浙江省2019届高考模拟卷(一)数学试题及精品解析
2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1}D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD ﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1}D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=1，数列{a n}通项公式a n=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）=2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为5；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a=∵S△ABC==5，∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知﹣1数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，=2n﹣7，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．2019年9月18日。
浙江省杭州市2019届高三高考模拟卷模拟数学试卷1附答案
2019年高考模拟试卷数学卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。
2.答题前，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件,A B互斥，则棱柱的体积公式若事件相互独立，则其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高若事件在一次试验中发生的概率是，则次棱锥的体积公式独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高球的表面积公式台体的体积公式球的体积公式其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，表示棱台的高其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（原创）已知集合，，那么（）A． B． C．D．2．（原创）设，，则的值是（） A．B．C．D．3．（原创）若复数(是虚数单位)，则（）A． B． C． D．4．(摘抄)已知是等比数列的公比，则“”是“数列是递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．(摘抄)已知为异面直线，为两个不同平面，，，且直线满足，，，，则（）A．且 B．且C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于6．（改编）若正数满足，则的最小值为（）A．4 B．6 C．9 D．167．（原创）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．（原创）已知关于的方程有解，其中不共线，则参数的解的集合为（）A．或 B. C. D.9．(摘抄)已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（）A．0个B．1个C．3个D．无数个10．(摘抄)已知函数，满足且，，则当时，（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（原创）二项式的展开式中，（112．(摘抄)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为______，该四面体的体积为_________.13．(原创)若将向量围绕起点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为_____，与共线的单位向量_____．14．（原创）在这个自然数中，任取个数，（1）这个数中恰有个是偶数的概率是；（用数字作答）（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．则随机变量的数学期望．15．（原创）若变量满足：，且满足：，则参数的取值范围为______________．16．（原创）若点为的重心，且，则的最大值为_________________．17．（改编）若存在，使得方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）（原创）在中，内角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设边的中点为，，求的面积．19．（本小题满分15分）E正方体内部或正方体的面上，且满足：面。
2019年浙江卷数学高考真题及答案解析(word精编)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则UA B =A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．22B．1 C．2D．23．若实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z=3x+2y的最大值是A．1-B．1C．10 D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A．158 B．162C．182 D．325．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa，y=log a(x+)，(a>0且a≠0)的图像可能是7．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则 A ．a <-1，b <0 B ．a <-1，b >0 C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =，a 10＞10B ．当b =，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省2019届高考模拟卷(一)数学试卷(含精品解析)
浙江省2019年高考全真模拟卷（一）数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.4.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=r2(r>0).圆心(1,0)到直线的距离.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x−y+3=0的距离为1，则0<r<3.则p是q的充要条件。
2019年浙江省高考数学模拟试卷(含详细解析)
2019年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U A＝{1，3，5}，则A＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，3，5}C．{2，4}D．∅2．（4分）以下关于双曲线M：x2﹣y2＝8的判断正确的是（）A．M的离心率为2B．M的实轴长为2C．M的焦距为16D．M的渐近线方程为y＝±x3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1D．4．（4分）复数i（i﹣1）的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i5．（4分）函数y＝x﹣2sin x的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）“m＝﹣3”是“直线（m+1）x+y+1＝0与直线2x+（m+2）y+2＝0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（YC．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＝E（Y），D（X）＝D（Y）8．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB ﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A．1B．1C．2D．210．（4分）定义函数的“拐点”如下：设f′（x）是函数f（x）的导数，f′（x）是函数f （x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，已知任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心：若f（x）＝x3﹣9x2+20x﹣4，数列{a n}为等差数列，a5＝3，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）＝（）A．44B．36C．27D．18二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）若关于x的方程3|x﹣2|+k cos（2﹣x）＝0只有一个实数解，则实数k的值为．12．（6分）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是．13．（6分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a，a cos B+b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为．14．（4分）二项式（）8的展开式的常数项是．15．（6分）已知λ∈R，函数f（x），，＜，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．16．（4分）两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有种．17．（4分）已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝时，点B横坐标的绝对值最大．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）如图，锐角α，β的终边与单位圆的交点分别为A（，）B（，）．（I）求tanα；（II）求cos（α﹣β）．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠CBE＝90°，BC ＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+1≤a3．a2+3≥a4，数列{b n}满足b n，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S1，S2，S m（m∈N*）成等比数列，求m的值．。
(完整版)2019年浙江省高考数学试卷解析(精品)
2019年浙江省高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则（∁U A）∩B=（）A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}2.渐进线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. √22B. 1C. √2D. 23.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x+2y的最大值是（）A. −1B. 1C. 10D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A. 158B. 162C. 182D. 3245.若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数y=1a x ，y=1og a（x+12）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.7.X0a1P 131313则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A. D(X)增大 B. D(X)减小 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大8. 设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（ ）A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β9. 设a ，b ∈R ，函数f （x ）={x ，x ＜0，13x 3−12(a +1)x 2+ax ，x ≥0．若函数y =f （x ）-ax -b 恰有3个零点，则（ ）A. a <−1，b <0B. a <−1，b >0C. a >−1，b <0D. a >−1，b >0 10. 设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n ∈N *，则（ ）A. 当b =12时，a 10>10 B. 当b =14时，a 10>10 C. 当b =−2时，a 10>10D. 当b =−4时，a 10>10二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 复数z =11+i （i 为虚数单位），则|z |=______．12. 已知圆C 的圆心坐标是（0，m ），半径长是r ．若直线2x -y +3=0与圆C 相切于点A（-2，-1），则m =______，r =______．13. 在二项式（√2+x ）9展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______． 14. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点D 在线段AC 上，若∠BDC =45°，则BD =______，cos ∠ABD =______． 15. 已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______．16. 已知a ∈R ，函数f （x ）=ax 3-x ．若存在t ∈R ，使得|f （t +2）-f （t ）|≤23，则实数a 的最大值是______．17. 已知正方形ABCD 的边长为1．当每个λi （i =1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______，最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共71.0分） 18. 设函数f （x ）=sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域．19. 如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC =90°，∠BAC =30°，A 1A =A 1C =AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． （Ⅰ）证明：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．20. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，a 4=S 3．数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =√an2b n，n ∈N *，证明：c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *．21. 如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 点坐标．22.已知实数a≠0，设函数f（x）=a ln x+√1+x，x＞0．（Ⅰ）当a=-34时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[1e2，+∞）均有f（x）≤√x2a，求a的取值范围．注意：e=2.71828……为自然对数的底数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵∁U A={-1，3}，∴（∁U A）∩B={-1，3}∩{-1，0，l}={-1}故选：A．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据渐进线方程为x±y=0的双曲线，可得a=b，所以c=则该双曲线的离心率为e==，故选：C．由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+2y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．4.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即=27，高为6，则该柱体的体积是V=27×6=162．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果.【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a=4，b=，则ab=1≤4，但a+b=4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选A．6.【答案】D【解析】解：由函数y=，y=1og a（x+），当a＞1时，可得y=是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）点；当1＞a＞0时，可得y=是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）点；∴满足要求的图象为D，故选D．对a进行讨论，结合指数，对数函数的性质即可判断.本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：E（X）=0×+a×+1×=，D（X）=（）2×+（a-）2×+（1-）2×=[（a+1）2+（2a-1）2+（a-2）2]=（a2-a+1）=（a-）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．方差公式结合二次函数的单调性可得结果本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，过D作DH∥AC，交BG于H，则α=∠BPF，β=∠PBD，γ=∠PED，则cosα===＜=cosβ，可得β＜α；tanγ=＞=tanβ，可得β＜γ，方法二、由最小值定理可得β＜α，记V-AC-B的平面角为γ'（显然γ'=γ），由最大角定理可得β＜γ'=γ；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα==，可得sinα=，sinβ==，sinγ==，故选：B．本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9.