高中数学第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算教案理新人教A版选修2-2
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案1 新人教A 版选修2-2的全部内容。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算一、教学目标：1。
知识目标:（1)掌握复数代数形式的乘法与除法的运算法则，会进行乘法与除法运算；（2）理解共轭复数的概念,并会用它及其性质求解相关问题；（3)掌握复数的乘法所满足的运算律，并能应用它们熟练地进行的四则运算．2.能力目标：通过类比实数的四则运算的规律或向量的运算规律，得到复数加减运算的法则，同时了解复数加减法运算的几何意义．3。
情感态度价值观：通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比,理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．二、重点难点：重点:复数乘除法运算及其应用．。
难点:复数乘除法运算的几何意义．三、学习新知：阅读课本， 找出疑惑之处，并自主探究下列问题:1。
复数乘除法运算的法则？2.复数乘除满足的运算律?3。
复数乘除法运算的几何意义?四、教学过程：1、课前准备⑴设12i,i z a b z c d =+=+，则12z z =___________,12z z =___________． ⑵对于123,,C z z z ∈有12z z =___________，123()z z z =___________，123()z z z +=___________． ⑶一般地，当两个复数的实部___________，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不为零的两个共轭复数也叫做___________．设i z a b =+，则z =___________． ⑷已知12,z z 是共轭复数，那么①若12,z z 是共轭虚数，在复平面内，12,z z 所对应的点关于___________对称;②12z z =___________．2、学习引领(1）乘法运算的解读复数代数形式的乘法运算也并不繁琐，两个复数相乘,只要按照多项式的乘法进行,并将i 的平方换成1-，最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．（2）除法运算的解读复数代数形式的除法运算，要求掌握除法运算的一般规律：分子分母同乘以分母的共轭复数，然后分子运用复数代数形式的乘法运算进行化简,而分母则运用z z =2||z 进行化简,最后将结果整理成i(,R)a b a b +∈的形式即可．(3）共轭复数的解读共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意它的几何特性：关于是轴对称；代数特性：实部相等，虚部互为相反数．这正是建立方程组的出发点．②实数a 的共轭复数仍然是a 本身,即C z ∈，z z z R =⇔∈，这是判断一个数是否是实数的一个准则．(4）复数运算中i n 的周期性:4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-．3、典例导析题型一 复数的乘法基本运算例1计算 ⑴2(1+i)(1i)(1+i)--； ⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-．思路导析：解答本题只要熟练运用复数的乘法法则及乘法运算律（乘法公式)即可求解． 解析：⑴2(1+i)(1i)(1+i)--2221i (12i i )=--++22i =-．⑵(12i)(34i)(56i)4i +++-2(34i 6i 8i )(56i)4i =++++-(510i)(56i)4i =-++-22530i 50i 60i 4i =--++-8516i =-+．规律总结：三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便,如平方差公式，完全平方公式等．【变式练习1】计算⑴2(1i)-； ⑵(13i)(34i)-+-;题型二 复数的除法基本运算例2计算 ⑴(2i)(2i)-÷+；⑵i(2i)12i+-． 思路导析：熟练掌握除法运算法则，将分母实数化解决本题． 解析：⑴2i (2i)(2i)2i --÷+=+222(2i)54i 41i 2i55--===--． ⑵解法一：22i(2i)2i 1(2i 1)(12i)5112i 12i 1(2i)5+--+-====----． 解法二:i(2i)2i 1(12i)112i 12i 12i+---===----． 规律总结：进行复数的除法,通常从两方面计算：①运用复数除法法则“分母实数化”;②逆（或正）用乘法运算律，整体处理；如i i(i)i(i)=(i)a b b a b a a b +=-=--+---．【变式练习2】计算⑴i 2i -；⑵1i 1i-+． 题型三 共轭复数及应用例3 已知复数222(32)i()x x x x x R +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值．思路导析：利用共轭复数的概念：实部相等,虚部互为相反数，建立方程组求解x 的值．解析：由题意得，2224,3220,x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解之得3x =-． 故x 的值为3-．规律总结:对于共轭复数及应用型问题，通常抓住共轭复数的代数特征，建立方程进行求解．【变式练习3】若2i x y -+和3i x -互为共轭复数,则实数,x y 的值为（）（A ）3，3 （B ）5,1 （C ）1,1-- （D ）1,1-题型四 简单的复数方程例4 证明:在复数范围内，方程255i (1i)(1i)2iz z z -+--+=+(i 为虚数单位）无解． 思路导析：利用复数相等将复数方程转化为实数方程组进行证明． 证明：原方程化简为2(1i)(1i)13i z z z +--+=-，设i(,)z x y x y R =+∈，则i z x y =-， 代入上述方程得22(22)i 13i x y x y +-+=-,∴221,(22)3,x y x y ⎧+=⎨-+=-⎩整理得281250x x -+=．因2(12)485160∆=--⨯⨯=-<，∴方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解．规律总结：处理复数方程问题，一般是设出复数z的代数形式，利用四则运算整理方程，然后复数相等的充要条件转化为代数方程组进行求解．【变式练习4】已知C-=+．zz zz∈,解方程3i13i。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案 新人教A版选修2-
教学目标
1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)
2．理解共轭复数的概念,并能解决相关问题．(易混点)
教学重点
掌握复数代数形式的乘、除运算．
教学难点
复数除法的运算法则．
教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
启发诱导式、讲练结合式
教具
多媒体
教学环节
设计意图
一、目标展示:1．掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点)
检测学生自学情况，了解学生自学中存在的问题。
通过探究让学生应用复数的乘除运算法则解决比较复杂的复数运算问题，强化学生对复数的乘除运算法则的理解和掌握。培养学生合作探究与运算能力。
理解共轭复数的定义，了解共轭复数的一些性质，并会应用待定系数方法，方程思想解决复数问题。
强化巩固
总结方法
精华提升
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想：复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
