人教版七年级下册第5章《相交线与平行线》解答题培优专题练习(附答案)

《相交线与平行线》解答题培优专题练习
1．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠BOE的余角；
（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．
2．等角转化：如图1，已知点A是BC外一点，连结AB、AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
（1）阅读并补充下面的推理过程
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C ＝（）
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°
∴∠B+∠BAC +∠C＝180°
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF ∥AB）；
（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，点B在点A 的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在两条平行线AB与CD之间，求∠BED的度数．3．已知：直线AC∥BD，点P是直线BD上不与点B重合的一点，连接AP，∠ABD ＝120°．
（1）如图1，当点P在射线BD上时，若∠BAM＝∠BAP，∠NAC＝∠P AC，则∠MAN＝．
（2）如图2，当点P在射线BE上时，若∠BAM＝∠P AC，求∠MAN的度数；
（3）若点P是直线BD上不与点B重合的一点，当∠ABD＝α，∠BAM＝∠BAP，∠NAC＝∠P AC时，请直接用含α，n的代数式表示∠MAN的度数．
4．课题学习：平行线的“等角转化功能．
（1）问题情景：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
天天同学看过图形后立即想出：∠BAC+∠B+∠C＝180°，请你补全他的推理过程．
解：（1）如图1，过点A作ED∥BC，∴∠B ＝，∠C＝．
又∵∠EAB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）问题迁移：如图2，AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
（3）方法运用：如图3，AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC＝70°，点B在A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．
5．直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）如图①，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数；
（2）如图②，射线OF在∠AOD内部．
①若OF⊥OE，判断OF是否为∠AOD的平分线，并说明理由；
②若OF平分∠AOE，∠AOF＝∠DOF，求∠BOD的度数．6．如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠BOE＝∠EOC．
（1）若OE⊥AC，垂足为O点，则∠BOE的度数为°，∠BOD的度数为°；在图中，与∠AOB相等的角有；
（2）若∠AOD＝32°，求∠EOC的度数．
7．已知AB∥CD，点M为平面内一点．
（1）如图1，∠ABM和∠DCM互余，小明说过M作MP∥AB，很容易说明BM ⊥CM．请帮小明写出具体过程；
（2）如图2，AB∥CD，当点M在线段AD上移动时（点M与A，D两点不重合），指出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点M在A，D两点外侧运动（点M与E，A，D三点不重合）请直接写出∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．
8．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H 是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
9．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．
证明：如图①过点E作EF∥AB．
∴∠A＝∠1 （）
∵AB∥CD（已知）
EF∥AB（辅助线作法）
∴CD∥EF（）
∴∠2＝∠DCE（）
∵∠AEC＝∠1+∠2
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（）
（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°
（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为．（请直接写出答案）
10．如图，直线AB与CD相交于点E，射线EG在∠AEC内（如图1）．（1）若∠BEC的补角是它的余角的3倍，则∠BEC＝度；
（2）在（1）的条件下，若∠CEG比∠AEG小25度，求∠AEG的大小；
（3）若射线EF平分∠AED，∠FEG＝100°（如图2），则∠AEG﹣∠CEG＝度．
11．如图，已知∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，DG 交BC的，延长线于G，∠CFE＝∠AEB
（1）若∠B＝87°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由；
（3）若∠DAB＝α，∠DGC＝β，直接写出α、β满足什么数量关系时，AE∥DG．
12．补全解答过程：
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM 平分∠FGB，∠3＝60°．求∠1的度数．
解：∵EF与CD交于点H，（已知）
∴∠3＝∠4．（）
∵∠3＝60°，（已知）
∴∠4＝60°．（）
∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知）
∴∠4+∠FGB＝180°．（）
∴∠FGB＝．
∵GM平分∠FGB，（已知）
∴∠1＝°．（角平分线的定义）13．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝α．（1）用α表示∠ACP；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．
14．如图，已知两条直线DM∥CN，线段AB的两个端点A、B分别在直线OM、CN上，∠C＝∠BAD，点E在线段BC上，且DB平分∠ADE．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若沿着NC方向平移线段AB，那么∠CBD与∠CED度数之间的关系是否随着AB位置的变化而变化？若变化，请找出变化规律；若不变化，请确定它们之间的数量关系．
15．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE 的补角是；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由；请说明理由．
