河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学(文科)试题(含答案解析)

河南省洛阳市2022届高三第三次统一考试数学（文科）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知()2i
i ,i
a b a b +=+∈R ，其中i 是虚数单位，则a b +=（ ） A ．3
B ．1
C ．-1
D ．-3
2．已知集合{|5,}U x x x N =≤∈，{}1,2,4,5A =，0,1,2,3B =｛｝，则()U A B =
（ ） A ．{}0,3
B ．{}3
C ．{}0
D ．{}1,2
3．已知函数()22
f x x x -=-（ ）
A ．是奇函数，()0,+∞单调递增
B ．是奇函数，()0,+∞单调递减
C ．是偶函数，()0,+∞单调递减
D ．是偶函数，()0,+∞单调递增
4．已知,a b 都是实数，那么“0a b >>”是“22a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知向量()1,sin θ=a ，()1,cos b θ=-，则a b -的最大值为（ ）
A
．1
B
C D
6．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（ ） A ．13
B ．25
C ．35
D ．
310
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．7
B ．7
C ．1
D ．2
8．首位数定理：在b 进位制中，以数字()11n n b ≤≤-为首位的数出现的概率为
()log 1log b b n n +-，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知
某银行10000名储户的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．存款金额的首位数字是1的概率约为1
9
B ．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C ．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D ．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
9．设()12,0F -，()22,0F ，(),M x y 满足122MF MF -=，且224x y +=，则12F F M △的面积为（ ） A ．3
B ．32
C ．9
D ．92
10．若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
11．若方程3sin 265x π⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭在()0,π上的解为1x ，2x ，则()12sin x x +的值为（ ）
A ．35
B ．35
C
D ．
12．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（ ）
A ．2020231⋅+
B ．2020321⋅-
C ．2020321⋅+
D ．2021321⋅-
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足320
8504x y x y y --≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则y x 的最大值为___________.
14．设各项为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，3221S S =+，则4a =___________.
15．若三棱柱111ABC A B C -的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC
，
AB =14AA =，则该三棱柱的外接球的体积为___________.
16．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂
直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF
2，则椭圆的离心率e =___________. 三、解答题
17．影响消费水平的原因是很多的，其中重要的一项是工资收入.下表是我国某地区2016年-2021年职工平均工资与城镇居民消费水平（单位：万元）的数据；
以x 表示职工平均工资，以y 表示城镇居民消费水平，绘制如下散点图：
(1)请写出从散点图发现的y 与x 之间关系的一般规律，并求出线性回归方程（精确到0.01）；
(2)请预测2022年的职工平均工资至少多少万元时，城镇居民消费水平才不少于8.11万元？
附：线性回归方程y bx a =+，12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-，参考数据：
6
21
389.3i
i x
==∑，6
1
268.59i i i x y ==∑，
18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 22A c b c
-=. (1)判断ABC 的性状，并加以证明；
(2)2b =，π3
A =，点M ，N 分别在线段A
B ，CB 上，且1
2
BMN ACB S S =△△，求MN 的最小值.
19．如图，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，2DA AC BC ===，四边形DOAE 为矩形，点F 在BC 上，且//DF 平面
EAC .
(1)请判断点F 的位置并说明理由；
(2)平面DFO 将多面体DBCAE 分成两部分，求体积较大部分几何体的体积.
20．已知抛物线C ：()2
20y px p
=>，A 是C 上位于第一象限内的动点，且A 到点
3,02B p ⎛⎫
⎪⎝⎭
的距离的最小值为直线AB 与
C 交于另一点
D ，
E 是C 上位于直线AB 下方的动点. (1)求p 的值；
(2)当AB =ADE 面积最大时，求ADE 外接圆的标准方程. 21．已知函数()()()2
e 212
x a f x x
x x a =-
+-∈R . (1)若1x =-为()f x 的极大值点，求a 的取值范围；
(2)当2a =时，证明：()2
ln 2f x x x x ≥--+.
22．在直角坐标系xOy 中，直线1l
的参数方程为1
2x t y kt ⎧=⎪
⎨=⎪
⎩（t 为参数），直线2l 的参数
方程为x m m y k ⎧=⎪
⎨=-
⎪⎩（m 为参数）
，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .
(1)求曲线1C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为
2cos ρθ=，射线OM ：()04
πθρ=
≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
23．设函数()121f x x x =--+，()3g x x x a =-++. (1)求不等式()1f x ≤-的解集；
(2)若12,x x ∀∈R ，()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围.
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
根据复数代数的形式的除法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】 解：因为
()2
2i i
2i 2i i i a a a ++==-，因为()2i i ,i a b a b +=+∈R ， 所以2
1b a =⎧⎨-=⎩，即21b a =⎧⎨=-⎩
，所以1a b +=；
故选：B 2．A 【解析】 【分析】
由集合的运算法则计算． 【详解】
由题意{0,1,2,3,4,5}U =，{0,3}U
A =，
()
{0,3}U A B =．
故选：A ． 3．D 【解析】 【分析】
利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】
解：定义域为{}0x x ≠，
因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，
任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222
212211()()f x f x x x x x ---=--+
21212212
1
()()(1)x x x x x x
=-++
， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122
121
()()(1)0x x x x x x -++
>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增，
故选：D 4．A 【解析】 【分析】
根据不等式的性质即可判断. 【详解】
当>0a b >时，能推出22a b >，
当22a b >时，推不出a b >，例如22(1)(0)->推不出10->， 综上可知，“>0a b >”是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，充分条件、必要条件，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】
利用向量模的坐标形式可求a b -的最大值，注意利用二倍角的正弦公式来计算. 【详解】
()2,sin cos a b θθ-=-，
故
(
4a b -=+=，
≤sin 21θ=-即,4
k k Z π
θπ=-+∈等号成立，
故a b -的最大值为， 故选：D. 6．C 【解析】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
记3个“冰墩墩”分别为a 、b 、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种， 所以概率为：93
155
P ==. 故选：C 7．B 【解析】 【分析】
根据三视图得到如图所示的几何体，利用公式可求四棱锥的表面积. 【详解】
根据三视图得到如图所示的几何体（四棱锥），
其中底面为矩形ABCD ，且3,2AD BC AB CD ====，棱锥的高为1， 且侧面SAB ⊥底面ABCD ，SBC SAD ≅，SCD 为等腰三角形且SC SD =，
SAB △为等腰三角形且SA SB =，
取AB 的中点为M ，连接,SM CM .
因为SAB △为等腰三角形且SA SB =，故SM AB ⊥，
而侧面SAB ⊥底面ABCD ，SM ⊂侧面SAB ，侧面SAB ⋂底面ABCD AB =， 故SM ⊥底面ABCD ，故1SM =，
而CM ⊂底面ABCD ，故SM CM ⊥，而CM =
故SC SD ==，故1
22
SCD
S
=⨯ 同理CB ⊥侧面SAB ，而SB ⊂侧面SAB ，故CB SB ⊥，
而SB =132SBC
S =
⨯=
又11212SAB
S
=⨯⨯=，故几何体的表面积为12327+⨯+=+ 故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质及参考数据逐项计算后可得正确的选项.【详解】
因此存款金额用十进制计算，故10
b=，
对于A，存款金额的首位数字是1的概率为
1
lg2lg10.3010
9
-≈>，故A错误.
对于B，存款金额的首位数字是5的概率为
lg6lg5lg2lg31lg22lg2lg3120.30100.477110.0791 -=+-+=+-≈⨯+-=，故不约为9.7%，故B错误.
对于C，存款金额的首位数字是6的概率为
7
lg7lg6lg
6
-=，
存款金额的首位数字是7的概率为
8
lg8lg7lg
7
-=，
因为78
67
>，故
78
lg lg
67
>，故C错误.
对于D，存款金额的首位数字是8的概率为lg9lg8
-，
存款金额的首位数字是9的概率为lg10lg91lg9
-=-，
故存款金额的首位数字是8或9的概率为1lg813lg2130.30100.0970
-=-≈-⨯=，故D正确.
故选：D.