【答案】C【解析】解：当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，得x=；y=f（x）-ax-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，y′=x2-（a+1）x，当a+1≤0，即a≤-1时，y′≥0，y=f（x）-ax-b在[0，+∞）上递增，y=f（x）-ax-b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜-1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴＜0且，解得b＜0，1-a＞0，b＞-（a+1）3．故选：C．当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.【答案】A【解析】解：对于B，令=0，得λ=，取，∴，∴当b=时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，∴a2=2，…，a n=2＜10，∴当b=-2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，∴，…，＜10，∴当b=-4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，≥，a n+1-a n＞0，{a n}递增，当n≥4时，=a n+＞1+=，∴，∴＞（）6，∴a10＞＞10．故A正确．故选：A．对于B，令=0，得λ=，取，得到当b=时，a10＜10；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，得到当b=-2时，a10＜10；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，得到当b=-4时，a10＜10；对于A，，，≥，当n≥4时，=a n+＞1+=，由此推导出＞（）6，从而a10＞＞10．本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．11.【答案】√22【解析】解：∵z==．∴|z|=．故答案为：．利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12.【答案】-2 √5【解析】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m=-2．∴圆心为（0，-2），则半径r=．故答案为：-2，．由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．13.【答案】16√2 5【解析】解：二项式的展开式的通项为=．由r=0，得常数项是；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．14.【答案】12√257√2 10【解析】解：在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，AC=5，sinC=，在△BCD中，可得=，可得BD=；∠CBD=135°-C，sin∠CBD=sin（135°-C）=（cosC+sinC）=×（+）=，即有cos∠ABD=cos（90°-∠CBD）=sin∠CBD=，故答案为：，，解直角三角形ABC，可得sinC，cosC，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】√15【解析】解：椭圆=1的a=3，b=，c=2，e=，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|=2|AO|=4，设P的坐标为（m，n），可得3-m=4，可得m=-，n=，由F（-2，0），可得直线PF的斜率为=．故答案为：．求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：存在t∈R，使得|f（t+2）-f（t）|≤，即有|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，可得-≤2a（3t2+6t+4）-2≤，即≤a（3t2+6t+4）≤，由3t2+6t+4=3（t+1）2+1≥1，可得0＜a≤，可得a的最大值为．故答案为：．由题意可得|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题．17.【答案】0 2√5【解析】解：正方形ABCD 的边长为1，可得+=，=-， •=0， |λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6| =|λ1+λ2-λ3-λ4+λ5+λ5+λ6-λ6|=|（λ1-λ3+λ5-λ6）+（λ2-λ4+λ5+λ6）| =，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1， 可得λ1-λ3+λ5-λ6=0，λ2-λ4+λ5+λ6=0，可取λ5=λ6=1，λ1=λ3=1，λ2=-1，λ4=1， 可得所求最小值为0；由λ1-λ3+λ5-λ6，λ2-λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2=1，λ4=-1，λ5=λ6=1，λ1=1，λ3=-1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2． 由题意可得+=，=-，•=0，化简|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1，由完全平方数的最值，可得所求最值．本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由f （x ）=sin x ，得f （x +θ）=sin （x +θ），∵f （x +θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k ∈Z ）， ∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2=sin 2（x +π12）+sin 2（x +π4） =1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2=1-12(cos2xcos π6−sin2xsin π6−sin2x) =34sin2x −√34cos2x +1=√32sin(2x −π6)+1，∵x ∈R ，∴sin(2x −π6)∈[−1，1]，∴y =√32sin(2x −π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．【解析】（1）函数f （x+θ）是偶函数，则=（k ∈Z ），根据的范围可得结果； （2）化简函数得y=，然后根据x 的范围求值域即可．本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题． 19.【答案】方法一：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，∴A 1E ⊥平面ABC ，∴A 1E ⊥BC ，∵A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，∴BC ⊥A 1F ， ∴BC ⊥平面A 1EF ，∴EF ⊥BC ．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形， 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， ∴平行四边形EGFA 1是矩形， 由（Ⅰ）得BC ⊥平面EGFA 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，∴EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角）， 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =2√3，EG =√3，∵O 是A 1G 的中点，故EO =OG =A 1G 2=√152， ∴cos ∠EOG =EO 2+OG 2−EG 22×EO×OG=35， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点， ∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴A 1E ⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设AC =4，则A 1（0，0，2√3），B （√3，1，0），B 1（√3，3，2√3），F （√32，32，2√3），C （0，2，0），EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，32，2√3），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0）， 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得EF ⊥BC ． 解：（Ⅱ）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ， 由（Ⅰ）得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0），A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2√3），设平面A 1BC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3x +y =0A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y −√3z =0，取x =1，得n⃗ =（1，√3，1）， ∴sinθ=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=45， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35． 【解析】法一：（Ⅰ）连结A 1E ，则A 1E ⊥AC ，从而A 1E ⊥平面ABC ，A 1E ⊥BC ，推导出BC ⊥A 1F ，从而BC ⊥平面A 1EF 由此能证明EF ⊥BC ．（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形，推导出A 1E ⊥EG ，从而平行四边形EGFA 1是矩形，推导出BC ⊥平面EGFA 1，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角），由此能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 法二：（Ⅰ）连结A 1E ，推导出A 1E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．20.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题意得{a 1+2d =4a 1+3d =3a 1+3d，解得a 1=0，d =2， ∴a n =2n -2，n ∈N *． ∴S n =n 2-n ，n ∈N *，∵数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列． ∴（S n +1+b n ）2=（S n +b n ）（S n +2+b n ），解得b n =1d (S n+12−S n S n+2)， 解得b n =n 2+n ，n ∈N *．证明：（Ⅱ）c n =√a n2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1)，n ∈N *， 用数学归纳法证明：①当n =1时，c 1=0＜2，不等式成立；②假设n =k ，（k ∈N *）时不等式成立，即c 1+c 2+…+c k ＜2√k ， 则当n =k +1时， c 1+c 2+…+c k +c k +1＜2√k +√k (k+1)(k+2)＜2√k +√1k+1＜2√k +2√k+1+√k =2√k +2(√k +1−√k)=2√k +1， 即n =k +1时，不等式也成立．由①②得c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *． 【解析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=0，d=2，从而a n =2n-2，n ∈N *．S n =n 2-n ，n ∈N *，利用（S n+1+b n ）2=（S n +b n ）（S n+2+b n ），能求出b n ． （Ⅱ）==，n ∈N *，用数学归纳法证明，得到c 1+c 2+…+c n ＜2，n ∈N *．本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．21.【答案】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=1，∴p =2，∴抛物线的准线方程为x =-1；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ）， 令y A =2t ，t ≠0，则x A =t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x =t 2−12ty +1，代入y 2=4x ，得：y 2−2(t 2−1)t y −4=0，∴2ty B =-4，即y B =-2t ，∴B （1t 2，-2t ），又x G =13（x A +x B +x C ），y G =13（y A +y B +y C ），重心在x 轴上， ∴2t −2t +y C =0，∴C （（1t −t ）2，2（1t −t ）），G （2t 4−2t 2+23t 2，0），∴直线AC 的方程为y -2t =2t （x -t 2），得Q （t 2-1，0）， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2＞2， ∴S 1S 2=12|FG|⋅|y A |12|QG|⋅|y C |=|2t 4−2t 2+13t 2|⋅|2t||t 2−1−2t 4−2t 2+23t 2|⋅|2t−2t|=2t 4−t 2t 4−1=2-t 2−2t 4−1，令m =t 2-2，则m ＞0，S 1S 2=2-mm 2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12√m⋅3m+4=1+√32，∴当m =√3时，S 1S 2取得最小值为1+√32，此时G （2，0）．【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：=1，由此能求出抛物线的准线方程；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ），令y A =2t ，t≠0，则，从而直线AB 的方程为x=，代入y 2=4x ，得：，求出B （，-），由重心在x 轴上，得到=0，从而C （（）2，2（）），G （，0），进崦直线AC 的方程为y-2t=2t （x-t 2），得Q （t 2-1，0），由此结合已知条件能求出结果．本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）当a =-34时，f （x ）=-34lnx +√1+x ，x ＞0，f ′（x ）=-34x 21+x =√1+x−2)(2√1+x+1)4x √1+x，∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f （x ）≤12a ，得0＜a ≤√24，当0＜a ≤√24时，f （x ）≤√x4a，等价于√x a 2-2√1+xa-2ln x ≥0，令t =1a ，则t ≥2√2，设g （t ）=t 2√x -2t √1+x -2ln x ，t ≥2√2， 则g （t ）=√x （t -√1+1x）2-x -2ln x ，（i ）当x ∈[17，+∞）时，√1+1x≤2√2，则g （x ）≥g （2√2）=8√x −4√2√1+x −2lnx ， 记p （x ）=4√x -2√2√1+x -ln x ，x ≥17， 则p ′（x ）=√x√2√x+1-1x=√x √x+1−√2x−√x+1x √x+1 =√x(√2x+2−1)]x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x)，∴g （t ）≥g （2√2)=2p(x)=2p （x ）≥0．（ii ）当x ∈[1e 2，17）时，g （t ）≥g （√1+1x）=√xlnx−(x+1)2√x，令q （x ）=2√x ln x +（x +1），x ∈[1e ，17]， 则q ′（x ）=√x +1＞0，故q （x ）在[1e 2，17]上单调递增，∴q （x ）≤q （17），由（i ）得q （17）=-2√77p （17）＜-2√77p （1）=0，∴q （x ）＜0，∴g （t ）≥g （√1+1x）=-2√x ＞0，由（i）（ii）知对任意x∈[1e2，+∞），t∈[2√2，+∞），g（t）≥0，即对任意x∈[1e2，+∞），均有f（x）≤√x2a，综上所述，所求的a的取值范围是（0，√24]．【解析】（1）当a=-时，f′（x）=-=，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由f（x）≤，得0＜a≤，当0＜a≤时，f（x）≤，等价于--2lnx≥0，令t=，则t，设g（t）=t2-2t-2lnx，t，则g（t）=（t-）2--2lnx，由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a的取值范围．本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．。
2019年最新(统考)浙江省十校高考模拟考试数学试卷及答案解析
浙江省十校高考模拟考试数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。
