考研数学三(线性代数)-试卷19

考研数学三（线性代数）-试卷19
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：9，分数：18.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设A=E—2ξξT，其中ξ=（x 1，x 2，…，x n）T，且有ξTξ=1。

则①A是对称矩阵；②A 2是单位矩阵；③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。

上述结论中，正确的个数是（）
（分数：2.00）
A.1
B.2
C.3
D.4 √
解析：解析：A T =（E—2ξξT）T =E T一（2ξξT）T =E—2ξξT =A，①成立。

A 2 =（E—2ξξT）（E—2ξξT）=E一4ξξT +4ξξTξξT =E一4ξξT +4ξ（ξTξ）ξT =E，②成立。

由①、②，得A 2 =AA T =E，故A是正交矩阵，③成立。

由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A —1 =A T，④成立。

故应选D。

3.设A为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（）
（分数：2.00）
A.A T
B.A 2
C.A *
D.2A √
解析：解析：因A为正交矩阵，所以AA T =A T A=E，且|A| 2 =1。

而（2A）（2A）T =4AA T =4E，故2A不为正交矩阵。

所以选D。

事实上，由A T（A T）T =A T A=E，（A T）T A T =AA T =E，可知A T为正交矩阵。

由A 2（A 2）T =A（AA T）A T =AA T =E，（A 2）T A 2 =A T（A T）A=A T A=E，可知A 2为正交矩阵。

由A * =|A|A —1 =|A|A T，可得 A *（A *）T =|A|A T（|A|A）=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E，（A *）T A * =（|A|A）|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E，故A *为正交矩阵。

4.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（）
（分数：2.00）
A.α1—α2，α2—α3，α3—α4，α4—α1线性无关
B.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α4，α4 +α1线性无关
C.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α4，α4—α1线性无关√
D.α1 +α2，α2 +α3，α3—α4，α4—α1线性无关
解析：解析：排除法通过观察可知（α1—α2）+（α2—α3）+（α3—α4）+（α4—α1）=0，（α1 +α2）一（α2 +α3）+（α3 +α4）一（α4 +α1）=0，（α1 +α2）一（α2 +α3）+（α3—α4）+（α4—α1）=0，即选项A，B，D中的向量组均线性相关，所以选C。

5.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为①x 4，x 5；②x 3，x 5；③x 1，x 5；④x 2，x 3。

那么正确的共有（）
（分数：2.00）
A.1个
B.2个√
C.3个
D.4个
解析：解析：因为系数矩阵的秩r（A）=3，则n—r（A）=5—3=2，故应当有两个自由变量。

由于去掉x 4，
x 5两列之后，所剩三阶矩阵为因为其秩与r（A）不相等，故x 4，x 5不是自由变量。

同理，x 3，
x 5不能是自由变量。

向x 1，x 5与x 2，x 3均可以是自由变量，因为行列式都不为0。

所以应选B。

6.设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，n均为m×n矩阵，现有四个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r（A）≥r（B）；②若r（A）≥r（B），则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则r（A）=r（B）；④若r（A）=r（B），则Ax=0与Bx=0同解。

以上命题中正确的有（）
（分数：2.00）
A.①②
B.①③√
C.②④
D.③④
解析：解析：由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。

下面证明①，③正确：对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。

从而Ax=0的有效方程的个数（即r（A））必不少于B=0的有效方程的个数（即r（B）），故r（A）≥r（B）．对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即 n—r （A）=n—r（B），从而r（A）=r（B）。

7.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是（）
（分数：2.00）
A.λ—1 |A| n
B.λ—1 |A| √
C.λ|A|
D.λ|A| n
解析：解析：设向量x（x≠0）是与λ对应的特征向量，则Ax=λx。

两边左乘A *，结合A *A=|A|E得A
* Ax=A *（λx），即 |A|x=λ A * x，从而 A * Ax= 可见A *有特征值=λ—1 |A |。

所以应选B。

8.设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A 2～B 2；③ T～B T；④A —1～B —1。

正确的个数为（）
（分数：2.00）
A.1
B.2
C.3
D.4 √
解析：解析：因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P —1 AP=B，于是 P —1 A 2 P=B 2，P T A T（P T）—1 =B T，P —1 A —1 P=B —1，故 A 2～B 2，A T～B T，A —1～B —1。

又由于A可逆，可知A —1（AB）A=BA，即AB～BA。

故正确的命题有四个，所以选D。

9.下列二次型中是正定二次型的是（）
（分数：2.00）
A.f 1 =（x 1—x 2）2 +（x 2—x 3）2 +（x 3—x 1）2
B.f 2 =（x 1 +x 2）2 +（x 2—x 3）2 +（x 3 +x 1）2
C.f 3 =（x 1 +x 2）2 +（x 2 +x 3）2 +（x 3—x 4）2 +（x 4—x 1）2
D.f 4 =（x 1 +x 2）2 +（x 2 +x 3）2 +（x 3 +x 4）2 +（x 4—x 1）2√
解析：解析：f=x T Ax正定x≠0，均有x T Ax＞0；反之，若存在x≠0，使得f=x T Ax≤0则f或A不正定。