9．A
【解析】
【分析】
依题意可得1290F MF ∠=︒，再利用勾股定理得到22
1216MF MF +=，将122MF MF -=两
边平方，即可得到12MF MF ⋅，最后根据面积公式计算可得； 【详解】
解：依题意1290F MF ∠=︒，124F F =， 所以2
2
2
121216MF MF F F +==， 又()
2
12
4MF MF -=，即22
121224MF MF MF MF +-⋅=，
所以126MF MF ⋅=， 所以12121
32
F F M S MF MF =⋅=△； 故选：A 10．C 【解析】 【分析】
设切点为()3
00,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代
入切线方程，解得0x ，即可得解； 【详解】
解：设切点为()3
00,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以02
0|3x x y x ='=，
所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即23
0032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，
所以3
200032x x =-，
解得00x =或032
x =
， 所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条， 故选：C 11．D 【解析】 【分析】
首先求出函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的对称轴方程，再根据x 的取值范围求出26x π-的范围，即
可得到1x ，2x 关于56
x π
=对称，再利用诱导公式计算可得； 【详解】 解：令2,6
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得,3
2
k x k Z π
π
=
+
∈， 所以函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程为,32k x k Z ππ=+
∈， 因为方程3sin 265x π⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭在()0,π上的解为1x ，2x ，
因为()0,x π∈，所以112,666x π
ππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭，又13sin 625π⎛⎫-=->- ⎪
⎝⎭
， 所以1x ，2x 关于56
x π
=对称；
所以1253x x π+=，所以()125sin sin sin 2sin 333x x ππππ⎛
⎫+==-=-= ⎪⎝
⎭；
故选：D 12．C 【解析】 【分析】
依题意可得{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求出{}n n a b +的通项公式，再根据1232n n n a a b +=++，得到131
122
n n n a a b +=++，即可得到{}1n n a b ++的通项公式，最后代入即可； 【详解】
解：因为1232n n n a a b +=++， 1232n n n b a b +=+-，
所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+，即()112n n n n a b a b +++=+， 又112a b +=，
所以{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以2n
n n a b +=，
又1232n n n a a b +=++，即131
122
n n n a a b +=++， 所以()1313112223
212
n n n n n n n n a b a b b a b +=
==⨯+++++++
所以20212002222200
213213212
a b +=⨯+=⨯+；
故选：C 13．2 【解析】 【分析】
作出可行域，目标式子y
x
，表示可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的连线的斜率，数形结合计算可得； 【详解】
解：作出不等式对应的平面区域如下所示：
其中
00
y y x x -=-表示可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的连线的斜率， 由3204
x y y --=⎧⎨=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，即()2,4A ，由图可知422OA k ==，即max
2y x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭； 故答案为：2 14．8 【解析】 【分析】
设公比为q ()0q >，依题意得到方程，求出q ，即可得解； 【详解】
解：依题意设公比为q ()0q >，由3221S S =+，即3221S S S -=+，即321a S =+，
所以2
1111a q a a q =++，即220q q --=，解得2q
或1q =-（舍去）；
所以3
418a a q ==；
故答案为：8
15． 【解析】 【分析】
依题意可得底面三角形ABC 外接圆的直径即为AB ，设外接球的半径为R ，则
()
2
2212R AB AA =+，即可求出R ，再根据球的体积公式计算可得；
【详解】
解：因为直三棱柱111ABC A B C -底面是以AB 为斜边的直角三角形，