六、课后作业：
作业：课本61页A组4，5；B组1.
学生自主学习，初步掌握复数乘除法运算法则，理解共轭复数的概念。培养学生自主学习能力。
2．理解共轭复数的概念,并能解决相关问题．(易混点)
二、自主学习
阅读教材P58～P60内容，完成下列练习：
（1）、若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.
（2）计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2) (1+i)2; （3）（1-2i）（3+4i）
(4) ； （5） ；
三、合作探究：
问题1 怎样进行复数的乘法？
最新人教版高中数学选修3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计
3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算.2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题．重点：复数的乘除运算法则及其应用．难点：复数的代数形式的化简．学习过程一．认知预习阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题：1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。
你能总结出复数相乘的运算规则吗？设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数二、探究新知探究一、乘法运算律：①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律：()1231213z z z z z z z +=+.这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？小试牛刀(1)(2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）（3）3+4i 3-4i （）（） 241+i （）（）思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？探究二、共轭复数共轭复数有什么特点？1、实部虚部特点：2、模有什么关系：3、乘积有什么特点：总结共轭复数的概念：探究三、复数除法、运算规则类比实数的除法如：（1）34342-3=2-3a a a a ++÷（）（）22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式如：12(12)(34)34ii i i ++÷-=-接下来我们应该怎样去计算？（实数运算分母为无理数时是怎样处理的——分母有理化）你能总结出复数除法的运算规则吗？三、达标检测1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( )A ．－iB ．iC ．－1D ．12、i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i等于 ( ) A ．1＋i B ．5＋5i C ．－5－5i D ．－1－i3．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .四、归纳与小结（1）掌握复数的乘法运算法则，两个复数的乘法，实质上是按多项式的展开法则进行的，没有必要记住公式；（2）两个复数的除法，将分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母化为实数，分子再按照复数乘法进行运算.。
(新)高中数学第三章3_2复数代数形式的四则运算3_2_2复数代数形式的乘除运算教学案新人教A版选修2-2
3．2.2 复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 4．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) (2)若z 1，z 2∈C，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i答案：A4．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y＝(1＋i)2＝2i.2．已知a ，b ∈R，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i 5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i.法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________.[解析] (1)因为i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)， ∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.[答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n＋in ＋1＋in ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用]计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______. 解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i复数综合应用[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋z是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z ，证明u 为纯虚数．证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0，所以y 1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值．解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1. 则ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x1＋x＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x －3.因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0. 于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立． 所以ω－⎝⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i. 2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ．1 024 C ．0D ．512解析：选 C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ， 又a ，b ∈R，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1， 所以a b＝2. 答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i .