高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积表面积与体积
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
知识点一空间几何体的表面积
1．多面体的表(侧)面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．旋转体的表(侧)面积
名称侧面积表面积
圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl 2πr(l＋r)
圆锥(底面半径r，母线长l)πrl πr(l＋r) 圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)
球(半径为R)4πR2
易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．
(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
[自测练习]
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()
A．48(3＋3)B．48(3＋23)
C．24(6＋2) D．144
解析：正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×
3
4×4
2＝483，
S表＝144＋483＝48(3＋3)．
答案：A
2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()
A ．8＋4 2
B ．10π
C ．11π
D ．12π
解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D.
答案：D
知识点二 空间几何体的体积
空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝1
3
Sh .
(3)V 台体＝1
3h (S ＋SS ′＋S ′)．
(4)V 球＝4
3
πR 3(球半径是R )．
易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．
(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．
[自测练习]
3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )
A.4
3 cm 3 B.8
3 cm 3 C ．3 cm 3
D ．4 cm 3
解析：由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝8
3
cm 3.
答案：B
4.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π
3
.
答案：8－2π
3
考点一 空间几何体的表面积|
1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A ．8＋2 2
B ．11＋2 2
C ．14＋2 2
D ．15
解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×1
2
×(1＋2)×1＝11＋22，故选
B.
答案：B
2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.
答案：B
3．(2016·昆明模拟)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为________．
解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝1
2·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －
R )2(R 为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭
⎫233a 2＝16π3a 2
，故其表面积比为916. 答案：9
16
(1)由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.
(2)根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积：
①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏.
考点二 空间几何体的体积|
(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜
边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.22π3
B.42π3
C ．22π
D ．42π
(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
[解析] (1)由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42
3
π.
(2)由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×⎝⎛⎭⎫1
2×2×1×3＝11.
[答案] (1)B (2)11
空间几何体体积问题的三种类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
(2015·绵阳模拟)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )
A ．8＋π3
B ．8＋2π
3
C ．8＋8π
3
D ．8＋16π
3
解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个1
4的球体，其
中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π
3
，选A.
答案：A
考点三 与球有关的切、接问题|
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：
1．四面体的外接球． 2．四棱锥的外接球． 3．三棱柱的外接球． 4．圆锥的内切球与外接球． 5．四面体的内切球． 探究一 四面体的外接球问题
1．(2016·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π
解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝
2
3
62－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以
球的表面积S ＝4πR 2＝64π.
答案：A
探究二 四棱锥的外接球问题
2．已知四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底
面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( )
A.323π B ．32π C ．64π
D.643
π 解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD -BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23
，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛
⎭⎫232＝43
，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π
3，
故选D.
答案：D
探究三 三棱柱的外接球问题
3．(2016·长春模拟)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为
3
4
×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3
探究四 圆锥的内切球与外接球问题
4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．
解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝1
3
×π×3×3＝3π.
答案：3π
探究五 四面体的内切球问题
5．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1
S 2
＝________.
解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2
＝3a 2，其内切球半径
为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2
＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2
π6
a 2
＝
63
π
. 答案：63π
求解与球有关的切、接问题的关键点
解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．
21.补形法在空间几何体的体积、面积中的应用
【典例】 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.8π
3 B ．3π C.10π3
D ．6π
[思维点拨] 可考虑将几何体补完整，再分析求解．
[解析] 法一：由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝3
4
×π×12×4＝3π.
法二：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线
的中点处截去了圆柱的1
4，直观图如图(1)所示，我们可用大小与形状完全相同的补成一个半
径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为
V ＝1
2
×π×12×6＝3π.
[答案] B
[方法点评] 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．
[跟踪练习] (2015·沈阳模拟)已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且BC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )
A ．7π
B ．8π
C ．9π
D ．10π
解析：依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π，选C.
答案：C
A 组 考点能力演练
1．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A.323 B ．64 C.3233 D.643
解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝64
3
，故选D.
答案：D
2.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A.16π3
B.8π3 C ．43π D ．23π
解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭
⎫2332＝16π3.
答案：A
3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8 D ．16π－8
解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱
去掉一个直三棱
柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－1
2
×4×2×4＝8π－16.
答案：B
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.2π B ．22π C.π3 D.2π
3
解析：依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2×13π×12×1＝2π
3，选
D.
答案：D
5．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )
A.32
3
π B ．12π C ．16π D ．32π 解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB
2＝1，因为△BCD 为等
边三角形，故DO 1＝23×3
2
3＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝
OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2
＝16π，故选C.
答案：C
6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．
解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43
.
答案：4
3
7．(2016·台州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝
52π.
答案：52π
8．(2016·南昌一模)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．
解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.
设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2
＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2
＋EF 2
4≥14
×2BC ×EF ＝1，
当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.
答案：4π
9．已知某锥体的三视图(单位：cm)如图所示，求该锥体的体积．
解：由三视图知，原几何体是一个五面体，由一个三棱柱截去一个四棱锥得到，其体积为V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×2×2×2－13×1
2
×(2＋1)×2×2＝2.
10．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．
解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S 圆锥侧＝1
2
(2πa )·(2a )＝2πa 2，
S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.
(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．
则PQ ＝
AP 2＋AQ 2＝
a 2＋(πa )2＝a
1＋π2，
所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a
1＋π2.
B 组 高考题型专练
1.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×1
2
×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.
答案：D
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
解析：三棱锥V O -ABC ＝V C -OAB
＝13S △OAB
×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O -ABC ＝V C -OAB ＝13×1
2
×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积为S ＝4π×36＝144π. 答案：C
3．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.1
8 B.17 C.16
D.15
解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A -A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.
故选D.
答案：D
4．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A ．8 cm 3
B ．12 cm 3 C.32
3
cm 3 D.40
3
cm 3 解析：该几何体的体积V ＝23＋13×22×2＝32
3(cm 3)．
答案：C
5．(2015·高考四川卷)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．
解析：因为M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥AC ，NP ∥CC 1， 所以平面MNP ∥平面CC 1A 1A ，
所以A 1到平面MNP 的距离等于A 到平面MNP 的距离．
根据题意有∠MAC ＝90°，AB ＝1， 可得A 到平面MNP 的距离为12.
又MN ＝1
2
，NP ＝1，
所以VP -A 1MN ＝V A -MNP ＝13S △MNP ×12＝13×12×12×1×12＝1
24. 答案：1
24。