请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 柱体的体积公式 P(A+B)= P(A)+ P(B)V=Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P(A •B)= P(A)•P(B)锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V=13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k)=(1)(0,1,2,,)k k n k n C p p k n --= 球的表面积公式 台体的体积公式S=4πR 2V=13(S 12) h球的体积公式其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V=43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知i 为虚数单位，则32i +=ABCD ．32．已知{|21}A x x =-<<，{|21}x B x =>，则()A B R ð为A ．(2,1)-B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(2,0]-3．若828128(1)1x a x a x a x -=++++，则5a =A ．56B ．56C ．35D ．354．设函数f(x)=sin(x+)( >0)，则f(x)的奇偶性A ．与有关，且与有关B ．与有关，但与无关C ．与无关，且与无关D ．与无关，但与有关5． 已知x R ∈，则|3||1|2x x ---<“”是1x “≠”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知∠B =30º,△ABC 的面积为32．且 sinA+sinC=2sinB ，则b 的值为A ．4+B ．4-C 1-D 1+7． 将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为A ．50B ．80C ．120D ．1408． 已知a,b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax+by+c i =0与抛物线y 2=2px(p>0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ,y i )，则下列说法错误的是 A.数列{x i }可能是等比数列 B.数列{y i }是常数列C. 数列{x i }可能是等差数列D.数列{x i +y i }可能是等比数列9． 若定义在(0,1)上的函数f(x)满足：f(x)>0且对任意的x ∈(0,1)，有222()1x f f x x⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则 A. 对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f(x)≥M B. 存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f(x)≤M C. 对任意的x 1,x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f(x 1)< f(x 2)D. 对任意的x 1,x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f(x 1)> f(x 2)10. 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)， 直线D 1P 与MN 所成角为，若的最小值为3π，则点P 的轨迹是 A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分非选择题部分（共110分）（第10题图） B 1D 1C B二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体表面积为▲．12．比较2lg2,(lg2),lg(lg2)13．设随机变量X的分布列为则14．已知函数f(x)=x3+ax+b的图象在点(1,f(1))处的切线方程为，则a=b = ▲．15．若不等式组240,340,0,x yax yy+-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≥表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a的值为▲．16. 若非零向量a,b满足：a2=(5，则cos<a,b>的最小值为▲ ．17. 已知实数x,y,z满足22221,5,xy zx y z+=⎧⎨++=⎩则xyz的最小值为▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019年高考真题——数学(浙江卷) 解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C.,βαγα<<D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cossin ,sin ,sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】D 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102n a =<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________. 2 【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 122 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. 72cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019年浙江省高考全真模拟数学试卷及解析
浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=；展开式中的常数项为．13．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选C．2．（4分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（4分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（4分）已知a，b∈R，则“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设f（x）=x|x|=，由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，即“a|a|＞b|b|”是“a＞b”的充要条件，故选：C．5．（4分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D6．（4分）若数列{a n}满足{a1}=2，{a n+1}=（n∈N*），则该数列的前2017项的乘积是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．【解答】解：∵数列，∴a2==﹣3，同理可得：a3=，a4=，a5=2，…．=a n，a1a2a3a4=1．∴a n+4∴该数列的前2017项的乘积=1504×a1=2．故选：C．7．（4分）如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：设CG=a，P（x，0，z），则，即z=．又B（2，2，0），G（0，2，a），∴=（2﹣x，2，﹣），=（﹣x，2，a（1﹣）），∴=（x﹣2）x+4+=0，显然x≠0且x≠2，∴a2=，∵x∈（0，2），∴2x﹣x2∈（0，1]，∴当2x﹣x2=1时，a2取得最小值12，∴a的最小值为2．故选D．8．（4分）设函数，g（x）=ln（ax2﹣2x+1），若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，1]B．[0，1]C．（0，2]D．（﹣∞，1]【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣2x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在R上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣2x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤1．∴实数a的范围是（﹣∞，1]，故选：D．9．（4分）某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布，则E（﹣ξ）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ξ服从二项分布，∴E（ξ）=5×=，∴E（﹣ξ）=﹣E（ξ）=﹣．故选D．10．（4分）已知非零向量，满足||=2||，若函数f（x）=x3+||x2+x+1在R上存在极值，则和夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：；∵f（x）在R上存在极值；∴f′（x）=0有两个不同实数根；∴；即，；∴；∴；∴与夹角的取值范围为．故选B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为组合体，左右两边都是棱长为1的正方体截去一个角，则该几何体的体积为；表面积为=．故答案为：；．12．（6分）在的展开式中，各项系数之和为64，则n=6；展开式中的常数项为15．【解答】解：令x=1，则在的展开式中，各项系数之和为2n=64，解得n=6，则其通项公式为C6r x，令6﹣3r=0，解得r=2，则展开式中的常数项为C62=15故答案为：6，1513．（6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是．【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为×=．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为×=，故答案为：；．14．（6分）设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．【解答】解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．15．（4分）当实数x，y满足时，ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．由ax+y≤4得y≤﹣ax+4要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，若a=0，则不等式等价为y≤4，此时满足条件，若﹣a＞0，即a＜0，平面区域满足条件，若﹣a＜0，即a＞0时，要使平面区域在直线y=﹣ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1≤4，得0＜a≤．综上a≤∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（4分）设数列{a n}满足，且对任意的n∈N*，满足，，则a2017=．【解答】解：对任意的n∈N*，满足a n+2﹣a n≤2n，a n+4﹣a n≥5×2n，∴a n+4﹣a n+2≤2n+2，∴5×2n≤a n+4﹣a n+2+a n+2﹣a n≤2n+2+2n=5×2n，∴a n+4﹣a n=5×2n，∴a2017=（a2017﹣a2013）+（a2013﹣a2009）+...+（a5﹣a1）+a1=5×（22013+22009+ (2)+=5×+=，故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=ax2+2x+1，若对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=2x+1，f[f（x）]=4x+3，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，当a＞0时，f（x）≥=1﹣，f[f（x）]≥f（1﹣）=a（1﹣）2+2（1﹣）+1=a﹣+1，解a﹣+1≥0得：a≤，或a≥，故a≥，当a＜0时，f（x）≤=1﹣，不满足对任意x∈R，f[f（x）]≥0恒成立，综上可得：a≥故答案为：a≥三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18．已知函数f（x）=x﹣1，x∈R．（I）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=，f（C）=1，sinB=2sinA，求a，b的值．【解答】解：由，…（2分）（1）周期为T=π，…（3分）因为，…（4分）所以，∴函数的单减区间为；…（6分）（2）因为，所以；…（7分）所以，a2+b2﹣ab=3，…（9分）又因为sinB=2sinA，所以b=2a，…（10分）解得：a=1，b=2，∴a，b的值1，2．…（12分）19．如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，CE⊥BD于E （Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】（I）证明：连接AE，∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE是公共边，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠CEB，∵CE⊥BD，∴AE⊥BD，又AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，AE∩CE=E，∴BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，∴BD⊥AC．（2）解：过E作EF⊥AD于F，连接CF，∵平面ABD⊥平面BCD，CE⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，∴CE⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴CE⊥AD，又AD⊥EF，∴AD⊥平面CEF，∴∠CFE为二面角C﹣AD﹣B的平面角，∵AB=BC=2，∠ABD=∠CBD=60°，AE⊥BD，CE⊥BD，∴BE=1，AE=CE=，DE=，∴AD==，EF==，CF==，∴cos∠CFE==．∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20．已知函数．（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a=2时，，∴，∴，f'（1）=0；∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．（Ⅱ）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），，令f（x）=0，解得x1=1，x2=a﹣1，①当a＞2时，所以a﹣1＞1，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上f（x）＞0；在区间（1，a﹣1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）．②当a=2时，f'（x）＞=0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．③当1＜a＜2时，a﹣1＜1，在区间（0，a﹣1），和（1，+∞）上f'（x）＞0；在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，故函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）④当a=1时，f'（x）=x﹣1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）⑤当0＜a＜1时，a﹣1＜0，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1），综上，①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a﹣1，+∞），单调递减区间是（1，a﹣1）；②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；③当0＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是（0，a﹣1），（1，+∞），单调递减区间是（a﹣1，1）；④当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．21．已知曲线C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直线l与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）若直线l与曲线M相切，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，可设l：x=my+n，A（x1，y1）¡¢，B（x2，y2）由得：y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4n．∴x1+x2=4m2+2n，x1•x2=n2，∴由•=﹣4可得：x1•x2+y1•y2=n2﹣4n=﹣4．解得：n=2．∴l：x=my+2，∴直线l恒过定点（2，0）．（Ⅱ）∵直线l与曲线C1相切，M（1，0），显然n≥3，∴=2，整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①由（Ⅰ）及①可得：•=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1•y2=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2=n2﹣4m2﹣2n+1﹣4n=n2﹣4m2﹣6n+1=4﹣4n∴•≤﹣8，即的取值范围是（﹣∞，﹣8]．22．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…，a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3，a4，a5的值；之间的关系式（n∈N*，n≥2）；（2）求a n与a n﹣1（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*）【解答】解：（1）a2=+=2+2=4，a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；（2）a n=++…+=n+n（n﹣1）+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n[（n﹣1）+（n﹣1）（n﹣2）+…+（n﹣1）!]=n+na n﹣1；（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3（n≥2）．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。
精品解析：2019年浙江省一模数学试题(解析版)