所以底面三角形ABC 外接圆的直径即为AB =
设外接球的半径为R ，则()2
2212R AB AA =+，所以2424R =，解得R =
所以外接球的体积3
43
V R π==；
故答案为：
16【解析】 【分析】
如图，设1MF 与y 轴的交点为Q ，连接2F Q ，利用平面几何知识结合焦点三角形性质可求四边形12MF PF 为ac ，从而可求离心率. 【详解】
如图，设1MF 与y 轴的交点为Q ，连接2F Q ，
因为2MF 平行于y 轴，故Q 为1F M 的中点，且2QPM F MP ∠=∠，
故21
2OQ F M =，又2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故20,2b Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
因为12F MP F MP ∠=∠，故1QPM F MP ∠=∠，
所以2122b PQ QM a a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
故四边形12MF PF 为： 2122
121
1
1122
2
22QF M
F F M
b S F F QP S
c QM S
c QM c a
=⨯⨯+=⨯+=⨯+⨯⨯⨯
22
21222b b c
c a ac a a ⎛⎫=⨯-+== ⎪⎝⎭，
故
c a =
e =
17．(1)规律见解析，ˆ0.87 1.46y
x =- (2)11 【解析】 【分析】
（1）根据散点图的变化趋势分析即可，再求出x ，y ，ˆb
，ˆa 即可得到回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程求出x 的取值范围，即可得解； (1)
解：从散点图看到，各点散布在从左下角到右上角的区域里， 因此，职工平均工资与城镇居民消费水平之间成正相关， 即职工平均工资越高，城镇居民消费水平越高；
又 6.67.27.88.58.49.5
86
x +++++=
=， 4.15 5.2 6.3 5.8 6.6 5.56y +++++=
=， 1
22
2
1
268.5968 5.5 4.59
ˆ0.87389.368 5.3
i i
i i
n
i n
x y
nxy
b
x
nx ==--⨯⨯===≈-⨯-∑∑，
ˆ 5.50.878 1.46a
=-⨯=-， 所求线性回归方程为ˆ0.87 1.46y
x =-； (2)
解：当ˆ8.11y
≥时，即0.87 1.468.11x -≥，解得11x ≥， 所以估计2022年的职工平均工资至少达到11万元； 18．(1)直角三角形；
【解析】 【分析】
（1）由余弦的二倍角公式变形后利用余弦定理化角为边，从而得三角形形状；
（2）求出BMN △面积，得BM BN ⋅为定值，用余弦定理求MN 并利用基本不等式得最小值． (1) 由2
sin
22A c b c -=，得1cos 22A c b
c --=，所以cos b A c
=， 由余弦定理得
2222b c a b
bc c
+-=，整理得222c b a =+，所以π2C =，ABC 是直角三角形； (2)
由2b =，π
3
A =，π
2
C =
得a =4c =，
1
22ABC
S =⨯⨯= 1π11sin 32642
BMN
ABC
S
BM BN BM BN S =
⋅=⋅=
=，
所以BM BN ⋅=
222π2cos
22126MN BM BN BM BN BM BN =+-⋅≥
⋅-⨯=，当且仅当BM BN =时等号成立，
所以MN
19．(1)点F 是BC 的中点，理由见解析
【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，即可得到//OF AC ，从而得到//OF 平面AEC ，同理可证//OD 平面AEC ，即可得到平面//DOF 平面AEC ，从而得证；
（2）由勾股定理求出OA ，OD ，再根据锥体的体积公式求出D BOF V -、D BOC V -、C DOAE V -、DBCAE V 即可得解；
(1)
解：点F 是BC 的中点，
取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，因为O 为AB 的中点，所以//OF AC ， 又AC ⊂平面AEC ，OF ⊄平面AEC ，所以//OF 平面AEC ， 由四边形DOAE 为矩形，所以//DO AE ，
又AE ⊂平面AEC ，OD ⊄平面AEC ，所以//OD 平面AEC ， 因为DO OF O ⋂=，,DO OF ⊂平面DOF ， 所以平面//DOF 平面AEC ， 因为DF ⊂平面DOF ， 所以//DF 平面AEC ，
(2)
解：由（1）知点F 是BC 的中点，
因为2DA AC BC ===，所以AB =
所以OA OC OB ===OC AB ⊥，所以OD
所以三棱锥D BOF -的体积1
11332D BOF BOF
V S
DO -=⋅=⨯；
又三棱锥D BOC 的体积1
113
32D BOC BOC
V S
DO -=⋅=⨯=
所以四棱锥C DOAE -的体积2
11
33
C DOAE DOAE V S -==⨯
=
，
所以几何体DBCAE 的体积DBCAE D BCO C DOAE V V V --=+
所以体积较大部分几何体的体积为DBCAE D BOF V V --==
； 20．(1)2p = (2)()2
2740x y -+= 【解析】 【分析】
（1）()2,02a A a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据距离公式可得AB =，根据二次函数的性质可求最小值，从而可得p 的值.