A选项因f 1（1，1，1）=0，故不正定。

B选项因f 2（—1，1，1）=0，故不正定。

C选项因f 3（1，—1，1，1）=0，故不正定。

由排除法，故选D。

二、填空题(总题数：10，分数：20.00)
10.
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：—2（x 3 +y 3））
解析：解析：将后两列加到第一列上—2（x 3 +y 3）。

11.设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。

已知λ1=1，λ2=—1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：18）
解析：解析：由|2E+A|=0，可得|—2E—A|=0，即λ=—2是A的一个特征值。

因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=—1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=—1，λ3=—2，则E+2B的三个特征值分别为3，—1，—3。

从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（—1）×（—3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2B）|=|A|．|E+2B|=18。

12.设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβTαTβ= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）
解析：解析：设α=（α1，α2，α3）T，β=（b 1，b 2，b 3）T，则而αTβ=（α
Tβ就是矩阵αβT的主对角线元1，α2，α3）=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3，可以看出α
素的和，所以αTβ=1+6+（—2）=5。

13.设*为A的伴随矩阵，则（A *）—1 = 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由A * =|A|A —1可得（A *）—1
14.r（AB+2A）= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）
解析：解析：因为AB+2A=A（B+2E），且是可逆矩阵，所以r（AB+2A）=r（A）。

对A作初等行变
因此可得r（AB+2A）=2。

15.已知向量α1 =（1，2，—1，1）T，α2 =（2，0，t，0）T，α3 =（0，—4，5，t）T线性无关，则t的取值范围为 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：（一∞，+∞））
解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，
或者矩阵的秩的特性来分析。

令A=（α1，α2，α3）则对任意的t，r（A）=3是恒成立的，即向量组线性无关。

16.设α1 =（6，—1，1）T与α1 =（—7，4，2）T是线性方程组
解是 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：（6，—1，1）T +k（13，—5，—1）T，k为任意常数）
解析：解析：一方面因为α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以一定有r（A）=
＜3。

另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式=2。

由n—r（A）=3—2=1可知，导出组Ax=0的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知α1—α2 =（6，—1，1）T =（—7，4，2）T =（13，—5，—1）T是导出组Ax=0的非零解，即基础解系，则方程组的通解为x=（6，—1，1）T+k（13，—5，—1）T，k为任意常数。

17.已知λ=12是a= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）
解析：解析：因为λ=12是A的特征值，因此|12E—A|=0a=4。

18.设矩阵A与r（A）+r（A—2E）= 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）
解析：解析：矩阵A与B相似，则A—2E与B—2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r（A）+r（A—2E）=r（B）+r（B—2E）=2+1=3。

19.二次型f（x 1，x 2，x 3）=（x 1 +2x 2 +a 3 x 3）（x 1 +5x 2 +b 3 x 3）的合同规范形为 1。

（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：z 12—z 22）
解析：解析：令所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y 1y 2是合同的，
故有相同的合同规范形。

二次型f=y 1y 2的矩阵为，0，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为z 1 y 2—z 2 y 2。

三、解答题(总题数：11，分数：22.00)
20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
21.已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x，Ax，A 2 X线性无关，且满足A 3 X=3Ax—2A 2 x。

（Ⅰ）记P=（x，Ax，A 2 X）。

求三阶矩阵B，使A=PBP —1；（Ⅱ）计算行列式|A+E|。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：（Ⅰ）令等式A=PBP —1两边同时右乘矩阵P，得AP=PB，即 A（x，Ax，A 2 x）=
（Ax，A 2 x，A 3 x）=（Ax，A 2 x，3Ax一2A 2 x）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A—B，那么A+E～B+E，从
而)
解析：
22.k为何值，可使：（Ⅰ）r（A）=1；（Ⅱ）r（A）=2；（Ⅲ）r（A）=3。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：对A（Ⅰ）当k=1时，r（A）=1；（Ⅱ）当k=—2时，r（A）=2；（Ⅲ）当k≠l且k≠—2时，r（A）=3。

)
解析：
23.已知A是三阶矩阵，αi（i=1，2，3）是三维非零列向量，令a=α1+α2+α3。

若Aαi=iαi（i=1，2，3），证明：α，Aα，A 2α线性无关。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由Aαi =iαi（i=1，2，3），且αi（i=1，2，3）非零可知，α1，α2，α3是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2，α3线性无关。

又 Aα=α1 +2α2 +3α
3，A 2α=α
1 +4α
2 +9α3，所以（α，Aα，A
2α）=（α
1，α2，α3）=（α1，
α2，α3）P，而矩阵P是范德蒙德行列式，故|P|=2≠0，所以α，Aα，A 2α线性无关。