解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i2－3i＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i 13＝－i ，所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i ＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i1＋i ∈R，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1解析：选B ∵a ＋ii＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i.5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z＜0可知z 2＋a z是实数且为负数． z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0. 由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i ＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i. 2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B.3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－zz等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.12B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z＝±i.12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i.答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i. 19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数． (1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1－2＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R)，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又∵z 1·z 2∈R，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.。
数学：3.2.2《复数代数形式的乘 除运算》教案（新人教A版选修2-2）
教学目标：知识与技术：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算进程与方式：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，咱们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生踊跃主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学假想：若是两个复数的实部和虚部别离相等，那么咱们就说这两个复数相等即：若是a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d，只有当两个复数不尽是实数时才不能比较大小教学进程：温习回顾：1．复数z1与z2的和的概念：2. 复数z1与z2的差的概念：.3. 复数的加法运算知足互换律:4. 复数的加法运算知足结合律讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法依照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，而且把实部与虚部别离归并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。
4. 复数除法概念：知足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或di c bi a ++ 5.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等概念可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方式，②是利用初中咱们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方式，而复数c +di 与复数c －di ，相当于咱们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方式叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4计算ii i i 4342)1)(41(++++-解例5已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数. 证明：巩固练习：课后作业：课堂小结：复数的乘法法则是：(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，没必要去记公式. 复数的除法法则是：2222dc ad bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0). 两个复数相除较简捷的方式是把它们的商写成份式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简师生反思：。
2021年高中数学3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析人教A版选修2_2
3．2.2 复数代数形式的乘除运算[目标] 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算.2.理解共轭复数的意义.3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．[重点] 复数的乘法与除法的运算法则．[难点] 复数的除法运算．知识点一复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘法运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z21＋2z1·z2＋z22是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二复数的除法运算[填一填]1．共轭复数已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则(1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c ，且b ＝－d ≠0. 2．复数代数形式的除法法则 (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [答一答]3．根据共轭复数的概念，探究以下问题： (1)如果z ∈R ，那么z 与z 有什么关系？(2)复数z 与它的共轭复数z 在复平面内所对应的点的位置关系如何？ (3)两个互为共轭复数的复数乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？ 提示：(1)当z ∈R 时，z ＝z ，即一个实数的共轭复数是它自身． (2)关于实轴对称．(3)当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数．事实上，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2，且有z ·z ＝|z |2＝|z |2.4．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．1．复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i 2应化为－1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．2．