高等数学教材向量

高等数学教材向量
高等数学教材——向量
一、向量的概念及基本性质
在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。

它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。

1. 向量的定义
向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。

向量既有大小也有方向，是一个有序数对。

2. 向量的基本性质
（1）向量的模长
向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。

若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。

（2）向量的方向角
向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。

方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。

（3）向量的相等
对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即
|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。

二、向量的基本运算
向量的基本运算包括加法、减法和数乘。

1. 向量的加法
向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构
成一个新的向量。

向量的加法满足平行四边形法则，即
⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。

2. 向量的减法
向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。

向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗
⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。

3. 向量的数乘
向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方
向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。

即
k⃗AB=(|k|)⃗AB。

三、向量的数量积和向量积
1. 向量的数量积
向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个
标量。

向量的数量积的计算公式为：
⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。

2. 向量的向量积
向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是
一个向量。

向量的向量积的计算公式为：
⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和
⃗CD所在平面的单位法向量。

四、向量的应用
向量作为高等数学的重要概念，在物理学、工程学等应用领域具有
广泛的应用。

1. 物理学中的力与向量
在物理学中，力是一个向量，它除了具有大小和方向外，还具有作
用点和作用线的概念。

向量的加法和减法可以用来求解多个力的合力、分解力等问题。

2. 工程学中的位移与向量
在工程学中，位移是一个向量，它表示物体从一个位置到另一个位
置的变化。

向量的模长和方向角可以用来计算位移的大小和方向。

3. 计算机图形学中的坐标与向量
在计算机图形学中，向量被广泛用于表示图形的坐标、方向和变换等。

通过向量的加法和数乘运算，可以实现图形的平移、旋转和缩放
等操作。

总结：
向量是高等数学中的重要概念，它具有大小和方向，可以进行加法、减法和数乘运算。

向量的数量积和向量积分别用于计算数量和面积，
并在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

通过学
习和理解向量的概念和基本性质，我们可以更好地应用于实际问题，
并深入了解向量在不同学科中的应用。