＝A 1
α∩β＝l
综
无数个
合 训
练
·
能
力
提
升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
点
梳
理
·
基
础 落
图形
实 独 语言
有
关
考 点
系
符号 语言
a，b是异面直线
素 能
落
培
实 的中点，所以DE⊥AB.
优
而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
(2)因为 BC∥AD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与
要
创
点 梳
OD
所成的角，即∠ADO
是
BC
点
合
突
没有公共点．
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
小题热身
创 新
梳
设
理 ·
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么
计 ·
基 础
c与b
素 能
落
培
实
A．异面
B．相交
优
C．不可能平行
D．不可能相交
解析 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相
考
综
点 突
力 提
结
升
答案 B
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点 梳
考点三 异面直线所成的角
新 设
理
计
· 基 础
例3
(2014·湖南)如图所示，已知二面角α－MN－
· 素 能
落 实
β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱
培 优
MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂
左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个
素 能
落
培
实 部分；前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分 优
分成三部分，共9×3＝27部分．
考
点
突
破
·
规
律
总
结
答案 27
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 考点突破·规律总结
创
点
新
梳
设
理
计
· 考点一 平面的基本性质及其应用
计 ·
基 础
法
素 能
落
培
实
(1)异面直线，可采用直接法或反证法．
优
(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、
公理4及线面平行与面面平行的性质定理．
考
综
点 突
(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．
合 训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 ◎变式训练
4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC
创 新
梳
设
理 ＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是
计
·
·
基 础
A．AB∥CD
素 能
落
培
实
B．AB与CD异面
优
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
考
综
点 突
解析 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等
合 训
破 ·
交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，
合 训
破 ·
b是异面直线相矛盾．
练 ·
规
能
律 总
答案 C
力 提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
2．下列命题是真命题的是
创 新
梳
设
理
A．空间中不同三点确定一个平面
计
·
·
基 础
B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面
素 能
落
培
(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．
考
(3)补形平移．
点
综 合
突
训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 ◎变式训练
点
创 新
梳
设
理 ·
3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
计 ·
基 础
AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
落
素 能 培
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基
素
础
能
落
培
实
优
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考 点 突 破 · 规 律 总 结
菜单
综 合 训 练 · 能 力 提 升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 要点梳理·基础落实
创
点
新
梳
设
理 ·
考纲点击
计 ·
基
素
础 落
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
考
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重 综
点
合
突 破
合．
训 练
·
·
规
其中正确命题的个数是
能
律
力
总 结
A．0
B．1
C．2
D．3
提 升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基 础
素
解析 对于①，未强调三点不共线，故①错误；② 能
落
培
实
正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标 优
所给元素是否具备确定唯一平面的条件，如不具备则
考
综
点
不共面．
突
合 训
破
练
·
·
规
能
律
力
总
提
结
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
◎变式训练
梳
创 新 设
理
计
· 基
1．下列命题：
· 素
础
能
落
①经过三点确定一个平面；
实
培 优
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
突
破
交点
· 规
个数
0
律
总
结
菜单
创 新 设 计
· 素 能 培 优
a⊂α
综 合
训
练
无数个
·
能
力
提
升
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要
创
点
新
梳
设
理
计
·
·
基
素
础
能
落 实
[辨析]
培 优
1．直线a在平面α外，则a与α无公共点，对吗？
提示 不对．a在α外包括a∥α和a与α相交，当a与α
考
相交时，有1个公共点．
实
C．一条直线和一个点能确定一个平面
优
D．梯形一定是平面图形
解析 空间中不共线的三点确定一个平面，A错；
考
综
点
空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面， 合
突
训
破 ·
B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故
练 ·
规
能
律
D正确．
总
力 提
结
答案 D
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平
练 ·
规
能
律
行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．
总
力 提
结
答案 D
升
菜单
高考总复习·数学（理科）
第七章 立体几何
要 点
5．正方体各面所在平面将空间分成________部分．
创 新
梳
设
理
解析 如图，上下底面所在平面把空间分成三部分； 计
·
·
基 础
与
OD
所成的角．由(1)知，
新 设
理
计
· 基
AB⊥平面 ODE，所以 AB⊥OE.又 OE⊥AB，于是∠DEO
· 素
础
能
落 实
是二面角 α－MN－β 的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设
培 优
AB＝2，则 AD＝2，易知 DE＝ 3.
考
在 Rt△DOE 中，DO＝DE·sin 60°＝32.
综
点
合
系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三
点共线，则两平面也可能相交，故④错误．
考
综
点 突
答案 C
合 训
破
练