共轭复数(1)复数z 的共轭复数通常用z 表示，即当z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时，z ＝a －b i. (2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2＝|z |2＝|z |2.(3)实数a 的共轭复数仍是a 本身，即z ∈C ，z ＝z ⇔z ∈R ，这是判断一个数是否为实数的一个准则．(4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． 3．虚数单位i 的乘方由i 4＝1，则对任意n ∈N *，i 的幂的周期性如下：i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.类型一 复数的乘法运算 【例1】 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.计算下列各题． (1)(1－i)3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)． 解：(1)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i) ＝(1－2i ＋i 2)·(1－i)＝(－2i)·(1－i)＝－2i ＋2i 2＝－2－2i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (2－i)(3＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (7－i) ＝3－72＋73＋12i.类型二 共轭复数【例2】 (1)若z ＝1＋2ii ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i【解析】 (1)z ＝1＋2ii＝1＋2i －i－i2＝2－i ，则复数z ＝2＋i. (2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 【答案】 (1)D (2)B (3)B1若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z ，再进行复数的四则运算.必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z .2共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i a ，b ∈R ，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解.(1)若|z |＝3，z ＋z ＝0，则复数z ＝3i 或－3i. 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有z ＝x －y i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y i ＋x －y i ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，即z ＝3i 或－3i.(2)已知x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数，求实数x 与y 的值．解：∵x ，y 为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.类型三 复数的除法运算 【例3】 计算： (1)1＋i3－1－i 31＋i2－1－i2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4＋1－3i 22＋2i 2.【思路分析】 (1)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法；(2)先展开，后化简．【解】 (1)方法1：原式＝1＋3i 1＋i ＋i 3－[1－3i 1－i －i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1.方法2：原式＝ [1＋i －1－i ][1＋i 2＋1＋i 1－i ＋1－i2][1＋i ＋1－i ][1＋i －1－i ]＝4i4i＝1. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＋－2－23i 41＋i2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2－1＋3i 4i ＝－12－32i ＋14i －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－32i.在进行复数除法运算时，通常先把a ＋b i ÷c ＋d i 写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c －d i ，化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( D ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋iD ．5－i解析：由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋52＋i2－i 2＋i＝3＋2＋i ＝5＋i ，所以z ＝5－i.1．(1－i)2·i 等于( D ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－2D ．2解析：(1－i)2·i＝(1－2i ＋i 2)·i＝(－2i)·i＝－2i 2＝2，故选D. 2．在复平面内，复数z ＝12＋i对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝12＋i ＝2－i 2＋i 2－i ＝2－i 22－i 2＝2－i 5＝25－15i ，故复数z 对应的点为Z (25，－15)，它位于第四象限，选D. 3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 的值为( C ) A ．－3＋i B ．3＋i C ．－3－iD ．3－i解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ，∴z ＝－3－i ，故选C.4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝－1，y ＝1.解析：x －2＋y i ＝3x ＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3x ，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.5．计算：(2＋i)·(1＋i)2－2＋i 1＋i .解：原式＝(2＋i)(2i)－2＋i1－i2＝4i －2－3－i2＝(－2－32)＋(4＋12)i ＝－72＋92i.。
高中数学3.2复数代数形式的四则运算3.2.2掌握复数的代数形式的乘、除运算教案文新人教A版选修2_2
教学 目标 教学 重、 难点 教学 直尺 准备 一、复习准备： 1. 复数的加减法的几何意义是什么？ 2. 计算（1）(1 4i)+(7 2i) （2）(5 2i)+(1 4i) (2 3i) （3） 重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 难点: 乘除运算 掌握复数的代数形式的乘、除运算。
(3 2i)-[(4 3i) (5 i)]
3. 计算： （1） (1 3) (2 3) 项式的乘法引入复数的乘法） 二、讲授新课： 1.复数代数形式的乘法运算 ① . 复 数 的 乘 法 法 则 ： （2） (a b) (c d ) （类比多
(a bi)(c di) ac bci adi bdi 2 (ac bd ) (ad bc)i 。
其中 c di 叫做实数化因子 例 3． 计算 (3 2i) (2 3i) ，(1 2i) (3 2i)（师生共同板演一道， 再学生练习） 练习：计算