2019学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{}1,5A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =（ ）A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D. {}1,1,3,7,9-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义求出AB ，根据集体补集的定义求出()UC A B .【详解】因为{}1,5A =，{}1,5,7B =-，所以{}=1,1,5,7A B ⋃-，又因为集合{}1,1,3,5,7,9U =-，所以{}3(),9U C A B =，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.2.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示：ABC ABC SAB SBC1112222224222S S SS S-=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：A点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3.已知数列{}n a ，满足13n n a a +=，且2469a a a =，则353739log log log a a a ++=（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 11【答案】D 【解析】 分析】由已知可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的性质和通项结合对数运算的性质进行计算即可得到答案. 【详解】数列{}n a 满足13n n a a +=,则数列{}n a 等比数列且公比q=3,由等比数列的性质可得324649a a a a ⋅⋅==,则()()()33335373935793734log log log log log log a a a a a a a a q ++===()399343log log 9311a q ==⨯=,故选：D【点睛】本题考查等比数列通项和等比数列性质p q m n a a a a =（其中m+n=p+q ）的应用，考查对数的运算性质，属于基础题.4.已知0x y +>，则“0x >”是“||2222yx x y +>+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】首先判断由0x >，能不能推出||2222yx x y +>+，而后再看由||2222yx x y +>+，能不能推出0x >，然后通过充分性、必要性的定义得出答案.【详解】由不等式||2222yx x y +>+，可以构造一个函数：2()2tf t t =+，可以判断该函数为偶函数且0t >时，函数单调递增.当0x >时，而0x y +>，这时y 可以为负数、正数、零，因此,x y 的大小关系不确定，因此由“0x >”不一定能推出“||2222yx x y +>+”.当||2222yx x y +>+成立时，利用偶函数的性质，可以得到：22()()0x y x y x y x y >⇒>⇒+->，而0x y +>，因此有0x y ->，所以有x y >-且x y >，如果0x ≤，则有0y <，所以0x y +<，这与0x y +>矛盾，故0x >，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.5.函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】求函数定义域，解不等式0y >，再判断当x →+∞时，y 值的情况，这样运用排除法可以选出正确答案. 【详解】函数的定义域为：1x ≠-，这样可以排除B ；1e 0111xx y x x--=>⇒-<<+,这样可以排除A. 当x →+∞时，0y →，可以排除D ，故本题选C.【点睛】本题考查了函数图象，应用排除法是解题的关键.6.已知实数,x y 满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数z x y =-的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A. 7B. 5C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式所对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为－1，确定实数m 的值. 【详解】作出不等式所对应的平面区域，如下图所示；由目标函数z x y =-的最小值为－1，得y x z =-，即当1z =-时，函数为1y x =+，此时对应的平面区域在直线1y x =+的下方，由121y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ，同时点A 在直线x y m +=上，所以235m =+=，故选B.【点睛】本题考查了线性规划的应用，根据条件确定直线x y m +=经过点A 是解题的关键.7.已知tan sin cos 2M ααα=+，tan(tan2)88N ππ=+ ，则M 和N 的关系是（ ）A. M N >B. M N <C. M N =D. M 和N 无关【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系中的商关系，两角差的余弦公式，化简M ，用同角三角函数的商关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，求出tan8π的值，而后求出N 的值，最后可以判断出M 和N 的关系.【详解】sinsinsin cos cos cos()2222tansin cos sin cos 1,2coscoscos222M ααααααααααααααα+-=+=+===sin 2sin sin 1cos 8884tan18cos2cossinsin8884πππππππππ-====，tan(tan2)12)1)188N ππ=+=+==，所以M N =，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，考查了数学运算能力.8.已知函数2log ,0,()1,0.x x f x x x ⎧>=⎨-≤⎩，函数()2()1g x f x m =--，且m Z ∈，若函数()g x 存在5个零点，则m 的值为（ ） A. 5 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】由方程与函数的相互转化得：函数()g x 存在5个零点等价于()y f x =的图象与直线11,22m m y y +-==共5个交点，作图可知：1121012Z m m m +⎧⎪⎪-⎪<<⎨⎪∈⎪⎪⎩…，解得2m =，得解． 【详解】()2()10()12()1,2m g x f x m m f x f x =-=+==--⇒，函数g （x ）存在5个零点等价于y ＝f （x ）的图象与直线11,22m m y y +-==共5个交点，如下图所示：通过图可知：m 应该满足：1121012Z m m m +⎧⎪⎪-⎪<<⎨⎪∈⎪⎪⎩…，解得2m =，故本题选C. 【点睛】本题考查了方程与函数的相互转化，考查了数形结合思想，正确画出图形是解题的关键.9.设,,a b c 为平面向量，2a b ==，若()()20c a c b -⋅-=，则b c ⋅的最小值为（ ） A. 2 B. 17 4C. 94-D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由()()20c a c b -⋅-=，可以得到b c ⋅的表达式，而后利用二次函数的性质可以求出b c ⋅的最小值.【详解】因为()()20c a c b -⋅-=，所以221111cos cos 2222b c c a c a b c a c a c a b a b ⋅=-⋅+⋅=-⋅〈⋅〉+⋅〈⋅〉22211cos 2cos (cos )cos 2cos 24b c c c a c a b c a c a c a b ⇒⋅=-〈⋅〉+〈⋅〉=-〈⋅〉-〈⋅〉+〈⋅〉，显然当1cos 2c a c =〈⋅〉时，b c ⋅有最小值，为21cos 2cos 4a c ab -〈⋅〉+〈⋅〉，当cos 1a b 〈⋅〉=-且2cos 1a c 〈⋅〉=时，即a b ⋅反向且a c ⋅共线时，b c ⋅的最小值为94-，故本题选C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的最小值，利用二次函数的性质是解题的关键.10.如图，在三棱锥S ABC -中，SC AC =，SCB θ∠=，ACB πθ∠=-，二面角S BC A --的平面角为α，则（ ）A.αθ≥ B. SCA α∠≥ C. SBA α∠≤ D. SBA α∠≥【答案】B 【解析】 【分析】先对θ取090特殊值，进行判断，最后可以判断出SCA α∠≥. 【详解】当090θ=时，显然有,BC AC BC SC ⊥⊥，故BC ⊥平面SAC ，于是SCA ∠是二面角S BC A --的平面角，即SCA α=∠，当090θ≠时，SCA ∠不是二面角S BC A --的平面角，故而SCA α<∠，综上所述：SCA α∠≥，故本题选B.【点睛】本题考查了二面角与平面角大小关系的判断，考查了空间想象能力.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z =________，z =_________.【答案】 (1). 43i 55- (2). 1 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则求出z ，利用复数模公式求出z . 【详解】因为()1+22i z i =+，所以2(2)(12)4343,12(12)(12)555i i i i z i i i i ++⋅--====-++⋅-1z ==.【点睛】本题考查了复数的除法运算、求模公式，考查了数学运算能力.12.251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为_______，该展开式中的常数项为________. 【答案】 (1). 3 (2). -40 【解析】 【分析】令1x =，可以求出251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和；求出51(2)x x-展开式中通项公式，可以判断出不存在常数项以及2x -项，求出1x -项的系数，最后结合21x x ++式中x 项的系数，求出251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中的常数项.【详解】令1x =，所以51(1)(111)(2)31f =++-=，故251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为3；二项式51(2)x x-展开式的通项公式为：55525155(2)(1)(1)2r r r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅-=-⋅⋅⋅，当250,2r -=-时，没有正整数解，故不存在常数项以及2x -项，当251r -=-时，即当2r =时，1x -的系数为3225(1)240C -⋅⋅=-，而21x x ++中的x 项的系数为1，所以251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中常数项为40140-⨯=-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，利用二项式展开式的通项公式是解题的关键.13.已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为________ ，将函数()f x 的图象至少平移 ______个单位长度后关于直线4πx =-对称. 【答案】 (1). ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2). 6π【解析】 【分析】由函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，可以得到下列等式：7,12122T ππ-= （T 为函数的周期），2()12k k Z πωϕπ+=∈，再结合2T ωπ=，0,||2πωϕ><，求出,ωϕ，然后利用余弦函数的单调性求出函数()f x 的单调递增区间，平行后图象关于直线4πx =-对称，说明平移后的图象在4πx =-处达到最值，求出平移的单位长度. 【详解】因为函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，所有有7,12122T ππ-= （T 为函数的周期），所以T π=，而2T ωπ=，而0>ω，所以2ω=，又函数最高点为(,1),12π所以有2()12k k Z πωϕπ+=∈，而||2ϕπ<，所以6πϕ=-，因此函数解析式为()c o s (2)6f x x π=-，当222()6k x k k Z ππππ-≤-≤∈时，函数单调递增，即5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，函数单调递增，因此函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.函数()cos(2)6f x x π=-平移m 个单位，得到()cos 2()cos 2266f x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，此时图象关于4πx =-对称，因此 2246m k πππ-⨯+-=()k ∈Z ，23m k ππ=+，,26k m k Z ππ=+∈，当0k =时，6m π=，所以函数()f x 的图象至少平移6π个单位长度后关于直线4πx =-对称.【点睛】本题考查了余弦函数的图象和性质，根据条件求出,ωϕ是解题的关键.14.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为_________，这两个数字和的数学期望为__________. 【答案】 (1). 12(2). 5 【解析】 【分析】写出基本事件，然后计算出事件“正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数”的基本事件，利用古典概型计算公式求出概率；先求出两个数字和的可以有取值，并求出概率，利用数学期望的计算公式求出这两个数字和的数学期望值.【详解】该正四面体抛掷两次，出现的可能情况如下：(1,1),(12),(1,3),(14),(2,1),(22),(2,3),(24),，，，，(3,1),(32),(3,3),(34),(4,1),(42),(4,3),(44),，，，，共16种情况，向下一面的数字和为偶数的有(1,1),(1,3),(22),(24),(3,1),(3,3),(42),(44),，，，，共8种情况，故该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为81162=.设该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为X ,它的可能到值为2，3，4，5，6，7，81214141(2),(3),(4),(5)16168164164P X P X P X P X ===========， 41211(6),(7),(8)16416816P X P X P X ========，111111123456785168444816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了古典概型，离散型随机变量的数学期望，考查了数学计算能力.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】【分析】根据12i iPA PA⋅=，1,2i=可得以12A A为直径的圆与线段BF有两个交点（不含端点），从而得到,,a b c满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围.【详解】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为O：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=，1,2i=，所以O与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c的不等式或不等式组．16.从0，1，2，…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…），有______个不同的数.（用数字作答）【答案】1680【解析】【分析】根据条件可知：第2，4，5位必须为偶数，然后根据0的位置，进行讨论，求出问题.【详解】因为奇数数字不能放在偶数位，所以第2，4，5位必须为偶数，0，1，2，…，8中，有0，2，4，6，8四个偶数，1，3，5，7四个奇数，若第2，4，5位三个位置中有0，则1234C A 种，其余第1，3号位置，有26A 种方法，共有1223461080C A A =个不同的数；若第2，4，5位三个位置中没有0，则有34A 种方法，第1位有5种方法，第3位也有5种方法，则共有355600A A ⨯=种方法，所以一共有10806001680+=种方法.【点睛】本题考查了排列组合知识，先考虑特殊元素要求是解题的关键.17.已知实数,[1,1]x y ∈-，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为__________.【答案】32【解析】 【分析】法一：令{}22max 1,|2|0x y x y k -+-=>，于是有22222144k x y k x xy y⎧≥-+⎨≥-+⎩，利用不等式的性质和完全平方式的性质，可得22223443(2)33k k x xy y x y +≥-++=-+≥，解得32k ≥，于是可求出22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值.法二：固定变量y ，构造函数 22()1,()|2|f x x y g x x y =-+=-，由图象的对称性，只考虑[0,1]y ∈时情形，令2212x y y x -+=-，解得0x =，{}()22001max 1,|2|222x y x y g x y x y -+-==-=+，构造新函数，利用导数，可以求出22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值.【详解】法一：令{}22max 1,|2|0x y x y k -+-=>，则22222144k x y k x xy y⎧≥-+⎨≥-+⎩，因此有 ()2222222441(1)4(4)k k x xy y x y x yx y λλλλλ+≥-++-+=+-+-+成立，22(1)4(4)x yx y λλ+-+-为完全平方式时，3λ=， 22223443(2)33k k x xy y x y +≥-++=-+≥解得32k ≥，所以22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为32. 法二：固定变量y ， 22()1,()|2|f x x y g x x y =-+=-,由图象的对称性，只考虑[0,1]y ∈时情形，令2212x y y x -+=-，解得0x =，{}()22001max 1,|2|222x y x y g x y x y -+-==-=+，1()2()222h y y h y '=+==令()0h y '>，解得313y -+<≤，所以{}2233max 1,|2|32x y x y h ⎛--+-== ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求函数的最小值问题，利用不等式和方程的性质、构造函数是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos sin 22A A -=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)14a A C =+=，求c 值.