16．已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）当x＝20°时，则∠EOC＝度；∠FOD＝度．
（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE ′转动一周时射线OF′也停止转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF′重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间．17．（1）已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D，（提示：过E作EF平行AB）（2）已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
①如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的
猜想；
②如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平
分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．
18．已知，直线AB、DF相交于点E，AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．（1）如图1，若∠AEF＝44°，求∠C的度数．
（2）如图2，若AB⊥DF，请直接写出图中与∠C互补的角．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，
∴∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOE+∠AOC＝90°，
∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；
（2）∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，
又OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝122°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．
2．【解答】解：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（两直线平行，内错角相等）；
（2）过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，
∠ADC＝70°，
∴∠ABE ＝∠ABC＝30°，∠CDE ＝∠ADC
＝35°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
故答案为：∠DAC；两直线平行，内错角相等．
3．【解答】解：∵AC∥AD，∠ABD＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣120°＝
60°；
（1）∵∠BAM ＝∠BAP，∠NAC ＝∠P AC，
∴∠P AM ＝∠BAP，∠NAP ＝∠P AC，
∴∠MAN＝∠P AM+∠NAP ＝∠BAP +∠P AC
＝30°；
（2）∵AC∥AD，∠ABD＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣120°＝60°
∵
，
∴∠
，
∴
，
即＝
．
（3）．
故答案为：30°．
4．【解答】解：：（1）∵ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，
（2）∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，
∠ADC＝70°，
∴∠ABE ＝∠ABC＝30°，∠CDE ＝∠ADC
＝35°
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．
故答案为：∠EAB，∠DAC．
5．【解答】解：（1）∵∠BOC＝130°，
∴∠AOD＝∠BOC＝150°，
∠BOD＝180°﹣∠BOC＝50°
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝25°
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝155°．
答：∠AOE的度数为155°
（2）①OF是∠AOD的平分线，理由如下：∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°
∴∠BOE+∠AOF＝90°
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE
∴∠DOE+∠AOF＝90°
∠DOE+∠DOF＝90°
∴∠AOF＝∠DOF
∴OF是∠AOD的平分线；
②∵∠AOF ＝∠DOF，
设∠DOF＝3x，则∠AOF＝∠5x，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝5x
∴∠DOE＝2x
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝4x
5x+3x+4x＝180°
∴x＝15°．
∴∠BOD＝4x＝60°．
答：∠BOD的度数为60°．
6．【解答】解：（1）∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝∠COE＝90°，
∵∠BOE ＝∠EOC，
∴∠BOE ＝90°＝30°；
∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD ＝AOB＝30°；
∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝∠DOE；
故答案为：30，30，∠EOD；
（2）∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOD．
∵∠AOD＝32°，
∴∠AOB＝64°．
∴∠COB＝180°﹣∠AOB＝116°．
∵∠BOE ＝∠EOC，
∴∠EOC ＝∠COB ＝×116°＝87°．
7．【解答】解：（1）如图1，过M作MP∥AB，
则∠BMP＝∠ABM，
又∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC＝∠MCD，
又∵∠ABM和∠DCM互余，
∴∠ABM+∠MCD＝90°，
∴∠BMP+∠PMC＝90°，
∴BM⊥CM；
（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：
如图2，过M作ME∥AB，交BC于E，
则∠ABM＝∠BME，
又∵AB∥CD，
∴ME∥CD，
∴∠DCM＝∠EMC，
∴∠ABM+∠DCM＝∠BME+∠CME＝∠BMC；
（3）当点M在E、A两点之间时，∠BMC＝∠DCM
﹣∠ABM；
当点M在射线DF上时，∠BMC＝∠ABM﹣∠
DCM．
8．【解答】解：（1）AB∥CD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴
，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG＝90°﹣∠PKG＝90°﹣2∠HPK．