3 2i 3i ， 2 (1 2i) (1 i )2 1
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。 三、巩固练习： 1． 计算 （ 1）
例 1 ．计算（ 1 ） (1 4i) (7 2i) 教学 过程 （ 2 ） (7 2i) (1 4i) （ 3）
[(3 2i) (4 3i)] (5 i)
（4） (3 2i) [(4 3i) (5 i)] 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、 分配律？ 例 2．1、计算（1） (1 4i) (1 4i) （3） (3 2i)2 2、已知复数 Z ，若，试求 Z 的值。变：若 (2 3i) Z 8 ， 试求 Z 的值。 ②共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0 时， 它们叫做共轭虚数。 注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。 （2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计 新人教A版选修2-2
培养数学严谨治学的态度和探究精神。
通过合作探究，体验成功的快乐，从而，热爱数学研究。
教法设计
启发式、合作学习式、探索发现式
学法设计
观察法、猜想法、尝试法、归纳法
教学媒体
白板、PPT课件
教学流程设计
具体教学过程：
导语
上节课我们学习了复数代数形式的加减运算，本节课当然就要，继续学习复数代数形式的乘除运算。在学习新课之前，我们先来回顾一下，上节课学习的复数代数形式的加减运算与什么运算相类似？（书写课题）
《复数代数形式的乘除运算》
课题
《复数代数形式的乘除运算》
二年二班
指导思想与理论依据
探究式教学，又称发现法、研究法，是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念。
课堂小结
类比思想：
乘法类比多项式运算
除法类比无理数运算过程Fra bibliotek法：乘法合并“同类式”
除法分母实数化
板书设计
一、乘法法则：
例2：
例1：
重要方法：分母实数化
二、共轭复数：
三、除法法则：
课题：复数代数形式的乘除运算
尝试与探究
1、类比多项式运算，猜想复数代数形式的乘法运算如何进行？并尝试与探究，分四个小组进行探索。
（1） （2）
（3） （4）
由实例1、2归纳结论：
复数乘法运算，类似多项式运算法则：
高中数学教学课例《3.2.2复数代数形式的乘除运算》课程思政核心素养教学设计及总结反思
同实践和探讨。
课例研究综 责任心，有求实、创新的工作作风；面对参差不齐的知
述
识水平，教师还应善于理解、分析学生，善于做学生的
思想工作，使学生在愉快中接受分层，在分层中提高学
习兴趣，从而达到缩小两极分化，大面积提高教学质量
的目的。高中教学实行分层教学是一种新的尝试，仍有
待于在实践中不断探索、总结，更有待于广大同行的共
步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础，通
教材分析 过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过
程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，
体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
2、教学重难点
重点：复数代数形式的除法运算
Байду номын сангаас
难点：对复数除法法则的运用
(1)知识目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法
点。但是学生学习基础太差，学习习惯不好，厌学思想
普遍，缺乏学习信心，焦虑不安的消极情绪。以至于对 学生学习能
数学学习提不起兴趣，没有明确的学习目标，没有科学 力分析
的学习方法。独立思考问题有一定难度，语言表达、动
手能力均相对较差；接受相对较慢且不求甚解，对知识
缺乏系统性。
数学是思维的科学，培养学生数学思维能力是高中
教学过程
已知两复数,（a,b,c,d 是实数） （1）加法法则：
（2）减法法则：
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚
部分别相加(减). （二）探求新知： 探究一： 设 a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考： 复数，，其中 a，b，c，d∈R，则 z1·z2＝(a＋bi)(c
＋di)等于什么 1.复数的乘法法则： 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算教案 新人教版选修2-2
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学 3.2.2复数代数形式 的乘除运算教案 新人教A版选修2-2
2.已知3z1+(z2+1)i=2z2- (z1-2)i.
(1)若z1,z2在复平面内的对应点关于原点对称,求z1,z2的 值;
(2)若z1,z2在复平面 内的对应点关于虚轴 对称,求z1,z2的值.
解:(1)由z1,z2的对应点关于原点对称,得z1 =-z2.
所以3z1+(-z1+1)i=-2z1-(z1-2)i,即5z1=i.
所以z1=,z2=-.
(2)由z1,z2的对应点关于虚轴对称,
设z1=x+yi(x,y∈R),则z2=-x+yi(x,y∈R),
所以3(x+yi)+(-x+yi+1)i=2(-x+yi)-(x+yi-2)i,
即(3x-y)+(3y-x+1)i
=(-2x+y)+(2y-x+2)i,
所以
解得
所以z1=+i,z2=-+i.
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
人教A版高中数学选修复数代数形式的乘除运算教案
§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)讲解新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2计算：（1）(3+4i) (3-4i) ；（2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案 新人教A版选修2-2
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 在复平面内复数(1＋bi)(2＋i)(i为虚数单位，b是实数)表示 的点在第四象限，则b的取值范围是_(_－__∞__，__－__12_)___. 解析 (1＋bi)(2＋i)＝2＋i＋2bi－b＝2－b＋(2b＋1)i， 由题意知22－ b＋b>1<00，， 解得 b<－12.
解析答案
类型二 复数代数形式的除法运算
例2 (1)已知i是虚数单位，则复数z＝43＋ －34ii 的虚部是( D )
A.0
B.i
C.－i
D.1
解析 z＝34－＋43ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i，
故虚部为1.
解析答案
2 (2)已知复数 z 满足(1＋ 3i)z＝1＋i，则|z|＝___2_____.
A.－i
B.i
C.－1
D.1
解析 z＝1i ＝－i.
1 234
解析答案
1 234
2.复数z＝
2－i 2＋i
(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(
D
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2－i 2－i2 3－4i 解析 因为 z＝2＋i＝ 5 ＝ 5 ，故复数 z 对应的点在第四象限，
∴
z
4＋3i －3＝1＋2i，
z
4＋3i ＝3＋1＋2i，
4＋3i1－2i 10－5i z ＝3＋1＋2i1－2i＝3＋ 5 ＝5－i，
则z＝5＋i.
解析答案
(2)已知复数 z 的共轭复数为 z ，且 z·( z －3i)＝1－103i，求 z.