【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）4c =【解析】【分析】 （Ⅰ）对等式cossin 222A A -=两边同时平方，利用二倍角的正弦公式求出1sin 2A =，结合角A 是三角形的内角和cossin 222A A -=，可以确定角A 的取值范围，最后求出角A ； （Ⅱ）由三角形内角和定理和sin()14C A +=，可以求出sin 14B =，运用正弦定理，可以求出b =再利用余弦定理可以求出c 的值.【详解】（Ⅰ）由sin cos 22A A -=21cos sin 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112sin cos 222A A -=，1sin 2A =，又0A π<<，cossin 022A A->，cos sin sin 2222A A A π⎛⎫=->⎪⎝⎭，222A A π->，2A π<，所以6A π=. （Ⅱ）由sin()14C A +=，得sin 14B =，由正弦定理：sin sin ab A B=，得b = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得2733c c =+-，4c =或1c =-（舍去）， 所以4c =.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力.19.如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCDE；（Ⅱ）若M是AD中点，求平面BMC与平面α所成锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】【分析】（Ⅰ）由,B C在平面α上的射影分别为,E D，可以得出BE⊥平面ADE，进而可以得到BE AE⊥，通过计算可以证明出ED AE⊥，利用线面垂直的判定定理可以得到线面垂直，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面ABE⊥平面BCDE；（Ⅱ）以E为坐标原点，直线EA，ED，EB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面α的法向量和平面MBC的法向量，利用空间向量的数量积坐标表示，可以求出平面BMC与平面α所成锐二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：由条件，BE⊥平面ADE，∴BE AE⊥，由计算得AE=ED=3AD=，∴222AE ED AD+=，ED AE⊥，又ED BE E⋂=，∴AE⊥平面BCDE，而AE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE.（Ⅱ）以E为坐标原点，直线EA，ED，EB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，)A，()0,0,2B，()D，()C，则M⎫⎪⎪⎝⎭，32BM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()1BC=-，平面α的法向量为()0,0,1m=，设平面MBC的法向量(),,n x y z=，由2022x y zn BCn BMz⎧+-=⋅=⎪⇒⎨⋅=⎩-=，取1y =，(32,1,n =，设平面BMC 与平面α所成锐二面角为θ，则6cos m n m nθ⋅==⋅. 所以平面BMC 与平面α. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、以及利用空间向量数量积的坐标表示求二面角的大小问题，考查了数学运算能力.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.（Ⅰ）（i ）求数列{}n a 的通项公式；（ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； （Ⅱ） 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？ 并说明理由. 【答案】(1) （i ）12n n a +=（ii ）229(2)见解析 【解析】 【分析】（1）（i ）由2212n n n S a a +=+知2111212n n n S a a ---+=+，作差求得112n n a a --=，得到数列{}n a 为等差数列，求得12n n a +=.（ii ）由等差数列前n 项和公式得到(3)4n n n S +=，对n S 取倒，得到141133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，裂项相消求得123n 1111229S S S S ++++<，从而得到M 的最小值. （Ⅱ）由（i ）可知12n n a +=，所以得到42nn T λ=-，求解数列{}n b 得到1=4,(2)n n b b n +≥，检验212b b =，所以不存在λ.【详解】解：（1）（i ）1n =时，2111212a a a +=+，又10,1n a a >∴=，当2n ≥时，()22*n 111212a ,212N n n n n n S a S a a n ---+=++=+∈.作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-，110,2n n n a a a ->∴-=， ∴数列{}n a 的等差数列，12n n a +=. （ii ）由（i ）知(3)4n n n S +=， 14411(3)33n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 123n1111S S S S ∴++++ 411111111111134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=+++--- ⎪+++⎝⎭41111122361239n n n ⎛⎫=+---< ⎪+++⎝⎭ 不等式123n 1111M S S S S ++++<恒成立，229M ∴≥， ∴实数M 的最小值是229. （2）由()2142N n a n T n λ-+=-∈，知42n n T λ=-，124n n T λλ=+，当1n =时，16b λ=，当2n ≥时，11112123•4?4?4n n n n n n b T T λλλλλ---=-=+--=，13•44,(2)n n n b b n λ+∴==≥，数列{}n b 是等比数列，214b b ∴=，22112,2b b b λ=∴=，与214b b =矛盾， ∴不存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列.【点睛】本题考查数列求通项公式知n S 求n a ，考查数列裂项相消求和，考查等比数列的证明，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB上的动点P 作斜率为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点.（Ⅰ）求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）若104Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求MNQ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）AB=22k ⎡∈⎣；（Ⅱ）1716【解析】 【分析】（Ⅰ）椭圆方程和抛物线方程联立，求出,A B 两点的坐标，直接求出线段AB 的长利用导数求出抛物线的切线的斜率，求出切线方程，利用动点P 的横坐标的取值范围可以求出直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）切线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合弦长公式，可求,M N 两点距离，以及点Q 到直线MN 的距离d，利用面积公式，求出面积的表达式，利用换元法、求出求MNQ ∆面积的最大值. 【详解】（Ⅰ）由题意得：12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，12B ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以AB =设直线与抛物线切于2,2mR m⎛⎫⎪⎝⎭，∵y'x=，∴k m=，则切线方程为22my mx=-，当12y=-时，212mxm-⎡=∈⎣，22k⎡∈⎣.（Ⅱ）切线与椭圆联立()222234214414402xym x m x mmy mx⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩，∴3122441mx xm+=+，4122441mx xm-⋅=+，得MN=d=令24129t m⎡=+∈-+⎣，117216MNQS MN d∆=⋅=.当且仅当1629t⎡=-+⎣.解法二：同上联立()()221222111242841MNQmmS x xm∆+⋅=+⋅-=+()()()2242221416412841m m mm++-++≤⋅+()()22174117161641mm+==+，当且仅当27m⎡=-+⎣.【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力22.已知函数()e xf x ax b=--.（其中e为自然对数的底数）（1）若()0f x≥恒成立，求ab的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m 的取值集合.【答案】（1）2e；（2）{}1-． 【解析】 【分析】（1）就0,0,0a a a <=>三种情况利用导数讨论()f x 的单调性及其相应的最小值后可得：0a =时，0b ≤成立，0a >时，ln b a a a ≤-成立，对后一种情况构建新函数()22ln h a a a a =-，利用导数可求()h a 的最大值即可.（2）求出()F x '，它是一个减函数且值域R ，故()F x '存在唯一的零点0x ，再由题设条件可以得到()00F x =，()00F x '=，用0x 表示,a b 后可把不等式()1m a e b -+≥化为()()00001ln 10xm x m e x m e x +-+-+-+≥，构建新函数()()()1ln 1x m k x x m e x m e x=+-+-+-+，就0,0m m ≤>两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数m 的取值，注意后者的进一步讨论以m -与1的大小为分类标准.【详解】（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a a a a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数． 所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e ． （2）()1x F x e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=， 即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以001x a e x =-，()001ln x o b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭， 得()()00001ln 10x m x m e x m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1x m k x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭． 若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾； 当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数，所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数，所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，，当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =，所以()F x 有唯一的零点.综上，m 的取值集合为{}1- ．【点睛】含参数的函数不等式的恒成立问题，可以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.函数的零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合函数已有的零点来讨论参数的取值.。
浙江省2019届高考模拟卷(一)数学试题(解析版)
浙江省2019年高考全真模拟卷（一）数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.4.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=r2(r>0).圆心(1,0)到直线的距离.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x−y+3=0的距离为1，则0<r<3.则p是q的充要条件。
2019年浙江省全国高考高三数学模拟试卷
x1
x2
0
，
x1 x3 0 ， x2 x3 0 ，则 f (x1) f (x2 ) f (x3 ) 的值的符号为
A.一定为负
B.一定为正
C. 0
D.可以为正，也可以为负
7.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率 为 0.7 ，他罚球 2 次的得分 的数学期望为
A. a 7 ,b 1 28
B. a 7 ,b 1 28
C. a 7 ,b 1
2
8
D. a 7 ,b 1
2
8
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. （2x x）8 的展开式中 x6 的系数为
Hale Waihona Puke A.1.3B. 1.5
C. 1.4
D.1.6
8.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是侧面 ADD1 A1 内的动点，
且 B1E// 平面 BDC1 ，则直线 B1E 与直线 AB 所成角的正弦值
的最小值是
A. 1
B. 3
C. 1
D. 2
3
3
2
2
9.设 为两个非零向量 a,b 的夹角，已知对任意实数 t ， b ta 的最小值为1.则
A.3, 4,5
B. 3, 4,5, 6
C. 1, 2,3, 4,5, 6
2.复数 i 的模等于 2+i
A. 5
B. 1
C. 1
D. 5
5
5
25
2019年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{x|x}B．{x|﹣≤x≤﹣1}C．{x|﹣}D．{x|﹣1}2．已知向量=（3，2），=（﹣1，1），则|2|=（）A．B． C．5D．3．命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x B．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠14．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣ B．﹣C．D．5．若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，）6．在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列{a n}，则a10=（）A．9 B．10 C．11 D．127．双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以OF2为直径的圆交双曲线于A，B两点，若△F1AB的外接圆过点（，0），则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+mx+n2，g（x）=x2+（m+2）x+n2+m+1，其中n∈R，若对任意的n，t ∈R，f（t）和g（t）至少有一个为非负值，则实数m的最大值是（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S4=8，则a5=______，S10=______．10．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）在区间[2，4]上是增函数，且f（2）=﹣1，f（4）=1，则f（3）=______，f（x）的一个单调递减区间是______（写出一个即可）11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是______，体积是______．12．已知圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）在第一象限的一个公共点为P，过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B（异于P点），且OA⊥OB，则直线OP 的斜率是______，r=______．13．在△ABC中，BC=6，M1，M2分别为边BC，AC的中点，AM1与BM2相交于点G，BC的垂直平分线与AB交于点N，且•﹣•=6，则•=______．14．已知实数x，y满足x2+y2=4，则4（x﹣）2+（y﹣1）2+4xy的取值范围是______．15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是______．三、解答题（共5小题，满分75分）16．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A=，=．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=，D为BC的中点，过点D作DQ∥AP，且DQ=1，连结QB，QC，QP．（1）证明：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣AQ﹣C的平面角的余弦值．18．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）．（1）当a＞0时，关于x的方程f（x）=a有三个相异实根x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，求的取值范围；（2）当a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M﹣m=4，求a的值．19．已知椭圆C：的焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N+）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）证明：；（3）证明：a n．2019年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|x2﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{x|x}B．{x|﹣≤x≤﹣1}C．{x|﹣}D．{x|﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．