∴∠EPK＝180°﹣∠KPG＝90°+2∠HPK．
∵PQ平分∠EPK，
∴．
∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°．
答：∠HPQ的度数为45°．
9．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；
等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝
180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°
﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝
70°，
故答案为：70°．
10．【解答】解：（1）设∠BEC的度数为x，
则180﹣x＝3（90﹣x），
x＝45°，
∴∠BEC＝45°，
故答案为：45；
（2）∵∠BEC＝45°，
∴∠AEC＝135°，
设∠AEG＝x°，则∠CEG＝x﹣25，
由∠AEC＝135°，得x+（x﹣25）＝135，
解得x＝80°，
∴∠AEG＝80°；
（3）∵射线EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵∠FEG＝100°，
∴∠AEG+∠AEF＝100°，
∵∠CEG＝180°﹣100°﹣∠DEF＝80°﹣∠
DEF，
∴∠AEG﹣∠CEG＝100°﹣∠AEF﹣（80°﹣∠
DEF）＝20°，
故答案为：20．
11．【解答】解：（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝87°；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠F AD，
∴∠DAF＝∠CFE，
而∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC；
（3）当α＝2β时，AE∥DG．理由：
若AE∥DG，则∠G＝∠AEB＝∠DAE ＝∠BAD，
即当∠BAD＝2∠G时，AE∥DG．
12．【解答】解：∵EF与CD交于点H，（已知）
∴∠3＝∠4．（对顶角相等）
∵∠3＝60°，（已知）
∴∠4＝60°．（等量代换）
∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知）
∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互
补）
∴∠FGB＝120°．
∵GM平分∠FGB，（已知）
∴∠1＝60°．（角平分线的定义）
故答案为：对顶角相等，等量代换，两直线平行，同旁内角互补，120°，60．
13．【解答】（1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP＝α，
∵∠P＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠CAP＝90°﹣α；
（2）证明：
由（1）可知∠ACP＝90°﹣α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACP＝180°﹣2α，
又∠BAC＝2∠BAP＝2α，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD；
（3）证明：
∵AP∥CF，
∴∠ECF＝∠CAP＝α，
由（2）可知AB∥CD，
∴∠ECD＝∠CAB＝2α，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝α，
∴∠ECF＝∠DCF，
∴CF平分∠DCE．
14．【解答】解：（1）∵DM∥CN，
∴∠BAD＝∠NBA，
∵∠C＝∠BAD，
∴∠C＝∠NBA，
∴AB∥CD．
（2）结论：没有变化，∠CDB ＝∠CED．
理由：∵DB平分∠ADE，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵DM∥CN，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠EDB，
∵DM∥CN，
∴∠CED＝∠EDA，
∵∠EDA＝2∠EDB，
∴∠CDB ＝∠CED．
15．【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，
∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF ＝×90°＝60°，∠COE ＝×90°
＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，
∴∠COE+∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
16．【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝x＝20°，
∴∠EOC＝90°﹣20°＝70°，
∠AOD＝180°﹣20°＝160°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD ＝∠AOD ＝＝80°；
故答案为：70，80；
（2）当x＝60°，∠EOF＝90°+60°＝150°
设当射线OE'与射线OF'重合时至少需要t秒，
10t+8t＝150，
t ＝，
答：当射线OE'与射线OF'重合时至少需要秒；
（3）设射线OE'转动的时间为t秒，
由题意得：10t+90+8t＝150或10t+8t＝150+90或
360﹣10t＝8t﹣150+90或360﹣10t+360﹣8t+90＝
360﹣150，
t ＝或或或．
答：射线OE'转动的时间为秒或秒或
秒或秒．
17．【解答】（1）证明：如图1过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D；
（2）①解：如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
②解法一：
证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠
BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．
解法二：证明：由结论可得∠G2＝∠1+∠G2FD
∵FG2平分∠EFD，
∴∠EFG2＝∠G2FD，
∵∠EG1F+∠EG1G2＝∠EG1F+∠2+∠EFG2＝
180°，
∴∠EG1G2＝∠2+∠EFG2，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠EG1G2，
∴∠EG1F+∠G2＝180°
18．【解答】解：（1）∵EG平分∠AEF，∠AEF＝44°，
∴∠AEG＝∠GEF ＝∠AEF＝22°，
∵CE⊥EG．
∴∠AEC＝90°﹣22°＝68°，
又∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝68°，
（2）∵AB∥CD，EG平分∠AEF，CE⊥EG．AB
⊥DF，
∴∠C＝∠CED＝∠CEA＝∠AEG＝∠GEF＝45°
∴∠CEB＝∠CEF＝∠GED＝∠GEB＝135°
因此与∠C互补的角由：∠CEB，∠CEF，∠GED，
∠GEB．。