反思与感悟
解析答案
高中数学 第三章 3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．复数代数形式的乘法法则 (1)复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律 对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i 2＝－1. 2．共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.3．复数代数形式的除法法则 (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [基础自测]1．思考辨析(1)实数不存在共轭复数．( ) (2) 两个共轭复数的差为纯虚数．( )(3) 若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×2．复数(3＋2i)i 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3iD ．2＋3iB [(3＋2i)i ＝3i ＋2i·i＝－2＋3i ，选B.] 3．已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )【导学号：31062220】A ．5B ． 5C ．3D ． 3A [z ·z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.] 4．(2－i)÷i＝________. [解析] (2－i)÷i＝2－ii ＝－－－＝－1－2i.[答案] －1－2i[合 作 探 究·攻 重 难](1)a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； ②(3＋4i)(3－4i)； ③(1＋i)2.(1)B [z ＝()1－i ()a ＋i ＝()a ＋1＋()1－a i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<01－a >0 ，解得a <－1，故选B.](2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.[规律方法] 1.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2.常用公式a＋b 2＝a 2＋2ab i －b2a ，b ∈R ；a＋ba －b＝a 2＋b2a ，b ∈R ；2＝±2i.[跟踪训练]1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )【导学号：31062221】A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)(2)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i ，故选C (2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)C (2)5(1)如图323，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1z 2对应的点位于( )图323A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 (2)计算：＋71－i＋－71＋i－－＋34＋3i.(1)B [由复数的几何意义知，z 1＝－2－i ，z 2＝i ， 所以z 1z 2＝－2－ii＝－1＋2i ，对应的点在第二象限．](2)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i－－＋3－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＋i＝8＋8－16－16i ＝－16i.[规律方法]两个复数代数形式的除法运算步骤首先将除式写为分式；再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2.常用公式1i ＝－i ；1＋i1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. [跟踪训练]2．(1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2 (2)计算：①7＋i 3＋4i ；②－1＋＋－i .(1)A [由1＋z 1－z ＝i 得1＋z ＝i(1－z )，即z ＝－1＋i1＋i，z ＝－1＋－＋－＝－－22＝i ，|z |＝1，选A.](2)①7＋i 3＋4i ＝＋－＋－＝25－25i25＝1－i. ②－1＋＋－i＝－3＋i －i＝－3＋－i·i＝－1－3i.[探究问题]1．若z ＝z ，则z 是什么数？这个性质有什么作用？ 提示：z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数． 2．若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？提示：z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 3．三个实数|z |，|z |，z ·z 具有怎样的关系？提示：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，所以|z |＝a 2＋b 2，|z |＝a 2＋－b2＝a 2＋b 2，z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2＋b 2，所以|z |2＝|z |2＝z ·z .(1)已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( )【导学号：31062222】A ．14 B ．12 C ．1D ．2(2)已知复数z 满足|z |＝5，且(1－2i)z 是实数，求z .[思路探究] 可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A [法一：∵z ＝3＋i －32＝－3i 2＋i －32＝－3－32＝i 1－3i＝＋34＝－34＋i 4， ∴z ＝－34－i 4，∴z ·z ＝14. 法二：∵z ＝3＋i －32，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i －32＝|3＋i|－32|＝24＝12，∴z ·z ＝14.] (2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1－2i)z ＝(1－2i)(a ＋b i)＝(a ＋2b )＋(b －2a )i ，又因为(1－2i)z 是实数，所以b －2a ＝0，即b ＝2a ，又|z |＝5，所以a 2＋b 2＝5.解得a ＝±1，b ＝±2，所以z ＝1＋2i 或－1－2i ，所以z ＝1－2i 或－1＋2i ，即z ＝±(1－2i)．法二：因为(1－2i)z 是实数，故可设z ＝b (1＋2i)，b ∈R ，由|z |＝5可知|b |1＋4＝5，所以b ＝±1， 即z ＝±(1－2i)．母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求z z.[解] 由例题(1)的解析可知z ＝－34＋i 4，z ＝－34－i 4，z ·z ＝14，∴z z ＝z 2z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋i 4214＝12－32i. 2．(变条件)把题设(2)的条件“(1－2i)z 是实数”换成“(1－2i)z 是纯虚数”，求z .[解] 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，由例题(2)的解可知a ＝－2b ，由|z |＝a 2＋b 2＝ 5b 2＝5，得b ＝1，a ＝－2；或 b ＝－1，a ＝2.所以z ＝－2－i ，或z ＝2＋i. [规律方法] 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数2.注意共轭复数的简单性质的运用.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )【导学号：31062223】A ．－iB ．iC ．－1D ．1A [z ＝1i＝－i.]2．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2iA [∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i.] 3．复数3＋ii 2(为虚数单位)的实部等于________．[解析] 由题可得3＋ii 2＝－3－i ，－3－i 的实部为－3.[答案] －34．(1＋i)2－2－i 2＋i ＝________.[解析] ∵(1＋i)2－2－i2＋i＝2i －－25＝－35＋145i.[答案] －35＋145i5．已知复数z 1＝(－1＋i)(1＋b i)，z 2＝a ＋2i1－i，其中a ，b ∈R .若z 1与z 2互为共轭复数，求a ，b 的值.【导学号：31062224】[解] z 1＝(－1＋i)(1＋b i)＝－1－b i ＋i －b ＝(－b －1)＋(1－b )i, z 2＝a ＋2i1－i＝a ＋＋－＋＝a ＋a i ＋2i －22＝a －2a ＋a ＋22i.由于z 1和z 2互为共轭复数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝－b －1，a ＋22＝1－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.。
人教A版高中数学选修第三章复数的代数形式的乘除运算教案新