)
解析：
24.设向量组a 1，a 2，…，a m线性相关，且a 1≠0，证明存在某个向量a k（2≤k≤m），使a k能由a 1，a 2，…，a k—1线性表示。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：因为向量组a 1，a 2，…，a m线性相关，由定义知，存在不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使λ1 a 1 +λ2 a 2+…+λm a m =0。

因λ1，λ2…，λm不全为零，所以必存在k，使得λk≠0，且λk+1=…=λm =0。

当k=1时，代入上式有λ1 a 1 =0。

又因为a 1≠0，所
以λ1 =0，与假设矛盾，故k≠1。

当λk≠0且k≥2时，有因此向量a k能由a 1，a 2，…，a k—1线性表示。

)
解析：
25.设Aξ2 =ξ1，A 2ξ3 =ξ1的所有向量ξ2，ξ3；（Ⅱ）对（Ⅰ）中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：（Ⅰ）对增广矩阵（A|ξ1）作初等行变换，则得Ax=0的基础解系（1，—1，2）T和Ax=ξ1的特解（0，0，1）T。

故ξ2 =（0，0，1）T +k（1，—1，2）T，其中k为
任意常数。

A 2 = 对增广矩阵（A 2 |ξ1）作初等行变换，有得A 2 x=0的基础解系（—1，
1，0）T，（0，0，1）T和A 2 x=ξ1的特解故ξ3 = +t 1（—1，1，0）T + t 2（0，
0，1）T，其中t 1，t 2为任意常数。

（Ⅱ）因为 |ξ1，ξ2，ξ3所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

)
解析：
26.设矩阵A=（a 1，a 2，a 3，a 4），其中a 2，a 3，a 4线性无关，a 1 =2a 2—a 3，向量b—a 1 +a 2 +a 3 +a 4，求方程组Ax=b的通解。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：已知α2，α3，α4线性无关，则r（A）≥3。

又由α1，α2，α3线性相关可知α1，α2，α3，α4线性相关，故r（A）≤3 。

终上所述，r（A）=3，从而原方程组的
基础解系所含向量个数为4—3=1。

又因为α1 =2α2—α3α1—2α2 +α3 =0 （α1，
α2，α3，α4）所以x=（1，—2，1，0）T是方程组Ax=0的基础解系。

又由b=a 1 +a 2 +a
T是方程组Ax=b的一个特解。

于是原方程组的通解为 x=（1，1，1，1）T 3 +a 4可知x=（1，1，1，1）
+c（1，—2，1，0）T，c∈R。

)
解析：
27.已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。

证明：如α1 +α2 +α3仍是A的特征向量，则λ1 =λ2 =λ3。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：若α1 +α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A（α1+α2+α3）=A（α1 +α2 +α3）。

又A（α1 +α2 +α3）=Aα1 +Aα2 +Aα3 =λ1α1 +λ2α2 +λ3α3，于是有（λ—λ1）α1 +（λ—λ2）α2 +（λ—λ3）α3 =0。

因为α1，α2，α3线性无关，故λ—λ1 =0，λ—λ2 =0，λ—λ3 =0，即λ1 =λ2 =λ3。

)
解析：
28.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1 =1，λ2 =—1，λ3 =0；对应λ1，λ2的特征向量依次为p 1 =（1，2，2）T，p 2 =（2，1，—2）T，求A。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=（q 1，q 2，q 3），使Q T AQ=Q —1
AQ= 将对应于特征值λ1，λ2的特征向量P 1 = 单位化，得由正交矩阵的性质，q
3可取为的单位解向量，则由)
解析：
29.在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。

假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。

把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n和y n（x
n +y n =1）。

（Ⅰ）求关系式中的矩阵A；（Ⅱ）设目前农村人口与城镇人口相等，即
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：（Ⅰ）由题意，人口迁移的规律不变 x x+1 =x n + qy n—px n =（1—p）x n + qy
n， y n+1 =y n + px n—qy n =px n + （1—q）y n，用矩阵表示为得A的特征值为λ1 =1，λ2 =r，其中r=1—p—q。

当λ1 =1时，解方程（A—E）x=0，得特征向量p 1 = 当λ2 =r时，解方程（A—rE）x=0，得特征向量p 2= 令P=（p 1，p 2）= 则P —1AP= =Λ，A=PΛP —1，A n =PΛn P —1。

于是)
解析：
30.设矩阵3，求y，并求可逆矩阵P，使（AP）T（AP）为对角矩阵。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为3是A的特征值，故|3E—A|=8（3—y—1）=0，解得y=2。

于是由于A
T =A，要（AP）T（AP）=P T A 2 P=Λ，而A 2 = 是对称矩阵，即要A 2～Λ，故可构造二次型x T A 2 x，再化其为标准形。

由配方法，有 x T A 2 x=x 12 +x 22 +5x 32 +5x 42 +8x 3 x 4 =y 12 +y 22 +5y
32 + y
4
2，其中y
1 =x 1，y
2 =x 2，y
3 =x 3 + x 4，y
4 =x 4，即于是（AP）
T（AP）=P T A 2) 解析：。