《师说》2017届高考数学(文)二轮复习高考大题标准练(二)Word版含解析

高考大题标准练(二)
满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：
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1．函数f (x )＝3sin ( 2x
⎭⎫＋π6的部分图象如图所示．
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；
(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π.
x 0＝7π6
，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6
，0. 于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12
时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3
时，f (x )取得最小值－3. 2．(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3
，S 6＝63. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．
解：(1)设数列{a n }的公比为q .
由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1.
又由S 6＝a 1·1－q 6
1－q
＝63，知q ≠－1， 所以a 1·1－26
1－2
＝63，得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.
(2)由题意，得b n ＝12
(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12
， 即{b n }是首项为12
，公差为1的等差数列． 设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则
T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )
＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n
＝2n (b 1＋b 2n )2
＝2n 2. 3．(2015·北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种.
(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所
以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000
＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、
丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000
＝0.3. (3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000
＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000
＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000
＝0.1， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
4．(2016·四川卷如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12
AD . (1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；
(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .
(1)解：取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：
连接CM ，
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .
所以四边形AMCB 是平行四边形，所以CM ∥AB .
又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ，
所以CM ∥平面P AB .
(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)
(2)证明：由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD .
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，
所以四边形BCDM 是平行四边形，
所以BM ＝CD ＝12
AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .
又BD ⊂平面PBD ，所以平面P AB ⊥平面PBD .
5．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．
由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83
. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165
. 6．(2015·四川卷)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.
(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；
(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
(1)解：由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，
所以g ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x
. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．
(2)证明：由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，
解得a ＝x －1－ln x .
令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，
则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.
于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.
令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)．
由u ′(x )＝1－1x
≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故0＝u (1)<a 0＝u (x 0)<u (e)＝e －2<1.
即a 0∈(0,1)．
当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.
再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，
当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，
从而f (x )>f (x 0)＝0；
当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，
从而f (x )>f (x 0)＝0；
又当x ∈(0,1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x >0.
故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0.
综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．。