第二课时3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点：乘除运算教学过程：一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算：（1）(1(2+⨯ （2）()()a b c d +⨯+ （类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1．计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+ （3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +⨯- （2）(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+（3）2(32)i +2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。
变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。
②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
(新课程)高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》导学案 新人教A版选修22
学习目标1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.68~ P 70，找出疑惑之处）复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-=(32)(3)a b a b +--=二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯-（2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+（4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为a bi +的共轭复数为bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？探究任务三：复数的除法法则2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠典型例题例1 计算：（1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i +变式：计算：（1）；（2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算.例2 计算（1）(12)(34)i i +÷-；（21996+变式：计算（1）232(12)ii -+，（2）23(1)1i i -+-小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。
人教新课标版数学高二人教A选修2-2教案 复数的代数形式的乘除运算
二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：
。
例1．计算（1） （2）
（3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2． 1.计算（1） （2） （3）
2.已知复数 ，若，试求 的值。变：若 ，试求 的值。
②共轭复数：
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数 。
③类比 ，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中 叫做实数化因子
例3．计算 （师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算 ，
三、巩固练习：
1．计算（1） （2）
（3）
2．若 ，且 为纯虚数，求实数 的取值。变： 在复平面的下方，求 。
复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）;复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
生阅读课本找答案：
两复数 叫做互为共轭复数，当 时，它们叫做共轭虚数。
小结（教学反思）
两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
板书设计：3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘法运算
1.复数的乘法法则： 。
3.2.2
主备人
课型
验收结果：
合格/需完善
时间
年月日
分管领导
课时
1
第周 第课时 总第课时
教学目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念。
难点：乘除运算。
教 学 过 程
教师活动
学生活动
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、教学目标：
１、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算； 理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质． 过程与方法：
２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性．
３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法．
二、重点难点：
重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算．
难点: 复数除法的运算法则．
三、教学过程
【知识链接】
1.复数1z 与2z 的和的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z +++=+++=+21；
2.复数1z 与2z 的差的定义：()()()()i d b c a di c bi a z z -+-=+-+=-21；
3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+；
4.复数的加法运算满足结合律: ()()321321z z z z z z ++=++；
5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为bi a z -=.
【问题探究】
探究一、复数的乘法运算
引导1:乘法运算规则
设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
=⋅21z z
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
引导2:试验证复数乘法运算律
（1）1221z z z z ⋅=⋅
（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅
（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
探究二、复数的除法运算
引导1：复数除法定义：
满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者di
c bi a ++()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：
利用()()22d c di c di c +=-+.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++.
点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，
它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
【典例分析】
例1计算()()()i i i +-+-24321
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.
例2计算：（1）()()i i 4343-+ ； （2）()2
1i +. 引导:按照复数乘法运算展开即可.
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.
例3计算(12)(34)i i +÷-
引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.
点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.
例4计算i
i i i 4342)1)(41(++++-
引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数2
2i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i -
2.设复数z 满足12i
i z +=，则z =（ ）
A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i -
D ．2i +
3.复数3
2321⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+i 的值是（ ）
A.i -
B.i
C.1-
D.1
4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .
提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.
5.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.
(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.
提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.。