【解答】解：集合A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={x|x2﹣2≤0}={x|﹣≤x≤}，则A∩B={x|﹣1≤x≤}，故选：D．2．已知向量=（3，2），=（﹣1，1），则|2|=（）A．B． C．5D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，求得2+的坐标，可得|2|的值．【解答】解：∵向量=（3，2），=（﹣1，1），∴2+=（5，5），则|2|==5，故选：C．3．命题“∃x0∈R，x”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x B．∃x0∈R，xC．∀x∈R，x2=1 D．∀x∈R，x2≠1【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x”的否定形式是：∀x∈R，x2≠1．故选：D．4．已知sin（）=，则cos（2）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由二倍角公式可得cos（﹣2α），整体利用诱导公式可得cos（2）=﹣cos（﹣2α），代值可得．【解答】解：∵sin（）=，∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=﹣故选：A5．若存在实数x，y满足，则实数m的取值范围是（）A．（0，） B．（，）C．（，）D．（，）【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，可得直线过定点D（﹣1，1），斜率为﹣m，结合图象可得m的不等式组，解不等式组可得．【解答】解：作出所对应的区域（如图△ABC即内部，不包括边界），直线m（x+1）﹣y=0，可化为y=m（x+1），过定点D（﹣1，0），斜率为m，存在实数x，y满足，则直线需与区域有公共点，，解得B（，），，解得A（，）K PA==，K PB==，∴＜m＜，故选：D．6．在下面图案中，图（1）是边长为1的正方形，图（2）是将图（1）中的正方形同外作直角三角形和正方形，按如此分形规律，若每幅图案的正方形面积之和依次构成一个数列{a n}，则a10=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】数列递推式；归纳推理．【分析】根据已知中的图形变化规律，结合勾股定理，归纳出数列的{a n}的通项公式，可得答案．【解答】解：∵图（1）是边长为1的正方形，∴a1=1，结合勾股定理可得：a2=2，a3=3，a4=4，…归纳可得：a n=n，（n∈N*），故a10=10，故选：B7．双曲线﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以OF2为直径的圆交双曲线于A，B两点，若△F1AB的外接圆过点（，0），则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），分别求出OF2为直径的圆的方程和外接圆的直径为F1M，运用两圆方程求得交点A，B，代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），OF2为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，由△F1AB的外接圆过点M（，0），即M（c，0），即有外接圆的直径为F1M，可得圆的方程为（x+）2+y2=，两圆的方程相减可得x=c，代入圆的方程可得y=±c，可设A（c，c），代入双曲线的方程可得•﹣•=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得4e4﹣15e2+9=0，解得e2=3或（舍去），即有e=．故选：B．8．设函数f（x）=x2+mx+n2，g（x）=x2+（m+2）x+n2+m+1，其中n∈R，若对任意的n，t ∈R，f（t）和g（t）至少有一个为非负值，则实数m的最大值是（）A．1 B．C．2 D．【考点】函数的值．【分析】作差g（t）﹣f（t）=2t+m+1，从而可知t≥﹣时g（t）≥f（t），从而化为g（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1在t≥﹣时g（t）min=（﹣+）2+n2+m+1﹣≥0恒成立，从而可得|m|≤1；从而结合选项解得．【解答】解：∵g（t）﹣f（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1﹣（t2+mt+n2）=2t+m+1，∴当2t+m+1≥0，即t≥﹣时，g（t）≥f（t），而g（t）=t2+（m+2）t+n2+m+1=（t+）2+n2+m+1﹣，∵﹣＞﹣，∴g（t）min=（﹣+）2+n2+m+1﹣≥0恒成立，即m2≤1+4n2恒成立，故|m|≤1；结合选项可知，A正确；故选：A．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S4=8，则a5=7，S10=80．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2=1，S4=8，∴a1+d=1，4a1+d=8，解得a1=﹣1，d=2．则a5=﹣1+2×4=7，S10=10×（﹣1）+×2=80．故答案分别为：7；80．10．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）在区间[2，4]上是增函数，且f（2）=﹣1，f（4）=1，则f（3）=0，f（x）的一个单调递减区间是[0，2] （写出一个即可）【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数图象可知函数的周期，再求ω的值，由已知点求出φ的值，写出函数解析式，将3代入求出f（3）的值，再求出函数的单调递减区间即可【解答】解：f（2）=﹣1，f（4）=1，f（x）在[2，4]上是增函数可知：f（x）的周期为T=4，∴，φ=f（x）=sin（x+）=cos x∴f（3）=cos=0f（x）的单调递减区间为[4k，4k+2]k∈Z故答案为：0，[0，2]．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的面积是，体积是4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由位置关系和勾股定理求出各个棱长，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，如图：且PA⊥平面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，AD⊥CD、AD∥BC，BC=CD=2、AD=4，取AD的中点E，连接BE，则BE∥CD，AE=BE=2，∴由勾股定理得，AB=PC=BD=2，PB=，PA=2，∵PB2=BC2+PC2，PA2=AB2+PB2，∴AB⊥PB，PC⊥BC，∴几何体和表面积：S=+=，几何体的体积V=×2=4，故答案为：；4．12．已知圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）在第一象限的一个公共点为P，过P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B（异于P点），且OA⊥OB，则直线OP的斜率是，r=2．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出点P的横坐标，再根据题意列出方程组，解方程组求出半径r的值．然后求出P的坐标，利用斜率公式进行求解即可．【解答】解：如图所示，圆O：x2+y2=r2与圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）的一个公共点P，∴点P的横坐标为x=1；又过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则；又OA⊥OB，∴•=x1x2+y1y2=0，且+=r2， +=r2；由此解得r=2．即圆O：x2+y2=4，当x=1时，y=±，∵P在第一象限，∴y=，即P（1，），则k OP==，故答案为：；2．13．在△ABC中，BC=6，M1，M2分别为边BC，AC的中点，AM1与BM2相交于点G，BC的垂直平分线与AB交于点N，且•﹣•=6，则•=36．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由•﹣•=6得．用，，表示出，列方程解出．【解答】解：∵•﹣•=6，∴．∵M1，M2分别为边BC，AC的中点，∴G是△ABC的重心．∴，∴=，∴（）=6．即+﹣=6．∵NM1⊥BC，BM1=3，BC=6，∴，=18．∴﹣6=6，∴=36．故答案为36．14．已知实数x，y满足x2+y2=4，则4（x﹣）2+（y﹣1）2+4xy的取值范围是[1，22+4]．【考点】排序不等式．【分析】4（x﹣）2+（y﹣1）2+4xy=4x2﹣4x+1+y2﹣2y+1+4xy=（2x+y﹣1）2+1，再利用三角换元，即可得出结论．【解答】解：4（x﹣）2+（y﹣1）2+4xy=4x2﹣4x+1+y2﹣2y+1+4xy=（2x+y﹣1）2+1．设x=2cosα，y=2sinα，∴2x+y﹣1=4cosα+2sinα﹣1=2sin（α+θ）﹣1∈[﹣2﹣1，2﹣1]，∴（2x+y﹣1）2∈[0，21+4]，∴（2x+y﹣1）2+1∈[1，22+4]，故答案为：[1，22+4]．15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，，则顶点D到平面α的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】本题的条件正规，但位置不正规．牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手．出路何在？在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）．这4点组成直角四面体，这就是本题的根．所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A，B，C到平面M的距离依次为0，1，，求顶点D到平面M的距离．【解答】解：如图，连结BC 、CD 、BD ，则四面体A ﹣BCD 为直角四面体．作平面M 的法线AH ，再作，BB 1⊥平面M 于B 1，CC 1⊥平面M 于C 1，DD 1⊥平面M 于D 1． 连结AB 1，AC 1，AD 1，令AH=h ，DA=a ，DB=b ，DC=c ，由等体积可得=++，∴++=1令∠BAB 1=α，∠CAC 1=β，∠DAD 1=γ， 可得sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1，设DD 1=m ，∵BB 1=1，CC 1=，∴=1解得m=．即所求点D 到平面α的距离为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分75分）16．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，=．（I ）求角C 的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC 的面积． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I ）由已知式子和余弦定理结合多项式的原可得b=c 或b 2=c 2+a 2，分别由等腰三角形和直角三角形可得；（Ⅱ）结合a=2，分别由等腰三角形和直角三角形的知识和面积公式可得．【解答】解：（I ）∵在△ABC 中，=，∴b 2cosA ﹣bc=abcosC ﹣a 2，由余弦定理可得：b 2•﹣﹣bc=ab •﹣a 2，∴（b 2+c 2﹣a 2）﹣bc=（a 2+b 2﹣c 2）﹣a 2，同乘以2c 可得b （b 2+c 2﹣a 2）﹣2bc 2=c （a 2+b 2﹣c 2）﹣2ca 2， ∴b （b 2﹣c 2﹣a 2）=c （﹣a 2+b 2﹣c 2），∴（b2﹣c2﹣a2）（b﹣c）=0，∴b=c或b2=c2+a2，当b=c时，由等腰三角形可得角C=；当b2=c2+a2时，由直角三角形可得角C=；（Ⅱ）∵a=2，∴当b=c时，三角形的高h=tan==tan（+）==2+，此时三角形的面积S=×2×h=2+；当b2=c2+a2时，由直角三角形可得c==2，△ABC的面积S=ac=2．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=，D为BC的中点，过点D作DQ∥AP，且DQ=1，连结QB，QC，QP．（1）证明：AQ⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣AQ﹣C的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AD，PD，PD∩AQ=O，推导出四边形PADQ为正方形，从而AQ⊥DP，由线面垂直得PA⊥BC，由等腰三角形性质得AD⊥BC，从而AQ⊥BC，由此能证明AQ⊥平面PBC．（2）由AQ⊥平面PBC，连结OB，OC，则∠BOC为二面角B﹣AQ﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣AQ﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）如图，连结AD，PD，PD∩AQ=O，∵AB⊥AC，AB=AC=，D为BC中点，∴AD=1，∵PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴PA⊥AD，∵PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴PA⊥AD，∵PA=AD=1，∴四边形PADQ为正方形，∴AQ⊥DP，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵D为线段BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，又AD∩PA=A，∴BC⊥平面APQD，∵AQ⊂平面APQD，∴AQ⊥BC，∵DP∩BC=D，∴AQ⊥平面PBC．解：（2）由（1）知AQ⊥平面PBC，连结OB，OC，则∠BOC为二面角B﹣AQ﹣C的平面角，由题意知PA=BD=1，OD=，∴OB=OC==，∴cos∠BOC===﹣，∴二面角B﹣AQ﹣C的平面角的余弦值为﹣．18．已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）．（1）当a＞0时，关于x的方程f（x）=a有三个相异实根x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，求的取值范围；（2）当a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，若M﹣m=4，求a的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）f（x）=，作其图象，从而利用数形结合求解得a∈（0，）；从而可得x2+x3=，x1=，从而求得；（2）显然，f（x）为R上的奇函数，从而可得M=2，再分类讨论求最大值即可．【解答】解：（1）f（x）=，当a＞0时，其图象如右图所示，∵直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，∴f（）＞a＞0，即＞a＞0，解得，a∈（0，）；其次，由韦达定理及求根公式可得，x2+x3=，x1=，从而可得，=﹣，注意到a∈（0，），∴∈（﹣，﹣1）．（2）显然，f（x）为R上的奇函数，∴M﹣m=2M=4，当a=0时，经检验不符合题意，舍去；当a＜0时，函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故M=f（1）=1﹣a=2，故a=﹣1；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣）和（，+∞）上单调递减，在（﹣，）上单调递增；①当≥1，即0＜a≤时，f（x）[﹣1，1]上单调递增，可解得a=﹣1（舍去），②当＜1，即＜a＜1时，f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（）==2，解得，a=（舍去）；综上所述，a=﹣1．19．已知椭圆C：的焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足（O为坐标原点），求实数λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为2，离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）推导出，当PM⊥x轴时，能求出﹣2＜λ＜0或0＜λ＜2；当直线MP的斜率存在时，设方程为y=kx+m，将其代入椭圆，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，结合题设条件能求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为2，离心率为，∴，解得a=2，c=，∴b=，∴椭圆C的方程为．（2）∵M，N，P是椭圆C上不同的三点，且满足（O为坐标原点），∴，设P（x1，y1），M（x2，y2），N（x0，y0），①当PM⊥x轴时，x1=x2，y1=﹣y2≠0，由﹣=，得λx0=0，λy0=2y1，则x0=0，y0=±1，∵﹣1＜y1＜0或0＜y1＜1，∴﹣2＜λ＜0或0＜λ＜2．②当直线MP的斜率存在时，设方程为y=kx+m，将其代入椭圆，并整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2﹣m2+1）＞0，解得m2＜1+4k2，①又，，由﹣=，得（x1，y1）﹣（x2，y2）=λ（x0，y0），且λ≠0，即，，又∵，∴（）2+4（）2=4，∴==（1+4k2）[﹣4×]=16﹣，即，②联立①②，得0＜4﹣λ2＜1，∴﹣2＜λ＜0或0＜λ＜2．综上所述：实数λ的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N+）．（1）证明：a n+1＜a n；（2）证明：；（3）证明：a n．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）化简a n+1=（n∈N+）后即可证明a n+1＜a n；（2）先验证n=1时成立，当n≥2时利用分离常数法化简后，由放缩法和裂项相消法证明不等式成立；（3）由放缩法化简后，列出不等式进行归纳、化简证明不等式成立．【解答】证明：（1）由a n+1=（n∈N+）得，=＜1，∴a n+1＜a n；（2）当n=1时，成立，当n≥2时，∵=，则=1+，∴=n+≤n+1+=n+1+（1﹣）+（）+…+（）=n+2﹣，∴；（3）由（1）得，=＞=，则a n+1＞a n•，由a1=1得，a2=，则n=1、2都成立，当n≥3时，a3＞a2•，a4＞a3•＞a2••，…∴a n＞a2••…=，综上可得，a n对一切n∈N+都成立．2019年9月19日。
2019届浙江省高三新高考仿真演练卷(一)数学试题解析
