人教A版数学必修四第一章《三角函数》单元教学设计

高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计

［教材地位分析］

三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。

［本单元教学内容］

［教学内容分析］

本单元教学

课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课

2、数学思想：数形结合思想

3、计算能力：代数变形与三角变换

教学要素分析：

1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。

2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。事实上，圆的周长是实数统

计的，度量圆心角大小时用到度数，如何来对应？在讲课时，要讲清角度制与弧

度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的，讲清之间的换算关系是课堂的关键。

3、在特殊情形（α为锐角）的情况下，在单位圆上发现（α， 1）与（x,y ）

之间的关系，这样两者产生逻辑关系，进而推广到α为任意角，这样由特殊到一

般思维方式是符合学生思维的。三角函数与《必修1》的函数概念是特殊与一般

的关系，教学中应当注意发挥学生头脑中的函数概念，学生在指数函数、对数函

数的学习中总结的经验方法。通过联系和类比，使学生明确三角函数与已有函数

概念的通性，同时认识三角函数的特殊性——描述周期现象的最有力的数学模

型。这样的引导方式，学生对三角函数就不感到陌生。

4、把角放在坐标系中研究，使对角的研究有了一个统一的载体，这是在找方

法。能把复杂的问题统一起来研究，让学生感受数学的魅力，提高学习数学的积

极性。在坐标系中，通过对各种角的表示法的训练，提高学生分析、解决问题的

能力。本单元的教学应始终贯穿着旋转、对称变换及数形结合的思想方法，使学

生初步形成用运动变化的观点以及借助图形的直观性来分析问题、解决问题，要

重视数学思想方法的渗透。

5、如何发现同角三角函数关系？在前面的学习中，研究角的时候，先把角放

在坐标系中，再放置一个单位圆，用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数。

这样来定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆

的重要性，为后续借助单位圆讨论三角函数的图象与性质外，主要还是为了更好

地反映三角函数的本质。在教学中，要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐

使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆

探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力。这样，在单位圆中找同

角三角函数的关系比较简单，把任务交给学生，学生会独立完成的，而且课堂很

轻松。最后帮助学生总结，并强调单位圆是解决三角函数问题的有力工具。

6、三角函数的图像与性质教什么，笔者认为教学教学应该从以下几个方面入

手：①、教数学研究对象的一般方法与规律。本节应在定性到定量上下功夫，因

为在单位圆中学生已学习了正弦线，本节应该结合诱导公式理性来说明性质，不

能总“螺旋”而不“上升”。②、教周期函数的一般研究思路和方法。三角函数

是刻画周期现象的函数模型，在本章应教会学生研究周期现象的一般方法：在一

个周期内研究性质，该函数在其他周期内重复基本周期区间的性质。③、教“真

难点”正弦函数性质中真正的难点是对单调区间的认识，和对称轴、对称中心的

获得，突破这些难点的手段是强化周期概念和认识，教学中应在此处下功夫。另

外学生未必对k ∈z 真正理解，教学中应对单调区间、对称轴、对称中心具体化。

④、教数形结合，利用图像研究性质，教学中应强化数形结合思想的应用。图形

是看得见的语言，应重视单位圆的教学，单位圆不仅仅说明了三角函数定义和绘

制图像，还可以借助单位圆的直观特点，来很好地帮助学生理解正弦函数、余弦

函数的周期、最值、诱导公式、单调性、奇偶性等性质，又能更好地反应问题本

质。在学习三角函数的整个过程中，都给我们提供了很好的几何直观。

7、通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从

而达到从感性认识到理性认识的飞跃。具体过程：（一）探索ϕ对)sin(ϕ+=x y ，

R x ∈的图象的影响。（二）探索)x sin(y )0(ϕωωω+=>对的图象的影响。（三）探索A(A>0)对)sin(ϕω+=x A y 的影响。（四）写出由x y sin =到)sin(ϕω+=x A y 的两种方法。当然先分组，小组成员合作探究，选出代表发言，最后用计算机画出图象，总结各组的结论，重点分析出现的问题，指出两种变换的区别，并分析原因，加深对知识的理解。

8、关于三角函数模型简单应用一节，举例单摆，圆周运动，弹簧振子等等都是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象变化规律的模型，体会三角函数模型的很好载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。在教学中可以插入数学探究或数学建模活动，提高学生的动手能力，解决问题的能力。

9、恰当地使用信息技术。信息技术应为数学的教与学服务，关键要看其在课堂上能否为教学目标服务，起到传统方法达不到的效果。

［教学目标］

1.总体要求。 本单元学习的内容主要是三角函数定义、图象、性质及应用。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中都具有重要的作用。在本章中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

2.具体要求。

（1）任意角、弧度：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数

①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数性质 （如单调性、 最大和最小值、图象与x 轴交点等） 。

④理解同角三角函数的基本关系式。

⑤ 结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x A y 实际意义,能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题， 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

［教学流程］

教材“三角函数”，一章从现实世界的周期性现象导入，以探求与建构刻画周期性现象的数学模型为主线，展开全章内容：构建刻画周期性现象的数学模型→如何刻画圆周上一点运动→如何刻画圆周上一点周而复始的运动即角的概念的推广→弧度制是说明（α，r ）与弧长L 的关系→ （α，1）与（x,y ）之间的关系即三角函数的定义→不同模型之间的关系即同角三角函数的关系→这些模型能刻画周期性运动吗？即学习诱导公式→这些模型是怎样刻画周期性运的？