（2）根据（1）可得:3AB x y =-+，联立直线方程和抛物线方程后可求D 的坐标，设
2,4b E b ⎛⎫
⎪⎝⎭
，利用点到直线的距离公式可求距离的最大值，从而可得面积最大时对应的E 的坐标，从而可判断出圆心在x 轴上，利用待定系数法可求圆心坐标，从而可求圆的方程. (1)
设()2,02a A a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则AB ，
整理得到：AB ==
故当22a p =时，min AB =2p =， (2)
由（1）可得()3,0B 且()1,2A ，故直线AB 的斜率为02
131
-=--， 设:3AB x y =-+，
由234x y y x
=-+⎧⎨=⎩可得24120y y +-=，故2y =或6y =-， 因为D 在x 轴下方，故6D y =-，所以9D x =
，故6AD +=，
设2,4b E b ⎛⎫
⎪⎝⎭，其中62b -<<
又E 到直线:3AB x y =-+
的距离为
d ，
因为62b -<<，故()22
132444
b y b b =+-=+-的取值范围为[)4,0-，
故2
34b b +-的最大值为4，此时ADE 面积最大， 且ADE 面积最大时2b =-即()1,2E -，
因为()1,2A ，所以,A B 关于x 轴对称，故ADE 外接圆的圆心在x 轴上， 设ADE 外接圆的圆心为C ，设(),0C c ， 故CA CD =
=
7c =，
故ADE 外接圆的方程为：()2
2740x y -+=. 21．(1)1
e
>a ；
(2)证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）求出导函数，分类讨论确定极值，得参数范围；
（2）不等式两边相减转化变形为e ln(e )1x x x x ≥+，换元令e x t x =，则不等式为ln 1t t ≥+，令()ln 1g t t t =--，由导数确定函数的最小值，从而证得不等式成立． (1)
()e e (1)(e )(1)x x x f x x a x a x '=+-+=-+，
若0a ≤，则e 0x a ->，1x <-时，()0f x '<，()f x 递减，(1)f -不可能是极大值点，
因此0a >，()0f x '=的解为1ln x a =，21x =-，
1x =-是极大值点，则12x x >，即ln 1a >-，此时有1x <-时，()0f x '>，()f x 递增，
1ln x a -<<时，()0f x '<， ()f x 递减，1x =-是极大值点，
所以1
1e e
a ->=；
(2)
2a =时，不等式()2
ln 2f x x x x ≥--+为e ln 1x x x x >++，即e ln(e )1x x x x ≥+，
令e x t x =，即ln 1t t ≥+，令()ln 1g t t t =--，
11
()1t g t t t -'=-=，当01t <<时，()0g t '<，()g t 递减，1x >时，()0g t '>，()g t 递减，所
以min ()(1)0g t g ==，所以()ln 1(1)0g t t t g =--≥=，所以ln 1t t ≥+恒成立，
即原不等式e ln(e )1x x x x ≥+恒成立，所以()2
ln 2f x x x x ≥--+．
22．(1)22
163
x y +=，()0y ≠
(2)2【解析】 【分析】
（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04
πθρ=
≥代入两极坐标方程即可求出
OA ，OB ，即可得解；
(1)
解：因为直线1l
的参数方程为1
2x t
y kt ⎧=⎪
⎨=⎪
⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l
的普通方程为(1
2
y k x =
①， 直线2l
的参数方程为x m m y k ⎧=⎪
⎨=-⎪
⎩
（m 为参数）
， 消去参数m 得直线2l
的普通方程为(1
y x k
=-
①，
设(),P x y ，由①①
联立得(
(121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，消去k 得()2
2162y x =--
即曲线1C 的普通方程为22
163
x y +=，()0y ≠；
(2)
解：设1OA ρ=，2OB ρ=，
由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2
2
61sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠）， 代入()04
πθρ=≥得12OA ρ==，
将()04
πθρ=
≥代入2cos ρθ=
得2OB ρ==
所以2AB OA OB =-= 即线段AB
的长度为2 23．(1)(,4][0,)-∞-+∞； (2)5a ≤-或1a ≥-． 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，解不等式可得；
（2）由（1）求得()f x 的最大值max ()f x ，()g x 的最小值min ()g x ，然后由max min ()()f x g x ≤可得a 的范围． (1)
1x ≤-时，()12(1)3f x x x x =-++=+，由31x +≤-得4x ≤-，
11x -<≤时，()12(1)31f x x x x =--+=--，由311x --≤-，得0x ≥，所以01x ≤≤，
1x >时，()12(1)3f x x x x =--+=--，由31x --≤-得2x ≥-，所以1x >，
综上，4x ≤-或0x ≥，即不等式的解集为(,4][0,)-∞-+∞； (2)
由（1）知()f x 在(,1)-∞-上递增，在[1,)-+∞上递减，所以max ()(1)2f x f =-=，
()33g x x x a a =-++≥+，即min ()3g x a =+，
答案第16页，共16页 由题意32a +≥，32a +≤-或32a +≥，解得5a ≤-或1a ≥-．。