绝密★启用前2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（一）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．抛物线24y x =的准线方程是 A ．1x =- B ．1x = C ．2x =- D ．2x =答案：A解：试题分析：抛物线24y x =的准线方程是12px =-=-. 故选：A 2．已知复数31iz i+=+，则它的共轭复数z 为（） A ．2i + B ．3i +C ．2i -D ．3i -答案：A先化简得到复数2z i =-，再求出它的共轭复数得解. 解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-， 则其共轭复数2z i =+， 故选：A 点评：本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3．设:p “2,10x R x mx ∀∈-+>”，:q “22m -≤≤”，则p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A先化简命题p 得到m 的取值范围，再利用集合的关系和充分不必要的定义判断得解. 解：2,10x R x mx ∀∈-+>Q ，240,22m m ∴∆=-<∴-<<，所以命题:22p m -<<.(2,2)[2,2]-⊆-Q ，p ∴是q 成立的充分不必要条件.故选：A 点评：本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查集合的关系，考查充分不必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．8B ．83C ．45D ．45答案：B先通过三视图找到几何体原图，再求出几何体的高，即得几何体的体积. 解：结合三视图可知，该几何体是一个底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥P ABCD -，侧面PBC ⊥底面ABCD ,PC PB =.过点P 作PE BC ⊥,垂足为E ,则PE ⊥底面ABCD , 所以PE 就是四棱锥的高，且512PE =-=. 所以其体积为2182233V =⨯⨯=. 故选：B点评：本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.5．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30°，则C 的离心率为（）A ．6 BC ．3D 答案：D分析：利用双曲线的定义和已知条件，即可求得124,2PF a PF a ==，进而确定三角形的最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可求得结果. 详解：不妨设12PF PF >，则122PF PF a -=， 又126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==， 则1PF F ∠是12PF F ∆的最小内角为30°， 所以22221121122cos30PF PF F F PF F F =+-⋅︒，所以222(2)(4)(2)242a a c a c =+-⨯⨯化简得230e -+=，解得e = D.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有双曲线的定义，需要利用三角形中大边对大角的结论确定出最小内角，之后利用余弦定理得到对应的等量关系式，结合离心率的式子求得结果.6．在ABC V 中,4,30AB ABC ︒=∠=,D 是边BC 上的一点,且AD AB AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则AD AB ⋅u u u r u u u r的值等于（） A ．4- B ．0C ．4D ．8答案：C化简AD AB AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r可得AD BC ⊥,再根据三角形中的关系结合数量积公式计算AD AB ⋅u u u r u u u r即可.解：由AD AB AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以AD BC ⊥．又因为4AB =,30ABC ︒∠=,所以2,60AD BAD ︒=∠=, 所以AD AB ⋅=u u u r u u u r24cos604︒⨯⨯=.故选：C ． 点评：本题主要考查了平面向量的基本运算以及数量积的计算,属于基础题. 7．函数32()f x ax x x b =+++的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：D求导分析函数的单调性,同时分析极值的范围再逐个选项辨析即可. 解：2()321f x ax x '=++Q ,当4120a ∆=-„,即13a …时,()0f x '…,此时()f x 在R 上单调递增,A ∴为可能图象；当4120a ∆=->,且0a >时,()0f x '=有两个不相等的实数根12,,x x 且12203x x a +=-<,1212100,03x x x x a=>⇒<<,设12x x <,由()y f x '=的图象知, 当1x x <或2x x >时,()0f x '>,当12x x x <<时,()0f x '<, 此时,()1()f x f x =极大值,()2()f x f x =极小值,当0b =时,B 为可能图象；当0a <时,同理,当0b =时,C 也为可能图象. 故选：D ． 点评：本题主要考查了分类讨论分析函数的单调性与最值,进而辨别函数图像的问题,需要求导分析导函数的零点以及原函数的极值进行辨析.属于中档题.8．已知{}1234,,,{0|(3)sin 1}x x x x x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为（） A ．12 B ．15C ．12πD ．15π答案：A由集合的关系可知1234,,,x x x x 即为sin (3)y x x π=≠与13y x =-两函数图象在y 轴右侧的交点的横坐标,再数形结合根据函数的性质求解即可. 解：方程(3)sin 1x x π-=的根即为函数sin (3)y x x π=≠的图象与函数13y x =-的图象的交点的横坐标,则1234,,,x x x x 即为两函数图象在y 轴右侧的交点的横坐标,不妨设1234x x x x <<<,在平面直角坐标系内画出两函数的图象如图所示.由图易得要使1234x x x x +++的值最小,则1234,,,x x x x 的对应的点的位置如图所示,用,,,A B C D 表示,其中点A 与点D ,点B 与点C 均关于点(3,0)中心对称所以此时1234232312x x x x +++=⨯+⨯=.故选：A ． 点评：本题主要考查了数形结合解决函数零点的问题,需要根据题意将函数化成两部分,再画出两个函数的图像,根据函数的性质解决.属于中档题. 9．如图，在ABC V 中，1,22,4AB BC B π===，将ABC V 绕边AB 翻转至ABP △，使平面ABP ⊥平面ABC ，D 是BC 的中点，设Q 是线段PA 的动点，则当PC 与DQ 所成角取得最小值时，线段AQ 等于（）A ．5 B ．35C ．25D ．253答案：C由题意可将三棱锥P ABC -放在棱长为2的正方体中如图所示，当//DQ PG 时，PC 与DQ 所成的角取得最小值，利用相似计算得到答案. 解：由题意可将三棱锥P ABC -放在棱长为2的正方体中如图所示，延长AD 交正方体的棱于点E ，连接EF ，则,A E 均为其所在正方体棱上的中点， 过点C 作EF 的垂线CG ，垂足为点G ，则AD ⊥平CEF ，所以AD CG ⊥， 又因为EF CG ⊥，AD EF E =I ，所以CG ⊥平面PAEF ， 则PG 为PC 在平面PAEF 内的投影，则当//DQ PG 时，PC 与DQ 所成的角取得最小值， 此时由//,//AQ FG AD PF 得ADQ FPG :△△，则AQ ADFG FP=， 在Rt FCE V 中，易得455FG =，所以45125525AD FG AQ FP ⨯⋅===. 故选：C ．点评：本题考查了异面直线夹角的最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥放在棱长为2的正方体中是解题的关键.10．设()()20f x ax bx c a =++≠，若()01f ≤，()11f ≤，()11f -≤，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值不可能为（） A ．12B ．54C ．32D ．65答案：C根据题意得出()()()()()222110122x x x x f x f f f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而推导出当01x ≤≤时，()54f x ≤，进而可得出结论. 解：因为()1f a b c -=-+，()1f a b c =++，()0f c =， 所以()()()111202a f f f =+--⎡⎤⎣⎦，()()1112b f f =--⎡⎤⎣⎦，()0c f =， 所以()()()()()222110122x x x x f x f f f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x ≤≤时，()()()()222110122x x x xf x f f f x +-≤⋅+-⋅+⋅-()22222221112222x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≤++-=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2155244x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，所以12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值不可能32. 故选：C ． 点评：本题考查代数式取值问题，考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力，属于难题. 二、双空题11．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ，若218a =，1854S =，则17a =___________，n S =__________. 答案：12-.221n n -.设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组，解出这两个量，即可求出17a 的值，并利用等差数列的前n 项和公式求出n S . 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知得：2118118181718542a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得1202a d =⎧⎨=-⎩. 因此，()171162016212a a d =+=+⨯-=-，()()211201212n n n dS na n n n n n -=+=--=-， 故答案为12-；221n n -. 点评：本题考查等差数列相关量的计算，对于这类问题，一般是根据已知条件，建立有关首项和公差的方程组，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 12．二项式521)x的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 答案：532分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果. 13．已知3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则3sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______；sin2α=______．答案：35725- 由题意利用诱导公式求得3sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，sin2α转化成212sin 4πα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，问题得解． 解：解：Q 已知3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则33sin sin sin 4445πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 297sin2cos 212sin 12242525ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=-++=-+⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为35，725-． 点评：本题主要考查了利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，考查计算能力，属于基础题． 三、填空题14．已知圆22:40C x y y +-=，则圆的半径为______，若(),P x y 为圆C 上任意一点，则2x y +的最小值是______．答案：24-将圆C 的方程配成标准方程，可得出圆C 的半径，令2z x y =+，可知直线2z x y =+与圆C 有公共点，利用圆心到该直线的距离小于等于半径，可得出关于z 的不等式，可求得z 的取值范围，由此可得出2x y +的最小值. 解：因为2240x y y +-=，所以有()2224x y +-=，所以可知该圆的半径为2．设2z x y =+，则直线2z x y =+与圆C 有公共点，2≤，解得44z -≤≤+.因此，2x y +的最小值为4-.故答案为：2；4-.点评：本题考查圆的半径的求解，同时也考查了代数式取值范围的求解，将问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 15．已知函数()f x ，()g x ，()h x 均为一次函数，若实数x 满足()()()()()21243(20)30x x f x g x h x x x x ⎧-≤-⎪-+=+-<<⎨⎪≥⎩，则()1h =__________．答案：2首先根据一次式的绝对值的特点，以及分段函数解析式中对应的分界点，可以确定()(),f x g x 的零点分别是2,0-，结合一次函数解析式的特征，先设出三个函数解析式中的一次项系数，结合特征，得到对应的等量关系式，最后求得函数解析式，进一步求得函数值. 解：详解：设三个函数的一次项系数123k k k ，，都是大于零的，结合题中所给的函数解析式，并且()(),f x g x 的零点分别是2,0-，再进一步分析，可知123123123240k k k k k k k k k -++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得123121k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，结合零点以及题中所给的函数解析式， 可求得()()()2,2,1f x x g x x h x x =+==+， 所以可以求得()1112h =+=，故答案是2. 点评：该题考查的是有关函数值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解方法，利用分段函数解析式中的分界点得到其为函数的零点，从而求得其对应的等量关系式，最终求得函数的解析式，代入自变量求得函数值.16．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种. 答案：90由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2名学生参加一个兴趣小组，然后分情况讨论可得参加的不同的分组的种数. 解：由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2名学生参加一个兴趣小组，首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有246C =种. 下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共233C =种；2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共21232212C C A =种.故共有()631290⨯+=种. 即答案为90. 点评：本题考查两个计数原理，属中档题.17．在广场上，一盏路灯挂在一根4.5米的电线杆顶上（电线杆的底部记为A ），假设把路灯看作是一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点3米的B 处，若女孩向点A 前行2米到达D 点，然后从D 点出发，绕着以BD 为对角线的正方形走一圈，则女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积是______． 答案：92根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个对角线为3的正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 解： 如下图所示：设女孩在点B 、D 两处头顶E 、F 的投影点分别为M 、N ， 则2EF BD ==， 1.5BE DF ==，则4.5 1.54.5EF MN -=，332322MN EF ∴==⨯=， 所以，通过投影，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个对角线为3的正方形，所以围成的图形面积193322S =⨯⨯=． 故答案为：92. 点评：本题考查投影图形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题18．已知函数()()2cos cos cos 3f x x x x x R π⎛⎫=+⋅-∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若()34f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x ． 答案：（Ⅰ）最小正周期为π，单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）0.（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为3()234f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期，解不等式()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间；（Ⅱ）由()f x =可得1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得x 的值，进而可求得cos2x 的值. 解：（Ⅰ）()2cos cos cos 3f x x x x π⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭1cos 21cos cos 222x x x x ⎛⎫+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos 21cos cos 222x x x x +=++1cos 21cos 2224x xx ++=++33333sin 2cos 2sin 2444234x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==. 令()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由()3333sin 22344f x x π+⎛⎫=++=⎪⎝⎭可得1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故5236x ππ+=，解得4x π=， 所以cos 2cos 02x π==．点评：本题考查正弦型三角函数的最小正周期和单调区间的求解，同时也考查了三角求值，考查计算能力，属于中等题.19．由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：1//A O 平面11B CD ；（Ⅱ）若直线1A O 与平面11ABB A 所成的角为30o ，求线段1A E 的长． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.（Ⅰ）取11B D 的中点1O ，连接1CO 、11A O ，证明四边形11AOCO 为平行四边形，可得出11AO//O C ，再利用线面平行的判定定理可证明出1//AO 平面11B CD ；（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，设()10A E a a =>，计算出平面11ABB A 的一个法向量，利用直线1A O 与平面11ABB A 所成的角为30o ，计算出a 的值，进而得解. 解：（Ⅰ）取11B D 的中点1O ，连接1CO 、11A O ，由于1111ABCD A B C D -为四棱柱，所以，11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且11AC A C =，O Q 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以11//AO CO ，且11AOCO =， 因此四边形11AOCO 为平行四边形，所以11AO//O C ．又1O C ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//A O 平面11B CD ；（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设()10A E a a =>，易知()0,0,0A 、()2,0,0B 、()1,1,0O 、()10,1,A a ，从而可得()11,0,OA a =-u u u r． 设平面11ABB A 的法向量为(),,n x y z =r，又()2,0,0AB =u u u r ，()10,1,AA a =u u u r ，故有1200AB n x AA n y az ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v vu u u v v ，解得0x y az =⎧⎨=-⎩，可取()0,,1n a =-r．由题意得11211sin 30cos ,12OA n a OA n a OA n ⋅=<>===+⋅ou u u r r u u u r r u u ur r ， 解得1a =，即线段1A E 的长为1．点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用线面角求线段长，考查了空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知函数()22x 2f x x e-=，（1）求曲线()f x 在点()()1,f 1处的切线方程； （2）当[]x 0,2∈时，求证：()2f x 2x 8x 5≥-+-.答案：(1)43y x =-；(2)证明见解析.(1)求出原函数的导函数，求出函数()'f x ，再求出()()'1,1f f 的值，由直线方程的点斜式写出切线方程并化简，即可得结果.(2)将不等式进行化简，移项，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，最后证得结果. 解：（1）()()222'2x f x exx -=+，()'14f =()f x 在点()1,1处的切线方程为43y x =-，（2）当[]0,2x ∈时，令()2222285x g x x ex x -=+-+，()()222'248x g x e x x x -=++-，()()222'224140x g x e x x -=+++>，所以()g x 在[]0,2上单调递增，且()10g =， 所以()g x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增， 所以()g x 的最小值为()10g =， 所以()2285f x x x ≥-+-.点评：该题考查的是有关导数的定义和应用导数证明不等式的问题，在解题的过程中，注意曲线在某个点处的切线方程的求解步骤，以及应用导数证明不等式恒成立的解题思路，利用导数研究函数的最值，通过最值所满足的条件，求得结果.21．设F 是抛物线24y x =的焦点，,,M P Q 是抛物线上三个不同的动点，直线PM 过点F ，MQ OP ∥，直线QP 与MO 交于点N .记点,,M P Q 的纵坐标分别为012,,y y y ． （Ⅰ）证明：012y y y =-；（Ⅱ）证明：点N 的横坐标为定值．答案：(1)证明见解析. (2)证明见解析.分析：(Ⅰ)因为//MQ OP ，所以MQOP k k =，所以201222102444y y y y y y -=-，所以012y y y =- (Ⅱ)因为直线PM 过点F ，所以104y y =-， 由(Ⅰ)得012y y y =-，所以1200044,y y y y y =-=--, 因为04:,OM l y x y =211124:,4PQ y l y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即()121240,x y y y y y -++=设点N 坐标为(),m n ，又因为直线,QP MO 交于点N ，所以()01212440,n m y m y y n y y ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩消去0y 得22322840mn n m m +++=， 整理，即可证明点N 的横坐标为定值． 详解：(Ⅰ)因为//MQ OP ，所以MQOP k k =，所以201222102444y y y y y y -=-，所以012y y y =-(Ⅱ)因为直线PM 过点F ，所以104y y =-， 由(Ⅰ)得012y y y =-，所以1200044,y y y y y =-=--, 因为04:,OM l y x y =211124:,4PQ y l y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即()121240,x y y y y y -++=设点N 坐标为(),m n ，又因为直线,QP MO 交于点N ，所以()01212440,n m y m y y n y y ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩所以00000004444440,m y n m y n y y y y y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪----+---= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩消去0y 得22322840mn n m m +++=， 所以()()22214210m n mm +++=，所以()()222140m n m++=，因为2240n m +≠，所以210m +=，即12m =-， 所以点N 的横坐标为定值12-点睛：本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系，属中档题. 22．已知数列{}n a 满足11a =，()*11na n a e n N -+=-∈．求证：（Ⅰ）101n n a a +<≤<； （Ⅱ）11nn na a a +>+；（Ⅲ）1122nn a n ≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭．答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.（Ⅰ）利用数学归纳法证明出0n a >，可得出0n a e ->，由此可得出01n a <≤，然后构造函数()1xf x ex -=--，利用导数证明出()0f x <在(]0,1上恒成立，从而得出10n n a a +-<，由此可证得101n n a a +<≤<；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出1na n e a >+，变形可得1111na ne a -->-+，进而可得出111n a nn na a e a -+>->+； （Ⅲ）由（Ⅱ）得出1111n n a a +<+，化简变形得出1111n n a a +-<，累加可得出1n a n≥， 解：（Ⅰ）以下用数学归纳法证明0n a >. ①当1n =时，110a =>，命题成立；②假设当n k =时命题成立，即0k a >，1k a e -∴<．110a k a e k -+∴=->，∴当1n k =+时，命题也成立．由①②知对任意正整数n 均有0n a >．0n a e ->Q ，111na n a e-+∴=-<，01n a ∴<≤.令()1xf x ex -=--，则()1x f x e -'=-，当01x ≤≤时，()0f x '≤，则函数()y f x =在[]0,1上单调递减， 又()00f =，()0f x ∴<在(]0,1上恒成立，110na n n n a a ea -+∴-=--<，101n n a a +<≤<；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1na n ea >+，111n a n e a ∴<+，即1111na n e a -->-+，11n n na a a +∴>+； （Ⅲ）由（Ⅱ）知1111n n a a +<+，即1111n na a +-<，12132111111111n n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<+-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，则1n a n ≥，③ 又由（Ⅱ）知11112n n n a a a +>≥+，321112112n n n n a a a a a a a a --∴=⋅⋅⋅⋅≥L ，④ ③+④得11122n n a n -≥+，即1122nn a n ≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭．点评：本题考查数列不等式的证明，考查了数学归纳法、导数法以及放缩法的应用，考查推理能力，属于难题.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省2019年高考全真模拟卷（一）数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.4.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=r2(r>0).圆心(1,0)到直线的距离.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x−y+3=0的距离为1，则0<r<3.则p是q的充要条件。
本题选择C选项.6.已知函数的图像相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图像向左平移后得到偶函数的图像，则函数的一个单调递减区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．【详解】函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2xθ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.如图，已知函数的图像关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】抓住奇函数的判定性质，代入，即可。
【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数,对于A选项,为偶函数,不符合;对于B选项定义域不对;对于C选项当x>0的时候，恒成立不符合该函数图像，故错误；对于D选项，，符合判定，故选D。
【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住，即可，难度中等。
8.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得：即令F（x）=x2f（x），则当时，得即上是减函数，即不等式等价为在是减函数，∴由F得，，即故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：令，，∴，∴图象关于直线对称，故将的图象画出，由图可知，要使，即函数与至少要有6个交点，则有，且点在函数的下方，即，故选B．考点：1．函数与方程；2．数形结合的思想．【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1．对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2．一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．10.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】【分析】运用平面向量基本定理，得到m的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可。
【详解】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D。
【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难。
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知函数则____，的最小值为_____．【答案】(1). 2(2).【解析】分析：利用分段函数，分别求的各段函数的最小值，即可求解分段函数的最小值.详解：函数，则，当时，二次函数开口向上，对称轴，函数的最小值为；当时，函数是增函数，时函数取得最小值为，时，，综上函数的最小值为，故答案为2，.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.12.已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为，则的概率是_______；随机变量期望是_______.【答案】【解析】根据题意知ξ=0，1，2，；；；所以.故答案为：.13.设，则_____，（的值为______．【答案】(1). 720(2). 1【解析】【分析】结合二项式系数公式计算，令代入，计算结果，即可。
【详解】利用二项式系数公式，，故故（==【点睛】考查了二项式系数公式，关键抓住，代入即可，难度中等。
14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________；体积为__________.【答案】(1). (2).【解析】几何体为一个三棱锥与一个四棱锥的组合体，如图，其中所以表面积为，体积为点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．15.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．【答案】266【解析】由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C32C84种方法；第二类是买5本2元的书，共C85种方法．∴共有C32C84＋C85＝266(种)．16.已知圆：（为正实数）上任意一点关于直线：的对称点都在圆上，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】结合题意可知，直线过圆心，得到a,b的关系，代入，计算最小值，即可。
【详解】结合题意可知该直线过圆的圆心，代入直线方程，得到，故最小值为【点睛】考查了基本不等式的运用，关键得出a,b的关系式，代入所求式子，即可，难度中等。
17.四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_______．【答案】【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞=即解得b=．=．∴S△ADQS梯形ABCD﹣S△ADQ=．∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数.（1）求该函数图象的对称轴；（2）在中,角所对的边分别为,且满足,求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数式得，由即可得到对称轴方程；（2）首先由已知，应用余弦定理及基本不等式得到，根据得到，，进一步可得的值域.试题解析：（1）由即即对称轴为6分（2）由已知，即的值域为. 14分考点：1.余弦定理；2.基本不等式，2.三角函数的恒等变换.19.四棱锥中，平面，为的中点，为菱形，，，、分别是线段、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正切值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（I）证明得到FG平行PD，结合直线与平面平行的判定，即可。
（II）构造出二面角，计算FM和MN，计算正切值，即可。
【详解】证明：（Ⅰ）易知，所以为平行四边形，为的中点，连接BD交于点G，所以为BD的中点，又F为PB的中点，由中位线定理可得平面，平面，∴平面（II）过点作于，易知面过作于，连接，则面∴，，∴即所求二面角的平面角不妨令，则，，所以.【点睛】考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角计算方法，难度中等。
20.数列首项，前项和与之间满足.（1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；（2）设存在正数，使对任意都成立，求的最大值.【答案】，【解析】分析：（1）根据递推公式，，求得的关系；同取倒数根据等差数列的定义即可证明是等差数列。
根据等差数列通项公式定义，求出表达式，再求得。
注意检验当时是否符合。
（2）利用递推公式证明在上递增，根据恒成立条件即可求得k的最值。
详解：（1）因为时，∴得由题意∴又因为∴是以为首项，2为公差的等差数列.故有∴∴时，又，∴（2）设则∴在上递增，故使恒成立，只需.又，又，∴，所以，的最大值是点睛：本题考查了数列中应用递推公式求通项公式、判定数列的单调性，综合性强，属于难题。